第五章 第五节 梯形、特殊四边形之间的关系（含中点四边形）-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第五节 梯形、特殊四边形之间的关系（含中点四边形) (3年1考，3分)》 9版本导航人教：八下P66~P69;湘教：八下P76~P79;沪科：八下P96~P98. 考点1梯形(2025.22涉及) 组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,S梯形BD= 之（上底+下底）×高若A0=BC,则梯形ABCD是等腰梯形， 上底 腰 D4 H下底 【技巧点拨】解决等腰梯形问题常见的辅助线作法： 过上底中点 作法 作高 平移对角线 延长两腰 平移腰 平移两腰 图示 ⊙针对训练 1.如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC,BC=4,AD=2. (1)若∠ABC=60°，则梯形ABCD的周长为 (2)连接AC,BD,若AC⊥BD,则梯形ABCD的面积为 考点②中点四边形 L.如图，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点，则四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边 形，由中位线定理可得EH/GF/BD,EH=GF=2BD,HG/EF/AC,HG=EF=2AC B 2.中点四边形的形状由原四边形中两条对角线的关系决定： 原四边 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 任意四边形 形特点 (如矩形) (如菱形) (如正方形) 中点四边形 平行四边形 ① ② ③ 的形状 图示 【知识拓展】中，点四边形的周长等于原四边形的两条对角线之和；中，点四边形的面积等于原四边 形面积的一半 94 ⊙针对训练 2.如图，点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，下列说法中不正确的是 A.四边形EFGH一定是平行四边形 B.若AC=BD,则四边形EFGH是菱形 C.若AC⊥BD,则四边形EFGH是矩形 D.若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是正方形 3.如图是一块矩形地砖ABCD,测得AB=12,AD=16,现将它切割成一块平行四边形地砖EFGH,要 求点E,F,G,H依次是边AB,BC,CD,DA的中点，切割后的四边形地砖EFGH的周长为（) A.20 B.28 C.40 D.56 考点③特殊四边形之间的关系 1.包含关系 四边形 平行四边形 特殊到一般的思想 性质：图形越特殊，性质越多 矩形方菱形 判定：图形越特殊，需要的条件越多 形 关系：特殊图形包含一般图形的性质 2.判定关系 有三个角是直角 有一个角是直角 矩形 一组邻边相等 两组对边分别平行 对角线相等 对角线互相垂直 两组对边分别相等 一组对边平行且相等平行 一组邻边相等且有一个角是直角 正方形 四边形八两组对角分别相等乙 四边形 对角线相等且互相垂直 (人教独有) 对角线互相平分 对角线互相垂直 <菱形 对角线相等 一组邻边相等 有一个角是直角 四条边都相等 95 ⊙针对训练 4.新考法数形结合小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，(1)(2)(3) (4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是 () A.(1)处可填∠A=90° B.(2)处可填AD=AB C.(3)处可填DC=CB D.(4)处可填∠B=∠D A D 矩形 (1 (2) A B A D 平行 四边形 正方形 B D (3) 菱形>C (4) B 第4题图 变式题图 变式如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 A.当∠BAC=90时，平行四边形ABCD是菱形 B.当∠ABC=90时，平行四边形ABCD是矩形 C.当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形 D.当AC=BD且AC⊥BD时，平行四边形ABCD是正方形 5.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点F,E分别在线段AD及其延长线上，DE=DF,连接BF, CF,BE,CE. (1)若BC=EF,求证：四边形BECF是矩形： (2)已知AB=5,BC=6. ①当AC的长为多少时，四边形BECF是菱形？并加以证明； ②当AF的长为多少时，四边形BECF是正方形？ 温馨提示 请完成分层练习册P87~88习题 96OB=OD. 四边形BEDF是平行四边形.（证法不唯一） (3)解：AB⊥BF,.∠ABF=90°， .AF=√AB+BF产=√4+3=5. ·AC=8,.CF=AC-AF=8-5=3. ∴.AE=CF=3,∴.EF=AF-AE=5-3=2 1 AB L BF..S=)AB·BF了 2×4x3=6 2 2 12 EF=2.AF-5.Som=5Sw=5x6= 5 由(2)可知，四边形BEDF是平行四边形， 24 S2BEe=2S△r=5 第二节矩形 ①平行且相等②AD=BC③直角④90°⑤平分 ⑥中心⑦2⑧2⑨直角090°①三②相等 3AC=BD 1.(1)50:50:80(2)①10：5②28：48③12④ 24 2.A 3.解：(1)选①AE=DE(答案不唯一)，证明如下： .四边形ABCD是平行四边形，.∴AB∥CD, ∴.∠ABE=∠DFE, I∠ABE=∠DFE, 在△ABE和△DFE中」 ∠AEB=∠DEF, AE=DE. ∴.△ABE≌△DFE(AAS),∴.AB=DF 又ABDF,.四边形ABDF是平行四边形 ∠BDC=90°.∠BDF=90°，.四边形ABDF是矩形 (2).四边形ABDF是矩形，.AB=DF, 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,BC=AD=5,∴.AB=DF=CD=3, ∴.CF=DF+CD=6, 在Rt△BDC中，BC=5,CD=3,.BD=√BC-CD=4, 1 AB//CF.Sr BDX(AB+CF)=18. 4(1)①C'DE② 4 (2)①10②6③4④5 (3)01②-③2 (4)①=②25 第三节菱形 ①相等②相等③LBCD④垂直平分⑤平分⑥轴 ⑦中心⑧对角线的交点⑨20邻边①相等 2垂直BAC⊥BD④垂直平分 A21)602①5：20：24②：装3号 55 3.(1)证明：DE LBC,.∠DFB=90°. .∠ACB=90°，∴.∠ACB=∠DFB,∴.AC∥DE. ·MN∥AB,即CEAD, .四边形ADEC是平行四边形，.CE=AD (2)解：四边形BECD是菱形，理由如下： D为AB的中点，.AD=BD 由(I)得CE=AD,BD=CE. :BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形. DE⊥BC,.四边形BECD是菱形 4.(1)解：AD=BC. 理由：由题意可知，AB∥CD,AD/BC, .四边形ABCD为平行四边形，∴.AD=BC. (2)证明：如解图，由题意可知，AB∥CD,AD∥BC .四边形ABCD为平行四边形，.∠A=∠C 过点D作DE⊥AB于点E,DF LBC于点F, ∴.∠AED=∠CFD=90°， D DE=DF. .△ADE≌△CDF(AAS), .AD=CD, ·.四边形ABCD是菱形 【变式1】43【变式2】83 第四节正方形 ①平行②相等③直角④垂直平分 ⑤平分⑥轴 @中心⑧对角线的交点⑨4四4① ②相等 B直角④相等⑤AD(或BC)⑥直角⑦垂直⑧1 ⑨相等②①= 1.(1)∠ABC=90°（答案不唯一）；有一个角是直角（或 90)的菱形是正方形(2)AC⊥BD(答案不唯一)；对角 线互相垂直的矩形是正方形(3)AC=BD且AC⊥BD (答案不唯一)：对角线互相垂直且相等的平行四边形是 正方形 2.(1)90:45(2)67.5:22.5(3)①82：42②32：16 ③4v2 3.证明：(1)·0是AC的中点，.0A=OC, .AE∥BC,.∠AEO=∠CDO 「∠AOE=∠COD, 在△AOE和△COD中，∠AE0=∠CD0. 0A=0C. .△A0E≌△COD(AAS),.OE=OD, .四边形ADCE是平行四边形， AD⊥BC,.∠ADC=90°，四边形ADCE是矩形. (2)AB=AC=2,BC=2√2，AD⊥BC于点D, BD=CDDB90, :AD=VAB-BD=2,..AD=CD. :四边形ADCE是矩形，.四边形ADCE是正方形. 4【变式】16【变式25【变式3C 第五节梯形、特殊四边形之间的关系 (含中点四边形) 1.(1)10(2)9 21 ①菱形②矩形③正方形 2.D3.C4.D【变式】A 5.(1)证明：D是边BC的中点，.BD=CD. ·DE=DF,.四边形BECF是平行四边形 .·BC=EF,.四边形BECF是矩形 (2)解：①当AC=5时，四边形BECF是菱形，证明如下： .AB=AC=5,D是BC的中点，.AD⊥BC,.EF⊥BC. 由(1)知，四边形BECF是平行四边形， .四边形BECF是菱形： ②当四边形BECF是正方形时，BC=EF=6,BC⊥EF .D是BC的中点，∴.BD=CD=DE=DF=3, AD=VAB2-BD=√5-32=4， .∴.AF=AD-DF=4-3=1. 第六章圆 第一节圆的有关概念及性质 ①圆心②半径③圆心④BD⑤2⑥优弧⑦劣弧 ⑧直径⑨圆心 1.(1)①A ②证明：AB=CDAB=CD」 .AB+AC=CD+AC,BAC=ACD...BC=AD. (2)C 0平分①平分2垂直B平分④BM 2.(1)B(2)①4：3；2：8②32(3)553.B4.C ⑤一半G相等⑦LADC⑧2 1990 5.D【变式】B6.90:64:64:64:32 20互补2四180 7.65°【变式】2 8.解：如解图，连接OA,OB,∠ACB与∠ADB为弦AB所对 的圆周角，作OH⊥AB于点H, 则AM=BH=2AB=25. 在Rt△OAH中，OA=4,AH=2√2、 .0H=√0A-Af=22 .∴.AH=OH, △OAH为等腰直角三角形， .∠A0H=45°，.∠A0B=90°， ∠ACB= -∠A0B=45° 2 ∠ADB=180°-∠ACB=135°， 即弦AB所对的圆周角的度数为45°或135° 【变式1】30°或150°【变式2】120°或80° 9.解：若水面AB位于圆柱直径的下方，如解图1，连接OB, 过点0作OC⊥AB于点D,交⊙0于点C. B=24emBM=24B=12(am). 22 ⊙0的直径为26cm,∴0B=0C=13(cm). 在Rt△OBD中，OD=√OB-BD=5(cm), .CD=OC-OD=8(cm),即水的深度为8cm; o 0 C 解图1 解图2 若水面AB位于圆柱直径的上方，如解图2，连接OB,过 点0作0C⊥AB于点D,交⊙0于点C. AB=24mB0=B=12(m). :⊙0的直径为26cm,.0B=0C=13(cm). 在Rt△0BD中，0D=√OB2-BD=5(cm), .水的深度为13+5=18(cm). 综上所述，水的深度为8cm或18cm. 【变式】20或140 第二节与圆有关的位置关系 ①<②=③<④相切⑤=⑥> 1.(1)圆上；圆外；圆内：相交(2)相切：相离 ⑦垂直⑧垂直⑨半径⑩一个 2.A 3.证明：(1)如解图1，连接0C. :OA=0B,点C为AB的中点，OC⊥AB. 又.0C是⊙0的半径，.直线AB是⊙0的切线. (2)如解图2，过点0作0D⊥AB于点D. 0A=0B=18,4B=24A0=4B=12. .0D=0A2-AD2=5. ⊙0的直径为10，.⊙0的半径r为5， .OD=r,.AB是⊙O的切线， D 解图1 解图2 4.(1)12(2)60 ①垂直平分线②三个顶点B2角平分线 ⑤三条边西2 1 5(1)25(2)525 33 (3)1 6.证明：如解图，连接0D. :△ABC是等边三角形， ∴.∠C=∠A=60°.