第五章 第四节 正方形-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（广西专用）

OB=OD. 四边形BEDF是平行四边形.（证法不唯一） (3)解：AB⊥BF,.∠ABF=90°， .AF=√AB+BF产=√4+3=5. ·AC=8,.CF=AC-AF=8-5=3. ∴.AE=CF=3,∴.EF=AF-AE=5-3=2 1 AB L BF..S=)AB·BF了 2×4x3=6 2 2 12 EF=2.AF-5.Som=5Sw=5x6= 5 由(2)可知，四边形BEDF是平行四边形， 24 S2BEe=2S△r=5 第二节矩形 ①平行且相等②AD=BC③直角④90°⑤平分 ⑥中心⑦2⑧2⑨直角090°①三②相等 3AC=BD 1.(1)50:50:80(2)①10：5②28：48③12④ 24 2.A 3.解：(1)选①AE=DE(答案不唯一)，证明如下： .四边形ABCD是平行四边形，.∴AB∥CD, ∴.∠ABE=∠DFE, I∠ABE=∠DFE, 在△ABE和△DFE中」 ∠AEB=∠DEF, AE=DE. ∴.△ABE≌△DFE(AAS),∴.AB=DF 又ABDF,.四边形ABDF是平行四边形 ∠BDC=90°.∠BDF=90°，.四边形ABDF是矩形 (2).四边形ABDF是矩形，.AB=DF, 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,BC=AD=5,∴.AB=DF=CD=3, ∴.CF=DF+CD=6, 在Rt△BDC中，BC=5,CD=3,.BD=√BC-CD=4, 1 AB//CF.Sr BDX(AB+CF)=18. 4(1)①C'DE② 4 (2)①10②6③4④5 (3)01②-③2 (4)①=②25 第三节菱形 ①相等②相等③LBCD④垂直平分⑤平分⑥轴 ⑦中心⑧对角线的交点⑨20邻边①相等 2垂直BAC⊥BD④垂直平分 A21)602①5：20：24②：装3号 55 3.(1)证明：DE LBC,.∠DFB=90°. .∠ACB=90°，∴.∠ACB=∠DFB,∴.AC∥DE. ·MN∥AB,即CEAD, .四边形ADEC是平行四边形，.CE=AD (2)解：四边形BECD是菱形，理由如下： D为AB的中点，.AD=BD 由(I)得CE=AD,BD=CE. :BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形. DE⊥BC,.四边形BECD是菱形 4.(1)解：AD=BC. 理由：由题意可知，AB∥CD,AD/BC, .四边形ABCD为平行四边形，∴.AD=BC. (2)证明：如解图，由题意可知，AB∥CD,AD∥BC .四边形ABCD为平行四边形，.∠A=∠C 过点D作DE⊥AB于点E,DF LBC于点F, ∴.∠AED=∠CFD=90°， D DE=DF. .△ADE≌△CDF(AAS), .AD=CD, ·.四边形ABCD是菱形 【变式1】43【变式2】83 第四节正方形 ①平行②相等③直角④垂直平分 ⑤平分⑥轴 @中心⑧对角线的交点⑨4四4① ②相等 B直角④相等⑤AD(或BC)⑥直角⑦垂直⑧1 ⑨相等②①= 1.(1)∠ABC=90°（答案不唯一）；有一个角是直角（或 90)的菱形是正方形(2)AC⊥BD(答案不唯一)；对角 线互相垂直的矩形是正方形(3)AC=BD且AC⊥BD (答案不唯一)：对角线互相垂直且相等的平行四边形是 正方形 2.(1)90:45(2)67.5:22.5(3)①82：42②32：16 ③4v2 3.证明：(1)·0是AC的中点，.0A=OC, .AE∥BC,.∠AEO=∠CDO 「∠AOE=∠COD, 在△AOE和△COD中，∠AE0=∠CD0. 0A=0C. .△A0E≌△COD(AAS),.OE=OD, .四边形ADCE是平行四边形， AD⊥BC,.∠ADC=90°，四边形ADCE是矩形. (2)AB=AC=2,BC=2√2，AD⊥BC于点D, BD=CDDB90, :AD=VAB-BD=2,..AD=CD. :四边形ADCE是矩形，.四边形ADCE是正方形. 4【变式】16【变式25【变式3C 第五节梯形、特殊四边形之间的关系 (含中点四边形) 1.(1)10(2)9 21第四节」 正方形 (3年2考，2分或3分) 2版本导航人教：八下P58~P69:湘教：八下P72~P79:沪科：八下P92~P94. 考点正方形的性质与判定(2024.12,2023.18) 文字语言 符号语言 图形语言 对边① 四条边 AB∥CD,AD∥BC:AB=BC= 边 都② CD=AD ∠BAD=∠ABC=∠BCD= 角 四个角都是③ ∠ADC=909 AC=BD,AC⊥BD,OA=OB= 对角线相等且互相 OC=OD 性质 对角线 ④ 并且每条对角 对角线与四条边的夹角均 线⑤ 一组对角 为45°，如∠BDA=45 既是⑥ 对称图形，又是⑦ 对称图形， 对称性 对称中心是⑧ ,有⑨ 条对称轴 周长、 面积 C正方形cD=0 AB;SE方形AcD=AB2=① AC 有一组邻边② .·四边形ABCD是平行四边 且有一个角是③ 形，AB=AD,∠ABC=90° 的平行四边形是正方形 .四边形ABCD是正方形 用边 (定义) 四边形ABCD是矩形， 有一组邻边④ AB=⑤ 的矩形是正方形 .四边形ABCD是正方形 判定 四边形ABCD是菱形， 有一个角是⑥ 用角 ∠ABC=90°， 的菱形是正方形 .四边形ABCD是正方形 ·四边形ABCD是矩形，AC 对角线互相⑦ 8 的矩形是正方形 BD, 用对 ∴.四边形ABCD是正方形 角线 ·四边形ABCD是菱形，AC 对角线四 的菱 0 BD 形是正方形 四边形ABCD是正方形 【特别提醒】(1)正方形的两条对角线把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形：(2)正方形的 边长与对角线长的比为1：√2， 91 ⊙针对训练 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O. (1)若四边形ABCD是菱形，请添加一个条件 (写出 D 一个即可)，使四边形ABCD是正方形； 【判定依据】 (2)若四边形ABCD是矩形，请添加一个条件 (写出 B 一个即可)，使四边形ABCD是正方形； 【判定依据】 (3)若四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件 (写出一个即可)，使 四边形ABCD是正方形 【判定依据】 2.(人教八下P58例5改编)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AC上一点，CE= CB,连接BE. (1)∠B0C= °，∠ABD= 0； (2)∠CEB= °，∠ABE= (3)若AB=8,则： ①AC= ,A0= ②正方形ABCD的周长为 ,△COD的面积为 ③点E到BC的距离为 3.(2024广西24(1)题改编)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,O是AC的中点，连接D0并延长 至点E,连接AE,且AEBC,连接CE. (1)求证：四边形ADCE是矩形： (2)若AB=2,BC=2√2，求证：四边形ADCE是正方形 92 回归教材：直击中考正方形中的特殊面积问题 4.(人教八下P63实验与探究改编)如图，正方形ABCD的对角线交于点O,点O又是正方形 A,B,C,O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等无论正方形A,B,C,O绕点O怎样转动，两 个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的 第4题图 变式1题图 变式1将五个边长都为4cm的正方形按如图所示的方式摆放，点A,B,C,D分别是四个正方形 的中心，则图中四块阴影部分面积的和为 cm2. 变式2“如图1，点M,N,P,Q分别是边长为1的正方形ABCD各边的中点，求阴影部分的面积” 小王同学通过图2补图的方法，很快得到答案是 M 图1 图2 E 变式2题图 变式3题图 变式3(2024广西12题3分)如图，边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接 AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为 () A.1 B.2 C.5 D.10 国方法总结正方形中的特殊面积问题（以边长为1的正方形为例） 图示 区 两个正方形的边长相等，正方形 A,B,C,D分别是各边 A1BC0绕点0转动 的中点 结论 1 S影三4 S刷移5 十十一”十十 温馨提示 请完成分层练习册P84~86习题 93