第五章 第三节 菱形-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（广西专用）

OB=OD. 四边形BEDF是平行四边形.（证法不唯一） (3)解：AB⊥BF,.∠ABF=90°， .AF=√AB+BF产=√4+3=5. ·AC=8,.CF=AC-AF=8-5=3. ∴.AE=CF=3,∴.EF=AF-AE=5-3=2 1 AB L BF..S=)AB·BF了 2×4x3=6 2 2 12 EF=2.AF-5.Som=5Sw=5x6= 5 由(2)可知，四边形BEDF是平行四边形， 24 S2BEe=2S△r=5 第二节矩形 ①平行且相等②AD=BC③直角④90°⑤平分 ⑥中心⑦2⑧2⑨直角090°①三②相等 3AC=BD 1.(1)50:50:80(2)①10：5②28：48③12④ 24 2.A 3.解：(1)选①AE=DE(答案不唯一)，证明如下： .四边形ABCD是平行四边形，.∴AB∥CD, ∴.∠ABE=∠DFE, I∠ABE=∠DFE, 在△ABE和△DFE中」 ∠AEB=∠DEF, AE=DE. ∴.△ABE≌△DFE(AAS),∴.AB=DF 又ABDF,.四边形ABDF是平行四边形 ∠BDC=90°.∠BDF=90°，.四边形ABDF是矩形 (2).四边形ABDF是矩形，.AB=DF, 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,BC=AD=5,∴.AB=DF=CD=3, ∴.CF=DF+CD=6, 在Rt△BDC中，BC=5,CD=3,.BD=√BC-CD=4, 1 AB//CF.Sr BDX(AB+CF)=18. 4(1)①C'DE② 4 (2)①10②6③4④5 (3)01②-③2 (4)①=②25 第三节菱形 ①相等②相等③LBCD④垂直平分⑤平分⑥轴 ⑦中心⑧对角线的交点⑨20邻边①相等 2垂直BAC⊥BD④垂直平分 A21)602①5：20：24②：装3号 55 3.(1)证明：DE LBC,.∠DFB=90°. .∠ACB=90°，∴.∠ACB=∠DFB,∴.AC∥DE. ·MN∥AB,即CEAD, .四边形ADEC是平行四边形，.CE=AD (2)解：四边形BECD是菱形，理由如下： D为AB的中点，.AD=BD 由(I)得CE=AD,BD=CE. :BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形. DE⊥BC,.四边形BECD是菱形 4.(1)解：AD=BC. 理由：由题意可知，AB∥CD,AD/BC, .四边形ABCD为平行四边形，∴.AD=BC. (2)证明：如解图，由题意可知，AB∥CD,AD∥BC .四边形ABCD为平行四边形，.∠A=∠C 过点D作DE⊥AB于点E,DF LBC于点F, ∴.∠AED=∠CFD=90°， D DE=DF. .△ADE≌△CDF(AAS), .AD=CD, ·.四边形ABCD是菱形 【变式1】43【变式2】83 第四节正方形 ①平行②相等③直角④垂直平分 ⑤平分⑥轴 @中心⑧对角线的交点⑨4四4① ②相等 B直角④相等⑤AD(或BC)⑥直角⑦垂直⑧1 ⑨相等②①= 1.(1)∠ABC=90°（答案不唯一）；有一个角是直角（或 90)的菱形是正方形(2)AC⊥BD(答案不唯一)；对角 线互相垂直的矩形是正方形(3)AC=BD且AC⊥BD (答案不唯一)：对角线互相垂直且相等的平行四边形是 正方形 2.(1)90:45(2)67.5:22.5(3)①82：42②32：16 ③4v2 3.证明：(1)·0是AC的中点，.0A=OC, .AE∥BC,.∠AEO=∠CDO 「∠AOE=∠COD, 在△AOE和△COD中，∠AE0=∠CD0. 0A=0C. .△A0E≌△COD(AAS),.OE=OD, .四边形ADCE是平行四边形， AD⊥BC,.∠ADC=90°，四边形ADCE是矩形. (2)AB=AC=2,BC=2√2，AD⊥BC于点D, BD=CDDB90, :AD=VAB-BD=2,..AD=CD. :四边形ADCE是矩形，.四边形ADCE是正方形. 4【变式】16【变式25【变式3C 第五节梯形、特殊四边形之间的关系 (含中点四边形) 1.(1)10(2)9 21第三节菱形 (3年1考，2分) 9版本导航人教：八下P55~P58;湘教：八下P65~P71;沪科：八下P90~P92. 考点菱形的性质与判定(2024.17) 文字语言 符号语言 图形语言 对边平行，四条边都 AB∥CD,AD∥BC,AB=BC= 边 ① CD=AD ∠BAD=③ 角 对角② ∠ABC=∠ADC 对角线互相④ ,并 AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 性质对角线 且每条对角线⑤ AC平分∠BAD和∠BCD, 组对角 BD平分∠ABC和∠ADC 既是⑥ 对称图形，又是⑦ 对称图形，对称中 对称性 心是⑧ 有⑨ 条对称轴 周长、 面积 C菱形BCD=4HB;S菱形ABcD=底×高=。AC·BD 有一组⑩ 相等 四边形ABCD是平行四边形， 的平行四边形是菱形 AB=AD 用边 (定义) 四边形ABCD是菱形 四条边都① 的 .·AB=BC=CD=AD, 四边形是菱形 四边形ABCD是菱形 判定 四边形ABCD是平行四边形， 对角线互相② B 用对 的平行四边形是菱形 四边形ABCD是菱形 角线 对角线互相④ ·.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD, 的四边形是菱形 四边形ABCD是菱形 【特别提醒】(1)菱形的两条对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形：(2)若菱形有一个内角 为60°，则连接两个120°内角顶，点的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形. 【知识拓展】对角线互相垂直的任意四边形的面积均等于两条对角线乘积的 一半.如图，在四边形ABCD中，若AC⊥BD于点O,则Sm边看Bn=S△Mc+S△ADC= 240.B0+24C.D0=4C.(B0+D0)=74C·B0 88 ⊙针对训练 1.（2025广西模拟)红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征.乐乐家也有 一幅这样的“中国结”挂饰.他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图所示的菱 形ABCD,测得BD=12Cm,∠DAB=60°，直线EF过点O且与AB垂直，分别与AB,CD交于点E, F,则EF的长为 () A.6.3 cm B.4√3cm C.10 cm D.4√2cm 2.（人教八下P57T1改编)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. (1)若∠ABC=60°，则∠CAD= (2)若AC=6,BD=8,则： ①AB= 菱形ABCD的周长为 ,面积为 ②点O到AB所在直线的距离为 ,点A到BC所在直线的距离为 ③若E是AB的中点，则OE= 3.(2021北部湾23题改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MW∥AB,D为AB边上 一点，过点D作DE⊥BC,交直线MN,BC分别于点E,F,连接CD,BE. (1)求证：CE=AD: (2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由. 89 回归教材：直击中考纸条的重叠问题 4.（沪科八下P98T11改编)剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个 四边形ABCD. (1)如图1，线段AD和BC的长度有什么关系？请说明理由； (2)如图2，若这两张纸条等宽，求证：四边形ABCD是菱形 D 图1 图2 变式1如图，两张宽度为1：2的纸条叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，重合部分构成的平行四 边形ABCD的周长为12cm,则该平行四边形ABCD的面积为 cm. X609 609 D B 变式1题图 变式2题图 变式2(2024广西17题2分)如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角 为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm. 园方法总结纸条的重叠问题 图形 不等宽的两个矩形纸条重叠（不垂直），重叠部 等宽的两个矩形纸条重叠（不垂 结论 分一定是平行四边形，一定不是菱形 直)，重叠部分一定是菱形 十十十+十十十…+十+十十十十+十十十十+十+十十十…+十+十十十十十…十+十十十十+ 温馨提示 请完成分层练习册P81~83习题 90