第六章 第一节 圆的有关概念及性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（广西专用）

①菱形②矩形③正方形 2.D3.C4.D【变式】A 5.(1)证明：D是边BC的中点，.BD=CD. ·DE=DF,.四边形BECF是平行四边形 .·BC=EF,.四边形BECF是矩形 (2)解：①当AC=5时，四边形BECF是菱形，证明如下： .AB=AC=5,D是BC的中点，.AD⊥BC,.EF⊥BC. 由(1)知，四边形BECF是平行四边形， .四边形BECF是菱形： ②当四边形BECF是正方形时，BC=EF=6,BC⊥EF .D是BC的中点，∴.BD=CD=DE=DF=3, AD=VAB2-BD=√5-32=4， .∴.AF=AD-DF=4-3=1. 第六章圆 第一节圆的有关概念及性质 ①圆心②半径③圆心④BD⑤2⑥优弧⑦劣弧 ⑧直径⑨圆心 1.(1)①A ②证明：AB=CDAB=CD」 .AB+AC=CD+AC,BAC=ACD...BC=AD. (2)C 0平分①平分2垂直B平分④BM 2.(1)B(2)①4：3；2：8②32(3)553.B4.C ⑤一半G相等⑦LADC⑧2 1990 5.D【变式】B6.90:64:64:64:32 20互补2四180 7.65°【变式】2 8.解：如解图，连接OA,OB,∠ACB与∠ADB为弦AB所对 的圆周角，作OH⊥AB于点H, 则AM=BH=2AB=25. 在Rt△OAH中，OA=4,AH=2√2、 .0H=√0A-Af=22 .∴.AH=OH, △OAH为等腰直角三角形， .∠A0H=45°，.∠A0B=90°， ∠ACB= -∠A0B=45° 2 ∠ADB=180°-∠ACB=135°， 即弦AB所对的圆周角的度数为45°或135° 【变式1】30°或150°【变式2】120°或80° 9.解：若水面AB位于圆柱直径的下方，如解图1，连接OB, 过点0作OC⊥AB于点D,交⊙0于点C. B=24emBM=24B=12(am). 22 ⊙0的直径为26cm,∴0B=0C=13(cm). 在Rt△OBD中，OD=√OB-BD=5(cm), .CD=OC-OD=8(cm),即水的深度为8cm; o 0 C 解图1 解图2 若水面AB位于圆柱直径的上方，如解图2，连接OB,过 点0作0C⊥AB于点D,交⊙0于点C. AB=24mB0=B=12(m). :⊙0的直径为26cm,.0B=0C=13(cm). 在Rt△0BD中，0D=√OB2-BD=5(cm), .水的深度为13+5=18(cm). 综上所述，水的深度为8cm或18cm. 【变式】20或140 第二节与圆有关的位置关系 ①<②=③<④相切⑤=⑥> 1.(1)圆上；圆外；圆内：相交(2)相切：相离 ⑦垂直⑧垂直⑨半径⑩一个 2.A 3.证明：(1)如解图1，连接0C. :OA=0B,点C为AB的中点，OC⊥AB. 又.0C是⊙0的半径，.直线AB是⊙0的切线. (2)如解图2，过点0作0D⊥AB于点D. 0A=0B=18,4B=24A0=4B=12. .0D=0A2-AD2=5. ⊙0的直径为10，.⊙0的半径r为5， .OD=r,.AB是⊙O的切线， D 解图1 解图2 4.(1)12(2)60 ①垂直平分线②三个顶点B2角平分线 ⑤三条边西2 1 5(1)25(2)525 33 (3)1 6.证明：如解图，连接0D. :△ABC是等边三角形， ∴.∠C=∠A=60°.第六章圆 第一节【 圆的有关概念及性质 (必考，常在解答题中涉及) 9版本导航人教：九上P79~P91,P122~P125;湘教：九下P43~P63,P87~P93:沪科：九下P12~P32. 考点①圆的有关概念及性质 1.相关概念 (1)如图，在一个平面内，线段O4绕它固定的一个端点0旋转一周，另 个端，点A所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作① ,线段 01 圆 OA叫作② (2)圆心为O、半径为r的圆可以看成所有到定点O的距离等于定长r的点的集合 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆.同圆或等圆的半径相等 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如图中的线段CD,BD 弦 经过③ 的弦叫作直径，如图中的线段④ 【特别提醒】直径是一个圆中最长的弦；直径等于半径的⑤ 倍 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条 弧都叫作半圆.如图中的半圆BD 圆上任意 大于半圆的弧叫作⑥ 两点间的 (用三个点表示)，如图 弧 部分叫作 中ABD 圆弧，简 小于半圆的弧叫作⑦ 如图中CD 称弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧（注意：等孤 只存在于同圆或等圆中，长度相等的孤不一定是等孤) 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角，如图中∠AOB,∠AOD 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角，如图中∠BDC 2. 基本性质 既是轴对称图形，又是中心对称图形.任意一条⑧ 所在直线都是它的 对称性 对称轴，⑨ 是它的对称中心 旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合 3.圆的确定 (1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 97 考点2弧、弦、圆心角之间的关系(2025.20) 文字语言 符号语言 图形语言 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 定理 如图，有以下三个结论： 的弧相等，所对的弦也相等 (1)圆心角相等：∠AOB= 在同圆或等圆中，如果两条弧相等， ∠A'OB'; 推论1 那么它们所对的圆心角相等，所对的 弦相等 (2)弧相等：AB=AB: (3)弦相等：AB=A'B'. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等， 只要满足其中一个，另外两个 推论2 那么它们所对的圆心角相等，所对的 定成立，即“知一求二” 优弧和劣弧分别相等 【注意事项】 (1)在运用定理、推论时，一定要有“同圆或等圆”的前提条件.若给出等孤，则确定是在同圆或等圆 中，而等弦和长度相等的孤不一定是在同圆或等圆中； (2)在同圆或等圆中，若AB=2A'B,则∠AOB=2∠A'OB'成立，但AB≠2A'B'. ⊙针对训练 1.(人教九上P84思考改编)如图，AB,CD是⊙0的两条弦. A (1)若AB=CD ①连接OA,OB,OC,OD,下列结论不一定成立的是 A.OA=OB=AB B.∠AOB=∠COD C.AB=DC D.O到AB,CD的距离相等 ②连接BC,AD,求证：BC=AD. (2)若AB=2CD,则弦AB与弦CD的大小关系是 A.AB>2CD B.AB=2CD C.AB<2CD D.AB=CD 考点③垂径定理及其推论(2023.10) 文字语言 符号语言 图形语言 垂直于弦的直径⑩ 如图，有以下五个结论： 定理 弦，并且① 弦所对 的两条弧 (1)A0=BD:(2)AC=BC: 平分弦（不是直径）的直径 (3)AM=④ ;(4)AB⊥CD; ② (5)CD是⊙0的直径 于弦，并且 B 推论 只要满足其中两个，另外三个一定成立， 3 弦所对的两 即“知二求三” 条弧 98 【易错警示】使用垂径定理的推论时，要注意“弦（不是直径）”这个条件，因为所有的直径都互相 平分，但互相平分的直径不一定互相垂直 【技巧点拨】 (1)运用垂径定理进行有关弦的计算时，常需过圆心向弦作 垂线段（弦心距），构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角 三角形，利用勾股定理求解，如图1，+（受）=户 (2)如图2，AB是⊙0的弦，C是圆上的动点，则当，点C在优 图1 图2 孤AB上，且C0LAB时，SABc取得最大值 ⊙针对训练 2.(人教九上P83T1改编)如图，CD是⊙O的直径，且CD=10,AB是弦且不是直径，CD⊥AB于 点E. (1)下列结论不一定正确的是 A.AE=BE B.OE=DE C.AO=CO D.AD=BD (2)若AB=8, ①则AE= OE= ED= ,CE= ②若F是⊙O上的动点（不与点A,B重合），则△ABF面积的最大值为 (3)若劣弧AB沿AB所在直线向上翻折，恰好经过圆心O,则AB= 37m D 第2题图 第3题图 第4题图 3.(2023广西10题3分)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥. 如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m,拱高约为7m,则赵州桥主桥拱半径R约为 A.20m B.28m C.35m D.40m 4.(2021北部湾)如图，⊙0的半径OB为4,0C⊥AB于点D,∠BAC=30°，则0D的长是( A.√2 B.3 C.2 D.3 考点④圆周角定理及其推论(2025.20,2024.24,2023.4) 文字语言 符号语言 图形语言 一条弧所对的圆周角等于它所 定理 如图，AB是⊙O的直径，点C,D在 对的圆心角的⑤ ⊙0上，则：∠ABC=⑦ 同弧或等弧所对的圆周角 推论1 8 ∠AOC,∠ACB=19 6 【特别提醒】(1)一条孤只对应一个 半圆（或直径）所对的圆周角是 圆心角，却对应无数个圆周角； 推论2 直角，90°的圆周角所对的弦是 (2)一条弦对应两条孤，这两条孤所 直径 对的圆周角互补 99 ⊙针对训练 5.(2023广西4题3分)如图，点A,B,C在⊙0上，∠C=40°，则∠A0B的度数是 A.50° B.60° C.70° D.80° B B 第5题图 变式题图 变式如图，点A,B,C是⊙0上不重合的三点，则下列结论一定正确的是 ( A.∠AOB=∠A+∠B B.∠AOB=2(∠A+∠B) C.∠AOB=90°-（∠A+∠B) D.∠AOB=180°-2（∠A+∠B) 6.(湘教九下P56T4改编)如图，AB为⊙0的直径，C,D是⊙0上两点，且ODBC,∠BAC=26°，则 ∠BCA= o,∠B= °，∠ADC= °，∠DOB= °，∠DAB= 考点⑤圆内接四边形的性质 概念 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫作圆内接四边形 (1)圆内接四边形的对角②0 （如图，∠ABC+∠ADC= 四 ）； 性质 (2)圆内接四边形的任意一个外角等于和它相邻的内角的对角 (如图，∠DCE=∠BAD) 【知识拓展】连接圆内接四边形的对角线，则必然存在两组相似三角 形，如图，△ABF△DCF,△ADF∽△BCF ⊙针对训练 7.（人教九上P88T5改编)如图，四边形ABCD内接于⊙O,且A为优弧BD的中点，连接BD,若∠C= 130°，则∠ABD的度数为 0. C M 第7题图 变式题图 变式如图，在平面直角坐标系中，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为(0， 2),M为第三象限内OB上一点，∠BM0=120°，则⊙C的半径为 100 数学思想方法圆的性质中的分类讨论 8.已知⊙0的半径等于4，AB为⊙0的弦，其长为42，求弦 类型1当已知弦，求其对应的圆 AB所对的圆周角的度数. 周角度数时，需要分类讨论： (1)如图1，当圆周角的顶点在优 孤上时，LB=2∠a: (2)如图2，当圆周角的顶点在劣 6上时，48=180号<a 变式1A,B为⊙0上的两个定点，P为⊙0上的动点(P 不与A,B重合).若⊙0的半径为1，AB=1,则∠APB的度 B Q 数为 变式2已知点O是三角形ABC的外心，∠BOC+∠A= C 240°，则∠A的度数为 图1 图2 9.(2025贵港港北区一模改编)往一个水平放置的直径为26cm 类型2已知两弦平行，但两弦的 的圆柱形容器内装入一些水以后.若水面宽AB=24cm, 位置不确定时，需要分类讨论： 求水的深度 如图，设两条平行弦之间的距离 为d: (1)如图1，两条平行弦在圆心异 侧，d=OE+0F; (2)如图2，两条平行弦在圆心同 侧，d=OF-OE. E以 图1 图2 此类问题的解题步骤如下： 分类 变式如图，一下水管道横截面为圆形，直径为200cm,下 当弦AB,CD讨论 在圆心同侧 位置不定时画图在圆心异侧 雨前水面宽为120cm,一场大雨过后，水面宽为160cm,则 过圆心 水位上升 cm. 作垂线利用垂径定理或勾 连半径 股定理求线段长度 温馨提示 请完成分层练习册P91~3习题 101