第3讲 截一个几何体及从三个方向看物体的形状 同步讲义 2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学讲义以“丰富的图形世界”为单元主题，通过知识框架图系统梳理“截一个几何体”和“从三个方向看物体的形状”两大核心模块。用表格归纳正方体、圆柱等常见几何体的截面形状规律，结合图形示例呈现三视图画法步骤，清晰展现截面边数与几何体棱数关系、三视图与几何体结构的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，基础层设截面形状判断题（如“七棱柱截面不可能是十边形”），提升层有三视图还原几何体题（如“根据俯视图和左视图判断小立方体个数”），培养空间观念与几何直观。方法指导中“确定三视图行数、列数及小正方形个数”等技巧，帮助学生掌握规律，支持不同层次学生自主复习，也为教师实施精准教学提供有效资源。

丰富的图形世界 截一个几何体及从三个方向看物体的形状知识梳理 几种常见几何体的截面形状 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面. 截面形状 截正方体或长方体 截面可能是：锐角/等腰/等边三角形、正方形、长方形、平行四边形、菱形、梯形、最多可得六边形 截圆柱 截面可能是长方形、正方形、圆、椭圆 截圆锥 截面可能是等腰三角形，圆、椭圆 截n棱柱：截面最少为3边形，最多为n+2边形 截n棱锥：截面最少为3边形，最多为n+1边形 从三个方向看物体的形状 从三个方向观察物体 从不同方向观察同一物体时，通常可以看到不同的图形 一般我们从正面、左面、上面三个不同的方向观察物体 从三个方向看几何体 画出从三个方向看不同物体得到形状图的方法 小立方块 确定从三个方向看到的组合体的行数和列数 确定每行或每列中小正方形的个数 根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图 根据三个方向看到的形状图判断几何体的形状 根据三个方向看到的形状图判断几何体的形状 从左面观察，所得的形状图反映几何体的前后列数和每一列的上下层数 从上面观察，所得的形状图反映几何体的前后行数和每一行的左右列数 截面形状判断 用一个平面去截一个四棱锥，截面的边数最少是 ，最多是 用一个平面去截四棱柱，截面最多为 边形，用一个平面去截五棱柱，截面最多为 边形，用一个平面去截六棱柱，截面最多为 边形 七棱柱的截面不可能是 ( ) A.三角形 B.六边形 C.五边形 D.十边形 用一个平面去截几何体，截面是七边形，这个几何体可能是 ( ) A.三棱柱 B.五棱柱 C.四棱柱 D.球体 用一个平面去截下列几何体：①球体、②圆柱、③五棱柱、④正方体、⑤四棱锥、⑥圆锥，得到的截面形状可能是三角形的有 用一个平面去截几何体，如果截面的形状是圆，那么被截的几何体不可能是 ( ) A.四棱锥 B.球体 C.圆柱 D.圆锥 用一个平面去截下列几何体：正方体、圆柱、四棱锥、球体、五棱柱、圆锥，截面形状可能是三角形的有 个 用一个平面去截五棱柱，所得截面的边数最少是a条，最多是b条，下列选项中正确的是 ( ) A.a=3，b=5 B.a=2，b=6 C.a=4，b=5 D.a=3，b=7 截面的相关计算 1. 一个圆柱体，它的底面半径为5cm，高为4cm. 0. 求出该圆柱体的表面积和体积； 用一个平面去截该圆柱体，截得的长方形面积的最大值是多少? 如图，正方体截去一角后，剩下的部分面的个数和棱的条数分别为 ( ) A.6，15 B.7，15 C.7，14 D.6，14 如图，在棱长分别为4cm，6cm，8cm的长方体中截掉一个棱长为2cm的正方体，求剩余几何体的表面积. 我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形，如图，大正三棱柱的底面周长为15，截取一个底面周长为3的小正三棱柱. 0. 写出截面的形状 求出四边形BCDE的周长 如图所示的正方体被竖直截取了一部分，求被截取的那一部分的体积. 把正方体的8个角切去一个角后，余下的图形有 ( ) 条棱. A.13或14 B.12或13 C.12或15 D.12或13或14或15 图①是正方体木块，切去一块可能得到如图②、③、④、⑤的木块. 1 2 3 4 5 同学们都知道，图①的正方体有8个顶点，12条棱，6个面，请你将②、③、④、⑤中木块的顶点数(V)、棱数(E)、面数(F)填入下表： 图 顶点数(V) 棱数(E) 面数(F) 1 8 12 6 2 3 4 5 观察上表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的关系 画从三个方向看到的物体的形状图 1. 如图所示，有5个小立方体构成的立体图形，请分别画出从它的正面、左面、上面三个方向看所得到的平面图形. 桌上放着一个茶壶，4个人从各自的方向观察，请指出图中右边的四幅图，从左到右分别是由哪个人看到的 ( ) A.①③②④ B.④③①② C.①②③④ D.②④①③ 如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置上小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和俯视图. 由物体的不同方向看到的形状图确定小立方体的个数 1. 如图，由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体的个数可能是 ( ) A.5或7 B.5或6 C.4或5或6 D.5或6或7 如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形从三个不同方向看到的图形，这些小正方体的个数是 ( ) A.7 B.4 C.5 D.6 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰富的图形世界 截一个几何体及从三个方向看物体的形状知识梳理 几种常见几何体的截面形状 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面. 截面形状 截正方体或长方体 截面可能是：锐角/等腰/等边三角形、正方形、长方形、平行四边形、菱形、梯形、最多可得六边形 截圆柱 截面可能是长方形、正方形、圆、椭圆 截圆锥 截面可能是等腰三角形，圆、椭圆 截n棱柱：截面最少为3边形，最多为n+2边形 截n棱锥：截面最少为3边形，最多为n+1边形 从三个方向看物体的形状 从三个方向观察物体 从不同方向观察同一物体时，通常可以看到不同的图形 一般我们从正面、左面、上面三个不同的方向观察物体 从三个方向看几何体 画出从三个方向看不同物体得到形状图的方法 小立方块 确定从三个方向看到的组合体的行数和列数 确定每行或每列中小正方形的个数 根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图 根据三个方向看到的形状图判断几何体的形状 根据三个方向看到的形状图判断几何体的形状 从左面观察，所得的形状图反映几何体的前后列数和每一列的上下层数 从上面观察，所得的形状图反映几何体的前后行数和每一行的左右列数 截面形状判断 用一个平面去截一个四棱锥，截面的边数最少是 3 ，最多是 5 【答案】3；5 【解析】用一个平面去截一个n棱锥,截面最少为3边形,最多为n+1边形,由此判断即可 解：用一个平面去截一个四棱锥，截面最少为3边形，最多为5边形 因此截面的边数最少是3，最多是5 故答案为：3；5 用一个平面去截四棱柱，截面最多为 6 边形，用一个平面去截五棱柱，截面最多为 7 边形，用一个平面去截六棱柱，截面最多为 8 边形 【答案】6；7；8 【解析】用一个平面去截n棱柱，截面最少为3边形，最多为n+2边形，由此判断即可 解：用一个平面去截一个四棱柱，截面最少为3边形，最多为6边形； 用一个平面去截一个五棱柱，截面最少为3边形，最多为7边形； 用一个平面去截一个六棱柱，截面最少为3边形，最多为8边形； 故答案为：6；7；8 七棱柱的截面不可能是 (D) A.三角形 B.六边形 C.五边形 D.十边形 【答案】D 【解析】七棱柱有九个面,截面与其九个面相交最多得九边形,不可能是十边形或多于十边的截面 解：用平面去截七棱柱，得到的截面至少是三边形，最多为九边形，不可能是十边形. 故选：D 用一个平面去截几何体，截面是七边形，这个几何体可能是 (B) A.三棱柱 B.五棱柱 C.四棱柱 D.球体 【答案】B 【解析】三棱柱截面最多是五边形，四棱柱截面最多是六边形，五棱柱截面最多是七边形，球体截面不可能是多边形，由此判断即可 解：三棱柱截面最多是五边形，四棱柱截面最多是六边形，球体截面不可能是多边形，只有五棱柱截面是七边形 故选：B 用一个平面去截下列几何体：①球体、②圆柱、③五棱柱、④正方体、⑤四棱锥、⑥圆锥，得到的截面形状可能是三角形的有 ③④⑤⑥ 【答案】③④⑤⑥ 【解析】当截面的角度和方向不同时，圆柱体和球体的截面无论在什么方向截面都不可能是三角形. 解：①球体不能截出三角形，②圆柱不能截出三角形，③五棱柱能截出三角形； ④正方体能截出三角形；⑤四棱锥能截出三角形；⑥圆锥沿着母线可以截出三角形. 故答案为：③④⑤⑥ 用一个平面去截几何体，如果截面的形状是圆，那么被截的几何体不可能是 (A) A.四棱锥 B.球体 C.圆柱 D.圆锥 【答案】A 【解析】根据每一个几何体的截面形状判断即可. 解：用一个平面去截几何体，球体、圆柱、圆锥的截面形状可能是圆，四棱锥的截面只可能是多边形. 故选：A 用一个平面去截下列几何体：正方体、圆柱、四棱锥、球体、五棱柱、圆锥，截面形状可能是三角形的有 4 个 【答案】4 【解析】根据每一个几何体的截面形状判断即可. 解：用一个平面去截几何体，正方体、四棱锥、五棱柱、圆锥的截面形状可能是三角形， 圆柱和球体的截面不可能是三角形，因此截面形状可能是三角形的有4个. 故答案为：4 用一个平面去截五棱柱，所得截面的边数最少是a条，最多是b条，下列选项中正确的是 (D) A.a=3，b=5 B.a=2，b=6 C.a=4，b=5 D.a=3，b=7 【答案】D 【解析】用一个平面去截n棱柱，截面最少为3边形，最多为n+2边形，由此判断即可 解：用一个平面去截一个五棱柱，截面最少为3边形，最多为7边形； 因此a=3,b=7 故答案为：D 截面的相关计算 1. 一个圆柱体，它的底面半径为5cm，高为4cm. 0. 求出该圆柱体的表面积和体积； 用一个平面去截该圆柱体，截得的长方形面积的最大值是多少? 【解析】a) 表面积用圆柱上下底面积+侧面积计算，圆柱的体积用底面积×高计算即可； b) 当截得的面积最大时，长方形的长为底面直径，宽为4，可得面积最大值 解：a) 圆柱体的表面积为：π×5²×2+2π×5×4=50π+40π=90π(cm²) 圆柱体的体积为：π×5²×4=100π(cm³) b) 截得的长方形面积的最大值为：(5×2)×4=40(cm²) 如图，正方体截去一角后，剩下的部分面的个数和棱的条数分别为 (B) A.6，15 B.7，15 C.7，14 D.6，14 【答案】B 【解析】截去一个角后，面增加一个，棱增加3，由此判断即可 解：原来正方体的面数为6，截去一角后增加1变为7；原来正方体的棱数是12，增加3变为15 故选：B 如图，在棱长分别为4cm，6cm，8cm的长方体中截掉一个棱长为2cm的正方体，求剩余几何体的表面积. 【答案】208cm² 【解析】截去小正方体后，小正方体外露的三个面正好可以补上原正方体缺失部分，故表面积不变，根据长方体的表面积公式计算即可. 解：(4×6+4×8+6×8)×2=208(cm²) 答：剩余几何体的表面积为208(cm²) 我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形，如图，大正三棱柱的底面周长为15，截取一个底面周长为3的小正三棱柱. 0. 写出截面的形状 求出四边形BCDE的周长 【答案】 【解析】a) 依据大正三棱柱的底面周长为15，截取一个底面周长为3的小正三棱柱，即可得到截面的形状 b) 依据△ADE是周长为3的等边三角形，△ABC是周长为15的等边三角形，即可得到四边形BCDE的周长. 解：a) 由题意可得，截面的形状为长方形; b) ∵△ADE是周长为3的等边三角形，∴DE＝AD＝１， 又∵△ABC是周长为15的等边三角形，∴AB=AC=BC=15÷3=5 ∴DB=EC=5-1=4，∴四边形BCDE的周长为：1+4×2+5=14. 如图所示的正方体被竖直截取了一部分，求被截取的那一部分的体积. 【解析】根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，确定出底面积和高，然后求解即可。 解：如图所示： 根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱, 三棱柱的体积为：×1×2×5=5(cm³) 把正方体的8个角切去一个角后，余下的图形有 (D) 条棱. A.13或14 B.12或13 C.12或15 D.12或13或14或15 【答案】D 【解析】分4种不同的切法来讨论，分别切去相邻三条棱的全部或者部分，分为四种切法; 第一种，切去相邻的3条棱，那么余下的图形仍是12条棱； 第二种，切去相邻的三条棱中的2条棱，第3条棱切去一部分，那么余下的图形是13条棱 第三种，切相邻三条棱中的1条棱和另2条棱的一部分，那么余下的图形是14条棱； 第四种，切去相邻3条棱中每条棱的一部分，那么余下的图形是15条棱 故答案为：D 图①是正方体木块，切去一块可能得到如图②、③、④、⑤的木块. 1 2 3 4 5 同学们都知道，图①的正方体有8个顶点，12条棱，6个面，请你将②、③、④、⑤中木块的顶点数(V)、棱数(E)、面数(F)填入下表： 图 顶点数(V) 棱数(E) 面数(F) 1 8 12 6 2 6 9 5 3 8 12 6 4 8 13 7 5 10 15 7 观察上表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的关系 V+F-E=2 【答案】 【解析】根据图形形状判断出各图的顶点(V)、棱数(E)、面数(F)即可. 根据表格中的数据分析即可得出顶点(V)、棱数(E)、面数(F)之间的关系. 画从三个方向看到的物体的形状图 1. 如图所示，有5个小立方体构成的立体图形，请分别画出从它的正面、左面、上面三个方向看所得到的平面图形. 【答案】 【解析】根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图即可 桌上放着一个茶壶，4个人从各自的方向观察，请指出图中右边的四幅图，从左到右分别是由哪个人看到的 (C) A.①③②④ B.④③①② C.①②③④ D.②④①③ 【答案】C 【解析】确定从左到右是从哪个方向看到的图形，由此判断即可. 从左到右的图分别是主视图，后视图，右视图和左视图，因此分别是由①②③④看到的. 故选：C 如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置上小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和俯视图. 【答案】 【解析】从正面看有3列，每列小立方块的数目从左到右分别为3，4，2； 从左面看有2列，每列小立方块的数目从左到右分别为4，2； 据此可画出这个几何体的主视图和俯视图. 解：如下图所示： 由物体的不同方向看到的形状图确定小立方体的个数 1. 如图，由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体的个数可能是 (D) A.5或7 B.5或6 C.4或5或6 D.5或6或7 【答案】D 【解析】将从上面看到的形状图作为地基判断即可. 由从左面看到的形状图可知，从上面看到的形状图中2行的小立方体的个数最多分别是1、2 因此小立方体的个数有3种可能： 第1行小立方体个数为1，第2行中的小立方体个数分别为2、1、1时，小立方体的个数： 2+1+1+1=5 第1行小立方体个数为1，第2行中的小立方体个数分别为2、2、1时，小立方体的个数： 2+2+1+1=6 第1行小立方体个数为1，第2行中的小立方体个数分别为2、2、2时，小立方体的个数： 2+2+2+1=7 故答案为：D 如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形从三个不同方向看到的图形，这些小正方体的个数是 (C) A.7 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】将从上面看到的形状图作为地基判断即可. 由从左面看到的形状图可知,从上面看到的形状图中2行的小正方体的个数最多分别是1、2; 由从正面看到的形状图可知,从上面看到的形状图中3列的小正方体的个数最多分别是1、2、1; 由此可以得到小正方体的个数，如图： 因此小正方体的个数为：2+1+1+1=5 故答案为：C 2 学科网（北京）股份有限公司 $