第2讲 分数混合运算（4个知识点+8个易错点+50题强化练习）六年级数学寒假专项提升（北师大版）

第2讲 分数混合运算 （4个知识点+8个易错点+50题强化练习） 知识回顾 知识点一、分数混合运算的顺序 1.同级运算：在没有括号的算式里，只有加减或只有乘除运算时，按从左到右的顺序依次计算 例： 或 2.不同级运算：在没有括号的算式里，既有加减又有乘除运算时，先算乘除，后算加减 例： 需先算乘法，再算加法 3.含括号运算：算式里有括号的，要先算括号里面的（先算小括号，再算中括号） 例： 先算括号内，再算乘法 知识点二、分数混合运算的计算法则 1.分数加减法 同分母：分母不变，分子相加减（结果要约分） 例：， 异分母：先通分（找最小公倍数作公分母），再按同分母计算 例： 2.分数乘法 分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分 例： 带分数先化为假分数再计算： 3.分数除法 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数 例： 整数除法： 知识点三、运算定律与简便计算 1.加法运算定律 交换律： 例： 结合律： 例： 2.乘法运算定律 交换律： 例： 结合律： 例： 分配律： 例： 知识点四、分数混合运算的应用 1.解决“求一个数的几分之几是多少”的问题 关键：找准单位“1”，单位“1”的量×对应分率=具体量 例：果园有苹果树80棵，梨树是苹果树的，梨树有多少棵？ 列式：（棵） 2.解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题 方法：具体量÷对应分率=单位“1”的量（或用方程解答） 例：一袋大米，吃了，正好吃了10千克，这袋大米原有多少千克？ 列式：（千克）或解：设原有千克，， 3.连续求一个数的几分之几 分步计算或列连乘算式：单位“1”的量×第一个分率×第二个分率 例：学校有图书800本，故事书占，科技书是故事书的，科技书有多少本？ 列式：（本） 易错点剖析 易错点一：运算顺序混淆 错误：违背“先乘除后加减”原则，如先算，再算 正确：先算乘法，再算加法 口诀：“括号优先，乘除先行，从左到右” 易错点二：分数除法法则误用 错误：除以一个数直接用分子分母分别相除，如（或直接分子乘分子、分母乘分母） 正确：除以一个数等于乘它的倒数， 警示：除法变乘法，除数要“倒”（倒数），被除数不变 易错点三：通分与约分错误 通分错误：异分母加减时公分母找错，如用24作公分母（正确应为12） 约分错误：分子分母交叉约分时漏约或错约，如（正确可约分为） 方法：通分找最小公倍数，约分找最大公因数 易错点四：运算定律滥用 错误：除法误用分配律，如（看似正确，但本质是转化为乘法后使用分配律，需先变形） 正确：应先将除法变乘法： 禁忌：除法没有分配律，必须转化为乘法后才能使用 易错点五：带分数运算处理不当 错误：带分数加减法直接整数与整数相加减、分数与分数相加减后，忘记合并结果，如（正确应为） 正确：带分数化为假分数计算或整数部分、分数部分分别计算后合并（注意分数部分需通分） 例： 易错点六：结果未化简或化简不彻底 错误：计算结果不是最简分数，如（应化简为），（应化简为） 正确：计算完成后检查分子分母是否有公因数，直至分子分母互质 技巧：计算过程中能约分的先约分，可减少化简难度 易错点七：单位“1”判断错误（应用题） 错误：分不清谁是单位“1”，如“甲数比乙数多”误认为乙数是甲数的 正确：“比”“是”“占”后面的量通常是单位“1”，即“乙数”是单位“1”，甲数=乙数× 口诀：“的”前“比”后是单位“1” 易错点八：实际问题中数量关系混淆 错误：混淆“增加几分之几”与“增加到几分之几”，如“一件商品原价100元，涨价后价格”算成元（正确应为元） 正确：“增加几分之几”是在原数基础上多原数的几分之几，用“原数×分率”；“增加到几分之几”是原数的几分之几，用“原数×分率” 关键：圈画关键词“增加、减少、节约、多、少”，明确数量关系 强化练习 一、选择题 1．一项工程，甲队独做12天完工，乙队独做18天完工，现在两队合作，（    ）天能完成这项工程的。 A．7.5 B．7.2 C．5 D．3 【答案】D 【分析】把这项工程总量看作单位“1”，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，两队的效率和是（），用工作量除以两队的效率和，即可得解。 【详解】 ＝3（天） 故答案为： 2．哥哥计划用2小时制作一份手抄报，实际比计划用的时间少。哥哥实际用了（    ）小时。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把哥哥计划用的时间看作单位“1”，则实际用的时间是计划的（），根据分数乘法的意义，即可计算出哥哥实际用了多少小时。 【详解】 （小时） 哥哥实际用了小时。 故答案为： 3．新风超市九月上旬的销售额是140万元，中旬销售额占全月的，下旬销售额占全月的。新风超市九月份的销售额共（    ）万元。 A．350 B．400 C．560 D．600 【答案】B 【分析】把全月的销售额看作单位“1”，则上旬的销售额占全月的（1－－）。已知上旬的销售额为140万元，用140除以（1－－）即可求出全月的销售额。据此解答。 【详解】140÷（1－－） ＝140÷（1－） ＝140÷ ＝140× ＝400（万元） 所以，新风超市九月份的销售额共400万元。 故答案为：B 4．用一块空地的种石榴树和苹果树，其中石榴树占，如果这块空地的面积是1.5公顷，那么种石榴树的面积是多少公顷？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把这块空地的面积1.5公顷看作单位“1”，用一块空地的种石榴树和苹果树，根据分数乘法的意义，用1.5×可求出种石榴树和苹果树的面积和；其中石榴树占，根据分数乘法的意义，用石榴树和苹果树的面积乘可求出石榴树的面积，列综合算式为：。 【详解】A．，把这块空地的面积1.5公顷看作单位“1”，先用1.5×可求出种石榴树和苹果树的面积和，再接着乘可求出石榴树的面积，列式正确； B．，错误，题目中是占总种植面积的分率，而非空地总面积的分率； C．，错误，此式无实际意义； D．，错误，题目未要求两者面积之和。 故答案为：A 5．一次数学PK赛中，鹏鹏抽到了以下问题：下面的算式中，与不相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据a×b＋a×c＝a×（b＋c），a×b－a×c＝a×（b－c），由此分别利用乘法分配律将各选项进行变形，再对比。 【详解】A．，不符合题意； B．，符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意。 故答案为：B 6．南山某水果店购进一批荔枝，第一天卖出了总量的，第二天卖出了余量的，第二天卖出的荔枝占总量的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把这批荔枝的总量看作单位“1”，第一天卖出了总量的，第二天卖出了余量的就是卖出了总量的（）的，据此作答。 【详解】把这批荔枝的总量看作单位“1”。 第二天卖出的荔枝占总量的。 故答案为：A 7．公司需要向外地运送一批机器人，原计划每辆货车运载8吨，实际每辆多运了。如果原计划用11辆货车，实际需要（    ）辆。 A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】先用8×11，求出这批机器人的总重量，再把原计划每辆车运载的重量看作单位“1”，实际每辆车运载的重量是原计划的（1＋），用原计划每辆车运载的重量×（1＋），求出实际每辆车运载的重量，再用这批机器人的总重量÷实际每辆车运载的重量，即可求出实际用车的辆数，据此解答。 【详解】（8×11）÷[8×（1＋）] ＝88÷[8×] ＝88÷ ＝88× ＝10（辆） 公司需要向外地运送一批机器人，原计划每辆货车运载8吨，实际每辆多运了。如果原计划用11辆货车，实际需要10辆。 故答案为：D 8．甲、乙两车间共有工人300人，如果从甲车间调出后，这时乙车间比甲车间多30人，甲车间原有工人（    ）人。 A．150 B．160 C．180 D．200 【答案】A 【分析】把甲车间的人数看作单位“1”，如果从甲车间调出，剩下的人数为原来的。这时如果从乙车间调出30人，则甲、乙两车间剩下的人数相等，即乙车间剩下的人数为甲车间原来人数的，只调出乙车间的30人后，此时总人数变为（人，对应的分率为，据此计算甲车间原有人数即可。 【详解】（300－30） ÷（1－＋1） ＝270÷ ＝270× ＝150（人） 因此，甲车间原有150人。 故答案为：A 9．班级有故事书84本，__________，求科技书有多少本？奇思在解答此题时，补充了缺少的信息，再设科技书有x本，正确列出方程“”，奇思补充的信息是（    ）。 A．故事书比科技书少 B．故事书比科技书多 C．科技书比故事书少 D．科技书比故事书多 【答案】A 【分析】设科技书有x本，根据方程x－x＝84可知，把科技书本数看作单位“1”，故事书的对应分率是（1－），即故事书是科技书的（1－），方程用到的等量关系是：科技书本数×故事书对应分率＝故事书本数，缺失的信息是故事书和科技书之间的数量关系可知，故事书比科技书少，据此分析。 【详解】根据分析可知，班级有故事书84本，__________，求科技书有多少本？奇思在解答此题时，补充了缺少的信息，再设科技书有x本，正确列出方程“”，奇思补充的信息是故事书比科技书少。 故答案为：A 10．一个厨师需要用一定量的面粉做面包。他用了面粉总量的做了18个面包。如果他用面粉的做面包，他可以做多少个面包？（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】A 【分析】把面粉的总量看作单位“1”，做18个面包用了面粉总量的，单位“1”未知，用面包的个数除以，求出面粉的总量； 如果他用面粉的做面包，单位“1”已知，用面粉的总量乘，求出做面包的个数。 【详解】18÷× ＝18×× ＝30× ＝20（个） 他可以做20个面包。 故答案为：A 二、填空题 11．我国民航部门规定：儿童（2－12周岁）乘坐国际航班的票价比成人低。从北京飞往巴黎的航班儿童票价是2250元，成人票价是( )元。 【答案】3000 【分析】根据题意，将国际航班的成人票的价格看作单位“1”，国际航班的儿童票价比成人票价低，即儿童票价是成人票价的； 已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题可以用除法解决，已知儿童票价为2250元，求成人票价，需用儿童票价除以对应的分率。 【详解】 （元） 即成人票价是3000元。 12．“九月份的销售额比八月份增加”，八月份的销售额是九月份的( )，九月份的销售额是八月份的( )。 【答案】 【分析】设八月份的销售额为9万元。求比一个数多几分之几是多少，单位“1”已知，用乘法，一个数×（1＋几分之几），九月份的销售额比八月份增加，单位“1”为八月份的销售额，九月份的销售额＝八月份的销售额×（1＋）。一个数是另一数的几分之几，一个数÷另一个数，由此可计算出此题。 【详解】设八月份的销售额为9万元，则九月份的销售额为 9×（1＋） ＝9× ＝10（万元） 9÷10＝ 所以八月份的销售额是九月份的。 10÷9＝ 所以九月份的销售额是八月份的。 13．人在地球上能举起的物体质量是在月球上能举起的物体质量的，在火星上能举起的物体质量是在月球上能举起的物体质量的。如果一名宇航员在火星上能举起重240千克的重物，那么他在地球上能举起( )千克的重物。 【答案】90 【分析】已知在火星上能举起的物体质量是在月球上能举起的物体质量的，把在月球上能举起的物体质量看作单位“1”，单位“1”未知，用在火星上能举起物体的质量除以，求出能在月球上能举起的物体质量； 已知在地球上能举起的物体质量是在月球上能举起的物体质量的，单位“1”已知，用在月球上能举起的物体质量乘，求出在地球上能举起的物体质量。 【详解】240÷× ＝240×× ＝540× ＝90（千克） 那么他在地球上能举起90千克的重物。 14．同学们练习长跑，聪聪每天跑1.6千米，比明明每天少跑，亮亮每天比聪聪多跑，明明每天跑( )千米，亮亮每天跑( )千米。 【答案】 2 1.8// 【分析】首先根据“比谁少跑几分之几”或“比谁多跑几分之几”的关系，确定单位“1”并计算。聪聪比明明少跑，即以明明跑的距离为单位“1”，聪聪跑的距离是明明的1－＝，已知聪聪跑1.6千米，求明明跑的距离用除法，也就是1.6÷。亮亮比聪聪多跑，即以聪聪跑的距离为单位“1”，亮亮跑的距离是聪聪的1＋＝，已知聪聪跑1.6千米，求亮亮跑的用乘法，也就是1.6×。 【详解】1.6÷（1－） ＝1.6÷ ＝1.6÷0.8 ＝2（千米） 1.6×（1＋） ＝1.6× ＝1.8（千米） 同学们练习长跑，聪聪每天跑1.6千米，比明明每天少跑，亮亮每天比聪聪多跑，明明每天跑2千米，亮亮每天跑1.8千米。 15．地铁到站后，某节车厢先下了的乘客再进入的乘客，与原来相比，人数 ；若先下去的乘客再进入的乘客，与原来相比，人数 。（选填“增加了”“减少了”或“持平”） 【答案】 减少了 持平 【分析】①将车厢内原有的乘客数看作单位“1”，则先下了的乘客，则剩余的占比为，再进入的乘客，求一个数的几分之几是多少用乘法解决，再用乘分率即可求出现在的乘客数与单位“1”比较即可； ②将车厢内原有的乘客数看作单位“1”，则先下了的乘客，则剩余的占比为，再进入的乘客，求一个数的几分之几是多少用乘法解决，再用乘分率即可求出现在的乘客数与单位“1”比较即可； 【详解】①，即某节车厢先下了的乘客再进入的乘客，与原来相比，人数减少了； ②，若先下去的乘客再进入的乘客，与原来相比，人数持平。 16．一本故事书有80页，李亮第一天看了，第二天应从第 页看起。 【答案】16 【分析】先计算第一天看的页数，即80页的，求一个数的几分之几，单位“1”已知，用乘法，一个数×几分之几，再用结果加1，得到第二天应开始的页码。 【详解】第一天看的页数：（页），第二天开始看的页码：（页）， 所以第二天应从第16页看起。 17．王师傅装订一批图书，已经装订了全部图书的，还剩240本没有装订，这一批图书一共有( )本。 【答案】600 【分析】把这批图书的总本数看作单位“1”，已经装订了全部图书的，那么还剩下（1－）没有装订。剩下的数量是240本，且对应的比例是（1－），根据分数除法的意义，用240除以（1－）计算即可得出总本数。 【详解】把这批图书的总本数看作单位“1” ＝600（本） 这一批图书一共有600本。 18．红红从家到超市每分走60米，4分正好走了全程的。她家到超市是( )米。 【答案】600 【分析】红红从家到超市每分走60米，根据“路程＝速度×时间”，那么4分钟走了：60×4＝240（米），因为4分正好走了全程的，所以这240米对应全程的，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，所以用240除以计算即可解答。 【详解】60×4÷ ＝240÷ ＝240× ＝600（米） 她家到超市是600米。 19．一份稿件独打，甲要4时打完，乙要5时打完，两人合打，( )时还余下稿件的。 【答案】 【分析】把这份稿件的工作量看作单位“1”。根据工作效率＝工作量÷工作时间，可得：甲的工作效率为1÷4＝。乙的工作效率为1÷5＝。已知还余下稿件的，则两人合打的工作量为1－＝。根据工作时间＝工作量÷工作效率和，两人的工作效率和为（）。所以用除以（）计算即可。 【详解】把这份稿件的工作量看作单位“1”。 1÷4＝ 1÷5＝ 1－＝ ÷（） ＝÷（） ＝÷ ＝× ＝（时） 时还余下稿件的。 20．噪音对人的健康有害，绿化带可降低噪音。一辆公共汽车行驶时的噪音是80分贝，绿化带可降低的噪音，绿化带降低噪音后，人听到的噪音是( )分贝。 【答案】70 【分析】把人原来听到的噪音看作单位“1”，已知一辆公共汽车行驶时的噪音是80分贝，绿化带可降低的噪音，即绿化带降低噪音后人听到的噪音是原来的（1－），单位“1”已知，用汽车行驶时的噪音乘（1－），即是绿化带降低噪音后人听到的噪音。 【详解】80×（1－） ＝80× ＝70（分贝） 人听到的噪音是70分贝。 三、判断题 21．奇思上山的速度为4千米/时，下山的速度为6千米/时，那么他上下山的平均速度就是5千米/时。( ) 【答案】× 【分析】把奇思走的路程看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，用1除以上山的速度，求出上山的时间；用1÷下山的速度，求出下山用的时间，再用上山的路程＋下山的路程，再除以上山时间与下山时间，求出奇思的平均速度，再进行比较，即可解答。 【详解】1÷4＝（时）；1÷6＝（时） （1＋1）÷（＋） ＝2÷（＋） ＝2÷ ＝2× ＝（千米/时） 奇思上山的速度为4千米/时，下山的速度为6千米/时，那么他上下山的平均速度就是千米/时。 原题干说法错误。 故答案为：× 22．张叔叔的工资增加后又减少了，他现在的工资比原来少了。( ) 【答案】√ 【分析】设张叔叔原来的工资为1，先把张叔叔原来的工资看作单位“1”，先增加，则增加后的工资是原来的（1＋）；单位“1”已知，用原来的工资乘（1＋）求出增加后的工资； 又减少，是把增加后的工资看作单位“1”，减少后的工资是增加后工资的（1－）；单位“1”已知，用增加后的工资乘（1－），求出他现在的工资； 最后把他现在的工资与原来的工资进行比较，得出结论。 【详解】设张叔叔原来的工资为1。 1×（1＋）×（1－） ＝1×× ＝ ＜1 他现在的工资比原来少了。 原题说法正确。 故答案为：√ 23．一篇稿件有4800字，已经录入了它的，还剩1200字没有录入。( ) 【答案】√ 【分析】将稿件总字数看作单位“1”，已经录入了它的，还剩（1－）没有录，总字数×还剩的对应分率＝还剩的字数，据此分析。 【详解】4800×（1－） ＝4800× ＝1200（字） 一篇稿件有4800字，已经录入了它的，还剩1200字没有录入，说法正确。 故答案为：√ 24．音乐组有18人，其中男生人数占，则音乐组女生有多少人？列式为。( ) 【答案】√ 【分析】把音乐组的人数看作单位“1”，其中男生人数占，则女生人数占（1－），求女生人数，用音乐组人数×（1－），据此解答。 【详解】18×（1－） ＝18× ＝14（人） 音乐组有18人，其中男生人数占，则音乐组女生有多少人？列式为18×（1－）。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解答本题的关键是分清单位“1”的区别，求单位“1”的几分之几用乘法；已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量用除法。 25．两根同样都是2米长的绳子，第一根用去全长的，第二根用去米，则两根剩下的部分同样长。( ) 【答案】× 【分析】将2米长的绳子看成单位“1”，第一根用去全长的，还剩下全长的1－＝，根据分数乘法的意义，用乘法求出第一根剩下的长度；根据减法的意义，用减法求出第二根剩下的长度，最后比较即可。 【详解】第一根剩下：2×（1－） ＝2× ＝（米） 第二根剩下：2－＝（米） ＜，所以第二根剩下的长，原说法错误。 故答案为：× 【点睛】解题时注意分数带单位表示具体的量，分数不带单位表示整体的几分之几。 四、计算题 26．直接写出得数。 ＝           ＝          ＝          1.＝ ＝      ＝     7.＝      ＝ 【答案】；；；1； 4；；0；9.9 【解析】略 27．直接写出得数。 45×2÷6＝        1.25×8＝       ×5.6＝       ＝           ＝ ＝         ×＝       ＝         ＝         ＝ 【答案】15；10；0.56；90；； 44；1；3；9；20 【详解】略 28．计算，能简算的就要简算。                                                           【答案】28；； 1；； 【分析】，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算； ，将除法改写成乘法，逆用乘法分配律，先算，再与相乘； ，从左往右计算，除以一个数等于乘这个数的倒数； ，逆用乘法分配律，先算（83＋1887＋43），再与相乘； ，先算减法，再算加法，异分母分数相加减，先通分再计算； ，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算。 【详解】 29．用你喜欢的方法进行计算。 （1）        （2）        （3）           （4） 【答案】（1）2；（2） （3）；（4）9 【分析】（1）根据加法交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），把变成进行简算； （2）交换“”和“”的位置，把算式变成进行简算； （3）把除法转化成乘法，再根据乘法结合律把变成进行简算； （4）把乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成进行简算。 【详解】（1） （2） （3） （4） 30．解方程。 （1）            （2）        （3） 【答案】（1）x＝；（2）x＝；（3）x＝ 【分析】（1）根据等式的基本性质，等式左右两边同时除以6，即可求解； （2）根据等式的基本性质，等式左右两边同时乘5，即可求解； （3）根据等式的基本性质，等式左右两边先同时乘，接着等式左右两边同时除以，即可求解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 31．解方程。                     【答案】；； ； 【分析】（1）先根据乘法分配律整理方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以求解； （2）先计算，再依据等式的性质，方程两边同时乘求解； （3）依据等式的性质，方程两边同时加上，再减去，最后同时除以求解； （4）依据等式的性质，方程两边同时乘，再同时除以求解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 32．看图列式并计算。 【答案】 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。苹果有340kg，比桃子少，桃子有千克。是把桃子的质量看作单位“1”，苹果的质量相当于桃子的（1－），求一个数的几分之几用乘法，也就是苹果的质量等于桃子的质量乘（1－），依此列式解答。 【详解】 即桃子有595千克。 33．看图列式计算。 【答案】15元 【分析】已知小华的钱数是小亮的，把小亮的钱数看作单位“1”，单位“1”已知，用小亮的钱数乘，求出小华的钱数； 已知小新的钱数是小华的，把小华的钱数看作单位“1”，单位“1”已知，用小华的钱数乘，求出小新的钱数。 【详解】36×× ＝30× ＝15（元） 所以，小新的钱数是15元。 五、解答题 34．某校有学生240人，选出男生的和女生的一半去种树，余下的91人去大扫除。男生有多少人？ 【答案】116人 【分析】根据题意，设男生有x人，因为该校共有学生240人，所以女生有（240－x）人。选出男生的​，将男生人数看作单位“1”，即选出名男生；选出女生的一半，即选出名女生。根据“总人数－选出种树的人数＝余下大扫除的人数”，据此列出方程并解方程即可。 【详解】解：设男生有人。 答：男生有116人。 35．一堆煤，第一次用去，第二次用去吨，两次正好用去1吨，这堆煤原有多少吨？ 【答案】3吨 【分析】第二次用去吨，两次正好用去1吨，那么第一次用去1－＝（吨），又知第一次用去这堆煤的，这堆煤原有÷．综合算式为：（1－）÷，计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝3（吨） 答：这堆煤原有3吨。 36．今年以来，全国多地降雨量明显增加，某地今年9月的降雨量是55毫米，比去年9月增加了，该地去年9月的降雨量是多少毫米？（用方程解） 【答案】40毫米 【分析】设去年9月的降雨量为x毫米，根据题意，今年比去年增加了，即今年的降雨量是去年的（1＋），由此列出方程求解。 【详解】解：设去年9月的降雨量为x毫米。 答：该地去年9月的降雨量是40毫米。 37．灯光秀分为三个环节：“科技之光”“文化之韵”“未来之约”。已知“科技之光”环节用时45分，“文化之韵”环节用时是“科技之光”的，“未来之约”环节用时比“文化之韵”多。“未来之约”环节用时多少分？ 【答案】36分 【分析】把“科技之光”环节用时看作单位1，“文化之韵”环节用时＝“科技之光”环节用时，再把“文化之韵”环节用时看作单位1，“未来之约”环节用时＝“文化之韵”环节用时×（1），据此列式计算即可解答。 【详解】45（1） ＝45 ＝30 ＝36（分） 答：“未来之约”环节用时36分。 38．北京某采摘园有桃树800棵，苹果树的棵数是桃树的，山楂树的棵数是苹果树的。该采摘园中有山楂树多少棵？ 【答案】 512棵 【分析】桃树的棵数为单位“1”，苹果树的棵数是桃树的，已知桃树800棵，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用桃树的棵数即可求出苹果树的棵数。再以苹果树的棵数为单位“1”，山楂树的棵数是苹果树的，用苹果树的棵数即可求出山楂树的棵数。据此解答。 【详解】 （棵） 答：该采摘园中有山楂树棵。 39．六年级同学在学校劳动实验基地种了80棵黄瓜，种西红柿的棵数比黄瓜多，黄瓜和西红柿一共种了多少棵？ 【答案】 176棵 【分析】已知黄瓜种了80棵，西红柿比黄瓜多，即西红柿的棵数是黄瓜的。先计算西红柿的棵数，再求总棵数。 【详解】西红柿的棵数： 西红柿比黄瓜多，即西红柿的棵数为： ＝96（棵） 黄瓜和西红柿的总棵数为： （棵） 答：黄瓜和西红柿一共种了176棵。 40．春湾小学科技社团有60人，绘画社团的人数是科技社团的，合唱社团的人数是绘画社团的，合唱社团有多少人？ 【答案】32人 【分析】把科技社团的人数看作单位“1”，绘画社团的人数是科技社团的，绘画社团的人数＝科技社团的人数×，合唱社团的人数是绘画社团的，合唱社团的人数＝绘画社团的人数×，即合唱社团的人数＝科技社团的人数××，据此解答。 【详解】60×× ＝48× ＝32（人） 答：合唱社团有32人。 41．妈妈在院子里栽了红色和黄色两种颜色的玫瑰花，其中黄玫瑰有35株，比红的株数少，院子里有多少株红玫瑰？（列方程解） 【答案】49株 【分析】根据题意可知，黄玫瑰比红玫瑰少，把红玫瑰的株数看作单位“1”，则黄玫瑰的株数是红玫瑰的（1－），等量关系式为：红玫瑰的株数×（1－）＝黄玫瑰的株数，设红玫瑰有x株，根据等量关系式列方程即可解答。 【详解】解：设院子里有x株红玫瑰。 x×（1－）＝35 x＝35 x÷＝35÷ x＝35× x＝49 答：院子里有49株红玫瑰。 42．“郑成功骑马塑像”屹立在泉州市城东的大坪山上，是泉州中心市区的标志性建筑之一。它由塑像和基座平台组成，总高38米，其中基座平台高度是塑像的，基座平台和塑像高各多少米？（用方程解答） 【答案】基座平台高8米；塑像高30米 【分析】根据题意需要用方程解答，设塑像高x米，则基座平台高x，塑像和基座平台总高38米，即塑像高＋基座高＝38，所以x＋x＝38，解出x即可求出塑像高，用塑像和基座平台总高减去塑像高即是基座高，据此解答。 【详解】解：设塑像高x米，则： x＋x＝38 x＝38 x＝38× x＝30 38－30＝8（米） 答：基座平台高8米，塑像高30米。 43．某礼品店有120千克礼品需要装袋，每袋装千克，已经装完了总量的，装完了多少袋？ 【答案】144袋 【分析】将总质量看作单位“1”，总质量×装完的对应分率＝装完的质量，装完的质量÷每袋装的质量＝装完的袋数，据此列式解答。 【详解】120× ＝48÷ ＝48×3 ＝144（袋） 答：装完了144袋。 44．高温预警信号分三级，如下。8月2日某市的最高气温是36摄氏度，8月1日该市的最高气温低于35摄氏度，8月3日该市的最高气温将比8月2日升高，气象台应对8月3日发出什么预警信号？ 黄色：连续三天日最高气温将在35摄氏度以上。 橙色：24小时内最高气温将升至37摄氏度以上。 红色：24小时内最高气温将升至40摄氏度以上。 【答案】橙色预警信号 【分析】将8月2日的最高气温看成单位“1”， 根据求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的解题方法：单位“1”的量×（1±几分之几），先列乘法算式求出8月3日的最高温度，然后结合高温预警等级划分标准，分析即可解答。 【详解】36×（1＋） ＝36× ＝39（摄氏度） 8月3日的最高温度是39摄氏度，结合高温预警等级划分标准可知：对应的是橙色预警。 答：气象台应对8月3日发出橙色预警信号。 45．一个圆形溜冰场的周长是125.6米，为了满足更多溜冰爱好者的需求，现在要将这个溜冰场的半径扩大。现在这个溜冰场的周长是多少米？ 【答案】175.84米 【分析】圆的周长公式为C＝2πr（r为半径，π取3.14）。已知原来溜冰场的周长为125.6米，可得原来的半径为：125.6÷2÷3.14＝20（米）。现在要将半径扩大，把原来的半径看作单位“1”，则扩大后的半径是原来的（1＋），所以扩大后的半径为：20×（1＋）＝28（米），然后把现在的半径28米代入圆周长公式计算即可。 【详解】125.6÷2÷3.14＝20（米） 20×（1＋） ＝20× ＝28（米） 2×3.14×28＝175.84（米） 答：现在这个溜冰场的周长是175.84米。 46．为净化空气，某宾馆负责人决定在室内、外摆放一些多肉、绿萝和万年青三种植物。多肉植物品种多样又容易养殖，他打算购买56盆多肉植物，万年青的盆数是多肉盆数的，是绿萝盆数的。他打算买多少盆绿萝呢？ 【答案】32盆 【分析】已知打算购买56盆多肉植物，万年青的盆数是多肉盆数的，根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，可得万年青的盆数；因为万年青的盆数是绿萝盆数的，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，所以再除以，即可计算出购买绿萝的盆数。 【详解】56×÷ ＝24÷ ＝24× ＝32（盆） 答：他打算买32盆绿萝。 47．一项工程，甲、乙两队合作每天完成全工程的，甲队单独做3天，乙队再单独做5天后，可以完成全工程的。如果这项工程由甲队单独完成，需要多少天？ 【答案】8天 【分析】假设甲、乙两队合作了5天，根据工作效率和×工作时间＝合作的工作总量，两队合作5天一共完成全工程的×5＝。甲队单独做3天，乙队再单独做5天，完成了全工程的，那么用减去可以求出甲队少做的2天完成的工作量。根据工作总量÷工作时间＝工作效率，用甲队少做的2天完成的工作量除以2，即可求出甲队的工作效率。把全工程的工作总量看作单位“1”，根据工作总量÷工作效率＝工作时间，用1除以甲队的工作效率，即可求出需要的时间。 【详解】 ＝ ＝× ＝ 1÷ ＝1×8 ＝8（天） 答：需要8天。 48．安装路灯惠民生，照亮乡村振兴路。幸福村原来有路灯65盏，为了进一步美化乡村环境、加强乡村建设，今年又新安装了一批路灯，现在路灯的数量比原来多了。幸福村现在一共有多少盏路灯？ 【答案】91盏 【分析】把原来的路灯数量看作单位“1”，则现在路灯的数量是原来的（1＋），已知幸福村原来有路灯65盏，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用65乘（1＋）即可求出现在的路灯数量。 【详解】65×（1＋） ＝65× ＝91（盏） 答：幸福村现在一共有91盏路灯。 49．刺绣是中国民间传统手工艺之一。陈阿姨绣一幅花鸟图，她准备了一些丝线，绣花朵部分用了这些丝线的，绣鸟部分用了5米，这些丝线还剩下。陈阿姨准备了多少米的丝线？（用方程解） 【答案】24米 【分析】设陈阿姨准备了x米的丝线，则绣花朵部分用了x米，还剩下x米。根据题意可得：丝线的总长度－绣花朵部分用去的长度－剩下的长度＝绣鸟部分用去的长度，据此列出方程x－x－x＝5，然后根据等式的性质解出方程即可。 【详解】解：设陈阿姨准备了x米的丝线。 x－x－x＝5 x－x－x＝5 x＝5 x×＝5× x＝24 答：陈阿姨准备了24米的丝线。 50．2024年3月20日“鹊桥二号”中继星发射成功。实验小学六年级观看直播的女生有120人，观看直播的男生人数比女生多，六年级观看直播的男生有多少人？ 【答案】140人 【分析】将女生的人数看成单位“1”，男生的人数是女生人数的（1＋），求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此得出男生的人数。 【详解】 ＝ ＝140（人） 答：六年级观看直播的男生有140人。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 分数混合运算 （4个知识点+8个易错点+50题强化练习） 知识回顾 知识点一、分数混合运算的顺序 1.同级运算：在没有括号的算式里，只有加减或只有乘除运算时，按从左到右的顺序依次计算 例： 或 2.不同级运算：在没有括号的算式里，既有加减又有乘除运算时，先算乘除，后算加减 例： 需先算乘法，再算加法 3.含括号运算：算式里有括号的，要先算括号里面的（先算小括号，再算中括号） 例： 先算括号内，再算乘法 知识点二、分数混合运算的计算法则 1.分数加减法 同分母：分母不变，分子相加减（结果要约分） 例：， 异分母：先通分（找最小公倍数作公分母），再按同分母计算 例： 2.分数乘法 分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分 例： 带分数先化为假分数再计算： 3.分数除法 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数 例： 整数除法： 知识点三、运算定律与简便计算 1.加法运算定律 交换律： 例： 结合律： 例： 2.乘法运算定律 交换律： 例： 结合律： 例： 分配律： 例： 知识点四、分数混合运算的应用 1.解决“求一个数的几分之几是多少”的问题 关键：找准单位“1”，单位“1”的量×对应分率=具体量 例：果园有苹果树80棵，梨树是苹果树的，梨树有多少棵？ 列式：（棵） 2.解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题 方法：具体量÷对应分率=单位“1”的量（或用方程解答） 例：一袋大米，吃了，正好吃了10千克，这袋大米原有多少千克？ 列式：（千克）或解：设原有千克，， 3.连续求一个数的几分之几 分步计算或列连乘算式：单位“1”的量×第一个分率×第二个分率 例：学校有图书800本，故事书占，科技书是故事书的，科技书有多少本？ 列式：（本） 易错点剖析 易错点一：运算顺序混淆 错误：违背“先乘除后加减”原则，如先算，再算 正确：先算乘法，再算加法 口诀：“括号优先，乘除先行，从左到右” 易错点二：分数除法法则误用 错误：除以一个数直接用分子分母分别相除，如（或直接分子乘分子、分母乘分母） 正确：除以一个数等于乘它的倒数， 警示：除法变乘法，除数要“倒”（倒数），被除数不变 易错点三：通分与约分错误 通分错误：异分母加减时公分母找错，如用24作公分母（正确应为12） 约分错误：分子分母交叉约分时漏约或错约，如（正确可约分为） 方法：通分找最小公倍数，约分找最大公因数 易错点四：运算定律滥用 错误：除法误用分配律，如（看似正确，但本质是转化为乘法后使用分配律，需先变形） 正确：应先将除法变乘法： 禁忌：除法没有分配律，必须转化为乘法后才能使用 易错点五：带分数运算处理不当 错误：带分数加减法直接整数与整数相加减、分数与分数相加减后，忘记合并结果，如（正确应为） 正确：带分数化为假分数计算或整数部分、分数部分分别计算后合并（注意分数部分需通分） 例： 易错点六：结果未化简或化简不彻底 错误：计算结果不是最简分数，如（应化简为），（应化简为） 正确：计算完成后检查分子分母是否有公因数，直至分子分母互质 技巧：计算过程中能约分的先约分，可减少化简难度 易错点七：单位“1”判断错误（应用题） 错误：分不清谁是单位“1”，如“甲数比乙数多”误认为乙数是甲数的 正确：“比”“是”“占”后面的量通常是单位“1”，即“乙数”是单位“1”，甲数=乙数× 口诀：“的”前“比”后是单位“1” 易错点八：实际问题中数量关系混淆 错误：混淆“增加几分之几”与“增加到几分之几”，如“一件商品原价100元，涨价后价格”算成元（正确应为元） 正确：“增加几分之几”是在原数基础上多原数的几分之几，用“原数×分率”；“增加到几分之几”是原数的几分之几，用“原数×分率” 关键：圈画关键词“增加、减少、节约、多、少”，明确数量关系 强化练习 一、选择题 1．一项工程，甲队独做12天完工，乙队独做18天完工，现在两队合作，（    ）天能完成这项工程的。 A．7.5 B．7.2 C．5 D．3 2．哥哥计划用2小时制作一份手抄报，实际比计划用的时间少。哥哥实际用了（    ）小时。 A． B． C． D． 3．新风超市九月上旬的销售额是140万元，中旬销售额占全月的，下旬销售额占全月的。新风超市九月份的销售额共（    ）万元。 A．350 B．400 C．560 D．600 4．用一块空地的种石榴树和苹果树，其中石榴树占，如果这块空地的面积是1.5公顷，那么种石榴树的面积是多少公顷？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 5．一次数学PK赛中，鹏鹏抽到了以下问题：下面的算式中，与不相等的是（    ）。 A． B． C． D． 6．南山某水果店购进一批荔枝，第一天卖出了总量的，第二天卖出了余量的，第二天卖出的荔枝占总量的（    ）。 A． B． C． D． 7．公司需要向外地运送一批机器人，原计划每辆货车运载8吨，实际每辆多运了。如果原计划用11辆货车，实际需要（    ）辆。 A．6 B．8 C．9 D．10 8．甲、乙两车间共有工人300人，如果从甲车间调出后，这时乙车间比甲车间多30人，甲车间原有工人（    ）人。 A．150 B．160 C．180 D．200 9．班级有故事书84本，__________，求科技书有多少本？奇思在解答此题时，补充了缺少的信息，再设科技书有x本，正确列出方程“”，奇思补充的信息是（    ）。 A．故事书比科技书少 B．故事书比科技书多 C．科技书比故事书少 D．科技书比故事书多 10．一个厨师需要用一定量的面粉做面包。他用了面粉总量的做了18个面包。如果他用面粉的做面包，他可以做多少个面包？（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 二、填空题 11．我国民航部门规定：儿童（2－12周岁）乘坐国际航班的票价比成人低。从北京飞往巴黎的航班儿童票价是2250元，成人票价是( )元。 12．“九月份的销售额比八月份增加”，八月份的销售额是九月份的( )，九月份的销售额是八月份的( )。 13．人在地球上能举起的物体质量是在月球上能举起的物体质量的，在火星上能举起的物体质量是在月球上能举起的物体质量的。如果一名宇航员在火星上能举起重240千克的重物，那么他在地球上能举起( )千克的重物。 14．同学们练习长跑，聪聪每天跑1.6千米，比明明每天少跑，亮亮每天比聪聪多跑，明明每天跑( )千米，亮亮每天跑( )千米。 15．地铁到站后，某节车厢先下了的乘客再进入的乘客，与原来相比，人数 ；若先下去的乘客再进入的乘客，与原来相比，人数 。（选填“增加了”“减少了”或“持平”） 16．一本故事书有80页，李亮第一天看了，第二天应从第 页看起。 17．王师傅装订一批图书，已经装订了全部图书的，还剩240本没有装订，这一批图书一共有( )本。 18．红红从家到超市每分走60米，4分正好走了全程的。她家到超市是( )米。 19．一份稿件独打，甲要4时打完，乙要5时打完，两人合打，( )时还余下稿件的。 20．噪音对人的健康有害，绿化带可降低噪音。一辆公共汽车行驶时的噪音是80分贝，绿化带可降低的噪音，绿化带降低噪音后，人听到的噪音是( )分贝。 三、判断题 21．奇思上山的速度为4千米/时，下山的速度为6千米/时，那么他上下山的平均速度就是5千米/时。( ) 22．张叔叔的工资增加后又减少了，他现在的工资比原来少了。( ) 23．一篇稿件有4800字，已经录入了它的，还剩1200字没有录入。( ) 24．音乐组有18人，其中男生人数占，则音乐组女生有多少人？列式为。( ) 25．两根同样都是2米长的绳子，第一根用去全长的，第二根用去米，则两根剩下的部分同样长。( ) 四、计算题 26．直接写出得数。 ＝           ＝          ＝          1.＝ ＝      ＝     7.＝      ＝ 27．直接写出得数。 45×2÷6＝        1.25×8＝       ×5.6＝       ＝           ＝ ＝         ×＝       ＝         ＝         ＝ 28．计算，能简算的就要简算。                                                           29．用你喜欢的方法进行计算。 （1）        （2）        （3）           （4） 30．解方程。 （1）            （2）        （3） 31．解方程。                     32．看图列式并计算。 33．看图列式计算。 五、解答题 34．某校有学生240人，选出男生的和女生的一半去种树，余下的91人去大扫除。男生有多少人？ 35．一堆煤，第一次用去，第二次用去吨，两次正好用去1吨，这堆煤原有多少吨？ 36．今年以来，全国多地降雨量明显增加，某地今年9月的降雨量是55毫米，比去年9月增加了，该地去年9月的降雨量是多少毫米？（用方程解） 37．灯光秀分为三个环节：“科技之光”“文化之韵”“未来之约”。已知“科技之光”环节用时45分，“文化之韵”环节用时是“科技之光”的，“未来之约”环节用时比“文化之韵”多。“未来之约”环节用时多少分？ 38．北京某采摘园有桃树800棵，苹果树的棵数是桃树的，山楂树的棵数是苹果树的。该采摘园中有山楂树多少棵？ 39．六年级同学在学校劳动实验基地种了80棵黄瓜，种西红柿的棵数比黄瓜多，黄瓜和西红柿一共种了多少棵？ 40．春湾小学科技社团有60人，绘画社团的人数是科技社团的，合唱社团的人数是绘画社团的，合唱社团有多少人？ 41．妈妈在院子里栽了红色和黄色两种颜色的玫瑰花，其中黄玫瑰有35株，比红的株数少，院子里有多少株红玫瑰？（列方程解） 42．“郑成功骑马塑像”屹立在泉州市城东的大坪山上，是泉州中心市区的标志性建筑之一。它由塑像和基座平台组成，总高38米，其中基座平台高度是塑像的，基座平台和塑像高各多少米？（用方程解答） 43．某礼品店有120千克礼品需要装袋，每袋装千克，已经装完了总量的，装完了多少袋？ 44．高温预警信号分三级，如下。8月2日某市的最高气温是36摄氏度，8月1日该市的最高气温低于35摄氏度，8月3日该市的最高气温将比8月2日升高，气象台应对8月3日发出什么预警信号？ 黄色：连续三天日最高气温将在35摄氏度以上。 橙色：24小时内最高气温将升至37摄氏度以上。 红色：24小时内最高气温将升至40摄氏度以上。 45．一个圆形溜冰场的周长是125.6米，为了满足更多溜冰爱好者的需求，现在要将这个溜冰场的半径扩大。现在这个溜冰场的周长是多少米？ 46．为净化空气，某宾馆负责人决定在室内、外摆放一些多肉、绿萝和万年青三种植物。多肉植物品种多样又容易养殖，他打算购买56盆多肉植物，万年青的盆数是多肉盆数的，是绿萝盆数的。他打算买多少盆绿萝呢？ 47．一项工程，甲、乙两队合作每天完成全工程的，甲队单独做3天，乙队再单独做5天后，可以完成全工程的。如果这项工程由甲队单独完成，需要多少天？ 48．安装路灯惠民生，照亮乡村振兴路。幸福村原来有路灯65盏，为了进一步美化乡村环境、加强乡村建设，今年又新安装了一批路灯，现在路灯的数量比原来多了。幸福村现在一共有多少盏路灯？ 49．刺绣是中国民间传统手工艺之一。陈阿姨绣一幅花鸟图，她准备了一些丝线，绣花朵部分用了这些丝线的，绣鸟部分用了5米，这些丝线还剩下。陈阿姨准备了多少米的丝线？（用方程解） 50．2024年3月20日“鹊桥二号”中继星发射成功。实验小学六年级观看直播的女生有120人，观看直播的男生人数比女生多，六年级观看直播的男生有多少人？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $