专题04 圆重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）九年级数学上学期沪科版

该初中数学期末复习讲义以“旋转与圆”为核心，通过表格系统呈现核心考点、复习目标及考情规律，分知识点梳理定义、性质与易错点，用对比表格区分中心对称与中心对称图形等易混概念，构建清晰知识脉络，突出垂径定理、切线判定等重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型+模板”设计，24类题型均配答题模板，如“垂径定理计算”指导构建模型用勾股定理列方程，培养推理能力与模型意识。典例与变式题结合分层练习，基础生掌握方法，优生突破综合题，助力学生自主复习，教师可精准实施分层教学。

专题04 圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 旋转的性质 能运用旋转的性质进行证明与计算 通常在几何的证明与计算中进行考查 旋转作图 能够熟练掌握旋转的作图方法 通常与平移、对称结合考查图形变换作图 中心对称以及中心对称作图 能够准确识别中心对称和中心对称图形 基础考查，通常是选择题 圆的基本性质 能够构造垂径定理模型利用勾股定理进行计算；能够利用圆心角、弧、弦关系进行证明和计算 常考点，选择题和解答题均会考察，难度一般 圆周角 能够准确找到圆中同弧或等弧所对的圆周角，并利用圆周角的性质进行证明和计算。掌握圆内接四边形的性质。 直线与圆的位置关系 会判断点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，会证明切线，能够利用切线以及切线长定理进行证明与计算 三角形的内切圆 能够掌握内心是三角形三条角平分线的交点，能够利用三角形内切圆的性质求三角形的面积 正多边形与圆 理解正多边形的有关概念，能记住正三角形、正四边形、正六边形的边角关系 弧长与扇形面积 熟记弧长和扇形面积的公式 知识点01 旋转 1.旋转的定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 2.旋转的三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 3.旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等． 4.旋转作图步骤： （1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； （2）找出原图形的关键点； （3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； （4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 5.中心对称与中心对称图形 中心对称 中心对称图形 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 区别 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 联系 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称. 6.中心对称的性质： （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 7.作与已知图形成中心对称的图形的一般步骤： （1）作已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于对称中心的对称点——连接关键点和对称中心，并延长一倍确定关键点的对称点. （2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形. 8.找对称中心的方法和步骤： 方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心. 方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心. ·易错点： （1）图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定. （2）旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点. （3）对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径. （4）旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用． 知识点02 圆的基本性质 定义内容 圆 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O. 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形. 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径 经过圆心的弦叫做直径. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号：“”表示. 以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧 大于半圆的弧叫做优弧. 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧. 同圆 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆. 等圆 半径相等的圆叫做等圆. 同心圆 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆. 弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆的对称性 圆的轴对称性：经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. 圆的中心对称性：将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等. ·易错点： （1）由圆的定义可知，确定圆的两个条件：①圆心，它确定圆的位置.②半径，它确定圆的大小. （2）在一个圆上可以画无数条弦和直径；直径是弦，但弦不一定是直径；直径是最长的弦. （3）半圆是弧,但弧不一定是半圆；弧有长度和度数,规定半圆的度数为180°,劣弧的度数小于180°,优弧的度数大于 180°。 （4）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧,度数或长度相等的弧不一定是等弧；同圆或等圆的半径相同。 求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧． 知识点03 圆周角 1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 3.圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆. 4.圆内接四边形性质： （1）圆内接四边形对角互补. （2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. ·易错点： （1）圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180° （2）圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可。 （3）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化. （4）圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化. （5）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角. 知识点04 直线与圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外 点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上 点在圆内 点在圆的内部 d < r 点P在圆内 2. 直线和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离 相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切 相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交 3.切线的性质与判定 定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 性质 圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．） 判定 （1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. （2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. （3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线长定理 定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解． ·易错点： 1. 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解． 2. 经过一个点作圆,圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆,圆心的位置就有了规律性,即圆心位于两点连线的垂直平分线上. 3. 直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究；也可转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来研究，这两个角度的论述其实是等价的. 4. 圆与圆之间的有些位置关系有两种情况，做题时要分类讨论，防止漏解：①两圆没有交点：外离或内含；②两圆有一个交点：外切或内切；③两圆有两个交点：两圆心在公共弦同侧或异侧． 知识点05 三角形的内切圆 1. 三角形内切圆与外接圆 三角形外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2. 三角形内心与外心 圆心的名称 圆心的确定方法 图形 圆心的性质 外心 三角形三边中垂线的交点 1)OA=OB=OC 2)外心不一定在三角形的内部． 内心 三角形三条角平分线的交点 1)到三边的距离相等； 2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 3)内心一定在三角形内部． 3.常见结论 1）三角形内切圆半径公式：，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长. 2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长. ·易错点： 1. 一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数个外切三角形. 2. 三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,镜角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部. 3. 三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,镜角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部. 知识点06 正多边形与圆 1. 正多边形的相关概念 正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 2. 正多边形的常用公式 边长 （Rn为正多边形外接圆的半径） 周长 Pn=n⋅an 外角/中心角度数 面积 Sn=an⋅rn⋅n 对角线条数 边心距 rn=Rn⋅cos 内角和 （ n-2 ）×180°. 内角度数 n边形的边数 （内角和÷180°）＋2 （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解.） 知识点07 弧长与扇形面积 设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数 扇形弧长公式 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．） 扇形面积公式 S扇形==R 圆锥侧面积公式 S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式 S圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的高h，圆锥的底面半径r 题型一 根据旋转的性质求解 解｜题｜技｜巧 1.旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所形成的夹角相等都等于旋转角； 2.一条线段绕着一个端点旋转任意一个角度形成等腰三角形；旋转60°得到全等三角形；旋转90°得到等腰直角三角形； 【典例1】如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点D，若旋转角为，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，再根据可得答案． 【详解】解：旋转角为， ， ， 故选：B． 【变式2】如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转得到，与相交于点，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．连接及，则 【答案】C 【分析】由旋转的性质得出，，根据平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，继而求出，则可求出，可判断选项A；设，根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可得，可判断选项B；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项C；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项D． 【详解】解：∵将绕着点顺时针方向旋转得到，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴选项A说法正确，故此选项不符合题意； 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴选项B说法正确，故此选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴选项C说法错误，故此选项符合题意； 如图， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴选项D说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 题型二 旋转对称图形的识别 答｜题｜模｜板 1.寻找旋转中心、旋转角和旋转方向； 3.观察旋转前后的图形是否可以重合。 【典例1】在学校运动场围墙上设计了四幅图案，其中用到旋转变换方式的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转图形的识别，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转图形的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该图形可由平移得到，不能用旋转得到，不符合题意； B. 该图形可由轴对称得到，不能用旋转得到，不符合题意； C. 该图形可由旋转得到，符合题意； D. 该图形不能用旋转得到，不符合题意； 故选：C． 【变式1】在以下四个标志中，可以旋转角度后重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形，依据概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：只有图案D，旋转角度后就可以与自身重合． 故选：D． 【变式2】下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形与旋转对称图形的识别，掌握这两个概念是解题的关键；根据轴对称图形与旋转对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、只能利用轴对称得到图形，不能利用旋转得到图形，故不符合题意； B、不能利用轴对称得到图形，只能利用旋转得到图形，故不符合题意； C、不能利用轴对称得到图形，能利用旋转得到图形，故不符合题意； D、能利用轴对称得到图形，又能利用旋转得到图形，故符合题意； 故选：D． 题型三 求旋转前后的点的坐标 答｜题｜模｜板 对于一条线段在坐标系内旋转前后端点的坐标求解，通常是构造一线三垂直，通过三角形全等来求解。 【典例1】如图，正方形的顶点在坐标原点，在轴上，在轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、正方形的性质熟练掌握旋转的性质，分顺时针和逆时针旋转两种情况是解答的关键． 【详解】解：∵正方形中，点在上， ∴正方形的边长为， ∴点坐标是，点坐标是， 第一种情况：顺时针旋转， 当绕点顺顺时针旋转时，在轴上， ∵，旋转后与重合，旋转后与轴重合，且，， ∴， ∴点； 第二种情况：逆时针旋转， 绕点逆时针旋转， 当绕点顺顺时针旋转时，在第一象限， 此时横坐标等于长度，纵坐标为， ∴坐标为， 所以旋转后点的对应点的坐标是或． 故选：C． 【变式1】如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点作轴于点C，根据题意证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点作轴于点C， ∵、 ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【变式2】如图，在矩形中，，点在第一象限，将直角绕旋转后，点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质，旋转的性质等知识，注意分类讨论．由四边形是矩形和，根据直角三角形性质和勾股定理可得，点的坐标，连接，可得，分顺时针和逆时针两种情况考虑即可求得结果． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， 点在第一象限， ， 如图，连接， 由矩形知，，， 由勾股定理得， ∴， 当绕点逆时针旋转时，，， ∵， ∴， 即与关于轴对称， ∴ ∴当绕点顺时针旋转时，，， 此时点在轴负半轴上， ∴， 综上所述，点的对应点的坐标为或， 故选：C． 题型四 坐标与旋转规律问题 答｜题｜模｜板 规律探究类问题多数是周期问题，需要同学们通过计算找到周期，再除以周期，从而来求点的坐标。 【典例1】如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质，找到第2025秒旋转结束时的图形是解决本题的关键． 先求出第2025秒旋转结束时的图形，并画出图象，过作轴的垂线交x轴于点D，证明可得，再运用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴第2025秒旋转结束时，绕点逆时针旋转了，过作轴的垂线交x轴于点D，如下图， 由旋转可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选C． 【变式1】将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标，解直角三角形等知识，观察可知6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕原点逆时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转后的坐标为， 第二次旋转后的坐标为， 第三次旋转后的坐标为， 第四次旋转后的坐标为， 第五次旋转后的坐标为， 第六次旋转后的坐标为， ⋯， 可知，6次一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点A对应点的坐标为， 故选：A． 【变式2】如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于…如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象，二次函数与几何变换．由抛物线与轴交点坐标得出抛物线的解析式，再根据周期为8即可求出的值． 【详解】解：一段抛物线， 图象与轴交点坐标为：，， ， 将绕点旋转得， ， 抛物线， 且曲线的一个周期长为8， 在这种连续变换的图象上，且， ∴． 故选：A． 题型五 中心对称图形的识别 答｜题｜模｜板 1.中心对称：如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称； 2.中心对称图形：如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 【典例1】下列图形中，既是轴对称图形图形又是中心对称图形的是（  ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B 【变式1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 题型六 成中心对称的点的坐标问题 答｜题｜模｜板 1.关于原点成中心对称的两个点的坐标，横纵坐标都变为其相反数； 2.关于任意一点成中心对称的两点坐标，对称中心是对称点连线的中点，可根据中点坐标公式进行计算。 【典例1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征．根据关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 【详解】∵点关于原点对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， 即点． 故选：D． 【变式1】已知点与点关于原点O对称，则的值为（   ） A．1 B． C．4051 D． 【答案】A 【详解】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．掌握“关于原点对称的点，横坐标和纵坐标分别互为相反数”是解题关键． 根据题意可得，的值，计算的值即可． 【分析】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：A． 【变式2】在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；∵、， ∴点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴，两点关于y轴对称， 故选：C． 题型七 旋转作图 答｜题｜模｜板 旋转作图步骤： （1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； （2）找出原图形的关键点； （3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； （4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 【典例1】在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度） (1)请画出关于原点对称的图形，并写出，，三点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的． (3)在轴上找一点，使得的值最小，请写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，，， (2)作图见解析 (3)作图见解析， 【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接，再结合直角坐标系写出，，三点的坐标即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作，且，，； （2）如图所示，即为所求． （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， 此时， ∴此时的值最小，最小值为的长，则点即为所作； ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，得：， ∴． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是 (1)把向左平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到对应的，请画出平移后的，并写出的坐标； (2)把绕原点O顺时针旋转得到对应的，请画出旋转后的； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移及旋转，利用网格求三角形的面积，正确理解平移与旋转的定义是解题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可，根据图形和坐标系求出点的坐标； （2）根据旋转的性质画出图形即可； （3）借助网格利用割补法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∴； （2）解：如图，即为所求； （3）解：． 【变式2】如图，在已知的平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，若，，点的坐标分别是，，． (1)将向右平移两个单位长度得．请在网格内画出； (2)将绕着点旋转得．请在网格内画出； (3)的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了作图−−旋转变换，作图−−平移变换，写出点的坐标． （1）根据平移性质，找到这三个点，再依次连接； （2）根据旋转性质，找到这三个点，再依次连接； （3）根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求 （3）的坐标是，的坐标是 故答案为：，． 题型八 利用垂径定理进行证明与计算 答｜题｜模｜板 1.根据垂径定理，构建垂径定理模型； 2.设出未知数，利用勾股定理列出方程进行计算 【典例1】如图，在中，弦，圆心O到弦的距离，则的半径为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 根据，得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴根据勾股定理得：， 即的半径为5． 故选：A． 【变式1】如图，在中，直径弦，垂足为，若，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由于点，，根据垂径定理得，而，，则，由勾股定理得，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】：连接，   是的直径，是的弦，且于点，， ， ，， ， ， ， 解得， ， ， 故答案为： 【变式2】如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若弦的长为，求的直径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定，利用垂径定理求值，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据垂径定理得出，，从而可得，于是就有，再结合，可判定是等边三角形，从而可得； （2）先根据垂径定理得出，再利用勾股定理得到，求得即可得出圆的直径为． 【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）设的半径为r， ∵垂直平分半径，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 所以圆的直径为． 题型九 利用垂径定理求平行弦问题 答｜题｜模｜板 圆中的平行弦问题是一个易错点，有两种情况，一是平行弦在圆心的同一侧；另一种情况是平行弦位于圆心的两侧。 【典例1】若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 【变式1】在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键． 由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接， 由垂径定理可知， 在中，； 在中，， 所以； ②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接， 同（一）可知：， 所以． 故答案为：2或14． 【变式2】如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 题型十 利用垂径定理的推论进行证明与计算 答｜题｜模｜板 1.在借此类问题时应明确，被平分弦不能是直径； 2.由垂径定理的推论可以得到垂直关系，进而构建直角三角形运用勾股定理进行求解。 【典例1】如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）由垂径定理即可得，进而得证； （2）由（1）可知，为直角三角形，由勾股定理可求出直径的长，进而可得半径的长． 【详解】（1）证明：为的半径，且， 由垂径定理可知，，且 ； （2）解：由（1）可知，， ， ， 为直角三角形， 在中，， ， 为半径， ， 故的长为． 【变式1】如图，是的直径，四边形内接于，交于点E， (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、垂径定理、勾股定理，掌握相关的定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，再根据三角形中位线定理证明； （2）设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 是的中位线， ； （2）解：设的半径为r，则， 由（1）可知， ， ， 在中，，即， 解得：， 的半径为． 【变式2】如图，是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，与交于点E，且． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，同弧所对的圆心角相等，平行线的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． （）根据圆周角定理和垂径定理的推论证得，即可证得结论； （）连接，根据平行线的性质可得，再根据同弧所对的圆心角相等以及圆周角定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆的直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴为弧的中点， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴． 题型十一 点与圆的位置关系 答｜题｜模｜板 掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 【典例1】已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径是，点是外一点， ∴； ∴的长可能是． 故选：D． 【变式1】已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 【变式2】已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 【答案】B 【分析】本题考查确定圆的条件，两圆的位置关系；圆心需同时满足到A和B的距离均为，即是以A和B为圆心、半径的两圆的交点，根据两圆位置关系，当圆心距，半径时，两圆相交，有两个交点，故可作两个圆． 【详解】解：∵圆经过A、B两点且半径为， ∴圆心O满足，， ∴O点是以A为圆心、为半径的圆和以B为圆心、为半径的圆的交点， 又∵，且两圆半径均为， ∴两圆圆心距，半径和，半径差， ∴两圆相交，有两个交点， ∴这样的圆可作两个． 故选：B． 题型十二 点与圆上一点的最值问题 答｜题｜模｜板 圆外一点与圆上一点的最大值与最小值问题，通常连接该点与圆心，与圆有两个交点，靠近圆外一点的交点与圆外一点之间的距离为最小值，远离圆外一点的交点与圆外一点间的距离为最大值。 【典例1】如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为4， 故选：A． 【变式1】如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线定理可得，推出点的运动路径是以为圆心半径为的圆． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，， ∵是 的中点，半径为， ∴是的中位线， ∴， ∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆， ∵，， ∴， ∴， ∵为上任意一点， ∴，当点、、共线时取等号， 此时取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【变式2】如图，在边长为2的正方形中，是边上一动点（不与点，重合），点关于直线的对称点为，求正方形的中心与点距离的最小值（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，则点是交点，根据四边形是正方形，得出，勾股定理求出，从而得，如图，连接，根据点关于直线的对称点为，得出，从而得出点在运动上运动，确定出当点运动到点时，最小，此时，最小值为． 【详解】解：连接，则点是交点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，即点在运动上运动， ∴当点运动到点时，最小， 此时，最小值为， 则正方形的中心与点距离的最小值为， 故选：C． 题型十三 三角形的外接圆 答｜题｜模｜板 要注意外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点之间的距离相等。 【典例1】如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 【变式1】在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 【变式2】如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（    ） A． B．13 C．26 D．24 【答案】A 【分析】连接，根据旋转的性质得到，，，推出，是等腰直角三角形，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，是等腰直角三角形， ，， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 题型十四 利用圆心角、弧、弦关系进行证明与计算 答｜题｜模｜板 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化． 【典例1】如图，是的两条直径，是劣弧的中点，连接．交于点，若． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆的综合，圆周角定理，圆心角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，正确理解圆的相关性质是解题的关键． （1）连结， 由是劣弧的中点，得， 而， 则， 所以，则， 所以 （2）由，得， 则， 所以． 【详解】（1）解：连接， 是劣弧的中点， 是的两条直径， 的度数是. （2）证明：， 直径平分弦所对的弧， ． 【变式1】如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补可得． 【详解】解：， ∴， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴ ， 故选：A． 【变式2】如图，是的外接圆，是的中点，是弦上一点，连接．若的半径为2，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质勾股定理等知识，证明是解答的关键． 连接、、、，根据弦、弧关系和等腰三角形的性质得到，结合圆内接四边形的性质推导出，证明得到，进而利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、、、，如图， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，又， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 题型十五 根据圆周角的性质进行证明与计算 答｜题｜模｜板 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化. （2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”. （3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角． （4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 【典例1】如图，锐角内接于于点于点，交于点，延长交于点，连接，． (1)当，时，求的度数． (2)求证：． (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得，，即可求解； （2）根据直角三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，即可求证； （3）延长交于点H，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，然后根据垂径定理可得，可得，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长交于点H，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，是的外接圆，．过点B作，垂足为F，与交于点D，连接并延长，与交于点 (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【分析】本题考查线段垂直平分线性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键． （1）连接，，延长交于点，根据线段垂直平分线的性质可证得垂直平分，进而证得，从而得出结论； （2）连接、，根据等腰三角形的性质，结合圆周角定理证得，进而证得，从而得出结论． 【详解】（1）证明：连接，，延长交于点， 点A在的垂直平分线上． 点O在的垂直平分线上 垂直平分 即 即 ； （2）证明：连接、，如图： ， ， ． 【变式2】如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1)的度数是 (2)的长是8 【分析】此题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的直径，弦于点E，得，由垂直平分，得，则，所以； （2）连接，由，，求得，则，所以，则，求得． 【详解】（1）解：连接， 是的直径，弦于点E， ， 垂直平分， ， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）解：连接， ，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 的长是． 题型十六 利用圆的内接四边形进行证明与计算 答｜题｜模｜板 圆内接四边形对角互补，通常在一个四边形中如果对角互补，可以说明四点共圆，可以构建隐圆来解决问题。 【典例1】如图，已知四边形内接于，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据圆内接四边形的性质，得出，进一步证明是等边三角形，得出，最后根据圆周角定理的推论即可求出的度数； （2）通过在上截取，再连接，构造出全等三角形和等边三角形，再利用其性质即可证明． 【详解】（1）解：四边形内接于， ． ， ． ， 是等边三角形， ， ， ． 答：的度数为． （2）证明：如图， 在上截取，连接， 由（1）知，是等边三角形， ． ， ． 在和中， ， ． ， 是等边三角形， ， ． 【变式1】如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，根据圆周角定理可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由（1）可知，结合得到，，推出，则，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）如图①，连接，， 在中，，， ； （2）由（1）可知， ， ，， 如图②，连接，，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 题型十七 证明某条直线时圆的切线 答｜题｜模｜板 常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， （1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； （2）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 【典例1】如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F，连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据三线合一性质得出，则可得出，然后结合三角形内角和定理可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式1】如图，中，A是的中点，以A，B，C三点作平行四边形，延长交于点E，连接 (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【分析】连接，交于点F，根据已知易得：，从而根据垂径定理可得，进而可得，然后利用平行四边形的性质可得，从而可得，即可解答； 连接，根据平行四边形的性质可得，，再利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用圆心角、弧、弦的关系可得，再利用垂径定理可得，最后在中，利用勾股定理求出，再设的半径为r，则，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 本题考查了切线的判定与性质，平行四边形的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，交于点F， 是的中点， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 在中，， 设的半径为r，则， 在中，， ， 解得：， 的半径为13． 【变式2】如图，为的直径，点A在上，的平分线交于点E，交于点M．的平分线交于点D，过点E作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握圆的相关知识是解题关键． （1）连接，由直径可得，从而得到，再利用圆周角定理，得到，由平行线的性质得出，即可证明结论； （2）由角平分线的性质得到，由等腰直角三角形的性质，得到，再结合三角形外角的性质，得出，从而推出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ， 平分， ， ， ， ，即， 又是半径， ∴是的切线； （2）解：是的平分线， ， ，， ， ，， ， ． 题型十八 利用切线的性质进行证明与计算 答｜题｜模｜板 当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明． 【典例1】如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线长定理，证得，根据等腰三角形的性质，证得，进而证得； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ，即 是直径， ，即 ； （2）解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 【变式1】如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，连接，分别与交于点． (1)求证：； (2)过点B作的切线交的延长线于点G．若，求半径的长． 【分析】本题考查了圆的垂径定理、切线的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用弧中点的性质证明平行线，结合相似三角形的比例关系建立方程求解半径。 （1）由点是的中点得，结合得，进而推出，证得； （2）设半径为，利用切线性质得，垂径定理得，通过和推出，再由得，代入列方程求解得． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设的半径为，则， ∵是的切线， ∴，即． ∵是的中点， ∴，即, ∵， ∴， 又，故①。 由得， ∴,则②, 联立①②知，，则，即 ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得（舍去）． 故半径的长为． 【变式2】如图，直线与相切于点，是的弦且平行直线，连接半径交于点，弦与交于点，连接， (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，先证明直线l，，可推导出，则，根据，得到，即可解答； （2）根据勾股定理，先求出，证明，得到，即可解答． 【详解】（1）证明：连接 直线是切线， 直线， 平行直线， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ， ， 题型十九 利用切线长定理进行证明与计算 答｜题｜模｜板 1.过圆外一点可以做圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心与该点的连线平分两条切线的夹角； 2.圆心与圆外一点的连线垂直平分过该点的两条切线与圆的切点连线。 【典例1】如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 【变式1】如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出关于的方程是解题的关键．由切线长定理可知：，得到，设，则，然后根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点、、， ， ∴， 设，则， 则． 解得． ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点． (1)判断与半圆的位置关系，并说明理由． (2)若，求． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设半圆的圆心为，连接，，通过证明得到，再利用切线的判定定理即可得出结论； （2）根据正方形的性质得到，推出是半圆的切线，根据切线长定理得到，设，根据勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：与半圆相切，理由如下： 如图，设半圆的圆心为，连接，， 四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， 是半圆的半径， 与半圆相切； （2）解：四边形是正方形， ，， 是半圆的直径， 是半圆的切线， 由（1）得，与半圆相切， ， 设， ， ， ， 解得， ． 题型二十 三角形的内切圆 答｜题｜模｜板 解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解． 【典例1】如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，设，根据切线长定理得出，，，得到，，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设， 的内切圆与分别相切于点， ，，， ，，， ，， ， ， 解得：， 即， 故选：B． 【变式1】如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 【变式2】如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 【分析】此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股定理等， （1）连接，过点作于点，由角平分线的性质证得，即可得到与相切． （2）连接，得到，同理可证，．根据，，，推出，进而推出，由此得到结论四边形对角互补． （3）由是四边形的内切圆，得①，由，得②，由①②可得，设，，得和都是方程的两根，进而推出为直径，连接，由勾股定理求出，，由，可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接，过点作于点， ∵与相切， ∴，又平分， ∴， ∴与相切． （2）如图2，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补． （3）∵是四边形的内切圆， ∴，① 记与的交点为点， ∵， ∴，② 由①②可得， 设，， ∴和都是方程的两根， 又，∴，， 又，∴平分， ∴为直径， 连接，则， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴． 题型二十一 正多边形与圆 答｜题｜模｜板 1.正三角形的边长是边心距的倍；正三角形的半径是边心距的2倍； 2.正四边形的边长是边心距的2倍；正四边形的半径是边心距的倍； 3.正六边形的边长等于半径等于边心距的倍 【典例1】如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a，根据正六边形的性质可求．在中通过解直角三角形可得，从而，即可求解． 【详解】解：连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a， ∵六边形是正六边形，，是其对角线， ∴，平分，平分 ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点J是正六边形的对角线的交点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 将正六边形分成六个边长相等的正三角形，则正多边形的半径为正三角形的边长，据此计算正六边形的面积即可． 【详解】解：根据题意得，正六边形可以分成六个边长相等的正三角形， 则正多边形的半径为正三角形的边长， 即正三角形的边长为6，高为， 因此，正六边形的面积为， 故答案为：． 【变式2】如图，正五边形内接于，连接交于点F． (1)求的度数． (2)已知，求的长． 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据五边形是正五边形，判断出，，再根据圆周角定理即可得到； （2）证明，推出，设，则，列出方程，解方程即可求出的长． 【详解】（1）解：∵五边形是正五边形， ∴，． ∵正五边形内接于， ∴； （2）解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， 同理， ∵ ∴， ∴，即， 设，则， ∴，即， 解得（舍去负值）． ∴的长是． 题型二十二 弧长的计算 答｜题｜模｜板 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长公式 中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量． 【典例1】如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 【变式1】如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 【变式2】如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的性质以及弧长公式是解题的关键． 如图：连接，根据圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理可得的的度数，再运用弧长的公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ，四边形内接于， ∴ ， 的半径为2， 弧的长为． 故答案为：． 题型二十三 扇形面积的计算 答｜题｜模｜板 （1）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或 S扇形=R中求解即可． （2）扇形面积公式S扇形=R 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可. （3）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． （4）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式来解决问题． （5）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 【典例1】如图，是的两条切线，切点分别为．若的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，扇形的面积．先根据切线的性质得到，再利用四边形的内角和计算出，然后根据扇形的面积公式计算． 【详解】解：∵是的两条切线，切点分别为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【变式1】为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图与扇形的关系，解题的关键是熟练掌握圆锥及其侧面展开图中相关量之间的关系．根据圆锥底面周长等于扇形弧长建立方程求解即可． 【详解】解：设扇形纸板的半径为 ， 扇形的圆心角为，圆锥的底面半径是， 根据圆锥底面周长等于扇形弧长可得，， 解得，． 答：这个扇形纸板的半径是． 故答案为：． 【变式2】折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式，可得到一个关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设圆心角为， ， 解得：， 故答案为：． 题型二十四 不规则图形面积的计算 答｜题｜模｜板 在进行不规则图形的面积计算时，通常通过割补法进行转化，将其变为扇形或者弓形等规则图形的面积，进而利用公式进行计算。 【典例1】如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ．(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键． 根据旋转和解直角三角形，可求出和的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图可知， ∵，是由绕圆心O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ． 故答案为：． 【变式1】如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为得，，运用圆周角定理得，，则，，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则. 故答案为：． 【变式2】如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧上的点处，点C的对应点为点 ，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r，那么扇形的面积S=． 【详解】解：连接，过作于，则，如图， ∵将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点， ∴扇形和扇形的面积相等，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ，由勾股定理得： ， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·贵州·期末）如图，的半径为5，弦，点C是的中点，连接，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得的长． 【详解】解：∵点C是的中点， ∴， ∵弦， ∴， ∵的半径为5， 在中，由勾股定理得，． 故选：C． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合旋转的性质得，，根据等边三角形的性质得，运用勾股定理列式计算得，再结合周长公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得到， ，， ， 为等边三角形， ， 在中，， 与的周长之和 ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，弦，相交于点，．求证：． 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键，证明即可证明结论． 【详解】证明： ， ， ， ． 4．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出将绕点O顺时针旋转后所得到的图形； (2)写出点的坐标． 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的旋转，掌握知识点是解题的关键． （1）根据绕点O顺时针旋转后所得到的图形，画图即可； （2）从图可得到，即可解答． 【详解】（1）如图所示：，即为所求； （2）由图，可得 ． 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，点在边上，的外接圆交于点E，，过点作垂直于点，延长交于点 (1)求证：； (2)求证： 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定． （1）根据同角的余角相等可得，再结合，可得，即可求证； （2）证明，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接交延长，交于点，过点作，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，当点、、共线时有最大值，最大值是，所以的最大值是． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作， 点的坐标为， ，， ， 点，点关于原点对称， ， ， ， ， 当最大时最大， 当点、、共线时有最大值， 的半径为， 的最大值是， 的最大值是． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，四边形中，，，以为直径的刚好与相切，连结、交于点，若，则已知下列条件中的一个即可求的长的有（   ） ；；；． A．、、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】延长交的延长线于点T，由 ，推出，欲求，只要求出，，即可，由此即可判断． 本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质等知识，熟练掌握综合运用是解题关键． 【详解】解：延长交的延长线于点． ， ， ， 欲求，只要求出，，即可． 已知，，可以求出，，故符合题意， 当的值已知，可以求出：：，可以求出，，，故符合题意． 当的值已知，可以求出：：，可以求出，，，故符合题意． 故选：． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知矩形的边长，，若将矩形绕点C旋转，使点B的对应点恰好落在上，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，先求出，再由旋转的性质证明，得到，然后由等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 矩形的边长，， ，， ， ， ， 在中，， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点分别为． (1)画出旋转后的； (2)写出点的坐标_______； (3)求出点经过的路径长．（结果保留） 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握旋转的性质作图，坐标与图形，弧长公式的计算是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据坐标与图形，数形结合分析即可； （3）根据弧长公式的计算方法（为扇形的圆心角度数）即可． 【详解】（1）解：如图所示， 是所求图形； （2）解：根据图示可得，， 故答案为：； （3）解：根据题意， ，， ∴点经过的路径长为． 5．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 【分析】（1）连接．由中垂线的性质得出，由等腰三角形的性质得出．求出，则可得出答案； （2）求出， ，由扇形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接． 是的垂直平分线， ． 点在上． ，， ． ， ． ． 即， 是的切线． （2）解：， ． ， 在中， ， ． 6．（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知：如图和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M． (1)说明：是经过怎样的旋转得到的？（请从旋转“三要素”加以说明） (2)在图①中，①求证：； ②______． (3)当绕点C沿逆时针方向旋转到图②时， ①的度数会发生变化吗？请说明理由？ ②求证：点C落在的角平分线上． 【分析】（1）先得到，然后根据旋转的性质解答即可； （2）①根据等边三角形性质得出，求出，根据推出两三角形全等即可； ②根据，得到，根据三角形的内角和定理，即可解答； （3）①根据等边三角形性质得出，求出，根据推出两三角形全等即可解题； ②连接，过点作于点，根据，得到，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可． 【详解】（1）解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴是绕点C顺时针旋转得到的； （2）①证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）①解：的度数不会发生变化， ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ②证明：连接，过点C作，于点H，G， ∵， ∴，， ∴， ∴平分． ∴点C落在的角平分线上． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【分析】（1）根据题意得， ，所以 ．即可求出． （2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识． 【详解】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴的度数分别为． （2）证明：由切线长定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． 5．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 【分析】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先在的延长线上作，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为，由直角三角形的斜边中线的性质即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，再设，则，，，在中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得． 【详解】（1）证明：∵是的两条切线，切点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，满足的即为所作． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的两条切线，切点是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04 圆（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 旋转的性质 能运用旋转的性质进行证明与计算 通常在几何的证明与计算中进行考查 旋转作图 能够熟练掌握旋转的作图方法 通常与平移、对称结合考查图形变换作图 中心对称以及中 能够准确识别中心对称和中心对称图形 基础考查，通常是选择题 心对称作图 圆的基本性质 能够构造垂径定理模型利用勾股定理进 行计算；能够利用圆心角、弧、弦关系进 行证明和计算 圆周角 能够准确找到圆中同弧或等弧所对的圆 周角，并利用圆周角的性质进行证明和计 算。掌握圆内接四边形的性质。 直线与圆的位置 会判断点与圆的位置关系、直线与圆的位 常考点，选择题和解答题均会考察，难度 关系 置关系，会证明切线，能够利用切线以及 般 切线长定理进行证明与计算 三角形的内切圆 能够掌握内心是三角形三条角平分线的 交点，能够利用三角形内切圆的性质求三 角形的面积 正多边形与圆 理解正多边形的有关概念，能记住正三角 形、正四边形、正六边形的边角关系 弧长与扇形面积 熟记弧长和扇形面积的公式 记·必备知识 属知识点01旋转 1旋转的定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转过一个角度，这样的图形运 动叫旋转，这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角. 2.旋转的三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 1/36 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.旋转的性质： (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前后的图形全等. 4旋转作图步骤： (1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角： (2)找出原图形的关键点； (3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； (4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形， 5.中心对称与中心对称图形 中心对称 中心对称图形 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形 定义 重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这 重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称 个点叫做它的对称中心 区别 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形” 联系 就是中心对称图形：反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这 “两个图形”中心对称 6.中心对称的性质： (1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分： (2)中心对称的两个图形是全等图形 7.作与己知图形成中心对称的图形的一般步骤： (1)作已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于对称中心的对称点一连接关键点和对称中心， 并延长一倍确定关键点的对称点 (2)把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的 图形 8.找对称中心的方法和步骤： 方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心 方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心 易错点： (1)图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定 2/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点 (3)对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径 (4)旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转 的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关 键的作用. 圆知识点02圆的基本性质 定义内容 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆.以O 圆 点为圆心的圆记作⊙O,读作圆O. 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦， 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧弧用符号：“⌒”表示. 以A、B为端点的弧记作AB,读作：“圆弧AB”或“弧AB 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 半圆 大于半圆的弧叫做优弧 优弧 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧 同圆 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆 等圆 半径相等的圆叫做等圆， 同心圆 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆的对称性 3/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 圆的轴对称性：经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴 对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴 圆的中心对称性将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆 绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性， 垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧」 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等 易错点： (1)由圆的定义可知，确定圆的两个条件：①圆心，它确定圆的位置.②半径，它确定圆的大小 (2)在一个圆上可以画无数条弦和直径；直径是弦，但弦不一定是直径；直径是最长的弦 (3)半圆是弧，但弧不一定是半圆；弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度 数大于180°。 (4)在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧同圆或等圆的半径相同。 求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧. 局知识点03圆周角 1圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=圆心角） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 3圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形这个圆叫做这个 四边形的外接圆 4.圆内接四边形性质： (1)圆内接四边形对角互补 4/36 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 易错点： (1)圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度 数和为180° (2)圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可。 (3)圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转 化. (4)圆周角和圆周角可利用其“桥梁”—圆心角来转化. (5)圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所 对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角 知识点4直线与圆的位置关系 1.点和圆的位置关系 己知⊙0的半径为，点P到圆心O的距离为d, 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 d>r分点P在圆外 点在圆上 点在圆周上 d=r分点P在圆上 点在圆内 点在圆的内部 d<r分点P在圆内 2.直线和圆的位置关系 设⊙0的半径为r,圆心0到直线1的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 5/36 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 相离 没有公共点 d>r分直线1与⊙O相离 d 相切 有唯一公共点 d=r分直线1与⊙O相切 相交 d 有两个公共点 d<r分直线1与⊙0相交 3切线的性质与判定 定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点， 性质 圆的切线垂直于过切点的半径，（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆 心的直线.) (1)定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线， 判定 (2)数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切 (3)判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线， 2.切线长定理 定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长， 定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角 三角形来求解 易错点： 1.由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进 6/36 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 行分类讨论，否则比较容易漏解. 2.经过一个点作圆，圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆，圆心的位置就有了规律性，即圆心位于两点连 线的垂直平分线上 3.直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究；也可转化为圆心到直线的距离与半 径r的大小关系来研究，这两个角度的论述其实是等价的 4.圆与圆之间的有些位置关系有两种情况，做题时要分类讨论，防止漏解：①两圆没有交点：外离或内含； ②两圆有一个交点：外切或内切；③两圆有两个交点：两圆心在公共弦同侧或异侧. 局知识点05三角形的内切圆 1.三角形内切圆与外接圆 三角形外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分 线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个 三角形叫做圆的外切三角形 2.三角形内心与外心 圆心的 圆心的确定方法 图形 圆心的性质 名称 外心 三角形三边中垂线的交点 1)OA=OB=OC 2)外心不一定在三角形的内部. 内心 三角形三条角平分线的交点 1)到三边的距离相等： 2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、 ∠ABC、LACB; 3)内心一定在三角形内部。 3.常见结论 1)三角形内切圆半径公式：r=器，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长 2》特殊的直角三角形内切圆半径公式=+或r=,也，其中a,b为直角三角形的直角边长，c为斜边 2 a+b+c 7/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长 易错点： 1.一个三角形有且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形 2.三角形的内心是三条角平分线的交点，因此，镜角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内 部 3.三角形的内心是三条角平分线的交点，因此，镜角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内 部 属知识点06正多边形与圆 1.正多边形的相关概念 正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距， 2.正多边形的常用公式 边长 an=2Rn'sin 1800 (Rn为正多边形外接圆的半径) 周长 Pn-nan 外角/中心角度数 360° h 面积 1 Sn-an'mn 对角线条数 n(n-3) 2 边心距 mn=Rn-cos1800 内角和 (n-2）×180° 内角度数 (n-2)×180° n边形的边数 (内角和÷180°)+2 n anRn、m的关系 R除=+ (an、R、In为构成直角三角形的三边长，己知其中两个值，第三个值 可以借助勾股定理求解) 曼知识点07弧长与扇形面积 设⊙O的半径为R,n°圆心角所对弧长为l,n为弧所对的圆心角的度数 8/36 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 扇形弧长公式 (弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示 1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.) 扇形面积公式 圆锥侧面积公式 S圆锥侧=πl(其中1是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径) 圆锥全面积公式 S圆锥全=l+r2 (圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积) 圆锥的高h,圆 r2+h2=12 锥的底面半径r 破·重难题型 匚题型一 根据旋转的性质求解 !解丨题1技|巧 !1.旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所形成的夹角相等！ 都等于旋转角； 12.一条线段绕着一个端点旋转任意一个角度形成等腰三角形；旋转60°得到全等三角形；旋转90°得 1到等腰直角三角形： 【典例1】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,其中点D恰好落在BC边上，则∠EDC=（) A.40 B.50 C.55 D.60° 【变式1】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE,其中点A的对应点为点 D,若旋转角为20°，则∠DBC的大小是() 9/36 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.20° B.70° C.90° D.110 【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△ADE,AB与CE相 交于点F,下列说法错误的是() B A.若ADICE,则∠BAE=30° B.∠BAE=2∠BCE C.∠B=∠AEC D.连接BE及CD,则BEIICD ☑题型二 旋转对称图形的识别 厂 !答题1模1板 !1.寻找旋转中心、旋转角和旋转方向； 1 !3.观察旋转前后的图形是否可以重合。 【典例1】在学校运动场围墙上设计了四幅图案，其中用到旋转变换方式的是( ,大大应. 【变式1】在以下四个标志中，可以旋转角度a°(0<a≤360)后重合的是( 【变式2】下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是() 中。 10/36