05-专题1 第3讲 有关三角形的综合问题-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦解三角形综合问题，覆盖实际应用、复合图形、三角综合及最值范围四大核心考点，对应选择、填空、解答题考查要求。通过对接高考评价体系，分析各考点权重，归纳俯角测量、边角互化等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于高考真题实战与应试技巧融合，如以山东科技馆测量问题为例，用“分析 - 建模 - 求解 - 检验”四步培养数学眼光与建模能力，通过2024上海二模题展示三角综合题的“函数化”转化，助力学生掌握边角互化技巧。为教师提供精准复习方向，帮助学生高效冲刺。

第3讲 有关三角形的综合问题 1 考情分析 备考关键 考点 正、余弦定理解多个三角形组 合问题及实际应用，三角函数与解三 角形的综合问题. 考法 选择题、填空题和解答题均有 所涉及，其中客观题主要侧重解三角 形的实际应用，解答题主要考查三角 形中的范围、最值问题. 1.构建三角形的模型解三角形的实 际问题. 2.充分利用平面几何图形的性质解 与多个三角形（四边形）有关的解 三角形问题. 3.求解三角形中的最值、范围问题 常用三角函数的有界性及基本不等 式. 二 轮 专 题 复 习 2 考点一 解三角形的实际应用 ［例1］ 山东省科技馆新馆（如图1）目前成为济南科教新地标，其主体 建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“ ”完美嵌入其中，寓意 无限未知、无限发展、无限可能和科技无限.如图2，为了测量科技馆最高 点与其附近一建筑物楼顶之间的距离，无人机在点测得点和点 的 俯角分别为 ， ，随后无人机沿水平方向飞行到点 ，此时 测得点和点的俯角分别为 和（，，， 在同一铅垂面内）， 则，两点之间的距离为______________ . 二 轮 专 题 复 习 3 图1 图2 二 轮 专 题 复 习 4 【解析】 由题意， , , 所以 , 则在 中， ， . 因为 ， ， 所以 . 方法一：在中，由正弦定理得， , 所以 . 二 轮 专 题 复 习 5 在中， ， 由余弦定理得， , 所以,故,两点之间的距离为 . 方法二：.在 中，由正 弦定理得， , 二 轮 专 题 复 习 所以 . 在中， , 由余弦定理得 , 所以 , 故，两点之间的距离为 . 二 轮 专 题 复 习 解三角形实际应用问题的步骤 二 轮 专 题 复 习 8 ［对点训练］ （2024·江苏南京六校联考）如图， 某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测 量红豆树高度，他选取与红豆树根部 在同一水平 面的，两点，在点测得红豆树根部 在北偏西 的方向上，沿正西方向步行到 处，测 得树根部在北偏西 的方向上，树梢 的仰角 为 ，则红豆树的高度为( ) D A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 9 解析：选D.在中， ， ， ， ， 所以由正弦定理得, ， 解得 ， 在中， ， 所以，则红豆树的高度为 . 二 轮 专 题 复 习 10 考点二 复合三角形问题 ［例2］ 在平面四边形中，， ， ， . （1）求 的大小； 【解】由题意，设 ，则 , .在 中， 由正弦定理得，即,解得 ，所以 .因为 ，所以 . 二 轮 专 题 复 习 11 （2）求四边形 的面积. 【解】 由（1）可知，，在 中，由正弦定理得 ， 即，解得 . 二 轮 专 题 复 习 12 在中，由余弦定理得 ，即，解得 （负值已舍去），故四 边形 的面积为 . 二 轮 专 题 复 习 13 解多个三角形问题的步骤 （1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角 形中； （2）在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形； （3）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件； （4）结合三角恒等变换公式进行化简. 二 轮 专 题 复 习 14 ［对点训练］ 在中，角，， 的对边分别为 ,,,已知,,的面积为 . （1）求 的值； 解：因为,,的面积为 ， 所以 , 所以 . 由余弦定理,得 ， 即 . 二 轮 专 题 复 习 15 （2）如图，为外一点，四边形 为平面四边形，且 ，，求对角线 的长. 解：在中，由正弦定理,得 ， 所以 ， 所以在 中，由余弦定理得 . 所以 . 二 轮 专 题 复 习 16 考点三 三角函数与解三角形 ［例3］ （2024·上海二模）设 ，函数 图象的两条相 邻对称轴之间的距离为 . 二 轮 专 题 复 习 17 （1）求函数 的解析式； 【解】 ， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，所以 ， 则 ，解得 ， 所以 . 二 轮 专 题 复 习 （2）在中，设角,,所对的边分别为,,，若， , ，求角 . 【解】 由得，,故, , 因为，所以，即 ， 由正弦定理,得 ， 即,所以， . 二 轮 专 题 复 习 19 解三角形与三角函数综合问题的一般步骤 二 轮 专 题 复 习 20 ［对点训练］ 在中，角，，所对的边分别为，， ，且 . （1）求角 的大小； 二 轮 专 题 复 习 21 解：因为 ， 由正弦定理，得 ，即 ， 可得 . 由，可得 ， 所以 . 因为，可得 ， 所以 . 因为，所以 . 二 轮 专 题 复 习 22 （2）若向量,,，试求 的最小值. 解：由,, ， 可得, ， 因为，所以 ， 则 二 轮 专 题 复 习 23 , 因为，则 ， 所以当 ， 即时，取得最小值，为，所以的最小值为 . 二 轮 专 题 复 习 考点四 三角形中的最值与范围问题 ［例4］ （2024·郑州名校联盟）在四边形中， ， ,,设与的面积分别为, , 则 的最大值为_ ___. 二 轮 专 题 复 习 25 【解析】 因为 ,由正弦定理得 ,所以 ,即 ,因为 ,所以,所以 , 所以,, , 所以, , 由余弦定理得,所以 , 二 轮 专 题 复 习 26 当且仅当时取等号， . 设,则 , 在中，由余弦定理得 , 所以 , 当时，取得最大值 . 所以的最大值为 . 二 轮 专 题 复 习 解三角形中的最值、范围问题的一般步骤 二 轮 专 题 复 习 28 ［对点训练］ 在中，若,,则 __， 周长的取值范围是___________. 解析：由 及正弦定理， 得 . 二 轮 专 题 复 习 29 方法一：由正弦定理得 ，所以 . 因为，所以 ， 则，所以 ， 所以 ， 所以周长的取值范围是 . 二 轮 专 题 复 习 30 方法二：由余弦定理 , 得 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 , 所以，由三角形的性质，得 ,所以 ,所以周长的取值范围是 . 二 轮 专 题 复 习 31 $