3.6三元一次方程组及其解法（基础篇）练习2025-2026学年沪科版 数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦三元一次方程组及其解法核心知识点，先明晰三元一次方程、方程组的定义及解的概念，再通过消元思想将三元转化为二元、进而一元，系统讲解代入与加减消元法步骤，辅以知识导图，构建从概念到解法再到应用的学习支架。 资料特色在于针对30分至70分学生提分设计，练习题从定义辨析到实际应用（如天平称重、电影票分配），培养数学思维的推理与运算能力，数学眼光的抽象建模意识。课中导图助力知识梳理，课后练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

3.6三元一次方程组及其解法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 三元一次方程组的概念 1. 三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。其一般形式为：（其中(a)、(b)、(c)、(d)均为常数，且(a)、(b)、(c)不全为0）。 2. 三元一次方程组的定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。其一般形式为：（其中、、等为常数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1）。 3. 三元一次方程组的解：使三元一次方程组中三个方程的左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。 三元一次方程组的解法 1. 基本思想：解三元一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。 2. 主要方法： · 代入消元法： 1. 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如(z)）用含另外两个未知数（例如(x)、(y)）的代数式表示出来，即； 2. 将代入方程组中的另外两个方程，消去(z)，得到一个关于(x)、(y)的二元一次方程组； 3. 解这个二元一次方程组，求出(x)、(y)的值； 4. 将求出的(x)、(y)的值代入，求出(z)的值； 5. 把求得的(x)、(y)、(z)的值用“”联立起来，就是原方程组的解。 · 加减消元法： 1. 在三元一次方程组中，若有两个方程中同一个未知数的系数相反或相等，可以把这两个方程两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个二元一次方程； 2. 如果不存在上述情况，可选择一个适当的数去乘方程组中某两个方程的两边，使其中一个未知数的系数相反或相等，再把这两个方程两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个二元一次方程； 3. 用同样的方法，再消去另一个未知数，得到另一个二元一次方程，组成关于另外两个未知数的二元一次方程组； 4. 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； 5. 将求出的两个未知数的值代入原方程组中的一个适当方程，求出第三个未知数的值； 6. 把求得的三个未知数的值用“”联立起来，就是原方程组的解。 3. 解题步骤总结：“三元”→“二元”→“一元”，即通过消元转化，逐步降低未知数的个数，最终求解。 型 习 练 题 三元一次方程组的定义 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 4．方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 5．三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 三元一次方程组的应用 6．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 7．小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 8．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 9．若是从0，，2这三个数中取值的一列数，且，，则在数中，取值为2的数有（   ）个 A．150 B．160 C．180 D．200 10．三堆西瓜共120个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的西瓜放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的西瓜放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的西瓜放入第一堆，这时三堆西瓜的个数恰好相等，则第一堆原有西瓜（   ）个． A．30 B．35 C．50 D．55 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6三元一次方程组及其解法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 三元一次方程组的概念 1. 三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。其一般形式为：（其中(a)、(b)、(c)、(d)均为常数，且(a)、(b)、(c)不全为0）。 2. 三元一次方程组的定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。其一般形式为：（其中、、等为常数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1）。 3. 三元一次方程组的解：使三元一次方程组中三个方程的左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。 三元一次方程组的解法 1. 基本思想：解三元一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。 2. 主要方法： · 代入消元法： 1. 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如(z)）用含另外两个未知数（例如(x)、(y)）的代数式表示出来，即； 2. 将代入方程组中的另外两个方程，消去(z)，得到一个关于(x)、(y)的二元一次方程组； 3. 解这个二元一次方程组，求出(x)、(y)的值； 4. 将求出的(x)、(y)的值代入，求出(z)的值； 5. 把求得的(x)、(y)、(z)的值用“”联立起来，就是原方程组的解。 · 加减消元法： 1. 在三元一次方程组中，若有两个方程中同一个未知数的系数相反或相等，可以把这两个方程两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个二元一次方程； 2. 如果不存在上述情况，可选择一个适当的数去乘方程组中某两个方程的两边，使其中一个未知数的系数相反或相等，再把这两个方程两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个二元一次方程； 3. 用同样的方法，再消去另一个未知数，得到另一个二元一次方程，组成关于另外两个未知数的二元一次方程组； 4. 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； 5. 将求出的两个未知数的值代入原方程组中的一个适当方程，求出第三个未知数的值； 6. 把求得的三个未知数的值用“”联立起来，就是原方程组的解。 3. 解题步骤总结：“三元”→“二元”→“一元”，即通过消元转化，逐步降低未知数的个数，最终求解。 型 习 练 题 三元一次方程组的定义 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 2．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 3．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．第一个方程不是整式方程，不符合题意； C．是三元一次方程组，符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 4．方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组，利用 “加减消元法” 即可求解． 【详解】解：根据题意可知三元一次方程组为： 将可得， 将和联立可得： 由于，所以原方程组无解． 故选：． 5．三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 先将第一个方程与第二个方程相加可得，将第一个方程与第三个方程相加可得，解二元一次方程组可得的值，再代入第一个方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：， 由①②得：④， 由①③得：⑤， 由⑤④得：， 解得， 将代入④得：， 解得， 将，代入①得：， 解得， 所以方程组的解为， 故选：A． 三元一次方程组的应用 6．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质与等式的性质，解题的关键是根据图形列出不等式与等式． 设▲、●、■这三种物体的质量分别为，由图得到即可求解． 【详解】设▲、●、■这三种物体的质量分别为， 由图可得， 解得， 所以 故选：C． 7．小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的解，根据方程解的概念将方程的解代入未抄错的方程中得出关于c的方程和得出关于a、b的方程组是解此题的关键．根据方程组的解的定义得到关于a、b、c的方程组，再进一步运用加减消元法求解，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意把代入原方程组，得， 把代入，得， 可组成方程组， 解得， 则． 故选：D． 8．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次不定方程的应用．根据题意列出三元一次方程组是解题的关键． 设三种票分别买了张．则根据题意列出关于的三元一次方程组，然后解的值即可． 【详解】解：分别设三种票买了张． 则根据题意，得， 由②得③ 将③代入①，得：． 故选：A． 9．若是从0，，2这三个数中取值的一列数，且，，则在数中，取值为2的数有（   ）个 A．150 B．160 C．180 D．200 【答案】D 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解决问题的关键． 设其中有a个0，b个，c个2，则；由，可得；由，可得；联立得到方程组，求解即可． 【详解】解：∵是从0，，2这三个数中取值的一列数， ∴设其中有a个0，b个，c个2，则； ∵ ∴； ∵ ∴ 联立得到， 解得， ∴在数中，取值为2的数有200个． 故选：D． 10．三堆西瓜共120个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的西瓜放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的西瓜放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的西瓜放入第一堆，这时三堆西瓜的个数恰好相等，则第一堆原有西瓜（   ）个． A．30 B．35 C．50 D．55 【答案】D 【分析】此题考查了列三元一次方程组和解三元一次方程组的方法．设原来第1堆有x个西瓜，第2堆有y个西瓜，第3堆有z个西瓜．根据最后每堆有个西瓜列方程组求解． 【详解】解：设原来第1堆有x个西瓜，第2堆有y个西瓜，第3堆有z个西瓜，根据题意，得： ， 解得：． 即原来第1堆有55个西瓜． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $