江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校 2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（12月份）

2024-2025 学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校八年级（上）月考数学 试卷（12 月份） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分.） 1 ．（2 分）在 ， ， 兀 ，0 ， ，0.6 ， 0. 1212212221… （相邻两个 1 之间 2 的个数逐次加1) 这些数中，无理数的个数是 ( ) 个． A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 2 ．（2 分）若 ·、在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A ． x B ． x C ． x D ． x 3 ．（2 分） 以下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的一组是 ( ) A ．6 、8 、10 B ．5 、12 、13 C ．8 、15 、17 D ．4 、5 、6 4 ．（2 分）若点M 在第四象限，且M 到x 轴的距离为 1 ，到 y 轴的距离为 2 ，则点M 的坐标为 ( ) A ． (1, —2) B ． (2, 1) C ． (—2, 1) D ． (2, —1) 5 ．（2 分）关于一次函数 y = 2mx — 4m — 2 的图象与性质，下列说法中正确的是 ( ) A ． y 随x 的增大而增大 B ．当 m = 3 时，该图象与函数 y= —6x 的图象是两条平行线 C ．不论 m 取何值，图象都经过点 (2, 2) D ．不论 m 取何值，图象都经过第四象限 6 ．（2 分）如图，在 Rt △ ABC 中， 上C = 90O ， 上A = 20O ．若某个三角形与△ ABC 能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有 ( ) A ．4 种 B ．5 种 C ．6 种 D ．7 种 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.） 7 ．（2 分） ·、 的算术平方根是 ，将 23570 精确到千位的近似数是 ． 第 1页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 8 ．（2 分） 比较大小： （填“ > ”、“ = ”、“ < ” ) 9 ．（2 分）点P(4, a) 关于 y 轴的对称点是 Q(b, —2) ，则 ab 的值为 ． 10 ．（2 分） 已知等腰三角形的两边长分别是 2 和 6 ，则它的周长是 ． 11．（2 分）已知点 (m, y1 ) 、(m + 1, y2 ) 是一次函数 y = —x + b 图象上的两点，则y1 y2 ．（填“ > ”、“ = ” 或“ < ” ) 12 ．（2 分）将一次函数 y = x — 2 的图象平移，使其经过点 (2, 3) ，则所得直线的函数解析式是 ． 13 ．（2 分） 已知 2 + 的小数部分为 m ， 2 — 的小数部分为 n ，则 (m + n)2024 的值是 ． 14 ．（2 分）直线 y = kx +b 的图象经过点 (m, n + 3) ， (m + 2, n) ，则 k 的值为 ． 15 ．（2 分）如图，在正方形 AOBC 中，点 A 的坐标是 (—3, 2) ， CB 与 y 轴交于点M ，点M 的坐标是 ． 第 15 题 第 16 题 16．（2 分）如图，在△ABC 中，AB = AC = 2 ，D 是BC 中点，上A + 上EDF = 180O ，DE ，DF 分别与 AB ， AC 相交于点 E ， F ，若 上A = 120O ， EF 的长度的范围为 ． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 68 分.请在答题卡指定区域内作答.） 17 ．（6 分）计算： （1） · + — ·、 ． （2） (兀 — 3. 14)0 + | 1 — I2 | — ． 18 ．（6 分）求下列各式中的x ． （1） 4(x —1)2 = 81 ； （2） (x +1)3 — 27 = 0 ． 第 2页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 19 ．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(-4, -2) ， B(-1, 1) ， C(1, 0) ． （1）请在图中画出△ ABC ； （2）直线l 经过点 (0, 2) ，并与 x 轴平行，将△ ABC 沿直线l 翻折，再向右平移 3 个单位得到△ A1B1C1 ．请在图中画出△ A1B1C1 ； （3）若△ ABC 内有一点 P(a, b) ，则点 P 经上述翻折、平移后得到的点P1 的坐标是 ． 20 ．（8 分）在平面直角坐标系中，已知点P(2m - 4, 3m +1) ． （1）当点 P 在 y 轴上时，求出点P 的坐标； （2）当直线 PA 平行于 x 轴，且 A(-4, -2) ，求出点P 的坐标； （3）若点 P 到 x 轴， y 轴距离相等，求 m 的值． 第 3页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 21 ．（8 分） 已知一次函数 y = (m - 2)x + 3 - m 的图象不经过第三象限，且 m 为正整数． （1）求 m 的值． （2）在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． （3）当 -4 < y < 0 时，根据函数图象，求 x 的取值范围． 22．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB / /CD ，AD 丄 DC ，AB = BC ，点 E 为BC 上一点，且 CD = CE ． （1）求证： AE 丄 BC ； （2）若 AD = 6 ， DC = 3 ，求 AB 的长． 第 4页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 23．（6 分）如图，已知 上AOB = 20O ，点 C 是 AO 上一点，在射线 OB 上求作一点F ，使得 上CFO = 40O ．（尺规作图，保留作图痕迹，并说明理由） 24 ．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1 : y = —x + 5 与 x 轴交于点 B ，直线 l1 与过点 A(—4, 0) 的直线 l2 交于点 P(—1, m) ． （1）求直线l2 的函数表达式； （2）若点M 在直线 l2 上， MN / /y 轴，交直线 l1 于点 N ，若MN = 10 ，求点M 的坐标； （3）若点 Q 在直线 l1 上且△ APQ 的面积是 9 ，则点 Q 坐标为 ． 第 5页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 25 ．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(1, -1) ，点B(0 ， m)(m < 0 且m ≠ -1) ，直线 AB 与 x 轴交于点 C ，过点 A 且垂直于 AB 的直线与 x 轴交于点D ，连接 BD ． （1）判断线段 AB 与 AD 的数量关系，并就图中的情况进行证明； （2）当△ CBD 为等腰三角形时，求 m 的值． 第 6页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校八年级（上）月考数学 试卷（12 月份） 参考答案与试题解析 一．选择题（共 6 小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D D D D 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分.） 1 ．【解答】解：0 是整数，属于有理数； 一 是分数，属于有理数； ，是分数，属于有理数； 0.6 是有限小数，属于有理数；无理数有 ， 兀 ， 0.1212212221… （相邻两个 1 之间 2 的个数逐次加1) ，共 3 个．故选： C ． 2 ．【解答】解： 由题意可得 3x 一1≥0 ，解得： x ，故选： A ． 3 ．【解答】解： A 、 62 + 82 = 102 ，故是直角三角形，故此选项不符合题意； B 、 52 +122 = 132 ，故是直角三角形，故此选项不符合题意； C 、 82 +152 = 172 ，故是直角三角形，故此选项不符合题意； D 、 42 + 52 ≠ 62 ，故不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选： D ． 4 ．【解答】解：点M 在第四象限，且M 到 x 轴的距离为 1 ，到 y 轴的距离为 2 ，则点M 的坐标为 (2, 一1) ，故选： D ． 5 ．【解答】解： A ． : k = 2m ， 当 m > 0 时， y 随x 的增大而增大， 当 m < 0 时， y 随x 的增大而减小，故 A 不正确； B ．当 m = 3 时， k = 2m = 6 ， : y = 6x 一14 ， : y = 一6x 与 y = 6x 一14 不平行，故B 不正确； C ． : y = 2mx 一 4m 一 2 = 2m(x 一 2) 一 2 ， : 当x = 2 时， y = 一2 ， : 图象都经过点 (2, 一2) ，故 C 不正确； 第 7页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 D ． : y = 2mx — 4m — 2 = 2m(x — 2) — 2 ， : 当x = 2 时， y = —2 ， : 图象都经过点 (2, —2) ， : 图象都经过第四象限，故D 正确； 故选： D ． 6 ．【解答】解：在 Rt △ ABC 中， 上C = 90O ， 上A = 20O ，则 上ABC = 70O ， （1）取一个△ EFD 和△ ABC 全等，其中EF = AC ，FD = BC ，AB = ED ，上C = 上F = 90O ，此时有两种拼图方法： ①将 EF 与 AC 拼接在一起，如图 1 所示： : AB = ED ， 上C = 上F = 90O ， : 点B ， C(F) ， D 在一条直线上， : △ ABD 为等腰三角形， 且 上B = 上D = 70O ， 上BAD = 40O ； ②将DF 于BC 拼接在一起，如图2 所示： : AB = BD ， 上C = 上F = 90O ， : 点 A ， C(F) ， D 在一条直线上， : △ ABD 为等腰三角形； （2）取一个△EFD ，使 AC = EF ， 上F = 90O ， 上D = 55O ， 上FED = 35O ， 将 EF 于 AC 拼接在一起，如图 3 所示： : 上C = 上F = 90O ， : 点B ， C(F) ， D 在一条直线上， 此时 上BAD = 上BAC + 上FED = 20O + 35O = 55O ， : 上BAD = 上D = 55O ， : △ ABD 为等腰三角形； （3）取一个△ EFD ，使 EF = BC ，上F = 90O ，上D = 80O ，上FED = 10O ，将 EF 与 BC 拼接在一起，如图4 所示： : 上C = 上F = 90O ， : 点 A ， C(F) ， D 在一条直线上， 此时 上ABD = 上ABC + 上FED = 70O + 10O = 80O ， 第 8页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 : 上ABD = 上D ， : △ ABD 为等腰三角形； （4）取一个△ EFD ，使 EF = AC ， 上F = 90O ， 上D = 40O ， 上FED = 50O ， 将 EF 与 AC 拼接在一起，如图 5 所示： : 上C = 上F = 90O ， : 点 B ， C(F) ， D 在一条直线上， 此时 上BAD = 上BAC + 上FED = 20O + 50O = 70O ， : 上BAD = 上ABC ， : △ ABD 为等腰三角形； （5）取一个△ EFD ，使 EF = AB ， 上EFD = 110O ， 上D = 45O ， 上FED = 25O ， 将 EF 与 AB 拼接在一起，如图 6 所示： : 上EFD = 110O ， 上ABC = 70O ， : 点 C ， B(F) ， D 在一条直线上， 此时 上CAD = 上BAC + 上FED = 20O + 25O = 45O ， : 上CAD = 上D ， : △ ABD 为等腰三角形； （6）取一个△ EFD ，是 EF = BC ， 上D = 20O ， 上FED = 110O ， 上EFD = 50O ， 将 EF 与 AB 拼接在一起，如图 7 所示： : 上FED = 110O ， 上ABC = 70O ， : 上FED + 上ABC = 180O ， : 点 A ， B （E）， D 在一条直线上，此时 上D = 上A = 20O ， : △ ABD 为等腰三角形； 综上所述：拼成的等腰三角形有 7 种．故选： D ． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.） 7 ．【解答】解： ·、 = 9 ，其算术平方根是 3 ；数 23570 精确到千位的近似数为 2.4 × 104 ；故答案为：3 ； 2.4 × 104 ． 第 9页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 8 ．【解答】解： : ，故答案为： < ． 9 ．【解答】解： : 点 P(4, a) 关于 y 轴的对称点是 Q(b, —2) ， : a = —2 ， b = —4 ， : ab = 8 ，故答案为：8． 10 ．【解答】解：当等腰三角形的腰为 2 时，三边为 2 ，2 ，6 ， 2 + 2 < 6 ，不符合三角形三边关系； 当等腰三角形的腰为 6 时，三边为 2，6，6，符合三角形三边关系，周长为 2 + 6 + 6 = 14 ．故答案为：14． 11 ．【解答】解： : 点 (m, y1 ) 、 (m + 1, y2 ) 是一次函数 y = —x + b 图象上的两点， :y1 = —m + b ， y2 = —(m + 1) + b ， : y1 — y2 = —m + b + (m + 1) —b = 1 > 0 ， : y1 > y2 ， 故答案为： > ． 12 ．【解答】解：设y = x + b ， : 3 = 2 + b ，解得： b = 1 ． : 函数解析式为： y = x + 1 ．故答案为： y = x + 1 ． 13 ．【解答】解： : 2 + 的小数部分为 m ， 2 — 的小数部分为 n ， : m = 2 + — 3 = —1 ， n = 2 — ， : (m + n)2024 = ( ·、 —1 + 2 — ·、)2024 = 12024 = 1 ； 故答案为：1． 14 ．【解答】解： : 直线 y = kx +b 的图象经过点 (m, n + 3) ， (m + 2, n) ， ① — ②得， —2k = 3 ，解得k 故答案为： ． 第 10页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 15 ．【解答】解：过点 A ， B 分别作x 轴的垂线，垂足为D ， E ，如图： : 点 A 的坐标是 (—3, 2) ， : AD = 2 ， OD = 3 ， : 四边形 AOBC 是正方形， : OA = OB ， 上AOB = 90O ， : 上AOD + 上BOE = 90O ， 上AOD + 上DAO = 90O ， : 上DOA = 上BOE ， : 上ADO = 上OEB = 90O ， : △ ODA 三 上BEO(AAS ) ， : OE = AD = 2 ， BE = OD = 3 ， : 点 B 坐标为 (2, 3) ， 设直线 OA 的解析式为 y = kx ， 把 A(—3, 2) 代入 y = kx 得， —3k = 2 ，解得 k = — ， : 直线 OA 的解析式为y x ， : OA / /BC ， : 设直线 BC 的解析式为 y x + b ， 把点 B(2, 3) 代入解析式得： b ，解得b : 点M 的坐标是 ．故答案为： ． 16 ．【解答】解：连接 AD ， : AB = AC = 2 ， D 是 BC 中点， : AD 丄 BC ， : 上BAC = 120O ， : 上B = 上C = 30O ， : AD AB = 1 ， BD AB2—AD : 上A + 上EDF = 180O ， : 上EDF = 60O ， 第 11页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 : AB = AC ， D 为 BC 的中点， : AD 是 上BAC 的平分线， : DH 丄 AB ， DG 丄 AC ， :DH = DG ， 上AHD = 上AGD = 90O ， : 上BAC + 上HDG = 180O ， : 上A + 上EDF = 180O ， : 上HDG = 上EDF ， : 上EDH = 上FDG ， : △ EDH 三 △ FDG(ASA) ， :DE = DF ， : △ DEF 是等边三角形， :EF = DE ， : 当DE 最大时， EF 最大，当DE 最小时， EF 最小， : 当点 E 与 A 重合时， DE 的值最大，且DE 的最大值 = AD = 1 :EF = DE = 1 ， 当DE 丄 AB 时， DE 的值最小， : EF 的长度的范围为EF≤1 ，故答案为： EF≤1 ． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 68 分.请在答题卡指定区域内作答.） 17 ．解：（1）原式 = 3 + 3 — 3 = 3 ； （2）原式= 1 + · —1 + 4 = 4 + ·、 ． 18 ．【解答】解：（1） 4(x —1)2 = 81 ， ， x ，解得： x 或 x （2） (x +1)3 — 27 = 0 ， (x +1)3 = 27 ， x + 1 = 3 ，解得： x = 2 ． 第 12页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 19 ．【解答】解：（1）如图， △ ABC 即为所求； （2）如图， △ A1B1C1 即为所求； （3）点 P1 的坐标 (a + 3, -b + 4) ．故答案为： (a + 3, -b + 4) ． 20 ．【解答】解：（1）当点 P(2m - 4, 3m +1) 在 y 轴上时， 2m - 4 = 0 ，解得m = 2 ， : 3m + 1 = 7 ， : 点P 的坐标为 (0, 7) ； （2）当直线 PA 平行于 x 轴，且 A(-4, -2) ，点 P(2m - 4, 3m +1) ，则 3m + 1 = -2 ，解得 m = -1 ， : 2m - 4 = 2 × (-1) - 4 = -6 ， : 点 P 的坐标为 (-6, -2) ； （3） : 点 P(2m - 4, 3m +1) 到x 轴， y 轴距离相等， :| 2m - 4 |=| 3m + 1| ，解得 m = -5 或 m ， 21 ．【解答】解：（1） : 一次函数 y = (m - 2)x + 3 - m 的图象不经过第三象限， 第 13页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 ( < 0 ≥ 0 ) ( : { ) ( l 3 - m )〔m - 2 , 得 m < 2 ， : m 为正整数， :m = 1 ，即 m 的值是 1； （2） 由（1）知， m = 1 ， : y = (1- 2)x + 3 - 1 = -x + 2 ，当 x = 0 时 ， y = 2 ， 当 y = 0 时 ， x = 2 ， 该一次函数的图象如图所示； （3）当 y = -4 时， -4 = -x + 2 ，得 x = 6 ，当 y = 0 时， 0 = -x + 2 ，得 x = 2 ， 由图象可得，当 -4 < y < 0 时， x 的取值范围是 2 < x < 6 ． 22 ．【解答】（1）证明：连接 AC ， : AB = BC ， : 上ECA = 上BAC ， : AB / /CD ， : 上DCA = 上BAC ， : 上DCA = 上ECA ， 在△ DCA 和△ECA 中 : △ DCA 三 △ ECA(SAS) ， : 上D = 上CEA ， : AD 丄 DC ， : 上D = 90O ， : 上CEA = 90O ， : AE 丄 BC ； （2）解： : △ DCA 三 △ ECA ， : AE = AD = 6 ， 设 AB = x ， : DC = CE = 3 ， :在 Rt △ BEA 中， 由勾股定理得： AB2 = BE2 + AE2 ， : AB = BC ， 第 14页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 :x2 = (x — 3)2 + 62 ，解得： x = 7.5 ，即 AB = 7.5 ． 23 ．【解答】解：如图，点 F 为所作． 理由如下： : 点D 为 OC 的垂直平分线与 OB 的交点， :DO = DC ， : 上DCO = 上DOC = 20O ， : 上CDF = 上DCO + 上DOC = 40O ， : CF = CD ， : 上CFD = 上CDF = 40O ， 即 上CFO = 40O ． 24 ．【解答】解：（1）将点 P(—1, m) 代入 y = —x + 5 得： m = —(—1) + 5 = 6 ， : 点 P(—1, 6) ， 设直线l2 的函数表达式为： y = kx +b(k ≠ 0) ， 将P(—1, 6) 和 A(—4, 0) 代入 y = kx +b 得： { 解得： ， : 直线 l2 的函数表达式为： y = 2x + 8 ； （2）设点M 的横坐标为 n ， ( : 点 M 的坐标为 ( n , 2 n + 8) ， : MN / / y 轴， : N ( n , — n + 5) ， 由题意得 MN = | 2 n + 8 — ( — n + 5) | = 10 ， 整理得， 3 n + 3 = ± 10 ， )解得： n 或 n 故点M 的坐标为 ( — , — ) 或 ( , ) ； （3）在直线 l1 中，当y = 0 时，则 —x + 5 = 0 ，解得： x = 5 ， : 点 B(5, 0) ， : AB = 5 + 4 = 9 ， 设点 Q 的坐标为 (a, —a + 5) ， 第 15页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 根据题意得 S△APQ AB× | 6 — |= 9 ， 即| 1 + a |= 2 ， 解得 a = —3 或 a = 1， : 点 Q 的坐标为 (—3, 8) 或 (1, 4) ，故答案为： (—3, 8) 或 (1, 4) ． 25 ．【解答】（1） AB = AD ． 证明：过点 A 作 AE 丄 y 轴于 E ，作 AF 丄 x 轴于 F ，设 AD 与y 轴交于点 G ， : AD 丄 AB ， : 上DAC = 上EAF ， : 上EAD = 上FAC ， 在△ AGE 和△ACF 中， : △ AGE 三 △ ACF(ASA) ， : 上DCA = 上AGB ， AG = AC ，在△ DAC 和△ BAG 中， : △ DAC 三 △ BAG(ASA) ， : AB = AD ； （2）解：①当DB = DC 时，如图所示： :DA 丄 BC ， AB = AD ， DB = DC ， : 上ABD = 上ACD = 45O ， : 上BDC = 90O ， : 点D 与点 O 重合， : A(1, —1) ， : OA = ， : OB = OC = 2 ， 第 16页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 : m = —2 ； ②当 BC = BD 时，点 C 在 x 轴正半轴时，如图： : OB 丄 DC ， : O 是DC 中点， : DA 丄 BC ， : OD = OA = ·、/2 ， : 点 C(·、 ， 0) ， 设直线 AC 解析式为 y = kx +b ， ( = + 1 = — 2 — 、 ) ( l 、 k + b = 0 l b )则{〔k + b = —1 ，解得 {〔k : 直线 AC 解析式为 y = (·、+ 1)x — 2 — 、 ， 令x = 0 ，则 y = — 、 — 2 ， :B(0, — 、 — 2) ， : m = — ·、 — 2 ； 当点 C 在x 轴负半轴时，如图：同理可得 C( — ·、 ， 0) ， 设直线 AC 解析式为 y = mx + n ， 则{ ，解得 : 直线 AC 解析式为 y = (1 — 、)x — 2 + 、 ，令x = 0 ，则 y = —2 + 、 ， :B(0, —2 + ·、) ， : m = —2 + ·、 ； ③ CB = CD 不存在． 综上所述， m 的值为 —2 或 — — 2 或 —2 + 、 ． 第 17页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 $