第四章 第六节 锐角三角函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第六节锐角三角函数及其应用 (必考，常在解答题中涉及) 9版本导航人教：九下P60~P85;湘教：九上P108~P139;沪科：七上P45~P48,九上P111~P139. 考点①锐角三角函数及解直角三角形(2025.6,2024.1724、26,2023.17) 1.锐角三角函数相关概念 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. ∠A的正弦：sinA=∠A的对边_a 斜边 ∠A的余弦：c0s4=LA的邻边-① 斜边 ∠A的正切：tanA= ∠A的对边-② ∠A的邻边 【知识拓展]三角高致之间的关系：m-=a(WP-∠A):an4m1m1=1 2.特殊角的三角函数值 锐角α 30° 45° 60° 锐角三角函数 1 sina 2 2 ③ √ /45° 2 60° 3 √2 cosa ④ 2 2 B30° dC B1450 C tano ⑤ 3 3. 解直角三角形 三边关系 ⑥ (勾股定理) 三角关系 ∠A+∠B=∠C=⑦ 边角关系 sn1=coB=名；0os4=sinB=8 itanA=a tanB=⑨ 知二推三：在Rt△ABC中，除∠C外的五个元素∠A,∠B,a,b,c,知道其中的两个元素（至少有 一个是边)，即可根据三边关系、三角关系或边角关系公式求解出其他三个未知元素 ⊙针对训练 1.(人教九下P63例1改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=√2，AC=√6，则 (1)tanB= ,∠B= ,∠A=°； (2)AB= (3)sin4= ,C0s4= sin2A+cos2A= 78 (4)sinB·cosB tanB sinA (5)过点C作CD1AB于点D.下列关于线段CD的表示：①BC·simB:②AC·sin4:3AC·BC AB ④AC·cos∠ACD:⑤BD·sin∠BCD.其中不正确的是 (填序号) 考点2锐角三角函数的实际应用(2023.17) 1方向角，仰角、俯角，坡度（坡比）、坡角 方向角 仰角、俯角 坡度（坡比）、坡角 北 ，视线 图形 C八4530gA 铅 铅直 坡面 鱼水平线 高度 h 垂 语言 线 俯角 c 60B O →东 视线 水平宽度 一般指以观测者的位置为中心，将正北 或正南方向作为起始方向，旋转到目标 如图，在视线与水平 如图，坡面的铅直高 的方向所成的角（一般指锐角），通常表 线所成的锐角中，视 度h与水平宽度1的 文字达成北（南）偏东（西）几度.如图： 线在水平线B 比叫作坡度（坡比）， 语言点A位于点0的⑩ 方向； 的角叫作仰角，视线 用字母i表示：坡面与 点B位于点O的① 方向； 在水平线④ 水平面的夹角α叫作 点C位于点0的② 方向，也称 的角叫作俯角 坡角，i=tana=⑤ 为西北方向 2. 常见模型及辅助线作法 模型 常见辅助线作法 解题策略 母子型 B B D 构造直角三角形，通 过建立已知线段和未 背靠背型 知线段之间的等量关 系求解（通常涉及线 段的和、差、比值) 拥抱型 B D 【特别提醒】在锐角三角函数的实际应用中，计算结果要求精确到哪一位，即将结果四舍五入到哪 一位，如3.1465保留整数是6 ,精确到0.1（或精确到十分位）为⑦ ,精确到0.01 (或精确到百分位)为⑧ 79 ⊙针对训练 2.(2023广西17题2分)如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱， 则共需钢材约 m(结果取整数).（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 4m i=1:1.5 i=1:3 3 m 137 D B 第2题图 第3题图 3.[背靠背型]（人教九下P77T2改编）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,AD=4m,AF=DE=6m, 斜面坡度i=1:1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1:3是指DE与CE 的比，则BC的长为 m. 4.[母子型](2025广西模拟)如图，灯塔C在海岛A的北偏东75方向，某天上午8点，一艘船从海 岛A出发，以16海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的 北偏东60°方向. (1)求B处到灯塔C的距离； 北 北 B (2)已知在以灯塔C为中心，周围18海里的范围内均有暗礁，若该船 继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由. 5.项目式学习[拥抱型]某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼CD与AB 的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案： 方案设计：如图，无人机悬停在AB,CD两楼之间上方的点O处，此时测出到楼AB顶部点A处的 俯角为60°，测出到楼CD顶部点C处的俯角为53°.（点A,B,C,D,O在同一平面内） 测量结果：AE⊥E0,OA=40m,BD=30m. E 60y753 参考数据：3≈1.73，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33. 问题解决：求两栋楼CD与AB的高度之差.（结果精确到1m) 温馨提示 请完成分层练习册P69~72习题 80∴.∠DPC=∠PAB,∴.△ABP∽△PCD. 9.135°【解析】由旋转可得CD=BC=2,∠ECD=∠ACB= 45°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=2√2.由旋转得 CE=AC=22.·∠ECD=∠ACB,.∠ACB+∠ACD= ∠ECD+∠ACD,LBCD=LACE.又BC-CD1 AC CE .△BCD∽△ACE,∴.∠CBD=∠CAE,..∠AFB=∠ACB= 45°，.∠BFE=180°-45°=135°. 5位似中心⑥相似比①(kx,y)或(-kx,-y) 10.D11.D 第六节锐角三角函数及其应用 ⑤√/3⑥a2+b2=c2⑦90° c 2 c 1()5:60:302223)；:114Z9 4 (5)⑤ 0北偏东30°①南偏东60°②北偏西45°B3上方 下方⑥ ,03⑦3.183.15 2.213.31 4.解：(1)根据题意得∠CBE=30°，∠BAC=15°， AB=16×2=32(海里). .∠C=15°，.∠C=∠BAC,.BC=AB=32海里 答：B处到灯塔C的距离为32海里 (2)有触礁的危险，理由如下： 过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. C=32海里，上GB0=30CD=7C=16(海里). 16<18,∴.若该船继续由西向东航行，会有触礁的危险。 E 60°y753 北 北 西 Bi DE东 B D 第4题解图 第5题解图 5.解：如解图，过点C作CH⊥E0于点H,.EH=BD=30m 在Rt△0EA中，∠AE0=90°，∠A0E=60°，0A=40m, ∴.EA=0A·sin60°≈34.6(m),0E=0A·c0s60°=20(m). 在Rt△0HC中，∠C0H=53°，OH=EH-0E=10(m), .CH=0H.tan53°≈10×1.33=13.3(m), .EA-CH≈21(m). 答：两栋楼CD与AB的高度之差约为21m. 第五章四边形 第一节多边形与平行四边形 ①(n-2)·180°②360°③(n-3)④(m-3） 2 20 ⑤n-2)·180° 6360 ，⑦偶⑧奇⑨同心 几 1.(1)①900°：360°：14②5：3：2③6(2)①9②140°： 40°③是：不是④6 ⑩平行且相等①相等②互补B∠BCD④180° 5∠ADC6平分⑦中心⑧对角线的交点9平行 ②①AD∥BC①相等②AD=BC②平行且相等 ②④AB=CD5互相平分②6OB=OD 2.B 3()10(2)60:120(3)01w5,2②3537,7 (4)1(5)2 4.3 5.解法一：证明：.DF∥BE, .∠DFE=∠BEF,∴.∠AFD=∠CEB. 又AF=CE,DF=BE,.△AFD≌△CEB(SAS), .∴.AD=BC,∠DAF=∠BCE, .ADBC,四边形ABCD是平行四边形. 解法二：证明：DF∥BE,.∠DFE=∠BEF 又：AF=CE,AF+EF=CE+EF,AE=CF. 又DF=BE,△ABE≌△CDF(SAS), ∴AB=CD 又.·∠DFE=∠BEF,∴.∠AFD=∠CEB. AF=CE.DF=BE. .△AFD≌△CEB(SAS).AD=BC, .四边形ABCD是平行四边形. 解法三：证明：DF∥BE,∠DFE=∠BEF :AF=CE,∴.AF+EF=CE+EF,∴.AE=CF. 又.DF=BE,∴.△ABE≌△CDF(SAS), ..∠BAE=∠DCF,.AB∥CD. 又.·∠DFE=∠BEF,.∠AFD=∠CEB 又.AF=CE,DF=BE, .△AFD≌△CEB(SAS),、∠DAF=∠BCE, .AD//BC. .四边形ABCD是平行四边形 解法四：证明：DF∥BE,∠DFO=LBEO. .·DF=BE,∠DOF=∠BOE. .∴.△DFO≌△BEO(AAS),.OF=OE,OD=OB 又AF=CE,.AF+OF=CE+OE,即OA=OC, :.四边形ABCD是平行四边形 6.(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD,AB∥CD,.∠BAE=∠DCF AB=CD. 在△ABE和△CDF中. ∠BAE=∠DCF AE=CF」 ∴.△ABE≌△CDF(SAS). (2)证明：连接DB,交AC于点O. .·四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=0C,0B=0D. .AE=CF,∴.OE=OF.