01-专题5 第1讲 直线与圆-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦解析几何中直线与圆专题，覆盖直线方程、圆的方程及直线与圆位置关系等核心考点，依据高考评价体系分析近三年真题，明确切线方程、弦长计算、最值问题等高频考点权重，归纳选择填空常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于真题驱动与素养导向，精选2024年北京卷、全国甲卷等真题，通过几何直观（如圆心到直线距离判断位置关系）培养数学眼光，用代数推理（如待定系数法求方程）发展数学思维，提炼“弦长公式2√(r²-d²)”等解题技法。助力学生掌握切线方程、最值问题突破策略，教师可依托考点梳理与对点训练实现高效复习指导。

专题五 解析几何 第1讲 直线与圆 1 考情分析 备考关键 考点 直线的方程及应用、圆的方 程及应用，直线与圆、圆与圆的位 置关系及其应用. 考法 主要以选择题、填空题的形 式考查直线的斜率、圆的切线方 程、弦长及最值与取值范围问题. 1.直线斜率存在与否应“分类讨论”， 直线与圆位置关系应“数形结合”，与 圆有关的最值问题应“转化化归”. 2.求方程常用“待定系数法”，求直线 斜率、切线方程时莫忘“导数法”. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 2 1 2 做真题 明方向 研考点 破重难 3 PART 01 第一部分 做真题 明方向 4 1.（2024·北京卷）圆的圆心到直线 的距离为( ) D A. B.2 C.3 D. 解析： 选D.将圆的方程化为标准方程，得 ， 所以该圆的圆心到直线 的距离为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 5 2.（2024·全国甲卷）已知是，的等差中项，直线 与 圆交于，两点，则 的最小值为( ) C A.1 B.2 C.4 D. 解析： 选C.由题意，，设直线 ，圆 ，则，易知 过定点 ，圆C的标准方程为，所以圆心为 ，半 径为，则在圆C内.因为当时，圆心C到直线 的距离最大，此 时取得最小值，易得 ，所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 6 3.（2023· 新课标Ⅰ卷）过点与圆 相切的两 条直线的夹角为 ，则 ( ) B A.1 B. C. D. 解析： 选B.由，得 ，所以圆心 为，半径为.易知点与点的距离为 ，所以点 与切点的距离为，所以 ， ，所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 7 PART 02 第二部分 研考点 破重难 8 考点一 直线的方程 1.已知直线（， 不同时为0），直线 （， 不同时为0），则 ，且 ； . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 9 2.点到直线（， 不同时为0）的距离 . 3.两条平行直线， （,不同时为0）间的距离 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 10 ［例1］ （1）设，则“”是“直线 与直线 平行”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 当时， ， ， 显然.当 时， 由且得或 ， 所以“”是“ ”的充分不必要条件. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 11 （2）当点到直线 的距离取 得最大值时， ( ) C A.2 B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 12 【解析】 将直线 转化为 ， 联立解得 所以直线恒过定点 ， 当直线与该直线垂直时，点 到该直线的距离取得最大值， 此时 ， 解得 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 13 （1）两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线,的斜率,均存在，则 , .若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率 是否存在. （2）解决对称问题的方法 中垂线法：点关于直线的对称点，点与对称点的中点在已知直线上，点与 对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数（仅指斜率存在且不为0的情 况，斜率不存在或斜率为0时较简单）. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 14 ［对点训练］ 1.（2024·广东六校联考）已知直线 经过直线 与的交点，且直线 的一个方向向量 ，则直线 的方程是( ) C A. B. C. D. 解析： 选C.解方程组得 即直线与的交点为.因为直线的一个方向向量 ，所以 直线的斜率，则直线的方程为 ，即 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 15 2.已知三条直线，，，若 关于对称的直线与垂直，则实数 的值是( ) D A. B. C.8 D. 解析： 选D.易知直线关于直线 对称的直线 方程为，又直线 ，由题意得 ，解得 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 16 考点二 圆的方程 1.圆的标准方程 当圆心为，半径为时，圆的标准方程为 .特 别地，当圆心在原点时，圆的方程为 . 2.圆的一般方程 圆的一般方程为，其中 ，它 表示以，为圆心， 为半径的圆. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 17 ［例2］ （1）已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆 与直线相切，则圆 的方程是( ) A A. B. C. D. 【解析】 根据题意知圆C的圆心坐标为 .因为圆C与直线 相切，所以半径为圆心到切线的距离 ，即 ,则圆C的方程为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 18 （2）（2024·郑州名校联盟）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三 角形任意一个顶点到其垂心的距离等于外心到该顶点对边距离的2倍.若点 ，，都在圆上，直线的方程为，且 ， 的垂心在内，点在线段上，则圆 的标准方程为 ________________________. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 19 解析：由题得的垂心到直线的距离，设圆 的半径 为，由塞尔瓦定理可得 ，由圆的几何性质可得 ，联立解得， ， 因为直线的方程为，所以直线的方程为 ，设 ，则到直线距离，解得 （舍去）或，所以圆的标准方程为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 20 求圆的方程的两种方法 （1）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而 求得圆的基本量和方程； （2）代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从 而求得圆的方程. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 21 ［对点训练］ 1.已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线 上， 若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆 的 标准方程为( ) D A. B. C. D. 解析： 选D.因为圆C的圆心在直线 上， 所以可设 ， 又圆C与 轴的正半轴相切于点A， 所以，且圆C的半径， . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 22 因为点A到直线的距离 ， 所以 ， 解得或 ， 所以或 . 又点A在直线 的左上方， 所以，所以， ，所以圆C的标准方程为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 23 2.（2024· 新课标Ⅱ卷）已知曲线，从 上任意 一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点 的轨迹方程为 ( ) A A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 24 解析： 选A.通解（代入法）设，则，因为点 在 曲线C上，所以，即 . 优解（数形结合法） 由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩小至原来 的一半，横坐标不变，即可得到点的轨迹.曲线C为半圆，则点 的轨迹 为焦点在轴上的椭圆（ 轴上方部分），其中长半轴长为4，短半轴长为2. 所以线段的中点的轨迹方程为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 25 考点三 直线（圆）与圆的位置关系 1.圆的切线方程常用结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为 . （2）过圆上一点， 的圆的切线方程为 . （3）过圆外一点 作圆的两条切线，则两切点所在 直线方程为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 26 2.两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆 ，圆 ，若两圆相交，则有一条公共弦， 其公共弦所在直线的方程可由 得到，即 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 27 角度1 直线与圆的位置关系 ［例3］ （1）（2024·安庆二模）已知点，， 是坐标原 点，点满足，则与 夹角的最大值为( ) A A. B. C. D. 【解析】 设点，可得，因为 ，可得 ，即点B的轨迹是以为圆心，半径 的圆， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 28 如图所示，当点B在第二象限，且与圆C相切时与 的夹角最大，设过点与圆C相切的直线 的方程为 ，即 ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 29 则圆心到直线 的距离等于圆的半径， 即，解得 ， 设切线的倾斜角为 ， 则，可得 ， 即与夹角的最大值为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 30 （2）（2024·贵阳适应性考试）已知圆 ，直 线， ，则下列说法正确的是( ) B A.直线过定点 B.直线与圆 一定相交 C.若直线平分圆，则 D.直线被圆截得的最短弦的长度为 【解析】 对于A，由对于任意的 成立，可得 二 轮 专 题 复 习 返回目录 31 所以，直线过定点， ，A错误；对于B，将定点 ，代入圆C的方程得 ，可知点 ，在圆的内部，所以直线 与圆C一定相交， B正确； 对于C，直线平分圆C即直线过圆C的圆心，将圆心坐标代入直线 的方程得，得 ，C错误； 对于D，设直线被圆C截得的弦长为，圆心到直线的距离为 ，圆 C的半径为 ，根据弦长、半径与圆心到直线的距离之间的关系，得 .又，所以 ，D错误. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 判定直线与圆的位置关系的解题思路 （1）数形结合：讨论直线与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利 用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量. （2）巧用垂直：直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到 切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式. （3）弦长公式：弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示， <m></m>（其中<m></m>为弦长，<m></m>为圆的半径，<m></m>为圆心到直线的距离）. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 33 角度2 圆与圆的位置关系 ［例4］ （1）圆与圆 至少 有三条公切线，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C.， D. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 34 【解析】 将 化为标准方程得 ， 即圆心坐标为 ，半径为1. 圆的圆心坐标为 ，半径为2. 因为圆与圆 至少有三条公 切线，所以两圆的位置关系为外切或外离， 所以，即 ， 解得 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 35 （2）已知圆与圆 的公共弦 所在的直线与圆相切，则实数 的值为__. 解析：由圆与圆 ，两个圆的 方程相减，可得，即公共弦的方程为 ，因为 直线与圆 相切，可得圆心到直线的距离等于 半径，即，解得 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 36 求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可，而在求 两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想的灵活运用. ［对点训练］ 1.已知点在圆上，过作圆 的切 线，则 的倾斜角为( ) D A. B. C. D. 解析： 选D.圆C的圆心为，，过 作圆C的切 线，则，即，故的倾斜角为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 37 2.（多选）（2024·新乡二模）已知 ，集合 ， ， ， ， 则下列结论一定成立的是( ) AB A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 38 解析： 选.表示过定点 ，且斜率为 的直线上的点构成的集合， 表示过定点，，且斜率为 的直线上 的点构成的集合， 表示圆心为，半径为 的圆上的点构成的集合， 表示圆心为，半径为 的圆上的 点构成的集合. 对于A，集合A，B中的直线平行，故 ，故A一定成立； 二 轮 专 题 复 习 返回目录 39 对于B，由于，故点 在圆 内， 故经过点的直线与集合C中的圆相交， ，故B一定成立； 对于C，由于 ， 故点，在圆 外， 故当经过点，的直线与集合C中的圆相离时， ，故C不一定 成立； 对于D，由于 ，故两圆相交， ，故D一定不成立. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 3.（2024·沈阳教学质量监测）已知有100个半径互不相等的同心圆，其中 最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长 都为2，则这100个圆中最大圆的半径是( ) C A.8 B.9 C.10 D.12 解析： 选C. 设这100个圆的半径从小到大依次是，，， ， ， 由题意知， ，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大 圆截得的弦长都为2，由垂径定理，得 ， ， ，依此类推，可得 ，则 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 41 $