专题04 线段与角（期末复习知识清单，8知识13题型2易错3方法）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题04 线段与角（8知识&13型&2易错&3方法清单） 【清单01】线段、射线、直线的区别与联系 直线 射线 线段 概念 图形 表示方法 区别 端点个数 度量性 延伸性 延长性 联系 射线、线段都是_______的一部分，_______向一方无限延伸就成为_______，向两方无限延伸就成为了_______，射线向反方向无限延伸就成为_______. 共同点 都是直的，不是曲线 【清单02】线段的性质及两点间的距离 线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：____________________________. 两点间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.（由这个概念可知，距离是长度，是用_______表示的） 【清单03】线段中点 线段的中点：如图，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB，点C就叫做线段AB的中点. 几何表示：.（三种表达式形式不同，但意义一致.） 【清单04】角的定义 定义 图形 解读 “静止”的观点 由_______的两条射线所组成的图形叫做角 这个_______是角的顶点，这两条射线是角的_______ “运动”的观点 由一条射线绕着它的_______旋转一定_______而形成的图形 起始位置的边叫角的_______，终止位置的边叫角的_______ 【清单05】角的表示方法 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下四种： 角的表示 图例 记法 适用范围 用三个大写字母表示 用一个大写字母表示 用一个数字表示 用一个希腊字母表示 【清单06】角的度量单位及换算 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 1）把一个周角平均分成_______等分，每一份就是1度的角，记为1°； 2）把1°的角_______等分，每一份就是1分的角，记为1′； 3）把1′的角_______等分，每一份就是1秒的角，记为1″. 角的换算：把高级单位转化成低级单位要乘以进率；把低级单位转化为高级单位要除以进率，如 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝_______，1′＝_______； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：， 【清单07】角平分线 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 角平分线的性质：若OC是∠AOB的角平分线，则；反之，若，则OC是∠AOB的角平分线. 【清单08】余角与补角 名称 定义 图例 性质 余角 如果两个锐角的和等于_______，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角. 同角（等角）的余角_______ 补角 如果两个角的和等于_______，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角. 同角（等角）的补角_______ 【题型一】用数学知识解决实际问题 1．（24-25七年级上·湖北随州·期末）下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（   ） （1）如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线） （2）如图②，把弯曲的公路改直，就能缩短路程（两点之间线段最短） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 2．（24-25七年级上·广东珠海·期末）下列三种现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是 (填序号)． 3．（22-23六年级下·山东威海·期末）如图，从地到地的最短路线是(   )    A． B． C． D． 【题型二】画直线、射线、线段 1．（2024六年级上·上海·专题练习）如图，点 是同一平面内的三个点，请完成下列问题： ①画线段； ②画射线； ③度量：线段的长度约为 （精确到 ） 2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，已知四点． (1)作射线； (2)作直线与直线，相交于点； (3)连接，并在线段的延长线上取一点，使得． 3．（24-25六年级上·上海·月考）已知线段、、，画一条线段，使（请写出作法） 【题型三】线段的和与差 1．（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知线段，在直线上取一点，使，则点应在（   ） A．点、之间 B．点的左边 C．点的左边 D．点、之间或点的右边 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段，、是线段上的两个点，线段，线段，那么线段 ． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【题型四】与线段中点有关的计算问题 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，线段，为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图所示，线段被点、分成了三部分，且，、分别为、的中点，求的长 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知C，D为线段上的两点，M，N分别是，的中点． (1)图中共有 条线段． (2)若，，求的长度． (3)若，，请用含a，b式子直接表示的长度． 16．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，A、B、C、D、E是一条高速公路上的五个出口，B、D位于、的中点． (1)A到C的距离为30千米，B到D的距离为50千米，那么B到E的距离是多少？ (2)若A到E的距离为m千米，则B到D的距离是 千米（直接写出答案）． 17．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，点是的中点，，． (1)若，其中，求的值 (2)在（1）的情况下，求线段的长． 【题型五】利用分类讨论思想计算线段长度 1．（山东省淄博市桓台县2023-2024学年六年级下学期期末数学试题）已知点是线段的三等分点，是的中点，，则长 ． 2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知线段，且点是线段的中点，点是线段的三等分点则线段的长为（    ） A．和 B．和 C．和 D． 3．（23-24七年级上·湖北荆州·期末）已知点C为线段的三等分点，点D，E分别为线段的中点，若，则 ． 【题型六】利用方程思想计算线段长度 1．（24-25六年级下·上海·阶段练习）如图，设点在线段上，点、分别是线段、的中点，且，． (1)求线段的长； (2)求以线段为半径的圆的周长（取）． 2．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 3．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知，，点C为线段的三等分点，点A在点B左侧，点D在点E左侧． (1)若线段在线段上运动． ①如图1，当点C为线段的中点时， ___________；（直接写出结果） ②M为线段上一点，且，，求线段的长； (2)若线段在射线上运动，且，求线段的长． 【题型七】与线段计算有关的动态问题【题型七】钟面角 A． B． C． D． 2．（20-21七年级下·上海宝山·期末）早晨8：00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是（   ） A．8点分 B．8点25分 C．8点分 D．9点整 3．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）下午四点多，小李潜心钻研桃李杯的思维题，开始时时针与分针的夹角是，结束时发现时间还不到当天下午五点，且时针与分针的夹角还是，小李钻研了 分钟． 4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【题型八】方位角 1．（22-23七年级上·江西宜春·期末）亲爱的同学们，我们的数学测试从开始，钟表上时分时，时针和分针的夹角是（    ） 37．（23-24六年级下·上海虹口·期末）如图，，射线表示北偏东方向，则射线的方向为（   ） A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 2．（24-25六年级上·上海·期末）射线位于北偏东方向，射线位于南偏东方向，则 ． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，货船与港口相距海里，港口相对货船的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距海里处 B．北偏西方向，相距海里处 C．南偏东方向，相距海里处 D．北偏东方向，相距海里处 【题型九】角度的四则运算 1．（21-22七年级上·全国·课后作业）下列关于度、分、秒的换算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·月考）计算： ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【题型十】几何图形中的角度计算 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，已知，是内部的一条射线，． (1)求的度数； (2)画出的角平分线，并求的度数． 2．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 3．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 4．（上海市浦东区2024－2025学年六年级上学期期末考试数学试卷）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【题型十一】与余角、补角有关的计算 1．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 2．（24-25六年级上·上海·期末）如图，若，则 ． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【题型十二】利用方程思想计算求角度 1．（20-21七年级下·甘肃酒泉·期中）已知一个锐角的补角比它的余角的3倍大，求这个角的度数． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 3．（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图2，如果，则的度数为___________． 【题型十三】与角度计算有关的动态问题 1．（24-25六年级上·上海·期末）利用数轴和绝对值的知识我们可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算也有密切关联，借助对数轴的研究，可以迁移到角度的研究． 【观察】已知数轴上有两点、    （1）如图1，点表示的数是，点表示的数是3，线段的长度______，可以理解为；如图2，点表示的数是0，点表示的数是5，线段的长度是______，可以理解为． 【归纳】（2）由此小华得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离______． （3）若点表示的数是，点表示的数是，，则，得______． 【迁移】小华根据数轴的定义结合圆规设计了一种“曲形数轴”用来解决角度问题．如图3，标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位长度。例如：射线表示，射线表示，则可以得到．    （4）若射线表示，射线表示，则______（用含的代数式表示）． 【应用】如图4，已知，，，射线同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为（）秒 （5）当______秒时，． （6）当______秒时，． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称射线是的半角线，但射线不是的半角线． (1)如图1，已知，垂足为O，，在射线，中，射线______是的半角线； (2)如图2，同一平面内，已知，射线是的半角线，求； (3)如图3，，射线同时从开始，分别以每秒5°和每秒3°的速度按逆时针方向绕点O旋转，当射线旋转一周时同时停止运动，设旋转的时间为t（时间单位：s）．问t为何值时，射线是的半角线． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，点O为直线上一点，将一直角三角板的锐角顶点放在点O处，． (1)若，则______； (2)若将直角三角板绕点O顺时针旋转一周，旋转速度是每秒 ①在直角三角板旋转过程中，当时，求的大小（用含的式子表示）； ②在直角三角板旋转一周过程中，当时开始计时，试求直角三角板旋转到几秒时，直线恰好是的平分线． 【题型一】理解直线、射线、线段的概念 1．（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线D．点在线段上 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示，直线、射线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 【题型二】理解角的相关概念 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列正确的个数为（    ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．⑤线段上有无数个点；⑥两点之间线段最短； A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024六年级上·上海·专题练习）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A．B．C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型一】线段双中点模型 条件：点A，点B，点C在一条直线上，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，求MN. MN= MN = MN = 解题大招：抵消同点取一半. 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知A，B，C是同一直线上的三点，若，，点M是线段AC的中点，则线段的长为 ． 2．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知线段，在直线上有一点，且，若点，分别是线段，的中点，则线段的长为 ． 3．（上海市松江区2024-2025学年六年级上学期期末考试数学试卷）已知点、、在直线上，若，，点是线段的中点，那么线段的长是多少？ 小明同学画出图形，做了如下解答： 因为，，在直线上， 所以， 因为，，∴， 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 小明考虑得全面吗？如果不全面，请画出图形并补全解题过程；如果全面，请说明理由． 【题型二】数轴动点问题 数轴上的动点问题主要考查线段的变化以及线段之间的数量关系，但数轴上利用点所对应的数比较容易将问题代数化，结合图形容易找出线段长度与数之间的关系，这种“以数解形”的思想是解决这类问题最常用的思想方法.此类问题需要注意分类讨论. 【注意】 (1)注意分析动点运动时的出发点与停止点； (2)注意分析动点运动的方向与速度，尤其当题目中出现多个动点时； (3)注意区分定点与动点，同时注意分析动点运动过程中保持不变的量. 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒的速度沿着射线的方向运动． (1)当点出发多少秒后，的长度等于长度的2倍？ (2)当点的运动时间超过9秒，设点为的中点，点为的中点，的长度是否是一个定值？如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 2．（24-25七年级上·上海·期末）在数轴上，点A，B，C表示的数分别是，，1．点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段以每秒1个单位长度的速度也向右运动． (1)运动前线段的长度为________； (2)当运动时间为多长时，点A和线段的中点重合？ (3)试探究是否存在运动到某一时刻，线段？若存在，求出所有符合条件的点A表示的数；若不存在，请说明理由． 3．（23-24六年级下·上海虹口·期末）线段和在数轴上运动，点A开始时与原点重合，且． (1)若，且点B为线段的中点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为4个单位/秒，线段的速度为2个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值． (3)在（1）的条件下，线段和同时开始向左运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是，请直接写出线段的长；若不是，请说明理由． 【题型三】双角平分线模型 条件：∠AOC，∠BOC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON 两角无包含关系 两角有包含关系 ∠MON =∠AOC+∠BOC=∠AOB （抵消相同字母C，∠AOB取一半） ∠MON =∠AOC -∠BOC=∠AOB （抵消相同字母C，∠AOB取一半） 解题大招：保留顶点，抵消相同取一半 1．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度． 2．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）已知，作射线，使等于是的平分线，那么的度数是 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 线段与角（8知识&13题型&2易错&3方法清单） 【清单01】线段、射线、直线的区别与联系 直线 射线 线段 概念 直线上一点和它一旁的部分叫做射线. 直线上两点和它们之间的部分叫做线段. 图形 表示方法 直线AB（BA），直线m 射线OA，射线n 线段AB（BA），线段l 区别 端点个数 无 1个 2个 度量性 不可度量 不可度量 可度量 延伸性 向两方无限延伸 只能向一方无限延伸 不能延伸 延长性 不存在延长 可反向延长 可向两方任意延长 联系 射线、线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线. 共同点 都是直的，不是曲线 【清单02】线段的性质及两点间的距离 线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短. 两点间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.（由这个概念可知，距离是长度，是用非负数表示的） 【清单03】线段中点 线段的中点：如图，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB，点C就叫做线段AB的中点. 几何表示：.（三种表达式形式不同，但意义一致.）【清单04】角的定义 定义 图形 解读 “静止”的观点 由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边 “运动”的观点 由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形 起始位置的边叫角的始边，终止位置的边叫角的终边 【清单05】角的表示方法 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下四种： 角的表示 图例 记法 适用范围 用三个大写字母表示 ∠ABC或∠CBA 字母B表示顶点，要写在中间，A，C表示角的两边上的点，用该方法可以表示任意一个角. 用一个大写字母表示 ∠O 当角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示. 用一个数字表示 ∠1 在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并标上数字或希腊字母，该表示方法形象直观. 用一个希腊字母表示 ∠ 【清单06】角的度量单位及换算 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 1）把一个周角平均分成360等分，每一份就是1度的角，记为1°； 2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1′； 3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1″. 角的换算：把高级单位转化成低级单位要乘以进率；把低级单位转化为高级单位要除以进率，如 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：， 【清单07】角平分线 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 角平分线的性质：若OC是∠AOB的角平分线，则；反之，若，则OC是∠AOB的角平分线. 【清单08】余角与补角 名称 定义 图例 性质 余角 如果两个锐角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角. 同角（等角）的余角相等 补角 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角. 同角（等角）的补角相等 【题型一】用数学知识解决实际问题 1．（24-25七年级上·湖北随州·期末）下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（   ） （1）如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线） （2）如图②，把弯曲的公路改直，就能缩短路程（两点之间线段最短） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线的性质，线段公理等知识；将实际问题数学化是解决问题的关键可根据公理“两点确定一条直线”；线段的性质即可判断，即可求解． 【详解】解：工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线），符合题意； 把弯曲的公路改直，就能缩短路程（垂线段最短），做法与其运用的数学原理是两点之间线段最短，符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东珠海·期末）下列三种现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是 (填序号)．      【答案】② 【分析】本题主要考查了线段的性质，分别判断三种现象，确定用“两点之间，线段最短”来解释的现象即可． 【详解】解：①跳远测量反映的是“垂线段最短”； ②投铅球测量反映的是“两点之间，线段最短”； ③木条固定反映的是“两点确定一条直线”； 所以，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是②， 故答案为：②． 3．（22-23六年级下·山东威海·期末）如图，从地到地的最短路线是(   )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“两点之间，线段最短”来判断即可． 【详解】解：由“两点之间，线段最短”可知地到地的最短路线是，沿直线行走，所以从地到地的最短路线是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 【题型二】画直线、射线、线段 1．（2024六年级上·上海·专题练习）如图，点 是同一平面内的三个点，请完成下列问题： ①画线段； ②画射线； ③度量：线段的长度约为 （精确到 ） 【答案】图见解析， 【分析】按要求作图，量出线段的长，即可求解； 本题考查了射线和线段的定义以及作图，掌握方程的解题步骤，理解线段和射线的定义是解题的关键． 【详解】解：①线段如图所示， ②射线如图所示， ③度量：的长度为：， 故答案为：． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，已知四点． (1)作射线； (2)作直线与直线，相交于点； (3)连接，并在线段的延长线上取一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解此题的关键． （1）根据射线的定义画出图形即可； （2）根据直线的定义画出图形即可； （3）根据线段的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，直线与直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． ． 3．（24-25六年级上·上海·月考）已知线段、、，画一条线段，使（请写出作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查画与已知线段相等的线段，关键是根据题意得到所画线段跟已知线段的关系． 先作射线，再在射线上依次截取，，再截取，则线段即为所作． 【详解】解：如图：先作射线，再在射线上依次截取，，再截取，则线段即为所作． 【题型三】线段的和与差 1．（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知线段，在直线上取一点，使，则点应在（   ） A．点、之间 B．点的左边 C．点的左边 D．点、之间或点的右边 【答案】D 【分析】此题考查两点间的距离，解题关键在于分情况讨论． 根据题意分两种情况，即点在线段上和射线上，分别讨论求解即可． 【详解】∵直线上取一点，使， ∴点应在点、之间或点的右边． 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段，、是线段上的两个点，线段，线段，那么线段 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，根据题意求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．根据已知条件可计算出的长度，根据代入计算即可得出答案． 【详解】解：，， ， ∵点在线段的延长线上， ． 故选：B． 【题型四】与线段中点有关的计算问题 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，线段，为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算，线段中点的含义；由为线段的中点，得，再由，即可得，从而判定A；由，结合可判定B；由图形易判定C；现有条件无法判断D正确． 【详解】解：因为为线段的中点， 所以， 因为， 所以， 即， 故A正确； 因为，， 所以， 故B正确； 由图形知，， 故C正确； 现有条件无法判断， 故D不正确． 故选：D． 14．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图所示，线段被点、分成了三部分，且，、分别为、的中点，求的长 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，线段的中点，结合图形，灵活运用线段的和与差求值是解题的关键． 先根据题中条件求出，，的长，再利用中点求出，的长，最后求的长． 【详解】线段被点、分成了三部分，且， ，，， 、分别为、的中点， ，， ． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知C，D为线段上的两点，M，N分别是，的中点． (1)图中共有 条线段． (2)若，，求的长度． (3)若，，请用含a，b式子直接表示的长度． 【答案】(1)15 (2)的长度为21 (3)的长度为 【分析】（1）根据线段的定义即可得到结论； （2）根据已知可得，再根据线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据已知可得，再根据线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了线段的和差，线段的中点，熟练掌握线段中点，线段的和差意义是解题的关键． 【详解】（1）解：图中共有条线段， 故答案为：15． （2） 解：∵，， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为21． （3） 解：∵，， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 16．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，A、B、C、D、E是一条高速公路上的五个出口，B、D位于、的中点． (1)A到C的距离为30千米，B到D的距离为50千米，那么B到E的距离是多少？ (2)若A到E的距离为m千米，则B到D的距离是 千米（直接写出答案）． 【答案】(1)85千米 (2) 【分析】本题主要考查了线段中点和线段的和差问题，熟练掌握线段中点的计算是解题的关键． （1）根据B、D位于、的中点，得到，，再进行线段和差计算即可． （2）根据B、D位于、的中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵B、D位于、的中点 ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ 故B到E的距离是85千米． （2）∵B、D位于、的中点 ∴， 又∵ ∴ 故答案为：． 17．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，点是的中点，，． (1)若，其中，求的值 (2)在（1）的情况下，求线段的长． 【答案】(1)22 (2)12 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，一元一次方程的应用，线段的和差倍分关系的应用，理解题意，建立方程是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把代入计算即可； （2）设，，再分别表示，，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解： ， 当时，， （2）， 设，， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ． 【题型五】利用分类讨论思想计算线段长度 1．（山东省淄博市桓台县2023-2024学年六年级下学期期末数学试题）已知点是线段的三等分点，是的中点，，则长 ． 【答案】或 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，分两种情况：当点靠近点时，当点靠近点时，分别求解即可得出答案． 【详解】解：如图，当点靠近点时， ∵点是线段的三等分点， ∴， ∵是的中点， ∴， 如图，当点靠近点时， ∵点是线段的三等分点， ∴， ∵是的中点， ∴， 综上所述，长为或， 故答案为：或． 2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知线段，且点是线段的中点，点是线段的三等分点则线段的长为（    ） A．和 B．和 C．和 D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论的思想的运用是解题的关键． 【详解】解：∵C是线段的中点，， ∴， 点D是线段的三等分点， ①当时，如图， ； ②当时，如图， ． ∴线段的长为和， 故选：B． 3．（23-24七年级上·湖北荆州·期末）已知点C为线段的三等分点，点D，E分别为线段的中点，若，则 ． 【答案】3或6 【分析】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的线段和差计算，分当点C靠近点A时，当点C靠近点B时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当点C靠近点A时， ∵，点C是线段的三等分点， ∴， ∵点D，E分别为线段的中点， ∴， ∴； 如图所示，当点C靠近点B时， ∵，点C是线段的三等分点， ∴， ∵点D，E分别为线段的中点， ∴， ∴； 综上所述，的长为3或6， 故答案为：3或6． 【题型六】利用方程思想计算线段长度 1．（24-25六年级下·上海·阶段练习）如图，设点在线段上，点、分别是线段、的中点，且，． (1)求线段的长； (2)求以线段为半径的圆的周长（取）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的和差，圆的周长，熟练掌握线段的和差计算方法，圆的周长公式是解题的关键． （1）设，，根据题意列方程得到，，根据线段中点的定义得到结论； （2）根据圆的周长公式即可得到结论； 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点、分别是线段、的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴以线段为半径的圆的周长为． 2．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)出发6秒后； (2)，理由见解析； (3)选，，理由见解析． 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：，，， ； （3）解：选； ，，，， 定值； 变化． 3．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知，，点C为线段的三等分点，点A在点B左侧，点D在点E左侧． (1)若线段在线段上运动． ①如图1，当点C为线段的中点时， ___________；（直接写出结果） ②M为线段上一点，且，，求线段的长； (2)若线段在射线上运动，且，求线段的长． 【答案】(1)①11；②4或 (2)或21 【分析】本题考查了线段中点有关的计算、线段的和差、一元一次方程的应用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）①利用三等分点的定义求出、，利用中点定义求出，再根据线段的和差关系即可求出；②分当点D、M在点C的右侧和点D在点C的右侧，点M在点C的左侧两种情况，画出图形解答即可求解； （2）分当线段在线段上，点D在的延长线上、点E在线段上和线段在线段的延长线上三种情况画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：①如图1，∵点C为线段的三等分点， ∴，， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：11； ②如图，当点D、M在点C的右侧时， 设，则，，，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，当点D在点C的右侧，点M在点C的左侧时， 设，则，，，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； ∴线段的长为4或； （2）解：如图，当线段在线段上时， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图，当点D在的延长线上，点E在线段上时， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得，不合，舍去； 如图，当线段在线段的延长线上时， 设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或21． 【题型七】与线段计算有关的动态问题 【题型七】钟面角 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角，钟表上个大格把一个周角等分，每个大格，点分时针与分针之间共个大格，即可得解．解题的关键是明确钟面的特征：钟面被分成大格，每大格；分针每分钟转，时针每分钟转． 【详解】解：时分就是下午时分， ∵点分，时针指向和的中间，分针指向，中间相差大格半， 又∵钟表个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点分分针与时针的夹角是． 故选：B． 2．（20-21七年级下·上海宝山·期末）早晨8：00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是（   ） A．8点分 B．8点25分 C．8点分 D．9点整 【答案】C 【分析】根据分针旋转的速度乘分针旋转的时间，可得分针的旋转角，根据秒针旋转的速度成秒针旋转的时间，可得秒针的旋转角，根据分针的旋转角减去秒针的旋转角，即可求出． 【详解】解：设t分后时钟的分针和时针第一次垂直，依题意有， 解得． 故早晨8：00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是8点分． 故选：C． 【点睛】本题考查了钟面角，注意时针一小时转30°，一分钟转 ，一秒钟转；分针一小时转360°，一分钟转6°，一秒钟转，秒针一秒钟转6°． 3．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）下午四点多，小李潜心钻研桃李杯的思维题，开始时时针与分针的夹角是，结束时发现时间还不到当天下午五点，且时针与分针的夹角还是，小李钻研了 分钟． 【答案】/ 【分析】本题考查应用类问题，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟走，时针每分钟走，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立方程求解． 【详解】解：分针每分钟走，时针每分钟走， 四点整时，时针和分针之间的夹角是， 设小李开始钻研时是4点分，则由题意可得：，解得， 即：下午4点10分时，小李开始钻研， 设结束时是4点分，则由题意可得：，解得， 即：下午4点分时，小李结束钻研， ∴小李钻研了分， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：问题一：设后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； 故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为， 故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， ∵钟面一共有12个大格， ∴每转动一个大格，时针转动角度为． ∴时，时针转动角度为， ∴故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得：， 解得：． 答：在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 【题型八】方位角 1．（22-23七年级上·江西宜春·期末）亲爱的同学们，我们的数学测试从开始，钟表上时分时，时针和分针的夹角是（    ） 37．（23-24六年级下·上海虹口·期末）如图，，射线表示北偏东方向，则射线的方向为（   ） A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 先根据射线的方向得出，再结合，利用平角为求出，从而确定射线的方向为南偏东． 【详解】解：如图 ∵射线表示北偏东方向， ∴ ∵， ∴， ∴射线的方向为南偏东， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海·期末）射线位于北偏东方向，射线位于南偏东方向，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方位角的定义，正确找出方位角是解题的关键．根据方位角的定义，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，货船与港口相距海里，港口相对货船的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距海里处 B．北偏西方向，相距海里处 C．南偏东方向，相距海里处 D．北偏东方向，相距海里处 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，港口相对货船的位置可描述为南偏西方向，相距海里处， 故选：． 【题型九】角度的四则运算 1．（21-22七年级上·全国·课后作业）下列关于度、分、秒的换算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据1°=60′，1′=60″进行计算即可． 【详解】解：A、83.3°=83°18ˊ，故A错误； B、26°12ˊ15″≈37.2°，故B错误； C、15°18ˊ18″=15.31°，故C错误； D、41.15°=41°9ˊ，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握1°=60′，1′=60″是解题的关键． 2．（24-25六年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了角度的计算，分别计算度、分、秒，单位间进率为60，不够减时借位． 【详解】． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 /116度20分 /11度40分20秒 /106度25分 /58度57分20秒 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）首先将度转化为度分秒，然后计算减法即可； （3）根据角度的乘法运算法则求解即可； （4）首先将度转化为度分秒，然后计算除法即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：． 【题型十】几何图形中的角度计算 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，已知，是内部的一条射线，． (1)求的度数； (2)画出的角平分线，并求的度数． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题考查了角的运算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握角的运算是解题的关键． （1）由，设，则，利用解方程求出的值，即可得到的度数； （2）根据角平分线的定义，先画出的角平分线，以及，再利用角的和差即可得到的度数． 【详解】（1）解：， 设，则， ， ， 解得：， ． （2）解：如图所示，的角平分线即为所求： 是的角平分线， ， 由（1）得，， ． 2．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、与角平分线有关的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解； （2）先求出，再由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 3．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 4．（上海市浦东区2024－2025学年六年级上学期期末考试数学试卷）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或时，；（3）或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）利用分类思想解答即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）或． 理由：如答图① ， ∵， ∴； 如答图②，∵， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 【题型十一】与余角、补角有关的计算 1．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键．利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、三角形内角和定理即可确定答案． 【详解】解：由图①知，，则，故与不一定相等； 由图②知，根据同角的余角相等得：； 由图③知，根据等角的补角相等得：； 由图④知，，，故与不相等； 综上所述，与一定相等的是②③． 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海·期末）如图，若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算．根据已知角的度数求出，再利用计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【答案】(1)， (2)， (3)北偏东 【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答； （2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答； （3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为∶北偏东． 【题型十二】利用方程思想计算求角度 1．（20-21七年级下·甘肃酒泉·期中）已知一个锐角的补角比它的余角的3倍大，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，一元一次方程的应用，解题的关键是根据这个角的补角比它的余角的3倍大，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为x度，根据题意得： ， 解得：， 答：这个角的度数为． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查的是角的计算，根据的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）设，可得，根据与互补列出方程求出的值即可； （2）根据角平分线的意义求出，即可得出绪论； （3）根据求出，由是的平分线可得出，再分在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵平分， ∴， ∵与互补， ∴ ∵ ∴ 解得，， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵是的平分线， ∴ 又 ∵ ∴； （3）解：∵且 ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵与互余， ∴ ∴ ①若在内部时，如图， 则； ②若在外部时，如图， 则； 综上，或． 3．（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图2，如果，则的度数为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）求解，，，结合角平分线的定义进一步求解即可． （2）设，可得，，，，进一步列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：设， ∵，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【题型十三】与角度计算有关的动态问题 1．（24-25六年级上·上海·期末）利用数轴和绝对值的知识我们可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算也有密切关联，借助对数轴的研究，可以迁移到角度的研究． 【观察】已知数轴上有两点、    （1）如图1，点表示的数是，点表示的数是3，线段的长度______，可以理解为；如图2，点表示的数是0，点表示的数是5，线段的长度是______，可以理解为． 【归纳】（2）由此小华得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离______． （3）若点表示的数是，点表示的数是，，则，得______． 【迁移】小华根据数轴的定义结合圆规设计了一种“曲形数轴”用来解决角度问题．如图3，标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位长度。例如：射线表示，射线表示，则可以得到．    （4）若射线表示，射线表示，则______（用含的代数式表示）． 【应用】如图4，已知，，，射线同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为（）秒 （5）当______秒时，． （6）当______秒时，． 【答案】（1）4，5；（2）；（3）2或；（4）；（5）3或15；（6）或6 【分析】（1）根据数轴上两点A，B表示的数即可求解； （2）根据题意可得A，B两点之间的距离； （3）解绝对值方程即可求解； （4）利用角的和差即可求解； （5）分两种情况：重合前，重合后，分别求解即可； （6）分两种情况：重合前，重合后，分别求解即可． 【详解】解：（1）如图1，点表示的数是，点表示的数是3，线段的长度是4，可以理解为；如图2，点表示的数是0，点表示的数是5，线段的长度是5，可以理解为； 故答案为：4，5； （2）由此小华得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离； 故答案为：； （3）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：2或； （4）∵射线表示，射线表示， ∴，， ∴度， 故答案为：； （5）分两种情况： 由题意得，， 重合前， ， ∴； 重合后， ， ∴； ∴当或秒时，； 故答案为：3或15； （6）分两种情况： 由题意得，， 重合前， ， ∵， ∴， ∴； 重合后，， ∵， ∴， ∴； ∴当t为秒或6秒时，． 故答案为：或6． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了数轴，两点间距离，角的和差倍分运算，一元一次方程等，利用数形结合建立方程求解是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称射线是的半角线，但射线不是的半角线． (1)如图1，已知，垂足为O，，在射线，中，射线______是的半角线； (2)如图2，同一平面内，已知，射线是的半角线，求； (3)如图3，，射线同时从开始，分别以每秒5°和每秒3°的速度按逆时针方向绕点O旋转，当射线旋转一周时同时停止运动，设旋转的时间为t（时间单位：s）．问t为何值时，射线是的半角线． 【答案】(1) (2)或30° (3)t为或或时，射线是的半角线 【分析】本题考查了角的计算，一元一次方程； （1）运用新定义“半角线”，即可求得答案； （2）分两种情况：当射线在的外部时或当射线在的内部时，分别结合图形运用新定义“半角线”，进行角的计算即可； （3）根据与的关系分情况讨论，分别根据新定义进行角的计算即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1） 如图1，∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴射线是的半角线， 故答案为：； （2）①当射线在的外部时，如图1， ∵，射线是的半角线， ∴， ∴，即， ∴ ②当射线在的内部时，如图2， ∵，射线是的半角线， ∴， ∴，即， ∴， ∴或． （3）①当时，射线都在内部，如图3， ，， ∵射线是的半角线， ∴， ∴， 解得：； ②当时，射线在外部，射线在内部，如图4， ，， ∵射线是的半角线，射线都在内部， ∴， ∴， 解得：； ③当时，射线都在外部，如图5， ，， ∵射线是的半角线， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，t为或或时，射线是的半角线． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，点O为直线上一点，将一直角三角板的锐角顶点放在点O处，． (1)若，则______； (2)若将直角三角板绕点O顺时针旋转一周，旋转速度是每秒 ①在直角三角板旋转过程中，当时，求的大小（用含的式子表示）； ②在直角三角板旋转一周过程中，当时开始计时，试求直角三角板旋转到几秒时，直线恰好是的平分线． 【答案】(1)80 (2)①；②240秒或600秒 【分析】本题考查动角问题，角平分线的定义和性质，几何中角度的计算，平角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质并灵活运用． （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）根据平角的定义及角平分线的定义分两种情况讨论，即可得到结论． 【详解】（1）解： ，， ， 故答案为：80； （2）解：①由题意，知． 点O为直线上一点， ． ，， ； ②如图1，当时，． 当直线正好是的平分线，有两种情况： Ⅰ．如图2，此时边旋转了． （秒）， Ⅱ．如图3，此时边旋转了． （秒）． 综上所述，直角三角板旋转到240秒或600秒时，直线恰好是的平分线． 【题型一】理解直线、射线、线段的概念 1．（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．点在线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的定义．根据直线，射线，线段的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．直线和直线是同一条直线，故本选项错误，不符合题意； B．直线没有端点，故本选项错误，不符合题意； C．射线和射线是同一条射线，故本选项错误，不符合题意； D．点在线段上，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示，直线、射线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线、线段及射线的知识，根据直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸即可得出答案． 【详解】解：A、射线延伸后不能与线段相交，故本选项不符合题意； B、射线和延伸后不能相交，故本选项不符合题意； C、射线和直线延伸后能相交，故本选项符合题意； D、直线延伸后不能与线段相交，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 【答案】B 【分析】本题主要考查了画线段和射线，射线无法度量，线段可以度量，据此结合线段的画法可得答案． 【详解】解：A、线段可以度量，因此可以画线段厘米，原说法正确，不符合题意； B、射线无法度量，因此不可以画射线厘米，原说法错误，符合题意； C、在射线上可以截取厘米，原说法正确，不符合题意； D、延长线段到C，使得，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 【题型二】理解角的相关概念 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列正确的个数为（    ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．⑤线段上有无数个点；⑥两点之间线段最短； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了角的定义及性质，线段的性质，紧扣角的定义和线段的性质即可作答． 【详解】解：（1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故①错误； （2）角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形，故②正确； （3）两条射线，它们的端点重合时，可以形成角，故③正确； （4）角的大小与边的长短无关，故④错误； （5）线段上有无数个点，故⑤正确； （6）两点之间线段最短，故⑥正确； 正确的个数为4个， 故选：C． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； B、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； C、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； D、图中的，不能用表示，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法、周角和平角的定义以及射线，熟练掌握相关概念是解题关键．根据角的表示方法、周角和平角的定义以及射线的概念逐个判断即可得． 【详解】解：第1个图形：表示应该是，则原描述错误； 第2个图形：射线绕点旋转一周形成，符合周角的定义，则原描述正确； 第3个图形：的两边在同一直线上且方向相反，符合平角的定义，则原描述正确； 第4个图形：射线是从点出发向点方向延伸的线，周角是角的一种概念，射线不是周角，则原描述错误； 综上，对于图形的描述正确的有2个， 故选：B． 【题型一】线段双中点模型 条件：点A，点B，点C在一条直线上，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，求MN. MN= MN = MN = 解题大招：抵消同点取一半. 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知A，B，C是同一直线上的三点，若，，点M是线段AC的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握中点的性质是解题的关键．应考虑到位置关系的多种可能性，即可得到答案． 【详解】解：①当点在线段的延长线上时，此时， 点M是线段AC的中点， ； ②当点在线段上时，此时， 点M是线段AC的中点， ． 故答案为：或． 2．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知线段，在直线上有一点，且，若点，分别是线段，的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查两点间的距离，线段中点的定义，注意分类讨论． 可分两种情况：当点C在线段上时，当点C在射线上时，根据两点间的距离先求解的长，再根据线段中点的定义可求解的长． 【详解】解：当点在线段上时，如图，    ∵，， ∴， ∵点M、N分别是线段、的中点， ∴， 当点C在射线上时，如图，    ∵，， ∴， ∵点M、N分别是线段、的中点， ， 故答案为：或． 3．（上海市松江区2024-2025学年六年级上学期期末考试数学试卷）已知点、、在直线上，若，，点是线段的中点，那么线段的长是多少？ 小明同学画出图形，做了如下解答： 因为，，在直线上， 所以， 因为，，∴， 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 小明考虑得全面吗？如果不全面，请画出图形并补全解题过程；如果全面，请说明理由． 【答案】不全面，过程见解析 【分析】本题主要考查了中点的定义，线段的和差， 根据题意画出图形，先求出，再根据中点的定义求出，最后根据得出答案． 【详解】解：当点C在线段外时，如图所示， 根据题意，得， 因为，， ∴． 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 当点C在线段之间时，如图所示， 根据题意，得， 因为，， ∴． 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 所以的长为或. 所以小明的解答不全面，的长为或. 【题型二】数轴动点问题 数轴上的动点问题主要考查线段的变化以及线段之间的数量关系，但数轴上利用点所对应的数比较容易将问题代数化，结合图形容易找出线段长度与数之间的关系，这种“以数解形”的思想是解决这类问题最常用的思想方法.此类问题需要注意分类讨论. 【注意】 (1)注意分析动点运动时的出发点与停止点； (2)注意分析动点运动的方向与速度，尤其当题目中出现多个动点时； (3)注意区分定点与动点，同时注意分析动点运动过程中保持不变的量. 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒的速度沿着射线的方向运动． (1)当点出发多少秒后，的长度等于长度的2倍？ (2)当点的运动时间超过9秒，设点为的中点，点为的中点，的长度是否是一个定值？如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 【答案】(1)秒或秒 (2)的长度是一个定值，这个值是 【分析】本题考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设运动时间为秒，得到，，得到或，解方程即可得到答案； （2）根据题意得出，，结合，即可得到答案． 【详解】（1）解：设运动时间为秒， ，， ， 或 解得或， 答：当点出发秒或秒后，的长度等于长度的2倍 （2）解：当点的运动时间超过9秒，则点P在点B的右侧， 点为的中点，点为的中点 ，， 又， ， 答：的长度是一个定值，这个值是． 2．（24-25七年级上·上海·期末）在数轴上，点A，B，C表示的数分别是，，1．点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段以每秒1个单位长度的速度也向右运动． (1)运动前线段的长度为________； (2)当运动时间为多长时，点A和线段的中点重合？ (3)试探究是否存在运动到某一时刻，线段？若存在，求出所有符合条件的点A表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了实数与数轴的知识点，解题的关键是熟练的掌握实数与数轴的相关知识点． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）先根据中点坐标公式求得B、C的中点，再设当运动时间为t秒长时，点A和线段BC的中点重合，根据路程差的等量关系列出方程求解即可； （3）设运动时间为y秒，分两种情况：①当点A在点B的左侧时，②当点A在点B的右侧时时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：运动前线段的长度为． （2）解：设当运动时间为t秒长时，点A和线段BC的中点重合，依题意有 ， 解得． 故当运动时间为秒长时，点A和线段的中点重合． （3）解：存在，理由如下：设运动时间为y秒， 当点A在点B的左侧时，若满足线段，则 ． 依题意有， 解得． ； 当点A在点B的右侧时，，若满足线段，则 依题意有， 解得． 综上所述，符合条件的点A表示的数为或． 3．（23-24六年级下·上海虹口·期末）线段和在数轴上运动，点A开始时与原点重合，且． (1)若，且点B为线段的中点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为4个单位/秒，线段的速度为2个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值． (3)在（1）的条件下，线段和同时开始向左运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是，请直接写出线段的长；若不是，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)14.5或20.5 (3)是定值；17.5 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离及中点的计算，一元一次方程的应用，理解题意，熟练运用数轴上两点之间的距离是解题关键． （1）根据线段的和差求解； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）设运动时间为t，再用t表示M，N表示的数，再利用中点公式求解． 【详解】（1）解：∵B为线段的中点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：B点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：， 解得：或； （3）解：设运动时间为t， 由题意得：A点表示的数为：，B点表示对数为：，C点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：M点表示的数为：，N点表示的数为：， ∴， ∴线段的长为定值，定值为17.5． 【题型三】双角平分线模型 条件：∠AOC，∠BOC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON 两角无包含关系 两角有包含关系 ∠MON =∠AOC+∠BOC=∠AOB （抵消相同字母C，∠AOB取一半） ∠MON =∠AOC -∠BOC=∠AOB （抵消相同字母C，∠AOB取一半） 解题大招：保留顶点，抵消相同取一半 1．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当射线在的内部时，当射线在的外部时，根据角平分线的定义得出，结合图形即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论，当射线在的内部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴ ∴； 当射线在的外部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴ ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 2．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）已知，作射线，使等于是的平分线，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查角平分线，角的运算 ；由于射线的位置不确定，需分两种情况讨论：当在内部时和当在外部时，分别计算的度数，再根据角平分线定义求出结果即可． 【详解】解：分为两种情况： ①当在内部时， ， ∵是的平分线， ∴． ②当在外部时， ， ∵是的平分线， ∴ 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $