01-专题4 第1讲 计数原理-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦计数原理专题，覆盖两个计数原理、排列与组合、二项式定理三大高考核心考点，依据高考评价体系分析考情，明确排列组合与概率结合、二项式定理与函数交汇等考查要求，通过近三年全国卷真题统计考点权重，归纳选填典型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引路+技法突破+素养提升”，精选2023-2024年全国卷真题，如2024新课标Ⅰ卷选课方案题，运用“先分组后排”“排除法”等技巧，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力，特设解题模板与易错警示，帮助学生掌握答题节奏，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

专题四 概率与统计 第1讲 计数原理 1 考情分析 备考关键 考点 两个计数原理、排列与组合、二项式定 理. 考法 主要以选择题、填空题的形式考查.排 列与组合、二项式定理的基本问题，排列组 合时常与概率相结合，而二项式定理常与函 数、不等式、数列交汇考查. 利用排列组合解决问题的 基本思路是先组后排，准 确辨别限制条件的类别， 灵活运用二项式系数的相 关性质，可减少计算量. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 2 1 2 做真题 明方向 研考点 破重难 3 PART 01 第一部分 做真题 明方向 4 1.（2023·全国乙卷）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则 这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( ) C A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 解析：选C.甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有 种选法，再 从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有 种选法，由 分步乘法计数原理可得，共有 种选法. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 5 2.（2024·全国甲卷） 的展开式中，各项系数中的最大值为___． 5 解析：的展开式的通项为 , 则各项的系数分别为，，,， ， ,，,,， ，观察发现二项式系数 先增大后减小，且前后对称，指数式递增，分别计算, , ,,,,比较可得， 最大. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 6 3.（2024·新课标Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修 课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门， 则不同的选课方案共有____种（用数字作答）． 64 二 轮 专 题 复 习 返回目录 7 解析：方法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修 课各选修1门,有 种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺 术类选修课中选修2门，有 种方案；第三类，在体育类选修课中选修2 门，在艺术类选修课中选修1门，有 种方案.综上，不同的选课方案共 有 （种）. 方法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有 种选课方 案；若学生从这8门课中选修3门课，则有 种选课方案. 综上，不同的选课方案共有 （种）. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 8 PART 02 第二部分 研考点 破重难 9 考点一 两个计数原理 1.利用分类加法计数原理时，注意根据题目特点选择一个恰当的分类标准， 分类时注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类． 2.利用分步乘法计数原理时，注意将这件事划分成几个步骤来完成，各步 骤之间有一定的连续性，只有当各步骤都完成了，这件事才能完成. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 10 ［例1］ （1）“一笔画”游戏是指要经过所有路线且节点可以多次经过， 但连接节点间的路线不能重复画的游戏，如图是某一局“一笔画”游戏的图 形，其中，，为节点，若本局游戏只能以为起点,为终点或以 为起 点, 为终点完成，那么完成本局“一笔画”游戏的方法种数为( ) C A.6 B.12 C.24 D.30 二 轮 专 题 复 习 返回目录 11 【解析】 以A为起点时，三条路线依次连接即可到达B点，共有 种方法； 自B连接到C时，在C右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有2种方法，所 以以A为起点，C为终点时，共有 种方法.同理可知，以C为起点， A为终点时，也有12种方法. 所以完成本局“一笔画”游戏的方法种数为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 12 （2）已知集合，2，3，，集合，为集合 的非空子集．若对 ，，恒成立，则称为集合 的一个“子集对”．则 集合 的“子集对”共有____个. 17 解析：由题意，当时，有 种情况； 当时，有 种情况； 当时， 有1种情况； 当，时，有 种情况； 当，，，，，2，时， 均有1种情况. 故满足题意的“子集对”共有 （个）. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 13 利用两个计数原理解题时的注意点 （1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算 完成这件事． （2）分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树 状图. （3）对于复杂问题，一般是先分类再分步． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 14 ［对点训练］ 现有十二生肖的吉祥物各一个，按照鼠和牛、虎和兔、龙 和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪配对分成六组.甲、乙、丙三位同学依次选 一组作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、羊和猴，丙同学喜欢 兔、马和狗．若甲、乙、丙三位同学选择的礼物中均包含自己喜欢的生肖， 则不同的选法种数为____． 12 解析：根据题意，按甲的选择不同分成甲选龙和蛇或马和羊两种情况.当甲 选择龙和蛇时，若乙选择马和羊，此时丙有2种选法，若乙不选择马和羊， 则乙有2种选法，此时丙有3种选法，则共有 种选法；当甲选择马 和羊时，乙有2种选法，此时丙也有2种选法，则共有 种选法，综 上，共有 种选法. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 15 考点二 排列与组合 类 别 排列数 组合数 公 式 ,,, ,,, 二 轮 专 题 复 习 返回目录 16 类 别 排列数 组合数 性 质 !; ; ; ; ; 续表 二 轮 专 题 复 习 返回目录 17 ［例2］ （1）某年春节，在北京工作的五个家庭开车搭伴一起回老家过 年，若五辆车分别为，，，，，五辆车随机排成一列，则车与 车相邻，车与 车不相邻的排法有( ) A A.36种 B.42种 C.48种 D.60种 【解析】 将A车与B车捆在一起当成一个元素，有 种不同的捆法，将其 与除C车外的2个元素全排列，有 种排法，将C车插入，不与A车相邻， 有种插法，故共有 种排法. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 18 （2）（2024·济南质量检测）某校民俗社的5位同学准备前往三个乡村进 行调研，已知每个村至少有1位同学前往，5位同学都会进行选择并且每位 同学只能选择其中一个村，若甲同学和乙同学必须选择同一个村，则不同 的选法种数是( ) B A.18 B.36 C.54 D.72 【解析】 若甲同学和乙同学选择的村没有其他同学选，则分组方式为1， 2，2，不同的选法种数为 ；若甲同学和乙同学选择的村还有其 他同学选，则分组方式为1，1，3，不同的选法种数为 ，所以 不同的选法种数为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 19 排列、组合问题的求解方法与技巧 （1）合理分类与准确分步；（2）排列、组合混合问题要先选后排；（3） 特殊元素优先安排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理； （6）定序问题除序处理；（7）“小集团”排列问题先整体后局部；（8） 正难则反，等价转化. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 20 ［对点训练］ 1.（2024·临沂二模）若有2名女生和4名男生到“山东旅发 大会”的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女 生又有男生，则不同的分配方案种数为( ) C A.16 B.20 C.28 D.40 解析：选C.第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有 种分组方案；分为每组各3人，有 种分组方案，共有14种分组方 案．第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有 种分配方案.所 以共有 种不同的分配方案. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 21 2.（2024·邵阳第二次联考）某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的 负责人甲、乙、丙等六人分别上台发言，其中负责人甲、乙发言顺序必须 相邻，负责人丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有 ( ) D A.240种 B.120种 C.156种 D.144种 解析：选D.将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个 发言，知丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有 种方法，故 不同的安排方法共有 （种）． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 22 3.（2024·太原一模）如图，用点，，，，，， 表示某季节的 北斗七星，其中，，， 看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七 个点中任意三个点作三角形，则所作的不同的三角形的个数为( ) B A.30 B.31 C.34 D.35 二 轮 专 题 复 习 返回目录 23 解析：选B.方法一（排除法）：从7个点中任意取3个点有 种情况， 因为B，D，， 四点共线，其中任意三点都不能构成三角形，所以共可 以作 个不同的三角形． 方法二（分类法）：第一类：B，D，， 四个点中一个点都不取，可作 个三角形；第二类：从B，D，，四个点中取1个点，在A，C， 中取2个点，可作个三角形；第三类：从B，D，， 四个点中 取2个点，在A，C，中取1个点，可作 个三角形.所以共可以作 个不同的三角形. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 24 考点三 二项式定理 1.的展开式的通项： ，它表示 展开式的第 项. 2.二项式系数的性质 （1）对称性： ； 二 轮 专 题 复 习 返回目录 25 （2）增减性与最大值：当 时，二项式系数递增，由对称性知，当 时，二项式系数递减．当 是偶数时，中间一项的二项式系数取得 最大值，为；当 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得 最大值，为与 ； （3）各二项式系数的和： ,且 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 26 ［例3］ （1）（2024·东北三校联考）的展开式中 的系数为( ) C A.55 B. C.30 D. 【解析】 的展开式的通项,且 ， 令，得,令 ，得 ，因为 ，所以 ,所以 的展开式中 的系数为30. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 27 （2）（多选）已知的展开式的各项系数之和为 ， 则展开式中( ) BCD A.奇数项的二项式系数和为256 B.第6项的系数最大 C.存在常数项 D.有理项共有6项 二 轮 专 题 复 习 返回目录 28 【解析】 令，得，则或 （舍去）.奇 数项的二项式系数和为 ，A错误； 因为 的展开式的通项为 .展开式共11项， 故第6项的系数最大，B正确； 令,解得 ,故存在常数项，且常数项为第3项，C正确； 当 ,2,4,6,8,10时，为有理项，故有理项共有6项，D正确. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 29 （1）对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用二项展开式的 通项，再结合因式相乘，分类讨论求解. （2）求展开式中各项系数和可用“赋值法”，二项式系数最大的项在中间 一项或中间两项取得. （3）求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 30 ［对点训练］ 1.（2024·沈阳质量监测）已知的展开式中 的 系数是280，则实数 ( ) C A.1 B.2 C. D. 解析：选 展开式的通项为 ，令 ,解得，所以，解得 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 31 2.已知 ，则( ) D A. B. C. D. 解析：选D.由于 的展开式中各项系数恰好为相应二项式系数， 因此,,,, ，所 以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 32 3.（2024·德州二模）的展开式中 的系数为( ) C A. B. C.420 D.840 解析：选C.现有8个因式相乘，从每个因式 中的 三项1，,各取一项相乘时，若结果中含有 ，则所取的8项中有4 个1，2个，2个.所以总的选取方法种数为 . 每个这样选取后相乘的结果都是，所以 的系数 就是420. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 33 数学美 数字幻方 ［问题背景］ 幻方（反幻方）将数字 填 入 的正方形格子中.若每行、每列与对角线上的和都相等（或都不相 等），称之为数字幻方（或数字反幻方）.例如，如图就是著名的九宫格幻 方. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 二 轮 专 题 复 习 返回目录 34 ［真题展示］ （2024·新课标Ⅱ卷）在如图的 的方格表中选4个方 格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有____种选法.在所有符 合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是_____． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 24 112 二 轮 专 题 复 习 返回目录 解析：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从 第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从 第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四 步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法. 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为 . 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1， 2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1， 3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15， 此时个位上的数字之和最大．故选中方格中的4个数之和的最大值为 ． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 36 ［跟踪训练］ 九宫格是我国古代《洛书》记载的数学问题.已知递增等差 数列的前9项和,将 填入九宫格幻方中 （如图）,则___.当,,取自不同的列与行时， 的最小值为 ____. 26 23 7 80 二 轮 专 题 复 习 返回目录 37 解析：设已填入部分项的九宫格如图所示. 26 23 因为 , 故, ， ，则， ， 则， ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 38 所以 . 易得，.由此可知数列是, 的等差数列.由于 ，所以，所以 ， 显然当时， 取得最小值，其最小值为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 ［试题演变］ 将自然数填入如图所示的 方格表中，且每行、 每列与对角线上的数字和都为，则____.若,,, 取自不同的行与列， 则 最大值为____. 14 4 12 8 13 16 34 54 二 轮 专 题 复 习 返回目录 40 解析： ,易推出表格如图1所示. 15在第一行第二列，16在第四行第四列, 因此可取，.因此在如图2的 正方形网格的不同行与列中 选取, ， 可取， . 此时 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 41 $