第二十三章 解直角三角形 章节（11知识点回顾+25题型练习）核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

第二十三章 解直角三角形 章节（11知识点回顾+25题型练习） 题型汇聚 题型一 正弦的概念辨析 题型二 求角的正弦值 题型三 已知正弦值求边长 题型四 求角的余弦值 题型五 余弦的概念辨析 题型六 已知余弦求边长 题型七 求角的正切值 题型八 正切的概念辨析 题型九 已知正切值求边长 题型十 特殊三角形的三角函数 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型十三 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型十四 已知角度比较三角函数值的大小 题型十五 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型十六 利用同角三角函数关系求值 题型十七 互余两角三角函数的关系 题型十八 三角函数综合 题型十九 解直角三角形的相关计算 题型二十 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型二十一 解非直角三角形 题型二十二 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 题型二十三 方位角问题(解直角三角形的应用) 题型二十四 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 题型二十五 其他问题（解直角三角形的应用） 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 知识点7．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点8．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点9．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点10．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点11．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型练习 题型一 正弦的概念辨析 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦的概念辨析、正弦的概念辨析 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， A、在中，故A正确； B、在中，故B正确； C、在中，故C正确； D、在中，故D错误； 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）已知锐角满足，则 ． 【答案】35 【知识点】余弦的概念辨析、正弦的概念辨析、求一个角的余角 【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即：， 故答案为：35． 题型二 求角的正弦值 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、O、B均在格点上，则的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】本题考查了求一个角的正弦值，勾股定理，构造直角三角形是解题的关键． 连接，则由题意得：，由勾股定理得，再由正弦的定义即可求解． 【详解】解：连接，则由题意得：， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么它较大的锐角的正弦值为 ． 【答案】或 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了新定义，勾股定理，正弦三角函数；当时，由勾股定理及正弦三角函数定义即可求解，当时，同理可求；理解新定义，掌握勾股定理，正弦三角函数，能进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：当时，如图， ， ； 当时，如图， ， ； 故答案：或． 题型三 已知正弦值求边长 5．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】本题考查了解直角三角形，根据正弦的定义直接计算即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中过点A作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】已知正弦值求边长、相似三角形的判定综合、利用平行四边形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，则，，进而可证； （2）由，可求，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：由题意知，， ∴，解得， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定，正弦是解题的关键． 题型四 求角的余弦值 7．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）在中，于D，已知．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值、用勾股定理解三角形 【分析】根据，得到，根据得到，于是得到解答即可． 本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，余弦的定义，熟练掌握勾股定理，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点与点O均为格点． (1)以点O为位似中心作，使得与位似，且相似比为1：2； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的； (3)设与相交所成的锐角为，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求角的余弦值 【分析】本题主要考查作图-位似变换、旋转变换、余弦的定义等知识点，掌握位似变换、旋转变换的性质是解题的关键． （1）利用位似变换的性质，分别作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，然后顺次连接即可； （3）如图：取格点D，连接，再运用勾股定理、勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后运用正弦的定义即可解答． ． 【详解】（1）解：如图：即为所求； ． （2）解：如图：即为所求． （3）解：如图：取格点D，连接， 由勾股定理可得：， ∴，即是直角三角形， ∴． 故答案为：． 题型五 余弦的概念辨析 9．（九年级上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（  ） A．OA B．OB C．OC D．OD 【答案】A 【知识点】余弦的概念辨析 【分析】根据余弦的定义分别求出四条射线与x轴正半轴夹角的余弦值，即可得出答案. 【详解】A. ，射线OA与x轴正半轴夹角的余弦值，故A符合题意； B. ，射线OB与x轴正半轴夹角的余弦值，故B不符合题意； C. ，射线OC与x轴正半轴夹角的余弦值，故C不符合题意； D. ，射线OD与x轴正半轴夹角的余弦值，故D不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查网格图中的三角函数值，熟练掌握余弦的定义是解题的关键. 题型六 已知余弦求边长 10．（九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知余弦求边长、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】由已知条件可知：AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ECD＝α．在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝，由此可以求出CE．然后根据勾股定理求出DE，最后在Rt△AED中利用余弦函数的定义即可求出AD． 【详解】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝4，， ∴， ∵DE⊥AC， ∴， ∴， ∴∠ADE＝∠ECD＝α． 在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝， 即, ∴CE＝． 根据勾股定理得DE＝． 在Rt△AED中，cosα＝， 即， ∴AD＝． 故选：C． 【点睛】此题考查了解直角三角形、矩形的性质，直角三角形性质，正确掌握各知识点及逻辑推理能力、运算能力是解题的关键． 11．（九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，是的平分线，与相交于点D，且，求的长． 【答案】的长为4． 【知识点】已知余弦求边长、含30度角的直角三角形 【分析】在中，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，根据AD为∠BAC的平分线，利用角平分线定义求出∠DAC为30度，利用锐角三角函数定义即可求出AD的长． 【详解】∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ， ∴的长为4． 【点睛】此题考查了含30°角的直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质是解本题的关键． 题型七 求角的正切值 12．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】求角的正切值、求角的余弦值 【分析】本题考查了三角函数的基本定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，，设，则，根据计算即可． 【详解】解：构造直角三角形如下： 根据题意，得， 设， 则， ∴， 故选：A． 13．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，折痕为和，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据矩形性质得，，根据折叠的性质得，再根据全等的性质得，再由垂直平分线的性质得，进而可推出，，最后由特殊三角函数值可得答案； （2）根据矩形性质及折叠性质得点E，O，F在同一条直线上，得，证明得，证明四边形为菱形得，设，则，，，，，，由平行得，，进而得，，再代入解方程即可得的值． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点是对角线的中点， ∴，， 由折叠知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质得：，，， ∴点在同一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为菱形， 由（1）知，设，则， ∴在中，， ∴， ∴， 设，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即：，， 解得：， 即：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，图形的折叠变换及性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． 题型八 正切的概念辨析 14．（九年级·安徽亳州·阶段练习）在中，，点是的中点，点是边上一点，，交的延长线于点，，交边于点，过点作，垂足为点，分别交于点． （1）求证：； （2）设，求关于的函数关系式及其定义域； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或． 【知识点】正切的概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）只要证明△OBD∽△NED，即可解决问题； （2）由tan∠DBC＝，又因为，可得，由此即可解决问题； （3）分两种情形：①如图2−1中，当DE＝DF时，②如图2−2中，当DE＝EF时，分别求解即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵OD⊥DF，BD⊥DE， ∴∠ODF＝∠BDE＝90， ∴∠ODB＝∠NDE， ∵EG⊥AB， ∴∠BGM＝∠MDE＝90， ∵∠BMG＝∠EMD， ∴OBD＝∠DEN， ∴△OBD∽△NED， ∴． （2）解：如图1中，∵∠BCD＝∠BDE＝90， ∴tan∠DBC＝， ∵， ∴， 在Rt△ABC中，AB＝＝＝5， ∴OB＝OA＝2.5， ∴， ∴y＝x， ∵点是的中点，，交边于点，， ∴0＜CD≤2，即定义域为：0＜x≤2； （3）解：①如图2−1中，当DE＝DF时，作OK⊥AC于K，设CD=x． ∵∠OKD＝∠DCF＝∠ODF＝90， ∴∠ODK＋∠KOD＝90，∠ODK＋∠CDF＝90， ∴∠DOK＝∠CDF， ∴△OKD∽△DCF， ∴， ∴， ∴CF＝x（2−x）， ∵DF＝DE，DC⊥EF， ∴∠CDE＝∠CDF， ∵∠CDE＋∠CDB＝90，∠CBD＋∠CDB＝90， ∴∠CDE＝∠CBD＝∠CDF， ∵∠DCF＝∠DCB＝90， ∴△DCF∽△BCD， ∴， ∴CD2＝CF•CB， ∴x2＝2x（2−x）， 解得x＝或0（舍弃） ∴CD＝； ②如图2−2中，当DE＝EF时，设CD=x， ∵ED＝EF， ∴∠EDF＝∠EFD， ∴∠EDC＋∠CDF＝∠DBC＋∠BDF， ∵∠EDC＝∠DBC， ∴∠CDF＝∠BDF， ∵∠CDF＋∠ADO＝90，∠BDF＋∠BDO＝90， ∴∠ADO＝∠BDO， ∵AO＝OB， 作OM⊥AD于M，ON⊥BD于N，则OM＝ON， ∵OA＝OB，∠AMO＝∠ONB＝90， ∴Rt△AOM≌△BON（HL）， ∴∠A＝∠ABD， ∴DA＝DB， ∴DA＝DB＝4−x， 在Rt△BCD中，∵BD2＝CD2＋BC2， ∴（4−x）2＝x2＋32， ∴x＝， ∴CD＝． 综上所述，CD的长为或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 题型九 已知正切值求边长 15．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图①，在中，，在内作，其中点，分别在边，上，，过点作，垂足为点，且交于点． (1)求证：； (2)如图②，若是的中线，且， ①求证：； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，平行线分线段成比例定理； （1）证明，，可证； （2）①根据，设，则，证明得出，由（1）可知，得出，即可得证； ②作，则，证明，根据平行线分线段成比例定理得出，进而得出，结合，即可求解． 【详解】（1）证明∵ ∴. ∵， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， 设，则， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴ 由（1）可知， ∴， ∴，即 ∴ 即 ②如图，作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴． 题型十 特殊三角形的三角函数 16．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、利用二次根式的性质化简、负整数指数幂 【分析】先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质化简，再根据实数的运算顺序计算． 此题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质和运算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】 ． 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 17．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、分母有理化，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．代入特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解： ． 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 18．（九年级上·安徽马鞍山·期末）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝， cosB＝，则△ABC是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】B 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断． 【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA=，cosB=， ∴∠A=∠B=30°． ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣30°=120°． 故选B 题型十三 根据特殊角三角函数值求角的度数 19．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧，恰好交边于中点，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、求其他不规则图形的面积、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了矩形的性质，三角函数，不规则的图形面积等，利用矩形的性质可得，即得，，得到，进而得，最后根据计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十四 已知角度比较三角函数值的大小 20．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】利用正切的增减性解答． 【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数值大小的比较，掌握相关知识是解题关键． 21．（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小、已知正弦值求边长 【分析】（1）根据三角函数的定义，分别表示出，进而根据角度比较函数值的大小即可求解； （2）同（1）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 在中，， ， 又， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键． 题型十五 根据三角函数值判断锐角的取值范围 22．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选A． 题型十六 利用同角三角函数关系求值 23．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示； ①求的值； ②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②当点P在第一象限时，不存在S的最大值，理由见解析 【知识点】面积问题(二次函数综合)、利用同角三角函数关系求值、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为，根据，求出，得出，求出，最后求出结果即可； ②根据，得出对称轴为 ，抛物线开口向上，根据，说明即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点， 把代入得：，解得： ∴点， 又∵点， ∴可设此抛物线的解析式为， 把点A代入可得:， 解得： ∴， 即：此抛物线的解析式为． （2）解：设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为． ①在和中，， ∴， ∴， ∴， 由点D的坐标为得：， ∴； ②不存在．理由如下： ， ∴对称轴为 ， ， ∴抛物线开口向上， 又∵点P在第一象限， ∴， ∴当点 P 在对称轴左侧时， S随m的减小而增大，且无限趋近时S的值，但无法等于； 当点P在对称轴右侧时，S随m的增大而增大，且无限趋近时S的值最大，但无法等于； ∴当点P在第一象限时，不存在S的最大值． 【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，二次函数的综合，求二次函数解析式，解直角三角形的相关计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 题型十七 互余两角三角函数的关系 24．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）比较大小： （填“>”或“=”或“<”）． 【答案】= 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，根据任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值解答即可，这也是解题关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：=． 25．（九年级下·安徽宣城·自主招生）已知中，，记，． (1)若为有理数，且为小于的正整数，求的值； (2)是否存在，使得x，y皆为有理数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 【知识点】正切的概念辨析、互余两角三角函数的关系、分母有理化 【分析】（1）根据三角函数的定义可得，，即可得，根据为有理数，可得为有理数，设， ，且t是非0的正有理数， 根据为小于的正整数，可得，为正整数，结合， t是非0的正有理数，得可以为1，问题得解； （2）假设存在，使得x，y皆为有理数，则设：，且为有理数，可得，即有，均为有理数，进而有，根据为有理数，可得，则有，根据，可得，即有与相矛盾，故假设不成立，即问题得解． 【详解】（1）在中，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵为有理数， ∴为有理数， ∴设， ，且t是非0的正有理数， ∵为小于的正整数， ∴，为正整数， ∴， t是非0的正有理数， ∴， ∴； （2）不存在，理由如下： 假设存在，使得x，y皆为有理数， 则设：，且为有理数， ∴， 即有，，均为有理数， ∴， ∵为有理数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相矛盾， 故假设不成立， 故不存在，使得x，y皆为有理数． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，分母有理化等知识，根据三角函数的定义得出，是解答本题的关键． 题型十八 三角函数综合 26．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【知识点】互余两角三角函数的关系、三角函数综合 【分析】本题主要考查了互余两个角的三角函数关系，熟练掌握互余两个角的三角函数关系是解题的关键．先变形，再根据，即可得出答案． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据，平分，可得，结合正方形的性质可推出，得到，即，证明，得到，即可证明； （2）设正方形的边长为，则，进而得到，由四边形是 正 方 形，得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质可得，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质和正方形的性质可推出，设正方形的边长为，由（2）得，得到，推出，在中，，即可求解． 【详解】（1）证明：，平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ； （2）解：设正方形的边长为，则， ， ， 四边形是 正 方 形， ，则，， ， ， ，平分， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ， 设正方形的边长为， 由（2）得， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 题型十九 解直角三角形的相关计算 28．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．则下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，求出，进而可得，然后利用三角形内角和定理求出，根据，即可证明，①正确；根据，证明，根据相似三角形的性质以及即可得到，②正确；过P作，，设正方形的边长为，则正方形的面积为，解直角三角形求出和，然后根据计算出的面积，进而可判断④正确；在中，求得和的长，得到的长，据此即可判断③正确． 【详解】解：在正方形中，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ， 又， ， ， ， ， ，故②正确； 如图，过P作，， 设正方形的边长为，则正方形的面积为， 为正三角形， ，， ， ，， ， ，故④正确； 在中，，，， ， ，故③正确； 综上，正确的是①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形． 29．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，在长方形中，，点为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接．当点落在边上时，的度数为 ；若，，线段的长度最小值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识．当点落在边上时，作出图形，根据等边三角形的性质，可求出的度数；以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，当时，的长最小，设交于点，再解直角三角形求解． 【详解】解：①当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ； 故答案为：； ②以为边向右作等边，连接． ∵四边形是长方形， ∴， 是等边三角形，等边， ，，， ， 在和中， ， ， ， 点在射线上运动， 如图，设交于点， 当时，的长最小， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二十 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 30．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】过点C作于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，，， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． 题型二十一 解非直角三角形 31．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【知识点】解非直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 32．（九年级上·安徽六安·期末）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥上方150米的点处悬停，此时测得桥两端两点的俯角分别为65°和45°，求桥的长度．（参考数据：，，；结果精确到0.1米） 【答案】220.1米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、解非直角三角形 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得∠CAD=∠MCA=65°，∠CBD=∠NCB=45°，利用角的三角函数求解即可． 【详解】解： 如图，过点作，垂足为， 由题意得，，（米）， 在中，（米）， 在中，， ∴（米） ∴（米） 答：桥的长度约为220.1米． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，构造直角三角形，利用解直角三角形求边是解题的关键． 题型二十二 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 33．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，淮河某段大坝横截面迎水坡 的坡比为，若坡面的铅直高度为6米，则斜坡的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．24米 【答案】C 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据坡比求出，再根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形坡比问题，解题的关键是知道坡比即为正切值． 34．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度．（参考数据：） 【答案】7.7米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 由题意得米，米，．设米，在中，根据锐角三角函数可得米，从而得到米，然后在中，根据锐角三角函数可得米，即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米，． 设米， 在中，， 米， 在中，， ， 解得， 经检验是原方程的根． 米， （米）， 答：电池板离地面的高度约为米． 题型二十三 方位角问题(解直角三角形的应用) 35．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（    ） A．400米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、已知余弦求边长、已知正弦值求边长 【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案． 【详解】解：点作于点， ， 由题意可得：，， ∴，， 在中，米， ∴米， 米， ∴米， ∵， ∴（米）， 故选：B． 36．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治．已知C岛在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向上，军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里，需要多少小时才能把患病渔民送到基地医院．（结果保留1位小数） 【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，添加辅助线是解题的关键． 根据题意知应求的长，为斜三角形，所以需作高转化为直角三角形求解．作于，分别解即可． 【详解】解：根据题意，得， 作于， 设， 解得 答：需要大约1.2小时才能把患病渔民送到基地医院． 题型二十四 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 37．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，由坡度的概念可得米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵堤高米，迎水坡的坡比为， ∴， ∴米， ∴米， 故选：C． 38．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）周末爬敬亭山是宣城市民的娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从敬亭山西坡B处沿坡角为的山坡爬了350米到达E处，紧接着又沿坡角为的山坡爬了152米到达山顶A处，请计算敬亭山的高度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，，） 【答案】敬亭山的高度约为316米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的坡度坡角问题．过点A作于，过点作于，于，根据正弦的定义可以分别求出和的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案． 【详解】解：过点A作于，过点作于，于，则四边形为矩形， ， 在中，， 则（米）， 在中，， 则（米）， ∴米 （米）， 答：敬亭山的高度约为316米． 题型二十五 其他问题（解直角三角形的应用） 39．（安徽宣城·一模）如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（    ）. A．4＋米 B．4＋米 C．4＋4sin40°米 D．4＋4cot40°米 【答案】B 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】原来树的长度是（PB＋PA）的长．已知了PA的值，可在Rt△PAB中，根据∠PBA的度数，通过解直角三角形求出PB的长． 【详解】解：Rt△PAB中，∠PBA＝40°，PA＝4； ∴PB＝PA÷sin40°＝； ∴PA＋PB＝4＋． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形的边角关系进行求解是解题的关键． 40．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形．如图，矩形：是其中一个停车位，经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位均相同，按图示并列划定．该充电站有个停车位，求的长．（参考数据：，，） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是矩形的性质，解直角三角形的应用，先求解，，再进一步解答即可． 【详解】解：∵停车位是矩形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵该充电站有个停车位，所有车位均相同， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 解直角三角形 章节（11知识点回顾+25题型练习） 题型汇聚 题型一 正弦的概念辨析 题型二 求角的正弦值 题型三 已知正弦值求边长 题型四 求角的余弦值 题型五 余弦的概念辨析 题型六 已知余弦求边长 题型七 求角的正切值 题型八 正切的概念辨析 题型九 已知正切值求边长 题型十 特殊三角形的三角函数 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型十三 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型十四 已知角度比较三角函数值的大小 题型十五 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型十六 利用同角三角函数关系求值 题型十七 互余两角三角函数的关系 题型十八 三角函数综合 题型十九 解直角三角形的相关计算 题型二十 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型二十一 解非直角三角形 题型二十二 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 题型二十三 方位角问题(解直角三角形的应用) 题型二十四 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 题型二十五 其他问题（解直角三角形的应用） 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 知识点7．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点8．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点9．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点10．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点11．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型练习 题型一 正弦的概念辨析 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）已知锐角满足，则 ． 题型二 求角的正弦值 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、O、B均在格点上，则的值是（　　） A．2 B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么它较大的锐角的正弦值为 ． 题型三 已知正弦值求边长 5．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中过点A作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 题型四 求角的余弦值 7．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）在中，于D，已知．则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点与点O均为格点． (1)以点O为位似中心作，使得与位似，且相似比为1：2； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的； (3)设与相交所成的锐角为，则______． 题型五 余弦的概念辨析 9．（九年级上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（  ） A．OA B．OB C．OC D．OD 题型六 已知余弦求边长 10．（九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为（    ） A．4 B． C． D． 11．（九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，是的平分线，与相交于点D，且，求的长． 题型七 求角的正切值 12．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 13．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，折痕为和，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． (1)求的值； (2)求的值． 题型八 正切的概念辨析 14．（九年级·安徽亳州·阶段练习）在中，，点是的中点，点是边上一点，，交的延长线于点，，交边于点，过点作，垂足为点，分别交于点． （1）求证：； （2）设，求关于的函数关系式及其定义域； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 题型九 已知正切值求边长 15．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图①，在中，，在内作，其中点，分别在边，上，，过点作，垂足为点，且交于点． (1)求证：； (2)如图②，若是的中线，且， ①求证：； ②求的值． 题型十 特殊三角形的三角函数 16．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）计算：． 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 17．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）计算：． 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 18．（九年级上·安徽马鞍山·期末）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝， cosB＝，则△ABC是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 题型十三 根据特殊角三角函数值求角的度数 19．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧，恰好交边于中点，若，则阴影部分的面积为 ． 题型十四 已知角度比较三角函数值的大小 20．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）比较大小： （填“”“”或“”）． 21．（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 题型十五 根据三角函数值判断锐角的取值范围 22．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 题型十六 利用同角三角函数关系求值 23．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示； ①求的值； ②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 题型十七 互余两角三角函数的关系 24．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）比较大小： （填“>”或“=”或“<”）． 25．（九年级下·安徽宣城·自主招生）已知中，，记，． (1)若为有理数，且为小于的正整数，求的值； (2)是否存在，使得x，y皆为有理数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型十八 三角函数综合 26．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）比较大小： ． 27．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)求的值； (3)求的值． 题型十九 解直角三角形的相关计算 28．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．则下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 29．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，在长方形中，，点为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接．当点落在边上时，的度数为 ；若，，线段的长度最小值为 ． 题型二十 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 30．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，，求的面积． 题型二十一 解非直角三角形 31．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 32．（九年级上·安徽六安·期末）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥上方150米的点处悬停，此时测得桥两端两点的俯角分别为65°和45°，求桥的长度．（参考数据：，，；结果精确到0.1米） 题型二十二 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 33．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，淮河某段大坝横截面迎水坡 的坡比为，若坡面的铅直高度为6米，则斜坡的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．24米 34．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度．（参考数据：） 题型二十三 方位角问题(解直角三角形的应用) 35．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（    ） A．400米 B．米 C．米 D．米 36．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治．已知C岛在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向上，军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里，需要多少小时才能把患病渔民送到基地医院．（结果保留1位小数） 题型二十四 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 37．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．米 38．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）周末爬敬亭山是宣城市民的娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从敬亭山西坡B处沿坡角为的山坡爬了350米到达E处，紧接着又沿坡角为的山坡爬了152米到达山顶A处，请计算敬亭山的高度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，，） 题型二十五 其他问题（解直角三角形的应用） 39．（安徽宣城·一模）如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（    ）. A．4＋米 B．4＋米 C．4＋4sin40°米 D．4＋4cot40°米 40．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形．如图，矩形：是其中一个停车位，经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位均相同，按图示并列划定．该充电站有个停车位，求的长．（参考数据：，，） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$