第5讲 认识图形（7个知识点+7个易错点+40题强化练习）三年级数学寒假专项提升（北师大版·新教材）

第5讲 认识图形 （7个知识点+7个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、角的定义与组成 定义：从一个点（顶点）引出两条直直的线（射线），所组成的图形叫做角。 组成部分：① 顶点：角的公共端点（1 个）；② 边：从顶点引出的两条射线（2 条，特点是 “直” 且有一个端点）。 表示方法：用角的符号 “∠” 标注，如顶点为 O，两条边分别为 OA、OB，可记作 “∠O”；也可用数字标注，如 “∠1”“∠2”（标注时数字写在角的内部，靠近顶点处）。 示例：三角板的每个角、钟面上 3 时整时时针与分针组成的图形，都是角；两条不相交的直线、曲线组成的图形不是角。 知识点二、直角、锐角、钝角的认识（按角的大小分类） 角的类型 大小范围 判断方法（核心：用三角板直角比对） 示例 直角 正好等于 90° 三角板的直角顶点与角的顶点重合，一条直角边与角的一条边重合，另一条直角边完全重合 长方形、正方形的四个角 锐角 小于 90°（大于 0°） 用三角板直角比对，角的另一条边在三角板直角的两条边之间 三角板中最小的角 钝角 大于 90° 且小于 180° 用三角板直角比对，角的另一条边在三角板直角的两条边外侧 三角板中最大的角 关键提示：三角板是判断角类型的 “标准工具”，所有直角大小都相等，与边的长短无关；钝角必须同时满足 “大于 90°” 和 “小于 180°”（避免与平角、周角混淆，三年级阶段暂不深入平角、周角）。 知识点三、四边形的定义与特征 定义：由 4 条直的边围成的封闭图形，称为四边形。 核心特征：①有 4 条直边；②有 4 个角；③是封闭图形（三者缺一不可）。 示例：长方形、正方形、平行四边形、梯形都是四边形；圆形（曲线围成）、三角形（3 条边）、不封闭的四条线段（断开的图形）都不是四边形。 知识点四、长方形和正方形的特征（与角的关联） 图形 边的特征 角的特征（核心关联） 特殊关系 长方形 对边平行且相等 四个角都是直角（可通过三角板验证） - 正方形 四条边都相等（对边也相等） 四个角都是直角（与长方形角的特征相同） 正方形是特殊的长方形 示例：用三角板比对课本封面的角，可确认是直角，因此课本封面是长方形；魔方的一个面四条边相等、四个角是直角，是正方形。 知识点五、周长的概念 定义：封闭图形一周的长度，就是它的周长。 测量方法：①绕绳法（用无弹性的绳子绕图形一周，量绳子长度）；②直尺测量法（多边形直接测量每条边的长度，求和）。 示例：用绳子绕课桌面一周，绳子的长度就是课桌面的周长；一片树叶的周长是它边缘一圈的长度。 知识点六、长方形和正方形的周长计算 长方形周长公式： 周长 =（长 + 宽）× 2 或 周长 = 长 ×2 + 宽 ×2 推导：长方形有 2 条长和 2 条宽，先算一组长 + 宽，再乘 2。 正方形周长公式： 周长 = 边长 × 4 推导：正方形四条边长度相等，直接用边长乘 4。 示例：①长方形长 5 厘米、宽 3 厘米，周长 =（5+3）×2 = 16 厘米；②正方形边长 4 厘米，周长 = 4×4 = 16 厘米。 知识点七、图形拼组与周长变化 核心规则：用相同的小图形（长方形、正方形）拼组大图形时，重合的边越多，大图形的周长越短；重合的边越少，周长越长。 示例：2 个长 4 厘米、宽 2 厘米的长方形拼组： ① 把长重合（拼成正方形）：大图形边长 4 厘米，周长 = 4×4 = 16 厘米； ② 把宽重合（拼成长方形）：大图形长 8 厘米、宽 2 厘米，周长 =（8+2）×2 = 20 厘米。 易错点剖析 易错点一、角的定义理解错误（混淆 “射线” 与 “线段”，忽略 “顶点”） 错误示例：①认为 “两条直线组成的图形是角”（×，未强调 “从一个顶点引出”，且直线无端点，角的边是射线）；②认为 “角的边越长，角越大”（×，角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关）。 正确解答：①从一个顶点引出两条射线组成的图形是角；②用活动角演示：将角的边拉长，张开程度不变，角的大小不变（如用两根不同长度的硬纸条做成活动角，张开角度相同，角大小相等）。 错误分析：未掌握角的 “顶点 + 两条射线” 核心组成，误将边的 “长度” 与角的 “大小” 关联，忽略角的大小由 “张开程度” 决定。 避坑技巧：画角时先标顶点，再画两条有公共端点的射线；用活动角实操：张开越大角越大，边拉长角不变，强化 “张开程度决定大小” 的认知。 易错点二、直角、锐角、钝角判断错误（未用三角板比对，混淆范围） 错误示例：①把接近 90° 的锐角（如 85°）当成直角（×，未用三角板验证，仅凭视觉判断）；②把 180° 的平角（如一条直线标注顶点）当成钝角（×，钝角需小于 180°）；③认为 “比直角大的角都是钝角”（×，忽略 “小于 180°” 的限制）。 正确解答：①用三角板直角比对：顶点重合、一条边重合，另一条边在直角内侧是锐角，完全重合是直角，外侧是钝角；②180° 的角是平角，不是钝角；③钝角的范围是 “大于 90° 且小于 180°”。 错误分析：依赖视觉判断，未掌握 “三角板直角比对法”，对钝角的范围记忆不完整，混淆钝角与平角的区别。 避坑技巧：判断角的类型时，“三角板是标准”—— 先找三角板的直角，再按 “重合顶点→重合一条边→看另一条边位置” 的步骤判断，不凭感觉下结论。 易错点三、数角时漏数或多数（忽略 “单个角” 与 “组合角”） 错误示例：数下图中角的个数时，只数出 3 个单个的角，漏数由 2 个单个角组成的 2 个角和由 3 个单个角组成的 1 个角，最终错答 “3 个”（×）。 （示例图：从一个顶点引出 4 条射线，组成 3 个单个角，共 6 个角） 正确解答：按顺序数：单个角（3 个）→ 两个单个角组成的角（2 个）→ 三个单个角组成的角（1 个），总数 = 3+2+1=6 个。 错误分析：只关注 “单独的小角”，忽略由多个小角组合成的 “大角”，数角时没有按 “从小到大” 或 “从左到右” 的顺序，导致重复或遗漏。 避坑技巧：数角口诀 “从 1 加到 n”（n 为单个角的个数），如 n=3（3 个单个角），总数 = 1+2+3=6；或标上数字（∠1、∠2、∠3），再数∠1、∠2、∠3、∠1+∠2、∠2+∠3、∠1+∠2+∠3，确保不重复不遗漏。 易错点四、四边形定义理解不完整（漏 “直边” 或 “封闭” 条件） 错误示例：①把 “有 4 条边但有一条是曲线” 的图形归为四边形（×，忽略 “直边” 要求）；②把 “4 条直边但不封闭” 的图形（如四条线段断开）归为四边形（×，忽略 “封闭” 要求）。 正确解答：只有同时满足 “4 条直边”“4 个角”“封闭图形” 三个条件，才是四边形。 错误分析：对四边形的定义记忆片面，只关注 “4 条边”，忽略 “直” 和 “封闭” 的关键属性。 避坑技巧：判断四边形时，用 “三步法”：①看是否封闭（笔尖绕图形一周能回到起点）；②看边是否直（无曲线、无弯折）；③数边的数量（正好 4 条），三步都满足才是四边形。 易错点五、混淆长方形和正方形的角与边的特征 错误示例：①“长方形的四条边都相等”（×，长方形仅对边相等，邻边不等）；②“正方形的角不是直角”（×，正方形四个角都是直角，与长方形角的特征相同）；③“长方形不是四边形”（×，长方形有 4 条直边、4 个角、封闭，是典型四边形）。 正确解答：①长方形对边相等，正方形四条边相等；②长方形和正方形的四个角都是直角；③长方形是四边形的一种。 错误分析：未理清长方形与正方形的 “共性（都有 4 条直边、4 个直角、封闭）” 与 “差异（边的长度：对边相等 vs 四条边相等）”，对图形分类逻辑不清晰。 避坑技巧：画 “图形关系图”：四边形→长方形（对边相等、直角）→正方形（四条边相等、直角），明确正方形是特殊的长方形，两者都属于四边形，强化特征记忆。 易错点六、周长计算错误（漏算边、单位不统一、公式记错） 错误示例：①计算长方形周长时，列算式 “长 + 宽 ×2”（如长 5cm、宽 3cm，算成 5+3×2=11cm，×，漏算一条长，正确应为（5+3）×2=16cm）；②正方形边长 2 分米，算周长时写成 “2+4=6 分米”（×，公式记错，应为 2×4=8 分米）；③长方形长 3 米、宽 20 厘米，直接算（3+20）×2=46 厘米（×，单位不统一，3 米 = 300 厘米，正确应为（300+20）×2=640 厘米）。 正确解答：①长方形周长需算 “2 条长 + 2 条宽”，务必加括号保证先算长 + 宽；②正方形周长 = 边长 ×4，不是 “边长 + 4”；③计算前统一单位（优先选题目要求或较大的单位）。 错误分析：对周长公式记忆不准确，忽略混合运算顺序，或未注意边长单位的一致性，导致计算逻辑或结果错误。 避坑技巧：①记公式口诀：“长周（长 + 宽）×2，正周边长 ×4”，列式时 “先加后乘必加括号”；②计算前圈出所有边长的单位，不同单位先换算（如米→厘米、分米→毫米），再代入公式。 易错点七、拼组图形周长计算忽略重合边 错误示例：3 个边长 2 厘米的正方形拼成长方形，算周长时用 “2×4×3=24 厘米”（×，未减去重合的 4 条边：每两个正方形拼合重合 2 条边，3 个正方形拼合重合 2 处，共重合 4 条边，每条边长 2 厘米，需减 4×2=8 厘米）。 正确解答：拼成的长方形长 = 2×3=6 厘米，宽 = 2 厘米，周长 =（6+2）×2=16 厘米（或用 “总周长和 - 2× 重合边总长”：24 - 8=16 厘米）。 错误分析：拼组时，重合的边会 “隐藏”，不再属于大图形的周长，学生只算所有小图形的周长和，未减去重合边的长度，导致周长算多。 避坑技巧：拼组前画草图，用虚线标出重合的边，按 “①算小图形总周长和→②算重合边的总长度（每条重合边算 2 次，因为分别属于两个小图形）→③大图形周长 = 总周长和 - 2× 重合边总长” 的步骤计算，或直接算拼后大图形的长和宽（正方形拼长方形：长 = 边长 × 个数，宽 = 边长），再用公式计算。 强化练习 一、选择题 1．用两个同样的正方形边与边相连可以拼成（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．无法确定 2．信封里装着的图形不可能是（    ）。 A．正方形 B．三角形 C．长方形 3．乐乐在纸上画了一个角，然后用放大镜观察，这个角（    ）。 A．会变大 B．会变小 C．大小不变 4．10时整，钟面上分针与时针所成的较小角为（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 5．在下面小棒中，用（    ）组小棒能拼成一个长方形。（单位：厘米） A．7、5、4、3 B．7、4、4、7 C．5、4、3、4 6．下面的图形中，角最少的是（    ）。 A． B． C． 7．把一个钝角分成两个角，不可能分成（    ）。 A．两个锐角 B．一个锐角和一个钝角 C．两个直角 8．中秋节挑灯笼寓意着团圆、美满和对美好生活的向往。下面的灯笼杆与灯笼绳形成的角中，最大的是（    ）。 A． B． C． 9．按记号能围成一个长方形的绳子是（    ）。 A． B． C． 10．清代高鼎的《村居》：草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟；儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。生动描写了儿童散学归来放风筝的情景。下图画的是A、B、C三个同学放飞的风筝，风筝线长度均为30米。飞得最高的是（    ）。 A． A B． B C． C 二、填空题 11．数一数，下图中有( )个正方形，( )个长方形。 12．数一数，填一填。                                                    有( )个角  有( )个钝角  有( )个锐角  有( )个直角 13．图中有( )个角，其中直角有( )个。 14．在一个长、宽的长方形中，至少能折出( )个同样大的正方形，这个正方形的边长是( )cm。 15．钟面上的时针与分针会形成各种角。观察下列钟表图，在最大角的下面画“△”，最小角的下面画“○”。 16．从一张长7cm、宽4cm的长方形纸上剪一个最大的正方形，这个正方形的边长是( ) cm。 17．在一张长36厘米、宽28厘米的长方形纸板上剪一下，剪出一个最大的正方形，剩下部分是一个( )形，剩下的图形面积是( )平方厘米。 18．一个锐角和一个直角拼在一起（不重合），得到的角是( )角。 19．用6根相同的小棒围成一个长方形，每根小棒长2厘米，围成的长方形的周长是( )厘米；要围成一个正方形，至少再添( )根相同的小棒，周长是( )厘米。 20．根据角的度数大小，将角分为不同种类。下午3：00的时候，时针和分针的夹角是( )角，从下午3：00到4：00，分针转动形成的角是( )角。 三、判断题 21．因为角有大小之分，所以黑板上的直角比数学书上的直角大。( ) 22．四个角都相等，两组对边分别相等的四边形不一定是正方形。( ) 23．所有的四边形都是长方形。( ) 24．改变角的边的长短，不改变角的大小。( ) 25．图中，角2比角1大。( ) 四、作图题 26．在下图中，各增加一条线，分别使它增加2个直角，3个直角，4个直角。          增加2个直角        增加3个直角      增加4个直角 27．在下面点子图先接着画出长方形，再画一个钝角和一个直角。 28．钟面上几时整，时针和分针形成的较小的角分别是锐角、直角和钝角？在钟面上画出时针和分针。（有多种答案，画出一种即可）        锐角                直角               钝角 29．画一个长4厘米、宽2厘米的长方形，并计算出它的周长。 五、解答题 30．用一张长14厘米、宽9厘米的长方形纸，折一个最大的正方形，正方形的边长是几厘米？ 31．下面是一个火车道岔示意图，图中∠1和∠2分别是多少度？ 32．一块长方形广告牌的长为9米，宽为6米，这块广告牌的周长是多少米？ 33．一个长方形花坛，长12米，宽8米。要在花坛的四周围上一圈栅栏，栅栏的长度是多少米？如果花坛一面靠墙（墙足够长），最少需要多少米栅栏？ 34．为庆祝第四个中国人民警察节的到来，某市举办了“警营开放周”活动，工作人员计划在一块靠墙的空地上围出一块长40米、宽28米的空地，供“铁骑表演”使用。如果用警戒绳围这个长方形空地，至少需要多少米长的警戒绳？（请画出示意图） 35．老师在手工课上让学生们从一个长15厘米，宽9厘米的长方形卡纸上剪一个最大的正方形，这个正方形的周长是多少厘米？剩下的图形的周长是多少厘米？ 36．人民公园内有一个长方形的花圃，花圃宽30米，长是宽的2倍，现在要在花圃的四周围上篱笆，篱笆总长为多少米？ 37．有两根长度相等的铁丝，一根铁丝正好可以围成一个边长是12厘米的正方形，另一根铁丝围成了一个长方形，这个长方形的长是22厘米，宽是多少厘米？ 38．如图中的阴影部分是一个正方形。最大长方形的周长是多少厘米？（思路导航：9厘米是哪两条线段的长度和？也相当于哪两条线段的长度和？） 39．张大爷用24米长的篱笆围了一个一面靠墙的长方形鸡舍（如图），这个长方形鸡舍的宽是多少米？如果同样长的篱笆围一个一面靠墙的正方形鸡舍，那么正方形鸡舍的边长是多少米？ 40．绿色菜园，健康一生，绿色蔬菜不仅是餐桌上的佳肴，更是健康生活的守护者。李阿姨为了能吃上新鲜的绿色蔬菜，决定靠一面墙壁围一个长是6米，宽是4米的长方形菜园，最少需要多长的围栏？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 认识图形 （7个知识点+7个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、角的定义与组成 定义：从一个点（顶点）引出两条直直的线（射线），所组成的图形叫做角。 组成部分：① 顶点：角的公共端点（1 个）；② 边：从顶点引出的两条射线（2 条，特点是 “直” 且有一个端点）。 表示方法：用角的符号 “∠” 标注，如顶点为 O，两条边分别为 OA、OB，可记作 “∠O”；也可用数字标注，如 “∠1”“∠2”（标注时数字写在角的内部，靠近顶点处）。 示例：三角板的每个角、钟面上 3 时整时时针与分针组成的图形，都是角；两条不相交的直线、曲线组成的图形不是角。 知识点二、直角、锐角、钝角的认识（按角的大小分类） 角的类型 大小范围 判断方法（核心：用三角板直角比对） 示例 直角 正好等于 90° 三角板的直角顶点与角的顶点重合，一条直角边与角的一条边重合，另一条直角边完全重合 长方形、正方形的四个角 锐角 小于 90°（大于 0°） 用三角板直角比对，角的另一条边在三角板直角的两条边之间 三角板中最小的角 钝角 大于 90° 且小于 180° 用三角板直角比对，角的另一条边在三角板直角的两条边外侧 三角板中最大的角 关键提示：三角板是判断角类型的 “标准工具”，所有直角大小都相等，与边的长短无关；钝角必须同时满足 “大于 90°” 和 “小于 180°”（避免与平角、周角混淆，三年级阶段暂不深入平角、周角）。 知识点三、四边形的定义与特征 定义：由 4 条直的边围成的封闭图形，称为四边形。 核心特征：①有 4 条直边；②有 4 个角；③是封闭图形（三者缺一不可）。 示例：长方形、正方形、平行四边形、梯形都是四边形；圆形（曲线围成）、三角形（3 条边）、不封闭的四条线段（断开的图形）都不是四边形。 知识点四、长方形和正方形的特征（与角的关联） 图形 边的特征 角的特征（核心关联） 特殊关系 长方形 对边平行且相等 四个角都是直角（可通过三角板验证） - 正方形 四条边都相等（对边也相等） 四个角都是直角（与长方形角的特征相同） 正方形是特殊的长方形 示例：用三角板比对课本封面的角，可确认是直角，因此课本封面是长方形；魔方的一个面四条边相等、四个角是直角，是正方形。 知识点五、周长的概念 定义：封闭图形一周的长度，就是它的周长。 测量方法：①绕绳法（用无弹性的绳子绕图形一周，量绳子长度）；②直尺测量法（多边形直接测量每条边的长度，求和）。 示例：用绳子绕课桌面一周，绳子的长度就是课桌面的周长；一片树叶的周长是它边缘一圈的长度。 知识点六、长方形和正方形的周长计算 长方形周长公式： 周长 =（长 + 宽）× 2 或 周长 = 长 ×2 + 宽 ×2 推导：长方形有 2 条长和 2 条宽，先算一组长 + 宽，再乘 2。 正方形周长公式： 周长 = 边长 × 4 推导：正方形四条边长度相等，直接用边长乘 4。 示例：①长方形长 5 厘米、宽 3 厘米，周长 =（5+3）×2 = 16 厘米；②正方形边长 4 厘米，周长 = 4×4 = 16 厘米。 知识点七、图形拼组与周长变化 核心规则：用相同的小图形（长方形、正方形）拼组大图形时，重合的边越多，大图形的周长越短；重合的边越少，周长越长。 示例：2 个长 4 厘米、宽 2 厘米的长方形拼组： ① 把长重合（拼成正方形）：大图形边长 4 厘米，周长 = 4×4 = 16 厘米； ② 把宽重合（拼成长方形）：大图形长 8 厘米、宽 2 厘米，周长 =（8+2）×2 = 20 厘米。 易错点剖析 易错点一、角的定义理解错误（混淆 “射线” 与 “线段”，忽略 “顶点”） 错误示例：①认为 “两条直线组成的图形是角”（×，未强调 “从一个顶点引出”，且直线无端点，角的边是射线）；②认为 “角的边越长，角越大”（×，角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关）。 正确解答：①从一个顶点引出两条射线组成的图形是角；②用活动角演示：将角的边拉长，张开程度不变，角的大小不变（如用两根不同长度的硬纸条做成活动角，张开角度相同，角大小相等）。 错误分析：未掌握角的 “顶点 + 两条射线” 核心组成，误将边的 “长度” 与角的 “大小” 关联，忽略角的大小由 “张开程度” 决定。 避坑技巧：画角时先标顶点，再画两条有公共端点的射线；用活动角实操：张开越大角越大，边拉长角不变，强化 “张开程度决定大小” 的认知。 易错点二、直角、锐角、钝角判断错误（未用三角板比对，混淆范围） 错误示例：①把接近 90° 的锐角（如 85°）当成直角（×，未用三角板验证，仅凭视觉判断）；②把 180° 的平角（如一条直线标注顶点）当成钝角（×，钝角需小于 180°）；③认为 “比直角大的角都是钝角”（×，忽略 “小于 180°” 的限制）。 正确解答：①用三角板直角比对：顶点重合、一条边重合，另一条边在直角内侧是锐角，完全重合是直角，外侧是钝角；②180° 的角是平角，不是钝角；③钝角的范围是 “大于 90° 且小于 180°”。 错误分析：依赖视觉判断，未掌握 “三角板直角比对法”，对钝角的范围记忆不完整，混淆钝角与平角的区别。 避坑技巧：判断角的类型时，“三角板是标准”—— 先找三角板的直角，再按 “重合顶点→重合一条边→看另一条边位置” 的步骤判断，不凭感觉下结论。 易错点三、数角时漏数或多数（忽略 “单个角” 与 “组合角”） 错误示例：数下图中角的个数时，只数出 3 个单个的角，漏数由 2 个单个角组成的 2 个角和由 3 个单个角组成的 1 个角，最终错答 “3 个”（×）。 （示例图：从一个顶点引出 4 条射线，组成 3 个单个角，共 6 个角） 正确解答：按顺序数：单个角（3 个）→ 两个单个角组成的角（2 个）→ 三个单个角组成的角（1 个），总数 = 3+2+1=6 个。 错误分析：只关注 “单独的小角”，忽略由多个小角组合成的 “大角”，数角时没有按 “从小到大” 或 “从左到右” 的顺序，导致重复或遗漏。 避坑技巧：数角口诀 “从 1 加到 n”（n 为单个角的个数），如 n=3（3 个单个角），总数 = 1+2+3=6；或标上数字（∠1、∠2、∠3），再数∠1、∠2、∠3、∠1+∠2、∠2+∠3、∠1+∠2+∠3，确保不重复不遗漏。 易错点四、四边形定义理解不完整（漏 “直边” 或 “封闭” 条件） 错误示例：①把 “有 4 条边但有一条是曲线” 的图形归为四边形（×，忽略 “直边” 要求）；②把 “4 条直边但不封闭” 的图形（如四条线段断开）归为四边形（×，忽略 “封闭” 要求）。 正确解答：只有同时满足 “4 条直边”“4 个角”“封闭图形” 三个条件，才是四边形。 错误分析：对四边形的定义记忆片面，只关注 “4 条边”，忽略 “直” 和 “封闭” 的关键属性。 避坑技巧：判断四边形时，用 “三步法”：①看是否封闭（笔尖绕图形一周能回到起点）；②看边是否直（无曲线、无弯折）；③数边的数量（正好 4 条），三步都满足才是四边形。 易错点五、混淆长方形和正方形的角与边的特征 错误示例：①“长方形的四条边都相等”（×，长方形仅对边相等，邻边不等）；②“正方形的角不是直角”（×，正方形四个角都是直角，与长方形角的特征相同）；③“长方形不是四边形”（×，长方形有 4 条直边、4 个角、封闭，是典型四边形）。 正确解答：①长方形对边相等，正方形四条边相等；②长方形和正方形的四个角都是直角；③长方形是四边形的一种。 错误分析：未理清长方形与正方形的 “共性（都有 4 条直边、4 个直角、封闭）” 与 “差异（边的长度：对边相等 vs 四条边相等）”，对图形分类逻辑不清晰。 避坑技巧：画 “图形关系图”：四边形→长方形（对边相等、直角）→正方形（四条边相等、直角），明确正方形是特殊的长方形，两者都属于四边形，强化特征记忆。 易错点六、周长计算错误（漏算边、单位不统一、公式记错） 错误示例：①计算长方形周长时，列算式 “长 + 宽 ×2”（如长 5cm、宽 3cm，算成 5+3×2=11cm，×，漏算一条长，正确应为（5+3）×2=16cm）；②正方形边长 2 分米，算周长时写成 “2+4=6 分米”（×，公式记错，应为 2×4=8 分米）；③长方形长 3 米、宽 20 厘米，直接算（3+20）×2=46 厘米（×，单位不统一，3 米 = 300 厘米，正确应为（300+20）×2=640 厘米）。 正确解答：①长方形周长需算 “2 条长 + 2 条宽”，务必加括号保证先算长 + 宽；②正方形周长 = 边长 ×4，不是 “边长 + 4”；③计算前统一单位（优先选题目要求或较大的单位）。 错误分析：对周长公式记忆不准确，忽略混合运算顺序，或未注意边长单位的一致性，导致计算逻辑或结果错误。 避坑技巧：①记公式口诀：“长周（长 + 宽）×2，正周边长 ×4”，列式时 “先加后乘必加括号”；②计算前圈出所有边长的单位，不同单位先换算（如米→厘米、分米→毫米），再代入公式。 易错点七、拼组图形周长计算忽略重合边 错误示例：3 个边长 2 厘米的正方形拼成长方形，算周长时用 “2×4×3=24 厘米”（×，未减去重合的 4 条边：每两个正方形拼合重合 2 条边，3 个正方形拼合重合 2 处，共重合 4 条边，每条边长 2 厘米，需减 4×2=8 厘米）。 正确解答：拼成的长方形长 = 2×3=6 厘米，宽 = 2 厘米，周长 =（6+2）×2=16 厘米（或用 “总周长和 - 2× 重合边总长”：24 - 8=16 厘米）。 错误分析：拼组时，重合的边会 “隐藏”，不再属于大图形的周长，学生只算所有小图形的周长和，未减去重合边的长度，导致周长算多。 避坑技巧：拼组前画草图，用虚线标出重合的边，按 “①算小图形总周长和→②算重合边的总长度（每条重合边算 2 次，因为分别属于两个小图形）→③大图形周长 = 总周长和 - 2× 重合边总长” 的步骤计算，或直接算拼后大图形的长和宽（正方形拼长方形：长 = 边长 × 个数，宽 = 边长），再用公式计算。 强化练习 一、选择题 1．用两个同样的正方形边与边相连可以拼成（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．无法确定 【答案】B 【分析】正方形的四条边相等，两个相同的正方形，通过“边与边相连”（即共享一条完整的边，贴合在一起）时，即可以拼成一个新的图形，这个图形的对边相等，邻边不相等，所以新图形是一个长方形。据此作答。 【详解】如图所示： 用两个同样的正方形边与边相连可以拼成长方形。 故答案为：B 2．信封里装着的图形不可能是（    ）。 A．正方形 B．三角形 C．长方形 【答案】B 【分析】长方形的对边相等，有四个角是直角；正方形的四条边都相等，有四个角是直角；三角形是由三条边围成的封闭图形，有三个尖尖的角；依此选择即可。 【详解】A．图中露出的部分有两个直角，这个图形可能是正方形； B．图中露出的部分有两个直角，若这个图形是三角形则不可能围成封闭图形，所以这个图形不可能是三角形； C．图中露出的部分有两个直角，这个图形可能是长方形。 故答案为：B 3．乐乐在纸上画了一个角，然后用放大镜观察，这个角（    ）。 A．会变大 B．会变小 C．大小不变 【答案】C 【分析】已知角的大小与两条边的长短无关，只与两边叉开的大小有关，两边叉开的越大，角越大；乐乐用放大镜观察这个角，只是把两边的长度放大了，两边叉开的大小不变，所以这个角大小不变。据此解答。 【详解】根据分析可知： 乐乐在纸上画了一个角，然后用放大镜观察，这个角大小不变。 故答案为：C 4．10时整，钟面上分针与时针所成的较小角为（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】A 【分析】能与三角尺上的直角重合的角是直角，锐角比直角小，钝角比直角大；10时整，分针指着12，时针指着10，钟面上分针与时针所成的较小角比直角小，是锐角。据此解答。 【详解】根据分析可知： 10时整，钟面上分针与时针所成的较小角为锐角。 故答案为：A 5．在下面小棒中，用（    ）组小棒能拼成一个长方形。（单位：厘米） A．7、5、4、3 B．7、4、4、7 C．5、4、3、4 【答案】B 【分析】根据长方形的性质：两组对边相等。据此解答即可。 【详解】在这6根小棒中，只有2根长7厘米的小棒和2根长4厘米的小棒符合条件。 故答案选：B 6．下面的图形中，角最少的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】 角是由一点引出两条射线所组成的图形叫角，这个点是顶点，两条射线是边，是由曲线组成，没有角；由曲线和线段组成，有2个角满足角的特征；由线段组成，有5个角。 【详解】A．不满足角的特征，无角。 B．满足角的特征，有2个角。 C．满足角的特征，有5个角。 因此，角最少的是A选项，0个角。 故答案为：A。 7．把一个钝角分成两个角，不可能分成（    ）。 A．两个锐角 B．一个锐角和一个钝角 C．两个直角 【答案】C 【分析】锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°小于180°，逐个分析选项是否成立，据此判断。 【详解】A．锐角小于90°，钝角大于90°小于180°，两个锐角之和只要大于90°小于180°即可，例如一个100°的钝角分成一个30°和一个70°的锐角，因此一个钝角分成两个角，可能分成两个锐角，该选项错误。 B．锐角小于90°，钝角大于90°小于180°，一个锐角和一个钝角的和只要大于90°小于180°即可，例如一个150°的钝角分成一个30°的锐角和一个120°的钝角，因此一个钝角分成两个角，可能分成一个锐角和一个钝角，该选项错误。 C．直角等于90°，两个直角之和为180°，所以一个钝角不可能分成两个直角，符合题意，该选项正确。 故答案为：C 8．中秋节挑灯笼寓意着团圆、美满和对美好生活的向往。下面的灯笼杆与灯笼绳形成的角中，最大的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】根据题意可知：用三角尺的直角进行比对即可。和直角重合的就是直角，大于直角的是钝角，小于直角的是锐角。即锐角＜直角＜钝角，钝角最大。 【详解】A．和直角重合，是直角； B． 小于直角是锐角； C．大于直角是钝角； 锐角＜直角＜钝角，钝角最大。 故答案为：C 9．按记号能围成一个长方形的绳子是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据长方形的两条对边相等，相邻的边不相等，即可判断哪一根绳子能围成长方形。 【详解】A．绳子围成的四边形的四条边都相等，不符合长方形的两条对边相等，相邻的边不相等的要求，选项错误； B．绳子围成的四边形的对边相等，且相邻的边不相等，能围成一个长方形，选项正确； C．绳子围成的四边形的对边不相等，不符合长方形的两条对边相等，相邻的边不相等的要求，选项错误。 故答案为：B 10．清代高鼎的《村居》：草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟；儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。生动描写了儿童散学归来放风筝的情景。下图画的是A、B、C三个同学放飞的风筝，风筝线长度均为30米。飞得最高的是（    ）。 A． A B． B C． C 【答案】C 【分析】由于三条风筝线长度相同，决定风筝高度的关键在于线与地面的夹角大小，风筝线与地面的夹角越大，风筝就越高，据此解答。 【详解】由图可知，C同学放飞的风筝线与地面的夹角最大，所以飞得最高的是C。 故答案为：C 二、填空题 11．数一数，下图中有( )个正方形，( )个长方形。 【答案】 6 6 【分析】根据正方形四边条都相等，四个角都是直角，从图中可以看出，图中有单独1个的正方形，有5个，也有由4个小正方形组成的大正方形，有1个，所以共计5＋1＝6（个）正方形； 根据长方形两组对边分别相等，四个角都是直角，图中有由2个小正方形组成的长方形，有5个，也有由3个小正方形组成的长方形，有1个，所以共计5＋1＝6（个）长方形。据此解答。 【详解】图中正方形有：，共6个； 图中长方形有：，共6个。 所以，图中有6个正方形，6个长方形。 12．数一数，填一填。                                                    有( )个角  有( )个钝角  有( )个锐角  有( )个直角 【答案】 1 4 5 6 【分析】从一个点引出两条边所形成的图形叫作角，能与三角尺上的直角重合的角就是直角，锐角比直角小，钝角比直角大；据此数出各图形中相应的角。 【详解】图中有1个角； 图中有4个钝角； 图中有5个锐角； 图中有6个直角。 所以，结果如下： 13．图中有( )个角，其中直角有( )个。 【答案】 6 2 【分析】单个的角有3个，由2个角组成的角有2个，有3个角组成的角有1个；其中由2个角组成的角是直角，有2个。 【详解】3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6 所以图中有6个角；其中直角有2个。 14．在一个长、宽的长方形中，至少能折出( )个同样大的正方形，这个正方形的边长是( )cm。 【答案】 2 4 【分析】需要根据长方形和正方形的特征，结合题目要求确定能折出的正方形个数和正方形的边长。要在这个长方形中折出同样大的正方形，且要使折出的正方形个数最少，那么正方形的边长就要最大，根据长方形的长和宽的长度关系确定正方形的边长，即可算出正方形的个数。 【详解】长方形的长8cm，宽4cm，长正好是宽的2倍，可以确定最大的正方形的边长为4cm；沿着长折正好可以折出两个4cm，宽是4cm只能折出1个，那么总共能折出的正方形个数为2×1＝2个。 所以至少能折出2个同样大的正方形，这个正方形的边长是4cm。 15．钟面上的时针与分针会形成各种角。观察下列钟表图，在最大角的下面画“△”，最小角的下面画“○”。 【答案】（○）（    ）（    ）（△） 【分析】角的大小与角的两条边的长短无关，与角的两条边张口的大小有关，角的两条边张口越大，角就越大；角的两条边张口越小，角就越小；据此判断角的大小。 【详解】第一个钟表：分针和时针的夹角是2格； 第二个钟表：分针和时针的夹角是4格； 第三个钟表：分针和时针的夹角是3格； 第四个钟表：分针和时针的夹角是5格； 第一个钟表分针和时针的夹角最小，在钟表下面画“○”，第四个钟表分针和时针的夹角最大，在钟表下面画“△”。 16．从一张长7cm、宽4cm的长方形纸上剪一个最大的正方形，这个正方形的边长是( ) cm。 【答案】4 【分析】在一张长方形纸上剪一个最大正方形，最大的正方形边长就是长方形的宽，据此填空。 【详解】从一张长7cm、宽4cm的长方形纸上剪一个最大的正方形，这个正方形的边长是4cm。 17．在一张长36厘米、宽28厘米的长方形纸板上剪一下，剪出一个最大的正方形，剩下部分是一个( )形，剩下的图形面积是( )平方厘米。 【答案】 长方 224 【分析】根据题意，长方形长36厘米，宽28厘米。剪出的最大正方形边长不能超过长方形的宽，因此边长为28厘米。剪去边长为28厘米的正方形后，原长方形的长剩余36－28＝8（厘米），宽仍为28厘米。剩余部分是一个长为28厘米、宽为8厘米的长方形。根据长方形的面积＝长×宽，列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 36－28＝8（厘米） 28×8＝224（厘米） 在一张长36厘米、宽28厘米的长方形纸板上剪一下，剪出一个最大的正方形，剩下部分是一个长方形，剩下的图形面积是224平方厘米。 18．一个锐角和一个直角拼在一起（不重合），得到的角是( )角。 【答案】钝 【分析】根据钝角、直角、锐角的含义可知：锐角是大于0°小于90°的角；钝角是大于90°小于180°的角；直角是等于90°的角；所以直角＋锐角＝钝角；据此解答即可。 【详解】锐角＋直角＝钝角 一个锐角和一个直角拼在一起（不重合），得到的角是钝角。 19．用6根相同的小棒围成一个长方形，每根小棒长2厘米，围成的长方形的周长是( )厘米；要围成一个正方形，至少再添( )根相同的小棒，周长是( )厘米。 【答案】 12 2 16 【分析】6根小棒的长度就是长方形的周长，用6根乘每根长度即可算出。 正方形有4条边，长度相等。要围成正方形，小棒的根数要能被4整除。6加2就能被4整除，据此知道再添几根小棒就能围成一个正方形，8乘每根小棒的长度就是正方形的周长。 【详解】6×2＝12（厘米） 所以，围成的长方形的周长是12厘米 要围成一个正方形，至少再添2根小棒。 6＋2＝8（根） 8×2＝16（厘米） 正方形的周长是16厘米。 20．根据角的度数大小，将角分为不同种类。下午3：00的时候，时针和分针的夹角是( )角，从下午3：00到4：00，分针转动形成的角是( )角。 【答案】 直 周 【分析】钟面上一个大格为30°，下午3：00的时候，时针和分针中间有3个大格，用30°×3即可算得夹角的度数；分针转一圈正好是360°，即为周角。 【详解】根据分析可得： 30°×3＝90° 所以下午3：00的时候，时针和分针的夹角是直角； 分针转一圈正好是360°，而周角的度数是360°，所以分针转一圈即为周角； 所以下午3：00的时候，时针和分针的夹角是直角，从下午3：00到4：00，分针转动形成的角是周角。 【点睛】本题考查钟面上角度的认识，牢记钟面上每一大格表示多少度是解题的关键。 三、判断题 21．因为角有大小之分，所以黑板上的直角比数学书上的直角大。( ) 【答案】× 【分析】从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大，叉开得越小，角越小。由此解答。 【详解】黑板上的角和数学书上的角都是直角，一样大。 原题说法错误。 故答案为：× 22．四个角都相等，两组对边分别相等的四边形不一定是正方形。( ) 【答案】√ 【分析】根据正方形的定义，四个角都是直角且四条边都相等的四边形是正方形。题目中的四边形满足四个角相等（即都是直角）和两组对边分别相等，但未说明四条边全部相等。因此，该四边形可能是长方形（仅对边相等），而长方形不一定是正方形。 【详解】由分析知： 满足上述条件的四边形是长方形，而长方形邻边不等时不是正方形。 所以四个角都相等，两组对边分别相等的四边形不一定是正方形；原题干说法正确。 故答案为：√ 23．所有的四边形都是长方形。( ) 【答案】× 【分析】根据四边形的定义，四边形是由四条边组成的封闭图形。而长方形是四边形的一种特殊形式，需满足四个角都是直角且对边相等的条件。据此解答即可。 【详解】四边形的定义是四条边首尾相连形成的封闭图形，包括长方形、正方形、梯形、平行四边形等。长方形必须满足四个角都是直角且对边相等的条件。例如，梯形只有一组对边平行，且没有四个直角。因此，存在四边形不是长方形的情况。 故答案为：× 24．改变角的边的长短，不改变角的大小。( ) 【答案】√ 【分析】角的大小是由两边叉开的程度决定的，与边的长短无关。改变边的长度不会影响两边叉开的大小，因此角的大小不变。 【详解】根据角的定义，角的大小由两条边叉开的程度决定，与边的长度无关。例如，画一个角时，无论将边延长或缩短，只要两边叉开的程度不变，角的大小就不会改变。 故答案为：√ 25．图中，角2比角1大。( ) 【答案】× 【分析】角的大小与两边张口有关，与边的长短无关，张口越大，角越大。由图可知，角1的张口比角2大，所以角1比角2大；据此解答。 【详解】由图可知，角1比角2大，所以原题意“角2比角1大”错误。 故答案为：× 四、作图题 26．在下图中，各增加一条线，分别使它增加2个直角，3个直角，4个直角。          增加2个直角        增加3个直角      增加4个直角 【答案】见详解 【分析】用三角板的直角进行比较测量和作图。 要增加2个直角，过三角形的任意顶点向对边作垂线即可； 要增加3个直角，过直角梯形中的钝角顶点向底边作垂线即可； 要增加4个直角，作长和宽的平行线即可。据此作图。 【详解】作图如下： （第一个和第三个图形画法不唯一） 27．在下面点子图先接着画出长方形，再画一个钝角和一个直角。 【答案】见详解 【分析】长方形的对边相等，较长的边叫做长，较短的边叫做宽，4个角都是直角，由此补全图形。角由一个顶点和两条边组成，和书本、黑板的角相同大小的是直角，比直角大的是钝角，比直角小的是锐角，三角尺上最大的角是直角，可由此作图。 【详解】据分析作图如下： （钝角和直角画法不唯一） 28．钟面上几时整，时针和分针形成的较小的角分别是锐角、直角和钝角？在钟面上画出时针和分针。（有多种答案，画出一种即可）        锐角                直角               钝角 【答案】画图见详解 【分析】能与三角尺上的直角重合的角就是直角，锐角比直角小，钝角比直角大；几时整时，分针指着12，时针指着几就是几时；当3时整或9时整时，时针和分针形成的较小的角是直角，则1时整、2时整、10时整、11时整时，时针与分针形成的较小的角是锐角；4时整、5时整、7时整、8时整时，时针与分针形成的较小的角是钝角。据此画图。 【详解】根据分析，画图如下： 29．画一个长4厘米、宽2厘米的长方形，并计算出它的周长。 【答案】图见详解； 12厘米 【分析】由题意，长方形有4条边，4个直角，对边相等。要画一个长4厘米，宽2厘米的长方形，可以先画一个直角，然后在直角的两边截取4厘米和2厘米，接着再将两条边平移，最后围成一个长方形。长方形的周长＝（长＋宽）×2，直接将数据代入即可算出长方形的周长。 【详解】长方形如图： （4＋2）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 所以，它的周长是12厘米。 五、解答题 30．用一张长14厘米、宽9厘米的长方形纸，折一个最大的正方形，正方形的边长是几厘米？ 【答案】9厘米 【分析】由题意可知，用一张长14厘米、宽9厘米的长方形纸折正方形，由于长方形中的较短的边是9厘米，就已经限制了折出的正方形的最大边长只能是9厘米，所以最大的正方形的边长是9厘米，据此解答即可。 【详解】根据分析可知，正方形的边长是9厘米。 答：用一张长14厘米、宽9厘米的长方形纸，折一个最大的正方形，正方形的边长是9厘米。 31．下面是一个火车道岔示意图，图中∠1和∠2分别是多少度？ 【答案】∠1是142度；∠2是38度。 【分析】（1）由图可知，∠1与38°角组成一个平角，因为平角的度数是180°，所以∠1＝180°－38°； （2）由图可知，∠1和∠2也组成一个平角，所以∠2＝180°－∠1 【详解】（1）180°－38°＝142° （2）180°－142°＝38° 答：∠1是142度；∠2是38度。 32．一块长方形广告牌的长为9米，宽为6米，这块广告牌的周长是多少米？ 【答案】30米 【分析】因为广告牌是长方形，所以求广告牌的周长也就是求长方形的周长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形广告牌的长为9米，宽为6米，即可求出长方形的周长。 【详解】（9＋6）×2 ＝15×2 ＝30（米） 答：这块广告牌的周长是30米。 33．一个长方形花坛，长12米，宽8米。要在花坛的四周围上一圈栅栏，栅栏的长度是多少米？如果花坛一面靠墙（墙足够长），最少需要多少米栅栏？ 【答案】40米；28米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2求出栅栏的长度，如果花坛一面靠墙，让长边靠墙能使栅栏米数最少，则用宽×2＋长即可求出。 【详解】（12＋8）×2 ＝20×2 ＝40（米） 8×2＋12 ＝16＋12 ＝28（米） 答：栅栏的长度是40米，如果花坛一面靠墙（墙足够长），最少需要28米栅栏。 34．为庆祝第四个中国人民警察节的到来，某市举办了“警营开放周”活动，工作人员计划在一块靠墙的空地上围出一块长40米、宽28米的空地，供“铁骑表演”使用。如果用警戒绳围这个长方形空地，至少需要多少米长的警戒绳？（请画出示意图） 【答案】96米 【分析】分两种情况：①是长方形的一条宽边靠墙，则警戒绳的长度＝长×2＋宽；②是长方形的一条长边靠墙，则警戒绳的长度＝宽×2＋长；通过计算所需的警戒绳的米数，比较即可得出结论。 【详解】如图： ①40×2＋28 ＝80＋28 ＝108（米） ②28×2＋40 ＝56＋40 ＝96（米） 108＞96 答：至少需要96米长的警戒绳。 35．老师在手工课上让学生们从一个长15厘米，宽9厘米的长方形卡纸上剪一个最大的正方形，这个正方形的周长是多少厘米？剩下的图形的周长是多少厘米？ 【答案】36厘米；30厘米 【分析】从一张长15厘米，宽9厘米的长方形纸上剪出一个最大的正方形，所以剪下一个最大的正方形的边长只能是9厘米，根据正方形的周长＝边长×4进行解答。则剩下部分是长为9厘米，宽为15－9＝6厘米的长方形，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2计算。 【详解】9×4＝36（厘米） 15－9＝6（厘米）      （9＋6）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 答：这个正方形的周长是36厘米，剩下的图形的周长是30厘米。 36．人民公园内有一个长方形的花圃，花圃宽30米，长是宽的2倍，现在要在花圃的四周围上篱笆，篱笆总长为多少米？ 【答案】180米 【分析】根据题意可知用宽乘2即可求出长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，将数据带入计算即可求解。 【详解】30×2＝60（米） （60＋30）×2 ＝90×2 ＝180（米） 答：篱笆总长为180米。 37．有两根长度相等的铁丝，一根铁丝正好可以围成一个边长是12厘米的正方形，另一根铁丝围成了一个长方形，这个长方形的长是22厘米，宽是多少厘米？ 【答案】2厘米 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，求出一根铁丝的总长度，即12×4＝48（厘米），根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，用一根铁丝的总长度除以2，求出长和宽的总长度，再减去长的长度，即可求出这个长方形的长是多少厘米。 【详解】12×4＝48（厘米） 48÷2＝24（厘米） 24－22＝2（厘米） 答：宽是2厘米。 38．如图中的阴影部分是一个正方形。最大长方形的周长是多少厘米？（思路导航：9厘米是哪两条线段的长度和？也相当于哪两条线段的长度和？） 【答案】48厘米 【分析】观察图形可得：上面的9厘米加下面的15厘米，正好比最大的长方形的长多了一条中间小正方形边长，小正方形的边长与大长方形的宽相等，由此可得：9厘米加15厘米就是这个大长方形的一条长与一条宽的和，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此解答。 【详解】（9＋15）×2 ＝24×2 ＝48（厘米） 答：最大长方形的周长是48厘米。 39．张大爷用24米长的篱笆围了一个一面靠墙的长方形鸡舍（如图），这个长方形鸡舍的宽是多少米？如果同样长的篱笆围一个一面靠墙的正方形鸡舍，那么正方形鸡舍的边长是多少米？ 【答案】7米；8米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，用24米减去一条长，再除以2求出宽即可，正方形的周长＝长方形的周长，因为正方形的一面靠墙，所以边长＝正方形的周长÷3，代入相关数据即可。 【详解】（24－10）÷2 ＝14÷2 ＝7（米） 24÷3＝8（米） 答：这个长方形鸡舍的宽是7米，正方形鸡舍的边长是8米。 40．绿色菜园，健康一生，绿色蔬菜不仅是餐桌上的佳肴，更是健康生活的守护者。李阿姨为了能吃上新鲜的绿色蔬菜，决定靠一面墙壁围一个长是6米，宽是4米的长方形菜园，最少需要多长的围栏？ 【答案】14米 【分析】由题意得，李阿姨要靠一面墙壁围一个长是6米，宽是4米的长方形菜园。要使围栏的长度最短，那么李阿姨需要将长方形菜园的一条长靠墙（如下图）。 由图可知，围栏的长度等于一条长再加上两条宽的长度。据此解答。 【详解】6＋2×4 ＝6＋8 ＝14（米） 答：最少需要14米的围栏。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $