第15讲 几何图形讲义（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年浙教版七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

本初中数学讲义聚焦几何图形核心知识点，系统梳理立体与平面图形的区分、点线面体的静态构成与动态生成关系，通过知识清单搭建概念框架，结合易错分析突破面动成体等难点，形成从基础认知到应用的学习支架。 资料以动态视角培养空间观念与几何直观，如“面动成体”例题与变式发展数学眼光，结合汽车雨刷、足球欧拉公式等实例渗透模型意识与应用意识。分层题型设计兼顾课中教学与课后巩固，助力学生提升运算能力与推理思维。

第15讲 几何图形 题型梳理 易错分析 易错点一 面动成体时，考虑不全面致错 题型方法 题型一 立体图形 题型二 平面图形 题型三 点、线、面、体的关系 题型四 七巧板拼图 知识清单 知识点1．认识立体图形 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内． 知识点2．点、线、面、体 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成． 知识点3．认识平面图形 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 易错分析 【易错点一】面动成体时，考虑不全面致错 【例1】小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为6cm、8cm和10cm的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体．请计算出几何体的体积．（锥体体积＝底面积×高） 【答案】几何体的体积为：96πcm3或128πcm3或76.8πcm3． 【分析】根据三角形旋转是圆锥，可得几何体；根据圆锥的体积公式，分类讨论可得答案． 【详解】解：以8cm为轴，得： 以8cm为轴体积为×π×62×8＝96π（cm3）； 以6cm为轴，得： 以6cm为轴的体积为×π×82×6＝128π（cm3）； 以10cm为轴，得 以10cm为轴的体积为×π（）2×10＝76.8π（cm3）． 故几何体的体积为：96πcm3或128πcm3或76.8πcm3． 【点睛】本题考查了点线面体，利用三角形旋转是圆锥是解题关键． 【举一反三】【变式1】小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为3cm、4cm和5cm的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体． (1)请画出可能得到的几何体简图． (2)分别计算出这些几何体的体积．（锥体体积=底面积×高） 【答案】（1）画图见解析；（2）12πcm2，16πcm2，9.6πcm2 【分析】（1）根据三角形旋转是圆锥，可得几何体； （2）根据圆锥的体积公式，可得答案． 【详解】（1）以4cm为轴，得 ； 以3cm为轴，得 ； 以5cm为轴，得 ； （2）以4cm为轴体积为×π×32×4=12π， 以3cm为轴的体积为×π×42×3=16π， 以5cm为轴的体积为×π（）2×5=9.6π． 【点睛】本题考查了圆锥的体积公式的计算应用，抓住圆锥的展开图的特点，得出直角三角形绕直角边旋转一周得出的是圆锥体是解决本题是关键. 题型方法 【题型一】立体图形 【例1】（2024七年级上·浙江·专题练习）在下面这些图形中，表示立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形，属于基础题，注意对这一概念的熟练掌握及运用． 【详解】解：根据立体图形的概念可知：只有A是立体图形． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆柱体的识别，根据常见几何体的特征逐项判断即可． 【详解】解：A，抽象出来是六棱柱，不合题意； B，抽象出来是球，不合题意； C，抽象出来是圆柱，符合题意； D，抽象出来是圆锥，不合题意； 故选：C． 【变式2】（2023七年级上·浙江·专题练习）如图所示几何体中，棱柱是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的识别，根据棱柱的特点，即可求解． 【详解】解：选项A中几何体是圆柱，选项B中几何体是圆锥，选项C中几何体是三棱柱，选项D中几何体是球体． 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050年），是宁夏现存古塔中最高的一座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一共有 角 条棱， 有 面， 有 个顶点． 【答案】 【分析】本题考查立体几何的知识，解题的关键是掌握八棱柱的立体图形，根据图形，进行解答，即可． 【详解】解：八棱柱，上下两面各有8个角，侧面有8个矩形，每个矩形4个角，一共是个角；八棱柱是一个有个侧面的棱柱，每个侧面都是矩形，有两个底面，每个底面都是都是一个八边形，每个底面有个顶点；每个底面有条棱，每个底面的顶点都于另一个底面对应的顶点相连； ∴八棱柱有个角；有条棱；有个面；有个顶点； 故答案为：；；；． 【题型二】平面图形 【例2】（2022七年级上·浙江·专题练习）下列选项中的物体属性，不属于几何研究特性的是（　　） A．位置关系 B．大小 C．形状 D．颜色 【答案】D 【分析】位置关系，大小，形状属于几何研究特性． 【详解】解：颜色不属于几何研究特性，位置关系，大小，形状属于几何研究特性． 故选D． 【点睛】本题考查认识平面图形，几何研究特性研究的是位置关系，大小，形状． 【举一反三】【变式1】（2022七年级上·浙江·专题练习）下列图形是正方形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角，即可得出结果． 【详解】解：A．正方形； B．菱形； C．平行四边形； D．矩形； 故选：A． 【点睛】本题考查了认识平面图形，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键． 【变式2】（2022七年级上·浙江·专题练习）下面的图形中，是平面图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面图形：一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． 【详解】解：A为圆柱，不符合题意； B为圆锥，不符合题意； C为球，不符合题意； D为圆，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了平面图形和立体图形，解题关键在于熟练掌握该部分的相关知识． 【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列图形中，属于平面图形的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了认识平面图形和立体图形，熟练掌握平面图形和立体图形的特征进行求解是解决本题的关键． 应用平面图形和立体图形的特征进行判定即可得出答案． 【详解】解：①角是平面图形，②圆是平面图形，③圆锥是立体图形，④三角形是平面图形． 所有属于平面图形的是①②④． 故答案为：①②④． 【题型三】点、线、面、体的关系 【例3】（23-24七年级上·浙江台州·期末）汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，灵活运用点、线、面、体知识点进行解题是本题的重点．可将汽车的雨刷看成一条线，雨刷在刷玻璃上的雨水时形成了面，所以属于线动成面的实际应用． 【详解】解：汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明线动成面， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形沿直线旋转一周形成的几何体是（   ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 【答案】B 【分析】本题考查平面图形旋转形成的立体图形，解题的关键是理解旋转的特征以及常见立体图形的形成方式． 根据长方形绕一边所在直线旋转一周的特点，判断形成的几何体形状． 【详解】解：将一个长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几何体是圆柱． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列各平面图形绕虚线旋转一周，能得到球的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．根据每一个几何体的特征，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故不符合题意； B、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故符合题意； C、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是梭形，故不符合题意； D、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故不符合题意； 故选：B． 【变式3】用数学原理分析下列生活实例： （1）钢笔写字 ； （2）自行车的辐条运动形成几何图形 ； （3）直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥体 ． 【答案】 点动成线 圆形 面动成体 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体进行判断即可． 【详解】解：（1）钢笔的笔尖可以近似看作是一个点，写字的笔画可以看作线， 因此钢笔写字可以解释为：点动成线， 故答案为：点动成线； （2）行车的辐条看成线段，线动成面，可得辐条运动形成几何图形是圆形， 故答案为：圆形； （3）直角三角形看成面，根据面动成体，可得转动一周所得到的几何体为圆锥， 故答案为：面动成体． 【点睛】本题考查点、线、面、体，理解点动成线，线动成面，面动成体是正确判断的前提． 【题型四】七巧板拼图 【例4】（20-21七年级下·浙江湖州·期末）若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，则图②中阴影部分的面积是空白部分面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】图②中阴影部分的面积是三个等腰直角三角形面积的和，设图①中拼成的大正方形的边长为1，分别求出三个等腰直角三角形的面积，再相加，然后求出空白部分的面积，最后相除即可求出答案． 【详解】解：如图： 设图①中拼成的大正方形的边长为1，则整个图案的面积是12＝1． ∵S1＝， S2＝×（×）＝， S3＝×（×）×（×）＝， ∴阴影部分的面积＝S1＋S2＋S3＝＋＋＝， ∴空白部分的面积是1−＝， ∴图②中阴影部分的面积是空白部分面积的． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了七巧板问题．解题的关键是熟练掌握正方形、三角形的面积的求法． 【举一反三】【变式1】（21-22七年级上·浙江丽水·期末）2016年第七届世界历史文化名城博览会在南京举办．以“多元，开放，创造”为定位，其会徽是运用“七巧板”(如图1)元素组合成的“一件云锦嫁衣”图案．如图2，若七巧板的总面积为2S，则这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“七巧板”的分割方法，得出各个部分各占正方形面积的几分之几即可． 【详解】解：根据“七巧板”的分割方法可知， ，， ∴这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和是， 故选：B 【点睛】本题考查了七巧板，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题 【变式2】（2022七年级上·浙江·专题练习）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为 （取1.4）． 【答案】 【分析】先依次将原七巧板里面的各个图形的边长求出来，然后根据构成“衣服型”图形的每个图形的边长计算其周长即可． 【详解】解：如图： ∵七巧板里面的各个三角形均为等腰直角三角形， ∴所有锐角都等于45°， ∵方格图中的小正方形边长为1， ∴， ∴， ； 如图，当七巧板拼成“衣服型”时， 则“衣服型”的周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面图形，求出七巧板里面各个图形的边长是解题关键． 【变式3】（21-22七年级上·江苏盐城·月考）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”． (1)请你用3块板拼一个三角形． (2)请你用4块板拼一个三角形． (3)请你任意拼出图形，并配上恰当的解说词．（请在图中标注使用板块的序号） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形与正方形的画法，熟悉七巧板的结构是解题关键． 解此题要熟悉七巧板的结构：五个等腰直角三角形，其中两个全等较大的，一个中等的，两个全等较小的；一个正方形；一个平行四边形． （1）用其中三块板拼成一个三角形，需使用一个小正方形与两个较小的等腰直角三角形； （2）用其中的四块板拼成一个三角形，需有一个正方形，一个较大的等腰直角三角形和两个较小的等腰直角三角形； （3）用全部七块板拼成一个英文字母“E”． 【详解】（1）3块板拼成一个三角形如图所示： （2）4块板拼成一个三角形如图所示： （3）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，由七块板组成，可以拼出许多有趣的图案，如动物、人物、建筑、交通、字母、数字等．以下示例的是用全部七块板拼成一个字母“E”． 好题必刷 一、单选题 1．下面几种图形中，平面图形的个数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了生活中的几何图形，解题的关键是熟练掌握立体图形和平面图形的定义． 【详解】解：三角形、正方形是平面图形，正方体和球是立体图形，因此平面图形有2个，故B正确． 故选：B． 2．下面四个立体图形中，和其他三个立体图形不同类型的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形．根据棱锥，棱柱的特征，逐项判断，即可求解． 【详解】解：B是棱锥，A，C，D是棱柱． 所以和其他三个立体图形不同类型的是B． 故选：B 3．用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形对角线的性质及用七巧板拼图，解题的关键是得出阴影部分与整体的位置关系．读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半， 则阴影部分的面积为． 故选：C． 4．（24-25七年级上·浙江·期末）将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了点线面体，关键是掌握面动成体．点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体，分别判断各选项是否可得到图中所示的立体图形． 【详解】解： 绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，故选：A． 5．（23-24七年级上·浙江绍兴）下列每组中左边图形绕轴旋转一周后一定能形成右边立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，运用空间想象能力以及结合选项的图形进行分析，即可作答． 【详解】 解：观察四个选项，满足左边图形绕轴旋转一周后一定能形成右边立体图形， 故选：D． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一个正方体的棱长扩大2倍，则其表面积扩大（   ）倍 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，以及有理数的运算，关键是熟记公式． 假设原正方体的棱长为1，扩大到原来的2倍则棱长为2，根据正方体的表面积=棱长×棱长，求出扩大前后正方体的表面积，进而求出它们之间的关系． 【详解】解：假设原正方体的棱长为1，表面积为， 则扩大2倍后的棱长为2，表面积为， 因为， 所以它的表面积扩大4倍． 故选：B． 二、填空题 7．国扇文化有深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 ．    【答案】线动成面 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：根据题意，这种现象可以用数学原理解释为：线动成面． 故答案为：线动成面． 8．下列几何体中，棱柱有 个．    【答案】 【分析】本题考查的是棱柱的概念与识图，棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，根据特征逐一分析四个选项从而可得答案． 【详解】解：棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形， 根据特征可得第4、5个图形为棱柱，共2个， 故答案为：． 9．将下图的立体图形分类，柱体有 ，锥体有 ，球有 ．（填序号） 【答案】 ①②③ ⑤⑥/⑥⑤ ④ 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键． 根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】解：根据图形可知 柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有①②③；锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有球属于单独的一类，球有④． 故答案为：①②③；①②③；④． 10．（2024七年级上·浙江·专题练习）一个棱柱有16个顶点，则这个棱柱是 棱柱． 【答案】八 【分析】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的形体特征是正确判断的前提． 根据顶点个数可知该棱柱的名称． 【详解】解：一个棱柱有16个顶点，则这个棱柱是八棱柱． 故答案为：八． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）如果一个棱柱有条棱，那么这个棱柱的面数为 个． 【答案】/ 【分析】本题考查了棱柱的结构特征，正确记忆棱柱由上下两个底面及侧面组成是解题的关键． 根据棱柱的概念和定义，可知有条棱的棱柱是棱柱，据此解答即可． 【详解】解：如果一个棱柱有条棱，那么这是一个棱柱，它有个面， 故答案为：． 12．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，有一个体积为的魔方，则魔方的表面积为 . 【答案】96 【分析】根据题意先求出棱长，然后由表面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵体积为的魔方， ∴棱长为， ∴表面积为：， 故答案为：96． 【点睛】题目主要考查正方体的体积及表面积的计算方法，熟练掌握基础知识点是解题关键． 13．二七区是国家唯一因纪念重大革命历史事件而命名的城区，也是著名的红色教育基地．小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图①的七巧板，设计拼成图②的“奔跑者”形象来激励自己．已知图①正方形纸片的边长为4，则“奔跑者”在奔跑方向的手和足（图②中阴影部分）的面积之和为 ． 【答案】3 【分析】根据七巧板的特点进行求解即可． 【详解】解：根据七巧板的特点可知图②中阴影部分为四边形的部分的面积占图①中大正方形面积，图②中阴影部分为三角形的部分的面积占图①中大正方形面积， ∴图②中阴影部分的面积为， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了七巧板的特点，熟知七巧板中各图形面积与大正方形面积之间的关系是解题的关键． 三、解答题 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)将图中的几何体分类，并说明理由； (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点．（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体，理由见解析 (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）；不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 15．（24-25七年级上·浙江）如图所示，将下面组合图形分别绕轴L、轴P旋转一周形成两个不同的立体图．请问这两个立体图形体积的比是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查立体图形的体积，熟练掌握体积计算公式是解题的关键．分别求出两个图形形成的立体图形的体积即可得到答案． 【详解】解：第一个图形形成的立体图形的体积： ； 第二个图形形成的立体图形的体积： ． 两个立体图形体积的比是． 16．（24-25七年级上·浙江绍兴）小亮要用一个底面是边长7厘米的正方形，高为15厘米的长方体容器，容器中装的水距杯口还有1厘米．现在要测量一个球形铁块的体积，当铁块放入容器中，就有部分水溢出，而当把铁块取出后，则水面下降4厘米，求铁球的体积． 【答案】铁块的体积是立方厘米 【分析】本题主要考查了图形的认识，长方体体积的灵活计算等知识点，由题意可知，把铁块取出后，容器中下降的水的体积等于这个铁块的体积，据此解答，熟练掌握其概念并能正确分析出容器中下降的水的体积等于这个铁块的体积是解决此题的关键． 【详解】解： （立方厘米） 答：铁块的体积是立方厘米． 17．如图，将平面图形甲、乙分别绕轴旋转一周，可以得到立体图形，图形甲是直角边分别为的直角三角形，图形乙是长为、宽为的长方形． (1)立体图形的名称是______；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请问立体图形比立体图形的体积大多少？（用含和的式子表示，，） 【答案】(1)圆柱； (2)． 【分析】本题考查了面动成体，圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握知识点的应用解题的关键． （）根据面动成体即可解答； （）设图形的体积分别为、，然后分别求得图形的体积，然后作差即可解答． 【详解】（1）解：以长方形的边所在直线为旋转轴得到的立体图形为圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：设图形的体积分别为、， 则， ， ∴， 即立体图形比立体图形的体积大． 18．（24-25七年级上·浙江台州·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着有趣的关系（称欧拉公式）．实际上，足球表面的顶点数（V）、皮块数（F）、棱数（E）也满足欧拉公式． (1)图1的正方体面数，顶点数_______，棱数_______； (2)图2的足球表面有60个顶点，每个顶点处分别有3条棱，2个六边形，1个五边形，小明用算式“”得到棱数为90，用算式“”得到六边形有20块，请用两种不同方法计算该足球表面的五边形块数； (3)图3的足球表面由正方形、六边形、八边形拼成，每个顶点处分别有3条棱，1个正方形，1个六边形，1个八边形．求该足球表面的八边形块数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查几何体的点、棱、面，有理数的四则运算，一元一次方程的应用等知识，理解多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系并灵活运用． （1）根据正方形的顶点数、面数和棱数直接求解即可； （2）法一：根据多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系求得足球的总块数，进而可求解； 法二：根据一个顶点处有1个五边形求解即可； （3）设该足球表面共有个顶点，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：图1的正方体面数，顶点数，棱数， 故答案为：8，12； （2）解：法1： ， 五边形块数六边形块数（块）； 法2：（块）； （3）解：设该足球表面共有个顶点． ， 解得， ∴八边形块数：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 几何图形 题型梳理 易错分析 易错点一 面动成体时，考虑不全面致错 题型方法 题型一 立体图形 题型二 平面图形 题型三 点、线、面、体的关系 题型四 七巧板拼图 知识清单 知识点1．认识立体图形 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内． 知识点2．点、线、面、体 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成． 知识点3．认识平面图形 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 易错分析 【易错点一】面动成体时，考虑不全面致错 【例1】小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为6cm、8cm和10cm的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体．请计算出几何体的体积．（锥体体积＝底面积×高） 【举一反三】【变式1】小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为3cm、4cm和5cm的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体． (1)请画出可能得到的几何体简图． (2)分别计算出这些几何体的体积．（锥体体积=底面积×高） 题型方法 【题型一】立体图形 【例1】（2024七年级上·浙江·专题练习）在下面这些图形中，表示立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023七年级上·浙江·专题练习）如图所示几何体中，棱柱是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050年），是宁夏现存古塔中最高的一座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一共有 角 条棱， 有 面， 有 个顶点． 【题型二】平面图形 【例2】（2022七年级上·浙江·专题练习）下列选项中的物体属性，不属于几何研究特性的是（　　） A．位置关系 B．大小 C．形状 D．颜色 【举一反三】【变式1】（2022七年级上·浙江·专题练习）下列图形是正方形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2022七年级上·浙江·专题练习）下面的图形中，是平面图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列图形中，属于平面图形的是 ．（填序号） 【题型三】点、线、面、体的关系 【例3】（23-24七年级上·浙江台州·期末）汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形沿直线旋转一周形成的几何体是（   ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列各平面图形绕虚线旋转一周，能得到球的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】用数学原理分析下列生活实例： （1）钢笔写字 ； （2）自行车的辐条运动形成几何图形 ； （3）直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥体 ． 【题型四】七巧板拼图 【例4】（20-21七年级下·浙江湖州·期末）若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，则图②中阴影部分的面积是空白部分面积的（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（21-22七年级上·浙江丽水·期末）2016年第七届世界历史文化名城博览会在南京举办．以“多元，开放，创造”为定位，其会徽是运用“七巧板”(如图1)元素组合成的“一件云锦嫁衣”图案．如图2，若七巧板的总面积为2S，则这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和是(　　) A． B． C． D． 【变式2】（2022七年级上·浙江·专题练习）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为 （取1.4）． 【变式3】（21-22七年级上·江苏盐城·月考）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”． (1)请你用3块板拼一个三角形． (2)请你用4块板拼一个三角形． (3)请你任意拼出图形，并配上恰当的解说词．（请在图中标注使用板块的序号） 好题必刷 一、单选题 1．下面几种图形中，平面图形的个数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下面四个立体图形中，和其他三个立体图形不同类型的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 4．（24-25七年级上·浙江·期末）将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·浙江绍兴）下列每组中左边图形绕轴旋转一周后一定能形成右边立体图形是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一个正方体的棱长扩大2倍，则其表面积扩大（   ）倍 A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 7．国扇文化有深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 ．    8．下列几何体中，棱柱有 个．    9．将下图的立体图形分类，柱体有 ，锥体有 ，球有 ．（填序号） 10．（2024七年级上·浙江·专题练习）一个棱柱有16个顶点，则这个棱柱是 棱柱． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）如果一个棱柱有条棱，那么这个棱柱的面数为 个． 12．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，有一个体积为的魔方，则魔方的表面积为 . 13．二七区是国家唯一因纪念重大革命历史事件而命名的城区，也是著名的红色教育基地．小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图①的七巧板，设计拼成图②的“奔跑者”形象来激励自己．已知图①正方形纸片的边长为4，则“奔跑者”在奔跑方向的手和足（图②中阴影部分）的面积之和为 ． 三、解答题 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)将图中的几何体分类，并说明理由； (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点．（各写一条即可） 15．（24-25七年级上·浙江）如图所示，将下面组合图形分别绕轴L、轴P旋转一周形成两个不同的立体图．请问这两个立体图形体积的比是多少？ 16．（24-25七年级上·浙江绍兴）小亮要用一个底面是边长7厘米的正方形，高为15厘米的长方体容器，容器中装的水距杯口还有1厘米．现在要测量一个球形铁块的体积，当铁块放入容器中，就有部分水溢出，而当把铁块取出后，则水面下降4厘米，求铁球的体积． 17．如图，将平面图形甲、乙分别绕轴旋转一周，可以得到立体图形，图形甲是直角边分别为的直角三角形，图形乙是长为、宽为的长方形． (1)立体图形的名称是______；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请问立体图形比立体图形的体积大多少？（用含和的式子表示，，） 18．（24-25七年级上·浙江台州·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着有趣的关系（称欧拉公式）．实际上，足球表面的顶点数（V）、皮块数（F）、棱数（E）也满足欧拉公式． (1)图1的正方体面数，顶点数_______，棱数_______； (2)图2的足球表面有60个顶点，每个顶点处分别有3条棱，2个六边形，1个五边形，小明用算式“”得到棱数为90，用算式“”得到六边形有20块，请用两种不同方法计算该足球表面的五边形块数； (3)图3的足球表面由正方形、六边形、八边形拼成，每个顶点处分别有3条棱，1个正方形，1个六边形，1个八边形．求该足球表面的八边形块数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $