01-一 函数与方程思想——巧妙转化，相辅相成-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

第一部分 自学篇 1 二 轮 专 题 复 习 二 轮 专 题 复 习 思想方法 一 函数与方程思想 ——巧妙转化，相辅相成 4 函数思想 方程思想 函数思想是通过建立函数关系或 构造函数，运用函数的图象和性 质去分析问题、转化问题，从而 使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或 者构造方程，通过解方程或方程组或 者运用方程的性质去分析问题、转化 问题，从而使问题得到解决的思想 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函 数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运 动中的等量关系 二 轮 专 题 复 习 5 应用1 借助函数解决问题 在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题 中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法 使问题顺利获解. ［例1］ （2024·天津卷）在边长为1的正方形中，为线段 的三 等分点，,，则__；为线段 上的动 点，为中点，则 的最小值为_____． 二 轮 专 题 复 习 6 【解析】 方法一：因为，即 ， 则 ， 可得，，所以 . 由题意可知,， ， 因为为线段 上的动点， 设， ， 二 轮 专 题 复 习 7 则 ， 又因为为 中点，则 ， 可得 ， 又因为，所以当时，取到最小值，最小值为 . 二 轮 专 题 复 习 8 方法二：以 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所 示，则，，， ， ， ， 可得，， ， 因为 ， 二 轮 专 题 复 习 9 则所以 . 因为点在线段， ，上， 设， ， 且为中点，则 ， 可得， ， 则 ， 且，所以当时，取到最小值，最小值为 . 二 轮 专 题 复 习 10 解答此类问题需通过建系或引入变量建立目标函数，运用一次函数、 二次函数、不等式、导数等求出最值. 二 轮 专 题 复 习 ［对点训练］ 甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜” 制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，，则甲以 获胜概 率的最大值为____. 解析：甲以 获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜， 若所求概率用表示，所以 ， ，则.令 ，得 ；令，得.所以在， 上单调递增，在 ，上单调递减，所以当时， 取得最大值， . 二 轮 专 题 复 习 12 应用2 转换函数解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经 常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难解题时，不妨转 换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变 元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解. 二 轮 专 题 复 习 13 ［例2］ （2024·新课标Ⅱ卷）设函数 ， .当时，曲线与 恰有一个 交点.则 ( ) A. B. C.1 D.2 【解析】 方法一：令，即 ，可 得 ， 令， ， 原题意等价于当时，曲线与 恰有一个交点， D 二 轮 专 题 复 习 注意到，均为偶函数，可知该交点只能在 轴上，可得 ， 即，解得 . 若，令，可得，因为 ， 则，，当且仅当 时，等号成立，可得 ，当且仅当 时，等号成立，则方程 有且仅有一个实根0，即曲线与 恰有 一个交点，所以 符合题意. 综上所述, . 二 轮 专 题 复 习 方法二：令， ， 原题意等价于 有且仅有一个零点， 因为 ， 则 为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即 ,解得 . 若，则， ， 二 轮 专 题 复 习 16 又因为，,当且仅当 时，等号成立， 可得，当且仅当 时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以 符合题意． 方法三：由曲线与 恰有一个交点知， 有且仅有一个根，即 ,令 ,,知是偶函数，故 . 二 轮 专 题 复 习 17 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主， 主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解， 是解题人思维品质高的表现. 二 轮 专 题 复 习 18 ［对点训练］ （2024·昆明模拟改编）已知函数 ， ,当时，，则 的取值范围为 ________. 解析：因为当时， , 等价于，令， ，则 恒成立. , 当时，由 ， 二 轮 专 题 复 习 得，， 时， ，单调递减，所以当，时， ， 不符合题意； 当时，，因为 ， 所以，则，在 上单调递增，所以 ，符合题意. 综上所述，的取值范围为 . 二 轮 专 题 复 习 应用3 构造函数解决问题 在数学各分支的形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或 结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此 基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是利用函数思想解题的更高 层次的体现. ［例3］ 已知,分别满足,，则 ___. 2 【解析】 由于,于是，从而,又由于 ,于 是,从而,.则 ,构造函 数,,根据其导函数 得到函数 在上单调递增，从而转化为 ,因此 . 二 轮 专 题 复 习 21 构造函数的策略 （1）直接构造：如果关系式的左右形式相当，一边一个变量，取左或取 右，构造函数. （2）变形构造：如果关系式的左右形式稍有差异，可适当变形后得到已 知中出现的“两个变量”，然后利用结构相同，构造出一个函数，最后利用 函数的性质解题. 二 轮 专 题 复 习 22 ［对点训练］ 1.设，，，则，， 的 大小关系为( ) A A. B. C. D. 解析： 选A.因为指数函数，为 上的减函数，所以 ， .因为幂函数 为上的增函数，所以，所以 .因为 对数函数为 上的减函数，所以 ，即，所以 . 二 轮 专 题 复 习 23 2.已知，则“”是“ ”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 选C.构造函数，则 在定义 域 上恒成立， 所以函数 为增函数， 又因为，所以 ， 所以 ， 即 ， 二 轮 专 题 复 习 24 即 ， 所以 ，即“ ”能推出“ ”，充分性成立； 由 ， 可得 ， 即 ， 所以，所以 ，即 ，所以“ ”能推出“ ”，必要性成立.所以“ ”是“ ”的充要条件. 二 轮 专 题 复 习 应用4 借助方程（组）形式解决问题 把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸显其隐含条件，充分发挥 其方程性质，运用有关方程的解的定理（如根与系数的关系、判别式、实 根分布的充要条件）使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方法. 二 轮 专 题 复 习 26 ［例4］ （2024· 新课标Ⅰ卷）已知， ， 则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 由已知条件及三角函数公式， 得 所以， ， 故 二 轮 专 题 复 习 利用条件建立待求量的方程（组），通过解方程（组）求出有关量，进而 达到解题的目的. 二 轮 专 题 复 习 28 ［对点训练］ 1.（2024·全国甲卷）已知且 ，则 ____． 64 解析：由题意可知， ，整理得 ，解得或，又 ，所 以，故 . 二 轮 专 题 复 习 2.设非零向量，，满足，，， ，则 的最大值为_ ___. 解析：因为，所以 ，两边平方，得 ，即 ，所 以，解得，即的最大值为 . 二 轮 专 题 复 习 30 $