专题03 解直角三角形重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）九年级数学上学期沪科版

该初中数学复习讲义通过表格与知识框架图系统构建解直角三角形知识体系，梳理锐角三角函数的概念、关系、特殊角值及解直角三角形的类型方法，用对比呈现同角与互余角三角函数关系，突出边角关系及实际应用的重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，设置十五类题型含答题模板如“找准直角三角形明确对边邻边斜边”，典例结合变式题如俯角仰角问题培养模型意识，特殊角运算提升运算能力。基础通关、重难突破、综合拓展练满足分层需求，助力学生自主复习，为教师精准教学提供系统支持。

专题03 解直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数 能熟练记忆正弦、余弦、正切的含义，熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值 基础必考点，常出现在小题 解直角三角形 能够熟练掌握锐角函数的边角关系，并利用三角函数的边角关系，解直角三角形；在实际问题中，能够构建直角三角形模型运用锐角三角函数解决实际问题。 考查重点，通常在实际问题中建立直角三角形模型，进行解直角三角形。通常是解答题。有时也会与几何题进行综合，难度较大。 知识点01 锐角三角函数 1. 锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 2. 正弦、余弦、正切的概念 定义 表达式 图形 正弦 余弦 正切 3. 锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： （1）同角三角函数的关系： ， （2）互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, 4. 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 5. 锐角三角函数的性质 性质 0°＜∠A＜90° sin A随∠A的增大而增大 cos A随∠A的增大而减小 tan A随∠A的增大而增大 ·易错点： 1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1. 2. tan A乘方时,一般写成,它与含义相同(正弦、余弦相同). 3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的. 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关. 4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 知识点02 解直角三角形 1.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2.在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： （1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B （2）三边之间的关系：（勾股定理） （3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系： sin A= = ，sin B= = cos A= = tan A= = 3.解直角三角形常见类型及方法： 已知类型 已知条件 解法步骤 两边 斜边和一直角边 (如c,a) ① ② ③∠B=90°－∠A 两直角边 (如a,b) ① ② ③∠B=90°－∠A 一边和一锐角 斜边和一锐角 （如c，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 一直角边和一锐角 （如a，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 另一直角边和一锐角 （如b，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 4.解直角三角形实际应用的一般步骤： （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． ·易错点： 1. 在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 2. 已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 题型一 求角的正弦值 解｜题｜技｜巧 1.找准所要求的角所在的直角三角形或构造直角三角形； 2.明确直角三角形中所求角的对边、邻边和斜边； 3.根据正弦的含义求出正弦值。 【典例1】在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求锐角的正弦函数值，掌握正弦函数的定义是关键；根据正弦函数的定义，在直角三角形中，等于角A的对边与斜边的比值． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故选：D． 【变式1】在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴. 故选：B． 【变式2】如果等腰三角形三边之比为3：3：4，那么底角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，结合勾股定理和等腰三角形的性质计算是解题的关键． 根据等腰三角形的三边比例，确定腰和底边的长度，通过作高构造直角三角形，利用勾股定理求高，再根据正弦定义求解． 【详解】由等腰三角形三边之比为，可设腰长为，底边长为，如图所示， 作底边上的高，则，， ， ， ； 故答案为 ． 题型二 已知正弦值求边长 答｜题｜模｜板 1.找准正弦值中的角所在的直角三角形； 2.明确直角三角形中所求角的对边、邻边和斜边； 3.根据正弦的含义，理清直角三角形中的正弦与直角三角形的边角关系，进而求出对应边长。 【典例1】在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．理解正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义得到，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式1】在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，，，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了正弦的定义，根据正弦的定义得到，则． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， 故答案为：12 题型三 求角的余弦值 答｜题｜模｜板 1.找准所要求的角所在的直角三角形或构造直角三角形； 2.明确直角三角形中所求角的对边、邻边和斜边； 3.根据余弦cos A= 的含义求出余弦值。 【典例1】在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握勾股定理求直角边长度、明确余弦函数的定义是解题的关键。先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据余弦的定义（邻边与斜边的比值）计算的值． 【详解】在中，，，， 由勾股定理得：， ． 【变式1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，利用网格过点A作交的延长线于点M，再利用勾股定理求出，，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：过点A作交的延长线于点M， ∵每个小正方形的边长均为1， ∴，， 在中，． 故答案为： 【变式2】在中，是锐角，，则 【答案】或 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的余弦的含义，熟记余弦的定义再进行计算是解本题的关键．分和两种情况讨论即可，先利用勾股定理求解，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，是锐角，， 当时，如图， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴； 故答案为：或． 题型四 已知余弦值求边长 答｜题｜模｜板 1.找准余弦值中的角所在的直角三角形； 2.明确直角三角形中所求角的对边、邻边和斜边； 3.根据余弦cos A= 的含义，理清直角三角形中的余弦与直角三角形的边角关系，进而求出对应边长。 【典例1】如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 【变式1】已知锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，为其终边上的一点，若，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角余弦函数是解题关键． 根据余弦函数的定义，结合点P的坐标，建立方程求解m的值． 【详解】解：由题意，，又为锐角， ，， 两边平方可得：，， ， 交叉相乘可得：， ， ， ． 故选：D． 【变式2】如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 题型五 求角的正切值 答｜题｜模｜板 1.找准所要求的角所在的直角三角形或构造直角三角形； 2.明确直角三角形中所求角的对边、邻边和斜边； 3.根据正切tanA= 的含义求出正切值。 【典例1】如图，在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形中勾股定理与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 先设为x，再利用勾股定理表示出的长，之后根据三角函数的定义直接求解即可． 【详解】解：在中，，， 设， 则， 则． 故答案为． 【变式1】已知在中，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和锐角三角函数．作于点D，设，则，利用勾股定理解和，利用长相等列等式，解出值，进而求出，利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，作于点D， 设，则， 由勾股定理可得， 在中，， 在中，， ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式2】如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数里的正切函数，解题的关键在于掌握正切函数所对应的边，易错点在于混淆正切函数和余切函数；在直角三角形中，，根据网格图找到相应的边即可． 【详解】如图，过点作于， 在中， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型六 已知正切值求边长 答｜题｜模｜板 1.找准正切值中的角所在的直角三角形； 2.明确直角三角形中所求角的对边、邻边和斜边； 3.根据正切tanA= 的含义，理清直角三角形中的正切与直角三角形的边角关系，进而求出对应边长。 【典例1】如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】已知中，，，，那么的长为 ． 【答案】6 【分析】此题考查利用正切值求线段的长，根据正切函数的定义，等于的对边与邻边的比值，即，由此求出的长． 【详解】在中，，， ∵，， ∴， 解得 ， 故答案为6． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解直角三角形，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标．首先根据直线求得点C的坐标，然后根据的面积求得的长，即可求得点C的坐标，进而求得一次函数解析式为，设，然后利用正切函数的定义求得的值，从而求得点B的坐标，求得结论． 【详解】解：如图，作轴交于点D， ∵直线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， 解得， ∴直线， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B， ∴． 故答案为：12． 题型七 特殊角的锐角三角函数值 答｜题｜模｜板 熟记0°、30°、45°、60°以及90°角的三角函数值是解决此类问题的关键。 【典例1】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式1】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，然后根据特殊角的三角函数值，直接计算的值，熟练掌握等特殊角的三角函数值有助于快速解题． 【详解】解：． 故选：B． 【变式2】已知为锐角，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，得，求出，即得解． 【详解】解：∵，且， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 题型八 特殊角的三角函数值的运算 答｜题｜模｜板 1.先将特殊角的锐角三角函数换算成对应的锐角三角函数值； 2.按照实数的运算顺序和运算法则进行运算 【典例1】计算 ． 【答案】 【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 首先计算零指数幂部分，任何非零数的零次方等于1；然后处理绝对值，需判断内部正负；最后利用二次根式和特殊角三角函数值化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】计算 ． 【答案】0 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，需熟记各特殊角的三角函数值，并正确计算绝对值和有理数运算． 【详解】解： ． 故答案为：0． 【变式2】计算 结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查特殊角的三角函数值和零指数幂的运算，需将各三角函数值代入后，进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 题型九 由特殊的三角函数值判断三角形的形状 答｜题｜模｜板 1.根据特殊角的锐角三角函数值求出三角形各内角的度数； 2.结合三角形内角和确定三角形的确切形状。 【典例1】在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出三角形的形状即可． 【详解】解：∵，都是锐角，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 【变式1】如果中，，那么是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据三角函数值确定角A和角B的度数，结合三角形内角和定理以及等腰三角形的判定定理确定三角形形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 【变式2】在中，若（其中，为锐角），则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形， 故答案为：钝角三角形． 题型十 已知角度比较三角函数值的大小 答｜题｜模｜板 熟记锐角三角函数的增减性，是解决此类题目的前提，当时，随着的增大而增大；随着的增大而减小； 【典例1】将，，用“＞”号连接起来为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知角度比较三角函数值的大小．通过互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值，再利用正弦函数在锐角范围内的性质进行比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∵在锐角范围内，正弦函数值随角度的增大而增大，且， ∴， 即， 故答案为：． 【变式1】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是掌握锐角三角函数值的变化规律．根据锐角三角函数的增减性：正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】若，，，则由小到大的顺序为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 题型十一 根据三角函数值判断锐角的取值范围 答｜题｜模｜板 1.熟记0°、30°、45°、60°以及90°角的三角函数值； 2.根据所给出的三角函数值与特殊角的三角函数值进行比较； 3.结合锐角三角函数的增减性确定角的取值范围 【典例1】已知，则锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值，解决问题即可． 本题考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型． 【详解】解： ，，， ， 故选：B． 【变式1】若，则的度数在那个范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦函数的性质，由，随着的增大而增大，即可求解． 【详解】解：在，随着的增大而增大，，， ， ， 故选：B． 【变式2】用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律，解题的关键是掌握正弦函数值在锐角内随角度增大而增大的性质． 先找出特殊角的正弦值，再根据正弦函数值的变化规律确定的取值范围． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，． ∵， ∴， 则的取值范围是． 故选∶A． 题型十二 同角的锐角三角函数关系 答｜题｜模｜板 （1）同角三角函数的关系： ， （2）互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, 【典例1】在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数、勾股定理，根据勾股定理和三角函数定义，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】∵ 在中，，对边分别为a、b、c（c为斜边）， ∴ 由勾股定理，，选项A正确； ∵， ∴选项B正确； ∵， ∴选项C错误； ∵ ， ∴选项D正确． 故选：C． 【变式1】在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同角的三角函数关系；根据正切定义设边长，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴设， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【变式2】下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角三角函数的运算，根据，，以及特殊角的三角函数值进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，原式正确，故该选项不符合题意； B、，原式正确，故该选项不符合题意； C、，原式正确，故该选项不符合题意； D、，则，原式不正确，故该选项符合题意； 故选：D． 题型十三 俯角仰角问题 答｜题｜模｜板 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【典例1】小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，） (1)求．（结果保留根号） (2)该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，掌握特殊角的正切值和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据正切值求即可求解； （2）设，则无人机与小明的距离，再根据题意得，利用其正切值得到，进而在，应用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：，， ，，， ，解得， ，解得， ； （2）解：设，则无人机与小明的距离， 由题意可知， ，解得， ， 在中，， 即， 整理得：， 即， 解得或（舍去）， ， 无人机距离地面的高度为． 【变式1】如图，航拍无人机从点处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为米，求该建筑物的高度（精确到米，参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键，根据正切的定义分别求出，的长，结合图形即可得到该建筑物的高度的长． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴（米）． 故该建筑物的高度约为米． 【变式2】为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E． (1)求线段的长度．（结果保留整数） (2)计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，） 【答案】(1)线段的长度约为3米 (2)大树的高度约为5米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）由已知条件易得，解直角三角形即可求出的长； （2）根据即可得解． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设米， ∴米， 在中，（米）， 在中，， 解得， ∴米，（米）； 答：线段的长度约为米； （2）解：（米）， 答：大树的高度约为5米． 题型十四 方位角问题 答｜题｜模｜板 方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 【典例1】如图．点为某物流中心、为三个驿站，在的正北方向处，在的正东方向，在的北偏西方向处，在北偏西方向． (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)某日，快递员从该物流中心出发．以的速度沿的路线派送快递到各个驿站、快递员途经，两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站？（参考数据：） 【答案】(1)驿站与驿站之间的距离约为． (2)快递员能在内到达驿站 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，过作于，作于，而，可得四边形为矩形，再进一步求解，，进一步可得答案． （2）利用路程除以速度结合快递员途经，两个驿站各停留存放快递，计算总时间，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过作于，作于，而， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴驿站与驿站之间的距离约为． （2）解：∵，，， ∴， ∴总时间为：， ∴快递员能在内到达驿站． 【变式1】如图，市北偏东方向有一旅游景点，在市北偏东的公路上向前行米到处，测得位于的北偏西，试求景点到处的距离及景点到公路的距离（结果保留根号）． 【答案】故的长度为米，的长度为米． 【分析】本题主要考查了三角形内角和、直角三角形的三角函数、三角形面积公式，熟练掌握利用角度关系确定三角形内角，结合三角函数求线段长度的方法是解题的关键．先通过已知角度求出中的角，再作辅助线，利用直角三角形的三角函数求出相关线段长度，最后结合三角形面积公式求出的长． 【详解】解：由题意可知： ， ， 过作交于点， ∴在中， 即 ， 同理：， 同理：在中，， ，即， ， 故的长度为米，的长度为米． 【变式2】近日，某高校“益路同行”志愿服务队受邀参加2025年全国青少年公益实践成果展．队员们将从学校南门集合点处出发，乘车前往展会主会场点处，开展为期两天的公益项目现场演示、互动体验活动与跨校志愿经验分享．出发前，家长志愿者协助查询了两条不同的出行线路，一条以城市快速路为主，全程无红绿灯干扰；另一条途经多个居民区，可顺路完成小型公益宣传预热．路线如图：①；②．经勘测，点在点的正南方向，且在点的北偏西30°方向；点在点的东南方向，在点的正东方向，且在点的东北方向12千米处；点在点的正东方向千米处． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)由于时间紧迫，受邀的志愿服务队成员决定选择一条较短的路线到达主会场，请通过计算说明他们应该选择线路①还是线路②？（参考数据：，，） 【答案】(1)千米 (2)线路②，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形相关知识点是解题的关键． （1）作交于，由题意得：，， 千米，在中和在中，利用解直角三角形即可求解； （2）作交于，由题意得：，千米，由（1）得：千米，千米，进而可得（千米），根据矩形的性质及等腰三角形的性质、解直角三角形分别计算线路①和线路②的路程，再进行比较即可求解． 【详解】（1）解：作交于，如图： 由题意得：，， 千米， ， ， 在中，， （千米）， 在中，， （千米）， （千米）． （2）解： 作交于， 由题意得：，千米， 四边形是矩形， 由（1）得：千米，千米， （千米），（千米）， （千米）， 根据题意得：， ， （千米）， 在中，， ∴（千米）， （千米）， 线路①的路程为：（千米）， 线路②的路程为：（千米）， ， 选择线路②． 题型十五 坡度比问题 答｜题｜模｜板 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 【典例1】如图（侧面结构图），某单位办公楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)为了减缓坡面，防止山体滑坡，该单位决定对该斜坡进行改造，经勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向前移至点时，才能确保山体不滑坡，求的长度．（参考数据：，，） (2)综合与实践： 【实践课题】通过测量相关角度，计算办公楼的高度． 【实践工具】测角仪等测量工具． 【实践活动】在办公楼顶端处安置一台测角仪，测得此时对的仰角，对的俯角． 【问题解决】借助已知中的数据计算求出办公楼的高度．（精确到） （参考数据：） 【答案】(1)长度为 (2)办公楼的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的性质和判定，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）在上取点，使，作，根据坡度的概念求出、；根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案． （2）设，则，根据，得出再证明四边形为矩形，得出，，根据平行得到从而得出，列方程即可解答； 【详解】（1）解：如图所示，过点作与点， 由题意得，四边形为矩形， ， 斜坡的坡比为，， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 即，解得， ， ， 在中，， ， 长度为时，才能确保山体不滑坡． （2）设，则， ， ，，． ， 四边形为矩形． ，，， ，， ，即， 解得：， 经检验是分式方程的根， ， 故办公楼的高度为． 【变式1】【阅读】如图，中，，，延长到点，使，设，则，．据此可以求出． 【探究】如图，，试用上述方法求出______． 【运用】城市公路一段下沉通道剖面如图所示，正常情况下，汽车可以沿方向或其相反方向通行，其中是正常水平路面，是通道底部水平路面，是与水平方向夹角为的斜坡，已知，某次暴雨引起通道积水，水面宽度．小张驾车打算从此路段经过，经查阅资料得知，小张所驾汽车可安全通过最深为的水面，问小张是否能够从此积水路段安全通过？请通过计算说明理由．（参考数据） 【答案】探究：；运用：小张不能够从此积水路段安全通过，理由见解析 【分析】探究：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接，可得，即得到，进而可得，设，则，，得到，再根据正切的定义解答即可求解； 运用：过作于点，由题可得，再解直角三角形求出即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：探究：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴, 故答案为：； 运用：小张不能够从此积水路段安全通过，理由如下： 过作于点， 由题可得，， ∵， ∴， ∴小张不能够从此积水路段安全通过． 【变式2】为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A、B、P、Q四点在同一平面） (1)求路段的长； (2)当下引桥坡度时，如果测速路段限速，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1)12米 (2)小汽车没有超速 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）根据俯角和正切的概念知，进而可以求出的长； （2）过点A作于M，于H，由题意，得，设米，则米，进而表示出，，的长度，然后根据在中，，进而求出a的值，再利用勾股定理求出，并算出速度与比较大小，即可获解． 【详解】（1）解：由题意，得， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点A作于M，于H． 由题意，得， 设米， ∵下引桥坡度， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米，米， 在中，， 即， 解得， ∴，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴小汽车没有超速． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】0 【分析】此题考查了算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减． 【详解】解： ． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 5．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，掌握相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法是解题的关键．根据矩形的性质可证 ，过点作于点，可证 ，得出比例式，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 过点作于点， ， ∴， ， ， ， ， ，且， ， ， 故选：B． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，、、，点是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点在边且运动一周时，点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，根据是等腰直角三角形，可知点的运动轨迹与点的运动轨迹形状相同，且：1，得出周长比为，求出的周长即可解决问题． 【详解】解：是等腰直角三角形， ∴点的运动轨迹与点的运动轨迹形状相同， ， ∴点的轨迹图形与点的轨迹图形相似比为， ， ， 周长， ∴点的轨迹形成的封闭图形周长为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图1，矩形纸片中，已知，先按图2操作，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为；再按图3操作：沿过点直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用折叠的性质，掌握解直角三角形的一般方法．设，，根据折叠的性质，结合勾股定理求出，过H作，垂足为P，解直角三角形，求出，最后根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：过点H作交与P， 设，， 由折叠的性质可得，，，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， x， 在中，，由勾股定理得， x， 在中，，，由勾股定理得， ， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α要满足，现有一架长的梯子． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙？ (2)当梯子底端距离墙面时，α等于多少度？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1） 【答案】(1)使用这架梯子最高可以安全攀上约的墙 (2)，此时人能够安全使用这架梯子 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题． （1）根据图形可知：α最大时，这架梯子可以安全攀上的墙最高，由正弦的定义求出，得到答案； （2）根据余弦的定义求出α，根据题意判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，这架梯子可以安全攀上最高的墙， 在中，， ∴， 答：使用这架梯子最高可以安全攀上约的墙； （2）解：在中，， 则， ∵， ∴此时人能够安全使用这架梯子． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 【答案】(1)A (2)①见解析；② 【分析】（1）取格点、，连接、、、，则，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由，，得，由，求得，由，，可知与不相似，与不相似，推导出，进而证明，然后问题可求证． ②因为，所以，由相似三角形的性质得，则，所以，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， ∵在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ，， ，， ∴， ∴， ， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， 故答案为：A． （2）解：①证明：如图2，∵，， ， ∵， ∴， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， ， ∴， ∴， ∴点是的相似心． ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴的值为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 2．（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据网格可知，，即可知，即可得出，由即可推出． 【详解】解：由网格可知：，， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选C 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点，    ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 4．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 5．（2025·贵州·中考真题）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题03 解直角三角形（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数 能熟练记忆正弦、余弦、正切的含义，熟 基础必考点，常出现在小题 记30°、45°、60°特殊角的三角函数值 解直角三角形 能够熟练掌握锐角函数的边角关系，并利 考查重点，通常在实际问题中建立直角三角 用三角函数的边角关系，解直角三角形； 形模型，进行解直角三角形。通常是解答题。 在实际问题中，能够构建直角三角形模型 有时也会与几何题进行综合，难度较大。 运用锐角三角函数解决实际问题。 记·必备知识 局知识点01锐角三角函数 1.锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数，（其中：0<∠A<90°） 2.正弦、余弦、正切的概念 定义 表达式 图形 正弦 LA的对边 sinA= 斜迈 sinA=3 A的邻边 余弦 b cosA=- 斜边 cosA=- c ∠A的对边 tanA=b a 正切 tanA= ∠A的邻迈 3.锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若LC为直角，则LA与LB互余时，有以下两种关系： (I)同角三角函数的关系：anA-A,Sin2A+c0s2A=1 (2)互余两角的三角函数关系：simA=cosB,sinB=cosA,tan A.tan B:=1 4.特殊角的三角函数值 三角函数 30° 450 60° sin a 2 2 2 1/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cos a 3 2 2 tan a 1 3 3 5.锐角三角函数的性质 sinA随LA的增大而增大 性质 0°<∠A<90° cosA随LA的增大而减小 tamA随LA的增大而增大 易错点： 1.若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角 的符号“4”如tnA、sima、cosA.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的，则表示它的正弦、余弦 及正切时，不能省略角的符号“∠”，如sinLABC,cosL2,tam∠1. 2.tanA乘方时，一般写成tan"A,它与(tanA)严含义相同（正弦、余弦相同）. 3.锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的.而且由锐角三角函数的定义可知，其本质特征是两条线 段长的比因此锐角三角函数只有数值，没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长 无关 4.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅 助线来构造直角三角形 同知识点02解直角三角形 1解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角 形中的己知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形 2.在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： A B (1)直角三角形的五个元素：边：a、b、c,角：∠A、∠B (2)三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理) 2/18 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)两锐角之间的关系：∠A十∠B=90° (3)边角之间的关系： SnA仁A所对的边 a sin B= ∠B所对的边 b 斜边 c 斜边 COSA=A所邻的边 斜边 =b, COSB=∠B所邻的边 c 斜边 tan A= ∠A所对的边 = 邻边 6,tanB=B所对的边-b 邻边 a 3.解直角三角形常见类型及方法： 己知类型 已知条件 解法步骤 斜边和一直角边 ①b=Vc2-a2 ②由sinA=a,求∠A③∠B90°-∠4 (如c,a) 两边 两直角边 ①c=Va2+b2②由tanA=a,求∠A③∠B=90-∠4 b (如a,b) 斜边和一锐角 ①∠B=90°-∠A②由cosA-b, 得b=c·cosA (如c,∠A) ③由sinA=a,得a=c·sinA 边和一锐角 一直角边和一锐角 ①B=90°-∠A②由sinA=a, 得c=a sinA (如a,∠A) ③由tanA=a,得b=a a b tanA 另一直角边和一锐角 ①B-90°-LA②由cosA=b,得c=b osA (如b,∠A) ③由tanA=a, 得a=b●tanA b 4解直角三角形实际应用的一般步骤： (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确： (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解. 易错点： 1.在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未 知元素（知二求三）。 2.已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的 3/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 大小不确定 破·重难题型 巴题型一 求角的正弦值 -7 !解1题1技1巧 !1.找准所要求的角所在的直角三角形或构造直角三角形； 12.明确直角三角形中所求角的对边、邻边和斜边； 3根据正弦nA=4的的合义求出正弦值。 【典例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AB=5,则sinA的值是() 4.司 B.} c. D. 【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=√5，则sinA的值为() A.9 B. c.9 D.25 5 【变式2】如果等腰三角形三边之比为3：3：4，那么底角的正弦值为 题型二已知正弦值求边长 !答1题1模板 !1.找准正弦值中的角所在的直角三角形； !2.明确直角三角形中所求角的对边、邻边和斜边： 3.根据正孩nA-物的含义，理清直角三角形中的正孩与直角三角形的边角关系，进而求曲对应边长。 【典例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,sinB=,则AB的值是（) A.5 B.9 C.6 D.3 【变式1】在△ABC中，若∠C=90°，BC=2,sinA=,则AB的长为() A.是 B.2 C.8 D.10 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=4,则AB= B 4/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三 求角的余弦值 答1题1模|板 !1.找准所要求的角所在的直角三角形或构造直角三角形； 12.明确直角三角形中所求角的对边、邻边和斜边； 3,根据余弦c05A=A所邻的边的含义求出余弦值。 斜边 【典例1】在△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=8,则cosA= 【变式1】如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A,B,C都在格点上，则cosB的值 为 【变式2】在Rt△ABC中，∠B是锐角，AC=3,AB=5,则cos∠B= 匚题型四 已知余弦值求边长 !答1题1模1板 11.找准余弦值中的角所在的直角三角形： 2.明确直角三角形中所求角的对边、邻边和斜边： 3根据余弦©0：A:的的含义，理清直角三角形中的余弦与直角三角形的边角关系，进而求出对应边 长。 1 4 【典例1】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=8,cosA=5,则BD的长度为() D 4 B.号 C. D.4 【变式1】已知锐角a的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，P(m,1)为其终边上的一点，若cos= ,则m的值为() 4.9 B.1 c.2 D.2 5/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】如图，在△ABC中，AH是BC边上的高，AC=9,BC=4,cosC=子，那么HB的长是 巴题型五 求角的正切值 答1题1模|板 !1.找准所要求的角所在的直角三角形或构造直角三角形； !2.明确直角三角形中所求角的对边、邻边和斜边： 3.根据正切tanA= 会的含义求出正切值。 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5AC,则tanA= B 【变式1】已知在△ABC中，AB=7,AC=5,BC=8,那么tanC= 【变式2】如图，△ABC的三个J顶点分别在正方形网格的格点上，则tanABC:= 巴题型六 己知正切值求边长 !答1题1模1板 ↓1.找准正切值中的角所在的直角三角形： 「2.明确直角三角形中所求角的对边、邻边和斜边： 3根据正切A:会的含义，理清直角三角形中的正切与直角三角形的边角关系，进面求出对应边 长。 L 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC边上，若AC=5,BD=7,tan∠ADC=1,则sinB的值为. 6/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 【变式1】已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,tanB=子，那么BC的长为 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与y轴交于点C,与反比例函数y="在第一象限内的 图象交于点B,连接OB,若SAOAC=8,tanBOC=-专，则m的值是 题型七特殊角的锐角三角函数值 !答1题1模板 1熟记0°、30°、45°、60°以及90°角的三角函数值是解决此类问题的关键。 1 【典例1】sin30=() 4.号 B.月 c.9 D.9 【变式1】sin60的值为() 小月 B.9 c.竖 D.9 【变式2】已知a为锐角sin(90°-a)=, 则cosa的值为() 4.日 B.竖 c.9 D. 3 它题型八 特殊角的三角函数值的运算 答1题1模1板 !1.先将特殊角的锐角三角函数换算成对应的锐角三角函数值； !2.按照实数的运算顺序和运算法则进行运算 【典例1】计算（π-2025）°-l3-23+V8+2tan45°.tan60°= 【变式1】计算cos60°+sin245°-3tan30°+|1-tan60= 【变式2】计算-1+tan60°+V2sin45°-2cos30+π°结果是 7/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型九 由特殊的三角函数值判断三角形的形状 !答1题1模1板 !1.根据特殊角的锐角三角函数值求出三角形各内角的度数； !2.结合三角形内角和确定三角形的确切形状。 【典例1】在△ABC中，∠B,∠C都是锐角，tanB=1,cosC=三， 2 写出△ABC最确切的形状是 【变式1】如果△ABC中，sinA=cosB=2,那么△ABC是 三角形 【变式2】在△ABC中，若sinA-引+(cosB-=0(其中A,∠B为锐角，则△ABC的形状是」 题型十已知角度比较三角函数值的大小 !答1题1模1板 !熟记锐角三角函数的增减性，是解决此类题目的前提，当0°<a<90°时，sina,tana随着a的增大而增 !大；cosa随着a的增大而减小： 【典例1】将cos36°，sin53°，cos54用“>”号连接起来为 【变式1】比较大小：sin52° sin46°. 【变式2】若a=sin48°，b=cos48°，c=tan48°，则a,b,c由小到大的顺序为 它题型十一 根据三角函数值判断锐角的取值范围 !答1题1模1板 11.熟记0°、30°、45°、60°以及90°角的三角函数值； !2.根据所给出的三角函数值与特殊角的三角函数值进行比较； 3.结合锐角三角函数的增减性确定角的取值范围 【典例1】已知cosa=0.75,则锐角a的取值范围是() A,0°<a<30°B.30°<a<45 C.45°<a<60° D.60°<c<90° 【变式1】若sin41=0.52,则∠1的度数在那个范围() A.0°<∠1<30°B.30<∠1<45 C.45°<∠1<60° D.60°<∠1<909 【变式2】用计算器求sin15°、sin25°、sin35°、sin45°、sin55°、sin65°、sin75°、sin85的值，研究sina的 值随锐角a变化的规律，根据这个规律判断：若女sina<受，则（) A.30°<a<60°B.30°<a<90 C.0°<a<609 D.60°<a<909 它题型十二 同角的锐角三角函数关系 8/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 答|题1模1板 sinA }(I)同角三角函数的关系：tanA= cos A sin2A+cos2 A=1 (2)互余两角的三角函数关系：sinA=cosB,sinB=cosA,tanA.tan Ba=1 1 【典例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列结论中不正确的是() A.a2+b2=c2 B.sinB=cosA C.tanA= D.sin2A+cos2A=1 【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90,若tanA=子，则cosA的值是() A. B. c D.} 【变式2】下列式子错误的是() A,cos40°=sin50° B. tan30°-tan60°=1 C.sin230°+cos230=1 D.sin60°=2sin30° 题型十三 俯角仰角问题 1答1题1模1板 !视角：视线与水平线的夹角叫做视角. !仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角。 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角。 铅垂线 视线 仰角 俯角 水平线 视线 、 【典例1】小明携带无人机勘测某山体，如图，光轴线BM与水平线B0之间的夹角∠OBM=45°，最佳拍摄范 围是光轴线BM为中心±15°范围(LCBM=∠DBM=15°，最佳拍摄范围是∠CBD的边和内部区域)，AC方向是 水平方向.小明在点A处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点B,A,B相距300m,(参考数据√2 ≈1.41，V3≈1.73，V5≈2.24) B --0 光轴线 C M D 9/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求CD.(结果保留根号) (2)该山体隧道EF长1200m,小明到达隧道出口点F后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下， 从点B竖直向上飞行至点G,此时点E恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为BG的4 倍.求无人机距离地面的高度AG,(结果保留整数) 【变式1】如图，航拍无人机从点A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为32°，测得底部C的俯角为62°，此时航 拍无人机与该建筑物的水平距离AD为54米，求该建筑物的高度BC(精确到0.1米，参考数据： sin32°=0.530，cos32°=0.848，sin62°=0.883，tan32°=0.625，cos62°=0.469，tan62°=1.88) 【变式2】为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树AB的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量.如图， 在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为54.5°，大树底端B的俯角为45°，从点C出发沿远离大树的水 平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为26.7°，点A,B,C,D在同一平面，延长DC交AB于 点E. 54.5 26.7 E- cummm B (1)求线段AE的长度.（结果保留整数） (2)计算大树AB的高度.（结果保留整数）（参考数据：tan54.5°≈1.4，tan26.7≈0.5) 题型十四方位角问题 !答1题1模1板 方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角 10/18