04-专题3 第2讲 专题强化训练-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何核心考点，依据高考评价体系明确空间点线面位置关系、空间几何体表面积体积、空间向量应用等考查要求。通过梳理近三年真题，分析线面垂直、面面平行等高频考点权重，归纳选择填空及解答题常考题型，构建针对性备考体系。 课件亮点在于“真题引领+素养导向”的训练模式，精选2024全国甲卷等真题，通过长方体模型构建培养空间观念（数学眼光），借助三垂线定理推理提升逻辑思维（数学思维），用空间向量坐标运算强化表达（数学语言）。如第8题四棱锥证明题，教学生用坐标法证线线垂直，帮助掌握得分技巧，教师可依此精准指导学生高效冲刺。

第2讲 专题强化训练 1 ［A 基本技能］ 1.（2024·邯郸调研）已知 ， 是两个平面，， 是两条直线，且 ， ， ，则“”是“ ”的( ) A A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A.用平面代表平面 ，平面 代表 平面 ，当如图所示时，显然与平面 不垂直， 反之，当 时，又 ，根据线面垂直的性质有 ，所以“”是“ ”的必要不充分条件. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2.（2024·全国甲卷）设 , 为两个平面，， 为两条直线，且 .下述四个命题： ①若，则 或 ②若，则 或 ③若 且 ，则 ④若与 ， 所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是( ) A A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 解析：选A.，则 ， ，对于①，若 ，则 或 ，①为真命题；对于②，若，则可能 或与 相交，②为假命题；对于③，若 且 ，则 ，③为真命题； 对于④，与所成角可以为, 内的任意角，④为假命题. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 3.如图所示，四棱锥的底面为正方形， 底 面 ，则下列结论中不正确的是( ) D A. B. C.平面 平面 D. 解析：选D. 底面，在平面内的射影与 垂直， 则，A正确；在平面内的射影与垂直，则 ， B正确；由,,, 平面,且 ,可得 平面，且 平面，所以平面 平面 ，C正确； 若，则垂直在平面内的射影 ，这不符合题意，D 不正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 4.如图，在三棱柱中，侧棱 底面 ， 是正三角形，是 的中点，则下列结论正确的是( ) C A.与是异面直线 B. 平面 C.与为异面垂直 D.平面 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 解析：选C.对于A，因为， 平面 ， 所以与 共面，故A错误； 对于B，若 平面， 平面，则 ，即 为直角三角形，所以为直角三角形，与已知 是 正三角形相矛盾，故B错误； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 对于C，因为 平面，，所以与 为异面 直线，因为为正三角形，为的中点，所以 ，因为 ，所以 ，故C正确； 对于D，直线 平面，又，所以直线 与平面 相交，故D错误. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 5.（多选）在正方体中，为的中点，为 的中 点，则( ) AD A. B. C.平面 D. 平面 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 解析：选.对于A，如图，连接，则为 的中 点，所以，故A正确；对于B，易知 为 等边三角形，所以 ，又 ，所以 ，故B错误；对于C， 平面 ，而平面平面，则和平面 相交， 故C错误；对于D，因为，，， ， 平面，所以 平面，又 ，所以 平面 ，故D正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 6.如图所示，在斜三棱柱中， ， ， 则在平面上的射影 在____（填序号）. ①直线上；②直线 上； ① ③直线上； 内部. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 解析：因为 ，所以，又 ， ，, 平面,所以 平面，又 平 面，所以平面 平面，又平面 平面 ， 所以点在两平面的交线上，即 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 7.如图，为所在平面外一点，为的中点， 为上一点，当平面时， __. 解析：如图，连接交于点，连接 .因为 ，为的中点，所以，因为 平 面，平面 平面， 平面 ， 所以，所以 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 8.如图，在四棱锥中， 底面 ， ，，， ，点 为棱 的中点. 求证： （1） ； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 证明： 依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系，如图， 可得,，，， ， . ， ， 故，所以 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）平面 ； 证明：因为 平面， 平面，所以 ，又 ,，， 平面 ， 所以 平面 ， 所以为平面 的一个法向量，而 ，所以，又 平面 ，所 以平面 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 （3）平面 平面 . 证明： 由（2）知平面的一个法向量为 ， ， ， 设平面的法向量为 ， 则即 不妨令，可得为平面 的一个法向量，且 ， 所以 , 所以平面 平面 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 ［B 综合运用］ 9.（多选）（2024·武汉二调）将两个各棱长均为1的正三棱锥 和 的底面重合，得到如图所示的六面体，则( ) AC A.该几何体的表面积为 B.该几何体的体积为 C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相 垂直 D.平面 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 解析：选.对于A， ，所以表面积为 ，故A正确； 对于B，如图所示, 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 设点D在平面内的射影为，为的中点，则由对称性可知 为 的重心， 所以，又因为 ， 所以正三棱锥的高为 ， 所以题图中几何体的体积为 ，故B错误； 对于C，由B选项可知 平面，由对称性可知D，， 三点共线， 所以 平面，而 平面 ， 所以平面 平面 ，故C正确； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 其中轴//，因为，，所以，， ， ，，，，0，，，， ， ， 设平面的法向量为，所以 即 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 不妨取，解得，，所以，又 ，，，，0，，所以，， ，而 ，所以与平面 不平行，故D错误. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.（多选）已知在直角梯形中，， ， ，为线段 上一动点（不含端点）如图1，现将 沿直线翻折，使点翻折到点 的位置，如图2所示，关于翻折 的过程，下列四个结论正确的是( ) AB A.存在某个位置，使直线 B.存在某个位置，使直线 C.存在某个位置，使直线 D.存在某个位置，使直线 平面 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 解析：选.在翻折过程中，当点在平面内的射影落在直线 上时，平面 平面，又， 平面 ,平面 平面，所以 平面，又 平面 ， 所以，因此A正确；在翻折过程中，当点在平面 内的射 影落在点处时，有 平面， 平面，故 ， 因此B正确；连接（图略），在中，易知 ，因此，无 论任何位置，都不可能有 ，因此C不正确；假设存在某个位置， 使直线 平面，则有，即 ，此时 ，设，则，， ， 矛盾，因此D不正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 11.如图，在四棱锥中，四边形 是等腰梯形， ，，.点为棱的中点，点为棱 上一点，且，平面 平面 .证明： 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 （1） 平面 ； 证明：由题意知， ，则在 中，由余弦 定理，得，在 中， ，由余弦定理可知 ， 可得，由，得 ，所以 .又平 面 平面，且平面 平面， 平面 ， 所以 平面 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 （2）平面 . 证明： 由（1）可知.取棱的中点， 连接， ， 因为为棱的中点，所以， 且 . 又，所以 ， 所以四边形为平行四边形，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 12.如图1，2，在边长为2的正方形 中，点是的中点，点 是 的中点，点是 上的点，且 .将， 分别 沿，折起，使， 两点重合于 点，连接，，, . （1）求证： ； 证明：易知折叠前，，所以折叠后， ， 又，， 平面，所以 平面，而 平面，所以 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 （2）试判断与平面 的位置关系，并给出证明. 解：平面 .证明如下： 连接交于点，连接，在正方形中，连接交于点 ， 如解析图1，解析图2所示. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 则 ， 所以 ， 又，即，在中， ， 所以 . 又 平面， 平面，所以平面 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 ［C 素养提升］ 13.（多选）如图1，半圆的直径为4，点，三等分半圆，， 分别为 ，的中点，将此半圆以为母线卷成如图2所示的圆锥，为 的 中点，则下列结论正确的是( ) ACD A. B. 平面 C.平面 D.三棱锥与 公共部分的体 积为 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 解析：选.对于A，设卷成的圆锥的底面圆半径为 ,则 ， 解得 ,由题意知点B，C为卷成的圆锥的底面圆周的 三等分点，所以为等边三角形，则,所以 ， 又点，分别是，的中点，所以 ，故A正确. 对于B，连接（图略），因为是边长为 的等边三角形， 是腰长为2的等腰三角形，点D是的中点，所以 ， ,因为 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 ,所以与不垂直， 不垂直于平面 ，故B错误. 对于C，易知， 平面， 平面，所以 平 面 ，故C正确. 对于D，设,交于点，连接并延长 （图略），则由对称性可知 必定交于点D，连接（图略），则三棱锥 与三棱锥 公共部分即三棱锥，因为点，分别是， 的中点， 所以为的重心，所以 ,由上述分析知，圆锥的轴 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的高为 ，所以 ,所以三棱锥 与三棱锥公共部分的体积为 ，故D正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.（多选）（2024·郑州质检）已知三棱锥， ， 是边长为2的正三角形，，分别是， 的中点， ，在平面内的射影为点，在平面 内的射影为 点 ，则( ) ACD A.，， 两两垂直 B.在平面内的射影为 的中点 C.，， 三点共线 D.形如三棱锥 的容器能被整体装入一个直径为2.5的球 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 解析：选选项，因为D，分别为， 的中点，所以，因为 ，所以 ，故 ， 取的中点，连接，，因为 ， ，所以， ， 又，， 平面，所以 平 面，又 平面，所以,又,, 平面 ，所以 平面 ， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 因为， 平面，所以，，又 ， ，故，又 ，所以 ，得，所以，， 两两垂直，A正确； B选项，由题意得，不重合，过点作，交于点 ，因为 平面，所以 平面 ， 且，D不重合，故在平面内的射影不为 的中点，B错误； C选项，三棱锥为正三棱锥，故点为等边三角形 的中心， 故C，， 三点共线，C正确； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 D选项，因为，，两两垂直，故三棱锥 的外接球即为以 ，， 为棱的正方体的外接球，故外接球直径为 ，而，故形如三棱锥 的容 器能被整体装入一个直径为2.5的球，D正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $