第19讲 角的和差、余角和补角（知识清单+易错+6必考题型+好题必刷）讲义-2025-2026学年浙教版七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

本讲义聚焦角的和差、余角与补角核心知识点，系统梳理角的计算（度分秒运算）、角平分线、对顶角邻补角、方位角及七巧板等内容，构建从概念定义到性质应用再到实际操作的递进式学习支架。 资料设计突出易错分析与分层题型训练，如针对未给图形角位置考虑不全的易错点设置多题变式，通过三角板摆放问题培养推理意识和几何直观，七巧板制作提升空间观念。课中辅助教师突破教学难点，课后学生可借助好题必刷分层练习查漏补缺，强化知识应用能力。

第19讲 角的和差、余角和补角 题型梳理 易错分析 易错点一 对未给出图形的角的位置情况考虑不全致错 题型方法 题型一 角的和差 题型二 角的平分线 题型三 互为余角 题型四 互为补角 题型五 余角、补角的性质 题型六 方位角 知识清单 知识点01角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点02余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 知识点03七巧板 （1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形． （2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号． （3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了． 知识点04角的大小比较 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB＝∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′． 知识点05对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 易错分析 【易错点一】对未给出图形的角的位置情况考虑不全致错 【例1】（2023七年级上·浙江·专题练习）已知，以O为端点作射线，使，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查角的计算，分两种情况，当射线在外部或内部，分别求出． 【详解】解：当射线在外部， ； 当射线在内部， ， 所以的度数是或． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，在同一平面内，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算，利用分类讨论思想是解题的关键．根据题意，分两种情况画出图形，由角的和差计算即可得出答案． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示， ∵，， ∴， ∴； ②如图所示， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【变式3】（20-21七年级上·浙江杭州·周测）已知，自顶点O引射线，若，求的度数． 【答案】90°或10° 【分析】求出∠AOC的度数，分为两种情况：①OC和OB在OA的两侧时，②OC和OB在OA的同侧时，求解即可． 【详解】解：∵∠AOB=40°，∠AOC：∠AOB=5：4， ∴∠AOC=50°， 分为两种情况： ①如图1， ∠BOC=∠AOB+∠AOC=40°+50°=90°； ②如图2， ∠BOC=∠AOC-∠AOB=50°-40°=10°． 故∠BOC为90°或10°． 【点睛】此题主要考查了角的计算，关键是注意此题分两种情况． 题型方法 【题型一】角的和差 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角板的实际应用， 根据题意可知，再结合求出答案即可． 【详解】解：根据题意，得， 因为， 所以． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）一副三角板如图所示摆放，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板中角的计算，几何图形中角的计算，根据，，，求出，再求出结果即可． 【详解】解：根据图可知：，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）把一副三角板如图所示放置，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度和差计算问题，正确计算是解题的关键． 根据，然后进行作差即可求解． 【详解】解：由三角板可得，， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点，重合．为探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得，于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：． (1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数．请写出求解过程； (2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________； ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)，过程见解析 (2)①甲，乙；②丙同学的猜想正确，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握三角板的相关度数是解题的关键． （1）先根据求得，然后根据求得； （2）①由（1）可知，甲，乙错误；②先求得，再利用得到，从而知道，从而得证． 【详解】（1）解：，              （2）解：①甲，乙，理由如下 由（1）可知， ， 故甲，乙的猜想错误； ②正确，理由如下： ∴丙同学的猜想正确． 【题型二】角的平分线 【例2】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知射线在的内部，下列4个表述不能表示射线是的平分线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：A、，能表示射线是的平分线，本选项不符合题意； B、，能表示射线是的平分线，本选项不符合题意； C、，能表示射线是的平分线，本选项不符合题意； D、，不能表示射线是的平分线，本选项符合题意； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，点A，B，C在同一条直线上，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平角，角平分线的定义，理解角平分线和邻补角的概念是解题关键． 先根据平角的概念求得的度数，然后根据角平分线的定义分析求解． 【详解】解：∵点A，B，C在同一条直线上，， ∴， ∵平分， ∴ 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分，若内部存在一条射线，满足，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算；分两种情况画图，当在的右边时，当在的左边时，再进一步结合角平分线与角的和差运算可得答案． 【详解】解：如图，当在的右边时， ∵，平分， ∴， ∴， 如图，当在的左边时， ∴， 综上：为或； 故答案为：或 【变式3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，长方形纸片中，为边上一点，为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部）， 记，，． (1)直接写出，时，______；，时，______； (2)求时，的值； (3)当平分时，若，则______．（直接写出结果） 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的定义，解题的关键是分情况讨论． （1）由折叠可得：，，则，，当，时，根据，即可求解；，时，根据，即可求解； （2）分两种情况：当点在的左侧时，当点在的右侧时，根据折叠的性质和角的和差求解即可； （3）由平分，可得，分两种情况：当点在的左侧时，当点在的右侧时，根据折叠的性质和角的和差列方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得：，， ，， 当，时， ， 即； 当，时， ， 即； 故答案为：；； （2）当点在的左侧时， ， ∵，， ， ， ； 当点在的右侧时， ， ∵，， ， ， ， 或； （3）∵平分， ， 由（2）知，当点在的左侧时，， ， ， ∵， ， 解得：； 由（2）知，当点在的右侧时，， ， ， 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 【题型三】互为余角 【例3】（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图，已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，解题的关键是熟练掌握余角的定义，先根据，求出的度数，然后再求出的余角即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角的度数为： ， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知，那么它的余角是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 根据余角的定义可知：的余角，据此计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的余角， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级上·浙江金华·期末）已知与互余，，则 ． 【答案】 【分析】根据与互余，可得，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了互余，角的加减运算，掌握互余的含义，角的四则运算的运算法则是解题关键． 【变式3】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，直线相交于O，，平分 (1)请直接写出图中所有与互余的角； (2)若，求与的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题考查了余角的概念，角度的和差计算，根据图示确定各角之间的和差倍分关系是解题关键． （1）根据、可得；再结合、即可求解； （2）设，则，,根据即可列方程求解； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴与互余的角有：、、 （2）解：设， 则， ∴， 解得： ∴， 【题型四】互为补角 【例4】（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，则它的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查补角及角度的运算，熟练掌握补角的意义及角度的运算是解题的关键；根据补角及角度的运算可进行求解 【详解】解：由题意得：； 故选：A． 【举一反三】【变式1】（22-23七年级上·浙江台州·期末）若一个角为，则其补角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补角定义直接计算即可得到答案； 【详解】解：∵一个角为， ∴其补角的度数为：， 故选D． 【点睛】本题考查补角的定义：如果两个角的和为，那么这两个角互为补角． 【变式2】（20-21七年级上·浙江湖州·期末）的补角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补角的概念：“如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫另一个角的补角”进行计算即可得． 【详解】解：的补角是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了补角，解题的关键是掌握补角的定义，准确计算． 【变式3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知与互补，且，则 ． 【答案】/112度 【分析】本题考查了求一个角的补角，熟练掌握补角定义是解题的关键； 根据在同一平面内的两个角相加的和等于，这两个角互补进行求解即可． 【详解】解：∵与互补，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型五】余角、补角的性质 【例5】（24-25七年级上·浙江温州·期末）将一副三角板按如图所示摆放，已知的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角，利用同角的余角相等，即可解答，熟知同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意可得， ， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，点在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有（    ）． A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 【答案】B 【分析】本题考查同角的余角相等，根据同角的余角相等，找到相等的角，即可． 【详解】解：由图可知：， ∴； 故选B． 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题实际是考查了余角和补角的性质：等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相等．根据直角三角板可得图①，根据直角三角板可得图②，进而可得；根据余角和补角的性质可得图③、图④中，图⑤和互补． 【详解】解：根据直角三角板每个角的度数，可以判断出图①中 根据直角三角板每个角的度数，可以判断出图②中 ， 由同角的余角相等可得图③中， 由等角的补角相等可得图④中， 在图⑤中，不相等， 因此的图形是②③④． 故答案为：②③④． 【变式3】（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线． (1)请用一个直角三角尺作出的平分线； (2)在（1）作图的基础上，说明平分的理由． 理由：因为是的平分线， 所以． 因为_________， 所以________， _______°． 因为， 所以____________（理由：__________）． 所以是的平分线． 【答案】(1)见详解 (2)；；90；；；等角的余角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键． （1）利用三角尺作，即可； （2）先推出，，然后根据等角的余角相等逐步推理证明，即可求证是的平分线． 【详解】（1）解：作，如图： （2）解：因为是的平分线， 所以． 因为， 所以，． 因为， 所以（理由：等角的余角相等）． 所以是的平分线． 【题型六】方位角 【例6】（24-25七年级上·浙江金华·期末）下面图形中，射线是表示北偏东方向的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了方位角，熟练掌握方位角的意义是解题的关键．根据方位角的定义进行解答即可． 【详解】解：射线是表示北偏东方向的是： 故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在灯塔处测得轮船位于北偏西的方向上，轮船位于南偏东的方向上，轮船在的平分线上，则在灯塔处观测轮船的方向为（   ） A．南偏东 B．南偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】本题考查方向角，角平分线，理解方向角以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据角的和差关系得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据角的和差关系以及方向角的定义求解即可． 【详解】解：如图，由方向角的定义可知，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即点A在点O的北偏东， 故选:C 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，射线表示方向是 ． 【答案】东北方向或北偏东 【详解】解：射线所指方向为东北方向或北偏东． 故答案为：东北方向或北偏东． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的角平分线．是的反向延长线．求： (1)射线的方向． (2)的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) 【分析】本题考查了方向角、角的和差关系及平角等知识 （1）先求的度数，再求得结论； （2）利用平角和角的和差关系，计算得结论． 【详解】（1）解：由图知：， ∵是的角平分线， ∴， ∴ ， ∴射线在北偏东方向上． （2）∵ ， ∴ ． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个角的余角，根据两角的度数和为，两角互余，列出算式计算即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为：． 故选：D． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，点O在直线上，，若，平分．则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出和，再结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查基础几何图形中角度的计算以及角平分线的定义，准确表示出角之间的关系，理解角平分线的定义是解题关键． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块三角板的直角与的顶点重合在一起，绕点转动三角板，使两块三角板仍有部分重叠，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差．根据题意可得，，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：B 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）将一副三角尺按不同方式摆放，下列摆放方式中与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角的大小的比较、余角和补角的定义，熟练掌握角的大小比较及余角和补角的定义并灵活运用是解决本题的关键． 【详解】解：A.，不符合题意； B. ，不符合题意； C.，符合题意； D.，不符合题意； 故选C． 二、填空题 5．（21-22七年级上·浙江·期末）已知和互余，和也互余，那么，理由是 ． 【答案】同角的余角相等 【分析】根据同角的余角相等即可求解． 【详解】解：已知∠α和∠β互余，∠α和∠γ也互余，那么∠β=∠γ， 理由是：同角的余角相等． 故答案为：同角的余角相等． 【点睛】本题是一个基本的题目，考查了互余的定义，以及同角的余角相等这一性质． 6．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将直角三角尺的直角顶点在直线l上．若，度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平角的定义，角和差的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： ，， ； 故答案为： 7．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，小聪将一副七巧板拼成了一个滑雪者的图案，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了七巧板，解题的关键是运用平角和等腰直角三角形的内角度数来解答． 根据左图得到，平行四边形较小的角加等腰直角三角形的度角等于度，则求出平行四边形较小角的度数；再根据右图中，与所求的角组成平角，即可求出结果． 【详解】解：结合两个图象可得为平行四边形中的钝角， ∵， 根据第一个图可得， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线上的点处，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角与补角，角度的计算，先根据余角的定义得出，再根据补角的定义即可求出． 【详解】解：如下图∶ ∵，， ∴， ∴ 故答案为∶ 三、解答题 9．（24-25七年级上·浙江·期末）（1）已知，，求，的值． （2）如果的补角是的余角的3倍，求的度数． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用补角和余角的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ． （2）由题意得， ∴， ， ． 10．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，射线在的内部，，． (1)求的度数． (2)若另一条射线也在的内部且满足，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算，掌握角的和差关系是解题的关键． （1）根据计算得出结论； （2）分两种情况：当在内部时或当在内部时，分别根据角的和差计算即可； 【详解】（1）解：，， ． （2）解：， 当在内部时， ． 当在内部时， ． 综上所述，的度数为或． 11．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，O是直线上一点，在的内部，是的平分线 (1)若，求的度数． (2)若与互余，请说明是的平分线 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）由题意得到的度数，结合角平分线定义，得到结果； （2）由已知条件，得到，利用等角的余角相等，得到，即可证得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的平分线， （2）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①20秒或200秒，② 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）由，结合，从而可得答案． （2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ， ， ， ， 平分． （2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时， ， ， 若，则， ， ， ∵每秒旋转， ∴秒时； 当、在直线的两侧时，如图， ， 若， 则， ， 旋转角， ∵每秒旋转， ∴秒时， 综上，20秒或200秒时． ②， ， 即， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 角的和差、余角和补角 题型梳理 易错分析 易错点一 对未给出图形的角的位置情况考虑不全致错 题型方法 题型一 角的和差 题型二 角的平分线 题型三 互为余角 题型四 互为补角 题型五 余角、补角的性质 题型六 方位角 知识清单 知识点01角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点02余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 知识点03七巧板 （1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形． （2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号． （3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了． 知识点04角的大小比较 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB＝∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′． 知识点05对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 易错分析 【易错点一】对未给出图形的角的位置情况考虑不全致错 【例1】（2023七年级上·浙江·专题练习）已知，以O为端点作射线，使，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，在同一平面内，，则的度数为 ． 【变式3】（20-21七年级上·浙江杭州·周测）已知，自顶点O引射线，若，求的度数． 题型方法 【题型一】角的和差 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）一副三角板如图所示摆放，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）把一副三角板如图所示放置，则的度数为 度． 【变式3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点，重合．为探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得，于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：． (1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数．请写出求解过程； (2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________； ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由． 【题型二】角的平分线 【例2】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知射线在的内部，下列4个表述不能表示射线是的平分线的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，点A，B，C在同一条直线上，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分，若内部存在一条射线，满足，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，长方形纸片中，为边上一点，为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部）， 记，，． (1)直接写出，时，______；，时，______； (2)求时，的值； (3)当平分时，若，则______．（直接写出结果） 【题型三】互为余角 【例3】（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图，已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知，那么它的余角是（） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·浙江金华·期末）已知与互余，，则 ． 【变式3】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，直线相交于O，，平分 (1)请直接写出图中所有与互余的角； (2)若，求与的度数． 【题型四】互为补角 【例4】（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，则它的补角为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23七年级上·浙江台州·期末）若一个角为，则其补角的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（20-21七年级上·浙江湖州·期末）的补角是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知与互补，且，则 ． 【题型五】余角、补角的性质 【例5】（24-25七年级上·浙江温州·期末）将一副三角板按如图所示摆放，已知的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，点在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有（    ）． A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形有 ．（填序号） 【变式3】（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线． (1)请用一个直角三角尺作出的平分线； (2)在（1）作图的基础上，说明平分的理由． 理由：因为是的平分线， 所以． 因为_________， 所以________， _______°． 因为， 所以____________（理由：__________）． 所以是的平分线． 【题型六】方位角 【例6】（24-25七年级上·浙江金华·期末）下面图形中，射线是表示北偏东方向的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在灯塔处测得轮船位于北偏西的方向上，轮船位于南偏东的方向上，轮船在的平分线上，则在灯塔处观测轮船的方向为（   ） A．南偏东 B．南偏东 C．北偏东 D．北偏东 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，射线表示方向是 ． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的角平分线．是的反向延长线．求： (1)射线的方向． (2)的度数． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）的余角为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，点O在直线上，，若，平分．则（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块三角板的直角与的顶点重合在一起，绕点转动三角板，使两块三角板仍有部分重叠，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）将一副三角尺按不同方式摆放，下列摆放方式中与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（21-22七年级上·浙江·期末）已知和互余，和也互余，那么，理由是 ． 6．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将直角三角尺的直角顶点在直线l上．若，度数是 ． 7．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，小聪将一副七巧板拼成了一个滑雪者的图案，则的度数为 度． 8．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线上的点处，若，则的度数为 ． 三、解答题 9．（24-25七年级上·浙江·期末）（1）已知，，求，的值． （2）如果的补角是的余角的3倍，求的度数． 10．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，射线在的内部，，． (1)求的度数． (2)若另一条射线也在的内部且满足，求的度数． 11．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，O是直线上一点，在的内部，是的平分线 (1)若，求的度数． (2)若与互余，请说明是的平分线 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $