05-专题4 第3讲 随机变量的均值与方差-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦“随机变量的均值与方差”核心考点，依据高考评价体系明确考查要求，涵盖分布列构建、期望方差计算及实际决策问题。通过分析近三年真题，梳理出解答题中独立事件概率结合分布列（占比约60%）、均值方差在决策中的应用（占比约40%）等常考题型，构建针对性备考体系。 课件亮点在于“真题引领+考点突破+素养提升”策略，如以2022全国甲卷乙校得分题为例，详解分布列构建与期望计算步骤，培养学生用数学思维分析问题的能力。通过“决策问题中均值方差比较法”等技巧总结，帮助学生掌握实际应用题型的答题逻辑，教师可借助对点训练精准落实考点，助力学生高效冲刺高考。

第3讲 随机变量的均值与方差 1 考情分析 备考关键 考点 随机变量的均值与方差的计算、实际生 活中的决策问题. 考法 主要以解答题的形式考查独立事件的概 率，以及随机变量的分布列、均值、方差， 也经常与函数、数列结合考查.试题以解答题 为主，中等难度. 熟练掌握离散型随机变量 的取值，确定其对应的事 件，并要学会数据的提取 与分析，还应学会根据数 据做出判断与决策. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 2 1 2 做真题 明方向 研考点 破重难 3 PART 01 第一部分 做真题 明方向 4 1.（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目， 每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总 得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 ，， ，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； 解：设甲学校获得冠军为事件 ，则甲学校必须获胜2场或者3场. . 故甲学校获得冠军的概率为0.6. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 5 （2）用表示乙学校的总得分，求 的分布列与期望． 解： 的取值可以为0，10，20，30. ， ， ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 6 . 所以 的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 7 2.（2024·北京卷节选）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情 况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保 单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 0 1 2 3 4 保单份数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8 万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元. 假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 8 （1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率； 解：方法一（正面计算）：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为 事件 ， 由索赔次数不少于2，知索赔次数为2，3，4， 所以 . 方法二（反面计算）：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件 ， 由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算， 则 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 9 （2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. 记为一份保单的毛利润，估计的数学期望 . 解：由题知的所有可能取值为，，，， ， 则 , , , , 二 轮 专 题 复 习 返回目录 10 , 故 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 PART 02 第二部分 研考点 破重难 12 考点一 随机变量的均值与方差的计算 离散型随机变量 的分布列为 … … … … 二 轮 专 题 复 习 返回目录 13 则：（1）,,2, , ; （2） ; （3） ; （4） ； （5）若，则, . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 14 ［例1］ （2024·济南模拟）抛掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别 为,，记的取值为随机变量，其中表示不超过 的最大整数. （1）求在的条件下， 的概率； 二 轮 专 题 复 习 返回目录 15 【解】记抛掷骰子的样本点为，则样本空间 , ,,，则 ， 记事件“”，记事件“ ”， 则,,},且,又 , ,,,,,,,,,,, , , 则 , 所以，即在的条件下，的概率为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 16 （2）求 的分布列及其均值. 【解】 所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. , , , , ,, , 二 轮 专 题 复 习 返回目录 17 所以 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 18 解决离散型随机变量分布列问题的两个关键点 （1）正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各 类概率公式求概率； （2）正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从特殊分布，则可直接 使用公式求解. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 19 ［对点训练］ 1.（多选）设离散型随机变量 的分布列如表所示： X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.3 若离散型随机变量，且 ，则( ) BC A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 20 解析： 选 .由 ,得 ，又由，得 ，从 而得，，故A错误，B正确； ， 故C正确；因为 ，所以 ，故D错误. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 21 2.（2024·普通高考适应性测试）已知盒中有标记数字为1，2，3，4的小 球各2个，随机一次取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字都不同的概率； 解：从8个小球中，随机一次取出3个小球，共有 种结果. 先从数字1，2，3，4中选择3个数字，再从选定的数字中各取1个小球，共 有 种结果. 记事件“取出的3个小球上的数字都不同”，则 . 所以取出的3个小球上的数字都不同的概率为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 22 （2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及均值 . 解：因为为取出的3个小球上的最小数字，所以 的所有可能取值为1，2， 3， ， ， . 故 的分布列为 二 轮 专 题 复 习 返回目录 23 1 2 3 故 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 考点二 实际生活中的决策问题 ［例2］ （2024·湖南九校联考）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃 声来猜歌名，该游戏中有，， 三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三 首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有 资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名 相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表： 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.5 0.5 获得的奖励基金金额/元 1 000 2 000 3 000 二 轮 专 题 复 习 返回目录 25 （1）求甲按“，， ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率； 【解】由题意可知甲按“，， ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两 种情况：只猜对，，猜对，， ，这两种情况不会同时发生. 设“甲按，，的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名”为事件 ， 由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，可得 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 26 （2）甲决定按“，，”或者“，， ”两种顺序猜歌名，请你计算两 种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的均值；为了得到更多的奖励基金，请你 给出合理的选择建议，并说明理由. 【解】 甲按“，，”的顺序猜歌名，获得的奖励基金记为，则 的所 有可能取值为0，，， ， ， ， ， ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 27 所以 ； 甲按“，，”的顺序猜歌名，获得的奖励基金记为，则 的所有可能取 值为0，，， ， ， ， ， ， 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 28 由于 , , 由于， ，所以为了得到更多的奖励基金，应该 按“，， ”的顺序猜歌名. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 29 决策类问题的解题关注点 （1）关注均值：随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平. （2）关注方差：方差反映了随机变量稳定于均值的程度，方差和均值从整 体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据. （3）先后顺序：一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 30 ［对点训练］ 某投资公司计划在某年年初将1 000万元投资到“销售某农 产品”的项目上，现有两种销售方案可供选择：方案一：线下销售，根据 市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损 ， 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，， ．方案二：线 上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利 ， 可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为， ， ．针对以上两种销售方案，请你从均值和方差的角度为该投资公司选择 一个合理的方案，并说明理由． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 31 解：若选方案一，设获利万元，则的可能取值为300， ，0，则 的分布列为 300 0 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 32 （或 ）. 若选方案二，设获利万元，则的可能取值为500，，0，则 的 分布列为 500 0 二 轮 专 题 复 习 返回目录 . （或 ）. 由， 得， ①方案一与方案二的利润均值差异不大，但方案二的方差要比方案一的方 差大得多，从稳定性方面看方案一即线下销售更稳妥，故选方案一. ②方案一的利润均值低于方案二，故选方案二. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 $