2.1认识有理数（融汇贯通讲义）2025-2026学年北师大版 七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的认识，从正数与负数的定义及符号表示切入，通过“0”的分界与基准意义衔接，延伸至正负数在温度、海拔等场景的实际应用，最终归纳有理数的定义（整数和分数）与分类，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以生活实例为载体，如用表格梳理温度、收支等场景中正负数的意义，练习融入古代数学史和现代支付情境，培养抽象能力（数感、符号意识）和模型意识，课中辅助教师系统讲解，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.1认识有理数（融汇贯通讲义） 北师大版（2024）七年级数学上册 知识目录 【知识点1：正数与负数】 1 【知识点2：特殊数“0”的多重意义】 2 【知识点3：正负数的实际意义】 3 【知识点4：有理数的定义与分类】 4 巩固与提升 【知识点1：正数与负数】 · 核心定义：正数是大于0的数，通常可在数字前加“+”表示，不过这个符号可省略，像+5、+3.2、+20%等，省略后写成5、3.2、20%依然是正数；负数是在正数前加上“-”（负号）的数，用来表示和对应正数意义相反的量，比如-3、-0.5、-15%等，这里的负号不能省略，否则就变成正数了。 · 关键注意点：负数和对应的正数在数值大小上可进行常规比较，且表示的实际意义完全相反。比如+8℃和-8℃，数值绝对值都是8，但一个表示零上温度，一个表示零下温度，意义截然相反。而且正数和负数的适用场景很广，只要有相反意义的数量关系，都能借助它们表示。 【练习加强：认识正负数】 下列数字中，，，，，，，，，是负有理数有（ ）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 早在两千多年前，我国古人已经在生产和生活中使用正负数表示相反意义的量．如果将“原油价格较上月同期上涨”记作“”，那么“原油价格较上月同期下降”记作（ ） A． B． C． D． 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果存入银行1000元钱，记作“”元，那么从银行提取600元钱，记作（ ） A.元 B．600元 C．元 D．400元 1．在，，0，1，这四个数中，既不是正数也不是负数的是（    ） A． B．0 C． D．1 【知识点2：特殊数“0”的多重意义】 · 分界意义：0是正数和负数的明确分界，大于0的数都是正数，小于0的数都是负数，它自身既不属于正数范畴，也不属于负数范畴。比如在温度计上，0℃就是零上温度和零下温度的分界点，0℃以上用正数表示，0℃以下用负数表示。 注意：0既不是正数也不是负数。 · 基准意义：在很多实际场景中，0常被当作基准量来衡量其他量。例如计算海拔高度时，以海平面为基准，规定海平面的高度为0米，珠穆朗玛峰高于海平面约8848.86米，就记作+8848.86米，吐鲁番盆地低于海平面约154.31米，就记作-154.31米；再比如竞赛中，常把初始分数设为0分，答对加分用正数表示，答错扣分用负数表示。 · 其他常规意义：除了上述特殊意义，0也保留着小学阶段所学的“没有”的含义，像空罐里金币的数量可表示为0，某个时间段内没有产生销售额，也可记为销售额为0。 【练习加强：“0”的多重意义】 下面关于0的说法，正确的个数是（ ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数。 A．4 B．3 C．2 D．1 在-2，-1，0，1，这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ） A．-2 B．0 C．-1 D．1 0的发现被称为人类伟大的发现之一，0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（ ） A．0℃是一个确定的温度 B．海拔0m表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D． 在二进制中，0是基本的数字表示 【知识点3：正负数的实际意义】 · 核心意义：表示相反意义的量 正负数的核心作用是描述生活中一对意义相反的量，通常可将其中一种意义的量规定为正，对应的相反意义的量就规定为负。 · 适用场景：生活中存在大量具有相反意义的量，比如收入与支出、上升与下降、盈利与亏损、向东与向西等，这些量都需满足“意义相反且为同类数量”的条件，此时用正负数表示会非常清晰。 常见应用场景如下： 场景 正数意义 负数意义 示例 温度计量 零上温度 零下温度 零上5℃记作+5℃，零下5℃记作-5℃ 海拔高度 高于海平面 低于海平面 珠穆朗玛峰高于海平面8848.86米，记作+8848.86米；吐鲁番盆地低于海平面154.31米，记作-154.31米 收支与经营 收入、盈利 支出、亏损 收到红包3.71元记作+3.71元；扫码付款7.35元记作-7.35元；店铺盈利16900元记作16900元，亏损127元记作-127元 评分与计分 得分、加分 扣分、罚分 知识竞赛答对一题得10分记作+10分，答错一题扣10分记作-10分 方向与运动 规定的正向运动 规定的反向运动 若向东走记为正，向东行300米记作+300米，向西行500米就记作-500米 【练习加强：正负数的实际意义】 一弹簧固定在水平桌面上，若在初始位置向右拉伸，记作，则在初始位置将其向左压缩，记作（   ） A． B． C． D． 在移动支付普及的当下，小明使用某支付软件记录个人资金变动情况．若规定收入50元记为，那么账单中出现的“”表示的实际含义是（    ） A．获得额外奖励80元 B．账户余额增长了80元 C．消费支出了80元 D．投资收益增加80元 如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 如果零上记作，那么零下可记为（   ） A． B． C． D． 5．山西作为中国面食文化发源地，人们多以面食为主，现有一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉质量合格的是（    ） A．25.30千克 B．24.70千克 C．24.80千克 D．25.51千克 【知识点4：有理数的定义与分类】 · 核心定义：整数和分数合称为有理数。这里要注意，有限小数和无限循环小数都属于有理数，因为它们都能转化为分数形式。比如0.25是有限小数，可转化为1/4；0.是无限循环小数，可转化为1/3，所以它们都属于有理数范畴。而无限不循环小数，像π，无法化成分数，就不属于有理数。 【练习加强：有理数的分类】 下列说法正确的是（） A．所有的整数都是正数 B．是最大的负整数 C．0是最小的有理数 D．整数、0和分数统称为有理数 下列数字中，，，2024，，%，0，，，是负有理数有（   ）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 下列各数中，既是正数又是分数的是（   ） A． B．5 C． D． 下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 下列说法错误的是（   ） A． 的相反数一定是负数 B．零的绝对值还是零 B． 有理数不是整数就是分数 D．正整数、零和负整数统称为整数 把下列各数分别填在相应的括号内． ，，2026，，，，，0． 正数：{ }； 负数：{ }； 整数：{ }； 分数：{ }． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1认识有理数（融汇贯通讲义） 北师大版（2024）七年级数学上册 知识目录 【知识点1：正数与负数】 1 【知识点2：特殊数“0”的多重意义】 2 【知识点3：正负数的实际意义】 4 【知识点4：有理数的定义与分类】 7 巩固与提升 【知识点1：正数与负数】 · 核心定义：正数是大于0的数，通常可在数字前加“+”表示，不过这个符号可省略，像+5、+3.2、+20%等，省略后写成5、3.2、20%依然是正数；负数是在正数前加上“-”（负号）的数，用来表示和对应正数意义相反的量，比如-3、-0.5、-15%等，这里的负号不能省略，否则就变成正数了。 · 关键注意点：负数和对应的正数在数值大小上可进行常规比较，且表示的实际意义完全相反。比如+8℃和-8℃，数值绝对值都是8，但一个表示零上温度，一个表示零下温度，意义截然相反。而且正数和负数的适用场景很广，只要有相反意义的数量关系，都能借助它们表示。 【练习加强：认识正负数】 下列数字中，，，，，，，，，是负有理数有（ ）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的分类，根据小于0的有理数是负有理数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，，都是负有理数， ∴负有理数有4个， 故选：A． 早在两千多年前，我国古人已经在生产和生活中使用正负数表示相反意义的量．如果将“原油价格较上月同期上涨”记作“”，那么“原油价格较上月同期下降”记作（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义． 根据正负数表示相反意义的量，上涨记为正，则下降记为负． 【详解】解：∵“上涨”记作“”， ∴“下降”应记作“”． 故选：B． 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果存入银行1000元钱，记作“”元，那么从银行提取600元钱，记作（ ） A．元 B．600元 C．元 D．400元 【答案】A 【分析】根据相反意义的量的应用解答即可． 本题考查了相反意义的量的应用，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得存入银行1000元钱，记作“”元，则从银行提取600元钱，记作元， 故选：A． 1．在，，0，1，这四个数中，既不是正数也不是负数的是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的定义，0的意义，根据大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是负数，故该选项不符合题意； B、0既不是正数也不是负数，故该选项符合题意； C、是负数，故该选项不符合题意； D、1是正数，故该选项不符合题意； 故选：B 【知识点2：特殊数“0”的多重意义】 · 分界意义：0是正数和负数的明确分界，大于0的数都是正数，小于0的数都是负数，它自身既不属于正数范畴，也不属于负数范畴。比如在温度计上，0℃就是零上温度和零下温度的分界点，0℃以上用正数表示，0℃以下用负数表示。 注意：0既不是正数也不是负数。 · 基准意义：在很多实际场景中，0常被当作基准量来衡量其他量。例如计算海拔高度时，以海平面为基准，规定海平面的高度为0米，珠穆朗玛峰高于海平面约8848.86米，就记作+8848.86米，吐鲁番盆地低于海平面约154.31米，就记作-154.31米；再比如竞赛中，常把初始分数设为0分，答对加分用正数表示，答错扣分用负数表示。 · 其他常规意义：除了上述特殊意义，0也保留着小学阶段所学的“没有”的含义，像空罐里金币的数量可表示为0，某个时间段内没有产生销售额，也可记为销售额为0。 【练习加强：“0”的多重意义】 下面关于0的说法，正确的个数是（ ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了0的意义、有理数的分类，熟练掌握以上知识是解题的关键。 根据相关知识逐项判断即可。 【详解】解： 0既不是正数也不是负数，①正确； 自然数包括0和正整数，且0是最小的自然数，②正确； 正数大于0，0不是正数，③错误； 非负数包括0和正数，0是最小的非负数，④正确； 0能被2整除，属于偶数，⑤错误。 综上，正确说法为①、②、④，共3个。 故选：B。 在-2，-1，0，1，这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ） A．-2 B．0 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的定义、0的意义，根据大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数进行逐项分析，即可作答。 【详解】解： A、-2是负数，故该选项不符合题意； B、0既不是正数也不是负数，故该选项符合题意； C、-1是负数，故该选项不符合题意； D、1是正数，故该选项不符合题意； 故选：B。 0的发现被称为人类伟大的发现之一，0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（ ） A．0℃是一个确定的温度 B．海拔0m表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数，0是有理数中的重要数字等知识点，根据0在不同问题中的实际含义解答即可，熟练掌握有理数0的性质是解决此题的关键。 【详解】A、0℃是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意； B、海拔0m表示与海平面一样的高度，原选项说法错误，符合题意； C、24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意； D、在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意； 故选：B。 【知识点3：正负数的实际意义】 · 核心意义：表示相反意义的量 正负数的核心作用是描述生活中一对意义相反的量，通常可将其中一种意义的量规定为正，对应的相反意义的量就规定为负。 · 适用场景：生活中存在大量具有相反意义的量，比如收入与支出、上升与下降、盈利与亏损、向东与向西等，这些量都需满足“意义相反且为同类数量”的条件，此时用正负数表示会非常清晰。 常见应用场景如下： 场景 正数意义 负数意义 示例 温度计量 零上温度 零下温度 零上5℃记作+5℃，零下5℃记作-5℃ 海拔高度 高于海平面 低于海平面 珠穆朗玛峰高于海平面8848.86米，记作+8848.86米；吐鲁番盆地低于海平面154.31米，记作-154.31米 收支与经营 收入、盈利 支出、亏损 收到红包3.71元记作+3.71元；扫码付款7.35元记作-7.35元；店铺盈利16900元记作16900元，亏损127元记作-127元 评分与计分 得分、加分 扣分、罚分 知识竞赛答对一题得10分记作+10分，答错一题扣10分记作-10分 方向与运动 规定的正向运动 规定的反向运动 若向东走记为正，向东行300米记作+300米，向西行500米就记作-500米 【练习加强：正负数的实际意义】 一弹簧固定在水平桌面上，若在初始位置向右拉伸，记作，则在初始位置将其向左压缩，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的意义，即正负数可以用来表示具有相反意义的量，解题关键在于理解 “正” 和 “负” 所代表的实际意义． 以初始位置为原点，向右为正方向记作“”，向左为负方向“”，据此解答即可． 【详解】解：已知在初始位置向右拉伸，记作， 因为 “向左压缩” 与 “向右拉伸” 是一对具有相反意义的量，且规定了向右拉伸为正， 所以向左压缩就为负． 那么弹簧在初始位置将其向左压缩应记作． 故选 ：B． 在移动支付普及的当下，小明使用某支付软件记录个人资金变动情况．若规定收入50元记为，那么账单中出现的“”表示的实际含义是（    ） A．获得额外奖励80元 B．账户余额增长了80元 C．消费支出了80元 D．投资收益增加80元 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，具有相反意义的量，用正负数表示具有相反意义的量是解题的关键．根据题干规定，收入记为正值，则支出应记为负值，“”表示支出80元，对应选项中的消费支出． 【详解】解：∵收入50元记为， ∴支出应记为负值． ∴“”表示消费支出了80元． 故选：C． 如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 如果零上记作，那么零下可记为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数的应用，正数表示零上，负数表示零下，这是解题的关键． 根据正数和负数表示具有相反意义的量解答． 【详解】解：如果零上记作，那么零下记作． 故选：A． 5．山西作为中国面食文化发源地，人们多以面食为主，现有一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉质量合格的是（    ） A．25.30千克 B．24.70千克 C．24.80千克 D．25.51千克 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减法运算及正数和负数的实际应用，根据正数和负数的实际意义求得质量合格的范围，然后进行判断即可． 【详解】解：“千克”表示合格范围在25上下0.25的范围内的是合格品，即24.75到25.25之间的合格， 因为24.80在24.75到25.25之间， 故只有24.80千克合格． 故选：C． 【知识点4：有理数的定义与分类】 · 核心定义：整数和分数合称为有理数。这里要注意，有限小数和无限循环小数都属于有理数，因为它们都能转化为分数形式。比如0.25是有限小数，可转化为1/4；0.是无限循环小数，可转化为1/3，所以它们都属于有理数范畴。而无限不循环小数，像π，无法化成分数，就不属于有理数。 【练习加强：有理数的分类】 下列说法正确的是（） A．所有的整数都是正数 B．是最大的负整数 C．0是最小的有理数 D．整数、0和分数统称为有理数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的基本概念，需熟练掌握整数的分类和有理数的定义． 根据有理数的定义和性质，逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵整数包括正整数、负整数和0，故A错误； ∵是最大的负整数，故B正确； ∵有理数包括负数，负数小于0，故C错误； ∵有理数是整数和分数的统称，整数已包含0，故D错误． 故选：B． 下列数字中，，，2024，，%，0，，，是负有理数有（   ）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的分类，根据小于0的有理数是负有理数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，，都是负有理数， ∴负有理数有4个， 故选：A． 下列各数中，既是正数又是分数的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数的定义，分数的定义． 根据正数（大于零）和分数（非整数的有理数）的定义，判断各选项是否符合条件． 【详解】解：正数要求大于零，分数要求是非整数的有理数． A．，且可化为分数，是分数； B．，但为整数，不是分数； C．，不是正数； D．，不是正数； 故选：A． 下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 下列说法错误的是（   ） A． 的相反数一定是负数 B．零的绝对值还是零 C．有理数不是整数就是分数 D．正整数、零和负整数统称为整数 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的意义，绝对值的性质，有理数的分类，根据相反数的意义，绝对值的性质，有理数相关概念进行判断． 【详解】解：A．当为负数时，它的相反数是正数，故A符合题意； B．零的绝对值还是零，正确，故B不符合题意； C．有理数不是整数就是分数，正确，故C不符合题意； D．正整数、零和负整数统称为整数，正确，故D不符合题意； 故选：A． 把下列各数分别填在相应的括号内． ，，2026，，，，，0． 正数：{ }； 负数：{ }； 整数：{ }； 分数：{ }． 【答案】2026，，； ，，，； 2026，，，0； ，，， 【分析】此题考查了有理数的分类，多重符号的化简，计算绝对值，根据有理数的分类分别解答即可． 【详解】解：，． 正数：{2026，， }； 负数：{，，， }； 整数：{2026，，，0}； 分数：{，，，}． 学科网（北京）股份有限公司 $