12.空间垂直的证明的常见解法讲义-2026届高三数学二轮专题复习

第12节空间垂直的证明的常见解法 要点提炼： 1.平面四边形中的一些重要垂直关系 2.一些常见的空间垂直模型 一、知识点梳理 1.一般的空间垂直（线面垂直或者面面垂直）基本都是一个平面垂直加一个线面或者面面垂直得到，关于 平面垂直，注意到通常以四棱锥，三棱柱，四棱柱为主，前者底面为四边形，后者的侧面为平行四边形， 如此的话，我们需要关注一些特殊四边形中的垂直，这些垂直都是常出现在空间垂直的证明过程中的. 平面四边形中的一些重要垂直关系 1.等腰梯形：如图1，我们可以证得AD⊥DB,这是底边为等腰梯形的四棱锥中常出现的垂直情形. D B 2 B 图1 图2 2.内角为120的菱形，如图2，∠BAD=120°，E为CD中点，则AE⊥CD. 3.内角为120的平行四边形，如图3，∠ABC=120°，AC=2AB,则AB⊥BC. B D D E 2a 图3 图4 4.如图4，正方形中（边长为1：1的矩形），E,F为中点，则AF⊥BE· 5.如图5，边长为2：3的矩形，可以看做是4的推广，有BE:BH. 1 C B G 图5 二，一些常见的空间垂直模型 模型1.“筝形翻折模型” 结论：如图，AB=AC,DB=DC,设O为BC中点，则AO⊥BC,DO⊥BC,故BC⊥面AOD,则 BC⊥AD· D 模型2.面面垂直找交线，找到交线引垂线. 二、题型归类 一.平面四边形中的一些重要垂直关系 例1.(2022年全国甲卷)·第18题) 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=L,AB=2,DP=V3. 、C --B (1)证明：BD⊥PA; (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 2 【变式练习】 1.(2021年高考浙江卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， ∠ABC=120°，AB=1,BC=4,PA=V5,M,N分别为BC,PC的中点，PD⊥DC,PM⊥MD. 6 - M 1)证明：AB⊥PM; (2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值. 3 例2.(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱ABC-ABC中，侧面AA,B,B 为正方形，AB=BC=2,E,F分别为AC和CC,中点，D为棱AB上的点.BF⊥AB D A B C F B E C (1)证明：BF⊥DE; (2)当B,D为何值时，面BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 【变式练习】 1.如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，已知AA⊥底面AB,C,AA=3,AB=AC,BC=2,D为BC的中点， 点F在棱BB,上，且BF=2,E为线段AD上的动点. D B /A F C B A (1)证明：C,F⊥EF; (2)若直线CD与EF所成角的余孩值为I0,求二面角E-FC,-D的余弦值， 6 5 2.一些常见的空间垂直模型 例3.(2022年全国乙卷数学) 如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点， (1)证明：平面BED⊥平面ACD: (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成 的角的正弦值. 6 【变式练习】 1.(2021年新高考I卷)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD, O为BD的中点. (1)证明：OA⊥CD: (2)若△OCD是边长为1等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45° ,求三棱锥A-BCD的体积. 1 2.(2017新课标3卷)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三 角形，∠ABD=∠CBD,AB=BD. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC; (2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 D-AE-C的余弦值. 8 例4.如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是弧CD 上异于C,D的点. (1)证明：平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 【变式练习】 1.如图所示，四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，三角形PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面APD ⊥面ABCD,AB=1,AD=2,E,F分别为PC和BD的中点. B (1)求证：EF//平面PAD: (2)证明：平面PAD⊥平面PDC; (3)求四棱锥P-ABCD的体积. 【过关检测】 1.设m,n是两条不同的直线，ā，B是两个不同的平面，则下列选项是正确的是（) A.若m⊥n,nl∥a,则m⊥aB.若mB,B⊥，则m⊥a C.若m⊥B,n⊥B,n⊥a,则m⊥aD.若m⊥n,n⊥B,B⊥a,则m⊥a. 2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有() D A A.3对B.4对C.5对D.6对 3.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=2V2,BC=SC=SD=2,BC⊥SD,则四棱锥 S-ABCD的外接球的体积为() S 4 A. 3πB.8V2π C.16N2rD.4N5元 3 3 10 第12节 空间垂直的证明的常见解法 要点提炼： 1. 平面四边形中的一些重要垂直关系 2. 一些常见的空间垂直模型 1、 知识点梳理 1. 一般的空间垂直（线面垂直或者面面垂直）基本都是一个平面垂直加一个线面或者面面垂直得到，关于平面垂直，注意到通常以四棱锥，三棱柱，四棱柱为主，前者底面为四边形，后者的侧面为平行四边形，如此的话，我们需要关注一些特殊四边形中的垂直，这些垂直都是常出现在空间垂直的证明过程中的. 平面四边形中的一些重要垂直关系 1.等腰梯形：如图1，我们可以证得，这是底边为等腰梯形的四棱锥中常出现的垂直情形. 图1 图2 2.内角为的菱形，如图2，，为中点，则. 3.内角为的平行四边形，如图3，，，则. 图3 图4 4.如图4，正方形中（边长为1:1的矩形），为中点，则. 5.如图5，边长为2:3的矩形，可以看做是4的推广，有. 图5 二．一些常见的空间垂直模型 模型1.“筝形翻折模型” 结论：如图，，设为中点，则，故面，则. 模型2. 面面垂直找交线，找到交线引垂线. 二、题型归类 1． 平面四边形中的一些重要垂直关系 例1. (2022年全国甲卷)·第18题) 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 解析：考察图1 （1）证明：在四边形中，作于，于，因为 ，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以. 【变式练习】 1. (2021年高考浙江卷）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， ，M，N分别为的中点，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 解析：考察图3 解析:（1）在中，，，，由余弦定理可得， 所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以． 例2. (2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱中，侧面 为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 解析：考察图4. 因为，所以． 又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点， 易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面． 又因为平面，所以． 【变式练习】 1.如图，在三棱柱中，已知底面，，，，D为的中点，点F在棱上，且，E为线段上的动点. （1）证明：； （2）若直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值. 解析：考察图5 解析：在三棱柱中，底面，所以三棱柱是直三棱柱，则，因为，所以，又因为， D为的中点， 所以,又，所以平面，则， 易知，则，因为， 三条，则，即，又， 所以平面，所以； 2. 一些常见的空间垂直模型 例3. (2022年全国乙卷数学) 如图，四面体中，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 解析：（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面． 【变式练习】 1.(2021年新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥中，平面平面，， 为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 解析：（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD，因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为平面BCD，所以AO⊥CD （2）作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM，因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD，所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC，因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF则为二面角E-BC-D的平面角, ，因为,为正三角形,所以为直角三角形，因为,，从而EF=FM=，平面BCD,所以 2. （2017新课标3卷）如图，四面体中，是正三角形，是直角三 角形，，． （1）证明：平面⊥平面； （2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 解析：（1）由题设可得，，从而.又是直角三角形，所以.取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO. 又由于是正三角形，故.所以为二面角的平面角.在中，.又，所以，故.所以平面ACD⊥平面ABC. 例4. 如图，边长为的正方形所在平面与半圆弧所在的平面垂直，是弧 上异于的点． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 证明：由题设知，平面平面，交线为因为，平面，所以平面，故因为为上异于的点，且为直径，所以又，所以平面而平面，故平面平面． 【变式练习】 1.如图所示，四棱锥中，是矩形，三角形为等腰直角三角形，，面⊥面，，，，分别为和的中点.    (1)求证：平面； (2)证明：平面⊥平面； (3)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，连，根据中位线可知,得证； （2）欲证平面平面，根据面面垂直的判定定理可知在平面内一直线与平面垂直，根据面面垂直的性质定理可知平面，得证； （3）过作于，从而平面，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可. 【详解】（1）    证明：连接， ∵底面是矩形，为的中点， ∴在上且为的中点， 又是的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2）证明：∵平面平面，平面平面，⊂平面,， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面. （3）    ∵平面平面，平面平面， ∴在平面内过作于，则平面， ∵是等腰直角三角形，且， ∴，即四棱锥的高为1， 又∵底面矩形的边长， ∴. 【过关检测】 1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项是正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则. 【答案】C 【分析】由线面的位置关系考虑所有可能情况判断ABD，由直线垂直平面的性质定理及判定推理判断C. 【详解】对于ABD选项，满足条件的直线均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内， 故ABD错误； 对于C选项，由，可得，又，则，故C正确. 故选：C 2．已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（    ）    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定定理判断． 【详解】因为，，， 且，平面，所以平面， 因为，所以平面， 由题易知平面，且，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面平面，共5对. 故选：C. 3．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为矩形，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分析平面平面SCD确定球心位置，进而求出球的半径得体积. 【详解】因为四边形ABCD为矩形，所以， 又，且，平面SCD， 所以平面SCD，又平面，故平面平面SCD， 又， 所以是等腰直角三角形， 所以其外接圆的圆心是CD的中点， 又四边形ABCD为矩形的外接圆的圆心为AC，BD的交点， 所以四棱锥的外接球的球心为AC，BD的交点， 所以外接球的半径为， 所以四棱锥的外接球的体积为． 故选：D． 二、多选题 4．如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】利用面面垂直的性质和判定判断A，B，C，利用分析法结合面面垂直的性质判断D即可. 【详解】因为，为的中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以，，所以A，B成立； 又平面，所以平面平面，所以C成立； 若平面平面，且， 而面面，平面， 所以平面，又平面， 则，但此关系不一定成立，故D错误. 故选：ABC 5．是两个平面，是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 【答案】BCD 【分析】运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断A；运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断B；运用面面平行的性质定理，即可判断C；由平行的传递性及线面角的定义，即可判断D． 【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误：如图， 不妨设为直线m，为直线n， 所在的平面为，所在的平面为， 显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，故A错误； 对于B，设过直线的某平面与平面相交于直线，则， 由知，从而，故B正确； 对于C，如果，则，故C正确； 对于D，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，故D正确. 故选：BCD. 6．如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（     ） A．平面 B． C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】根据平面，得到，再结合，利用线面垂直的判定定理判断A；由，为的中点，得到，再结合平面判断C；根据平面即可判断B；由，得到与不平行，与不垂直，即可判断D. 【详解】平面，平面 ，又，平面且 平面，故A正确 由平面，平面 得 又，是的中点， 又平面， 平面，平面 ，故B,C正确 由平面，平面 得 因为与不平行 因此与不垂直 从而不与平面垂直，故D错误 故选：ABC. 7．已知m，n是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】A根据面面平行的判定判断；B由线面、面面位置关系，结合平面的基本性质判断；C过作平面，由线面平行性质及平行公理的推论判断；D由面面垂直的判定判断. 【详解】A：由，且，，根据面面平行的判定知：，正确； B：，，，则或，错误； C：过作平面，而，则，又则，，故，所以，正确； D：由，，根据面面垂直的判定知：，正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、解答题 8．如图1，在矩形中，，，为上一点，且．将沿折起，使得平面平面，如图2，点是线段的中点．    (1)求证：平面平面； (2)过点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①平面；②．请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直，进而再证得面面垂直； （2）根据面面垂直可证线面垂直与线线垂直. 【详解】（1）又已知，则， 为等腰直角三角形， 又为中点， 则， 平面平面，且平面平面，平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）    在平面中，过点作直线，使， 平面平面，且平面平面，平面， 平面， 又平面，， 即存在直线满足题意. 9．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为等边三角形．    (1)求证：； (2)若为边上的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析；(2)能，证明见解析 【分析】（1）连接，，由三线合一可得，，因为平面，所以； （2）先证明平面平面，再结合平面，最后应用面面垂直判定定理得证． 【详解】（1）设为的中点，连接，，如图．    因为为等边三角形，所以， 在菱形中，，为的中点，所以． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 如图，设为的中点，连接，，，则在中，， 因为平面，平面， 所以平面，在菱形中，， 因为平面，平面，所以平面， 而，平面，， 所以平面平面． 由（1）得平面，而平面， 所以平面平面． 所以平面平面． 2 学科网（北京）股份有限公司 $