第四章 第五节 相似三角形（含位似）-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第五节相似三角形（含位似） (必考，常在解答题中涉及) 9版本导航人教：九下P24~P59:湘教：九上P62~P107:沪科：九上P62~P110. 考点①比例线段及性质（含黄金分割） 1.成比例线段 对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如 名一子（即ad=c),我们就说这四条线段成比例 2.比例的性质 (1)若=S,则ad=bc: 基本性质 (2)若ad=bc(a,b,c,d都不为0)，则4= 若3=5y,则5=② ① 若“ (b+d+…+n≠0)，则 n 等比性质 ,则at=③ a+c+…+m_a 分台 b+d b+d+...+n b 合比性质 若则- 61,6=d(6M*0) ”-2 则m+n ④ n 7 3.黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,且ACBC,那么就说线段AB被点C黄金分制，点 TAB AC C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比，即AC-5 ≈0.618. AB 2 C B 4.平行线分线段成比例 文字语言 符号语言 图形语言 L.L 两条直线被一组平行 基本 如图4化化测设 线所截，所得的对应 事实 线段成比例 AB_DEBC=⑤ AC DF'AC 平行于三角形一边的 直线截其他两边（或 推论 如图，DEBC,则AD_AEAD DB EC'AB 两边的延长线)，所得 ⑥ 的对应线段成比例 73 ⊙针对训练 1.(2021百色)如图，△ABC中，AB=AC,∠B=72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D,则点D是线段 AB的黄金分割点.若AC=2,则BD= B E D 第1题图 第2题图 变式题图 2.(人教九下P29探究改编)如图，AB//CD//EF,直线L,L2与这三条平行线分别交于点A,C,E和点 B,D,F.已知AC=3,CE=6,BF=6,则BD的长为 变式下面是小明画线段AB的三等分点的步骤（如图）：①以A为端点画一条射线；②用圆规在射 线上依次截取3条等长线段AC,CD,DE,连接BE:③过点C,D分别作BE的平行线，交线段AB于 点M,NM,N就是线段AB的三等分点. 这个过程体现的数学依据是 A.两直线平行，同位角相等 B.两条平行线之间的距离处处相等 C.垂直于同一条直线的两条直线平行 D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 考点2相似三角形的性质与判定(2025.22、23,2024.12,26) (1)相似三角形的对应角⑦ 对应边⑧ 性质(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于⑨ (3)相似三角形的周长比等于⑩ 面积比等于① 文字语言 符号语言 图形语言 平行于三角形一边的直 线和其他两边相交，所构 DE//BC, 成的三角形与原三角形 .△ADE∽△ABC A.X 相似 三边对应② 的 .AB-BC AC AB'B'CA'C 判定 两个三角形相似 ∴.△ABC∽△A'B'C 两边对应成比例且 AB BC B 相等的两个 A'BBC,∠B=LB', 三角形相似 △ABC∽△A'B'C 两角对应④ 的 .∠A=∠A',∠B=∠B', 两个三角形相似 △ABC∽△A'B'C' 【特别提醒】相似三角形的分类讨论：①当对应顶，点不确定时，需要分类讨论：②当两个相似三角 形没有用“∽”连接时，需分类讨论. 74 【技巧点拨】相似三角形的判定思路： (1)有平行藏线→用平行线的性质找等角：(2)有一对等角我另一对等角， (该角的两边对应成比例； (3)有两边成比例找夹角相等， 第三边也对应成比例； 「斜边和一条直角边对应成比例， (4)有两个直角三角形找 一对锐角相等， 两组直角边对应成比例. 模型与相似三角形有关的模型 3.[A字型]（人教九下P31T2改编）如图， 模型1A字型 △ABC中，点D为AB上一点，DEBC交AC D E (1)正A字型 于点E.若AD=3,AE=2,BD=6,则△ADE 若DE∥BC,则△ADEM AE AE △ABC. EC AC ,AC= S△ADE SAABC ,△ADE与△ABC的周长比为 B 4.[A字型]如图，AF,AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF= (2)斜A字型 ∠DAG.求证：△ABC∽△ADE. 若∠1=∠2，则△ADE∽ △ABC. G C(D) 【解题策略】 (1)隐藏条件：公共角相等； (2)找平行线或另一组等角 或公共角的两边对应成比例 【模型拓展】射影定理 5.[A字型]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC的中点， 若∠1=∠2=90°，则△ABC 连接AD,点E在AD上，连接CE,BE,且∠EBD=∠BAD.若 △ACE∽△CBE. ∠ABC=∠DCE.求证：BC·CE=2BE·DE. B 更多结论： ①CE=AE·BE; ②BC2=BE·BA; ③AC2=AE·AB: ④AC·BC=AB·CE 75 6.[8字型](2024广西24题改编)如图，延长 D 模型28字型 平行四边形ABCD一边BC至点F,连接AF 若∠1=∠2，则△ADE∽ 交0D于点R若竖号C=3.则cF的长 △ABC B C (1)正8字型(X型) 为 7.[8字型]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，射线CD交AB于点D, E是射线CD上一点，且∠AEC=∠ABC,连接BE. (1)求证：△ACD△EBD: B4 (2)反8字型（蝶型） (2)若CD平分∠ACB,求证：AE2=DE·CE. D B 【解题策略】 (1)隐藏条件：对顶角相等； (2)找平行线或另一组等角 或对顶角的两边对应成比 例；(3)当题目中未标明相 似三角形对应顶，点时，需要 分类讨论 8.[一线三等角模型]如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC ©[链接】一线三等角模型、 上的一点，D为AC上的一点，连接AP,PD,∠APD=60°求证： 旋转（手拉手）模型、对角互 △ABP∽△PCD. 补模型等更多与相似三角 形有关的模型见二轮A·培 优册P8~14,18~21. 60 D 9.[旋转（手拉手）模型]（人教九上P63T10改编）如图，在Rt△ABC 中，AB=BC=2,∠ABC=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转后得到 △EDC,连接AE,BD相交于点F,则∠BFE的度数为 76 考点③位似 图形 B 如果一个图形上的点A,B,…,P,…和另一个图形上的点A',B',…,P',…分别对 应，并且它们的连线'，BB,…,PP,…都经过同一点O,且A-0B= OP 定义 且0A0B …,那么这两个图形叫作位似图形，点O是⑤ (1)位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质： (2)对应点的连线所在直线都经过同一点； (3)对应边互相平行或在同一条直线上； (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于⑥ 性质 (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形， 使它与原图形的相似比为飞，那么原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐 标为⑦ (注意：有两种情况) 【特别提醒】位似必相似，相似不一定位似 （1)确定位似中心； 作图步骤 (2)确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； (3)顺次连接各点画出新图形 ⊙针对训练 10.(202梧州)如图，以点0为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'BC'D,已知1= 013,若四 边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是 A.4 B.6 C.16 D.18 A(-3,6)ty B B(-9,-3) 第10题图 第11题图 11.(人教九下P50T2改编)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,6),B(-9,-3),以原点0为 位似中心，相似比为了，把△AB0缩小，则点A的对应点A的坐标是 A.（-1,2) B.(-9,18)》 C.（-9,18)或(9，-18) D.(-1,2)或(1，-2) 温馨提示 请完成分层练习册P66~68习题 77第四章三角形 第一节线段、角、相交线与平行线 ①两②线段③Bc④Bc⑤4B6 ⑦- ⑧垂线段⑨垂线段的长度 1.A【变式1】两点之间，线段最短 【变式2】两点确定一条直线 2.2或4 090°①90°<a<180°②180°B360°414524 690°⑦相等⑧180°9相等@相等@PW ②2相等 3.C 4.(1)锐角(2)4.6：94.6(3)42.7：85.4(4)2 (5)①②③④ 3∠2或∠4②④∠1或∠35180°函∠3⑦∠4 ②四相等29∠5团∠6①∠7②∠83∠8M∠5 5∠50∠8团相等8垂直平分线翅10= ①=2一3∥④相等④5L20相等⑦L3 级互补49180°⑦距离①相等2+3- 5.D 6.(1)∠2；∠5(2)∠5：∠7(3)A(4)①② (5)①70°；110°②55°③24°：66° 7.C 第二节三角形及其基本性质 ①等腰②等边③直角④90°⑤>⑥<⑦180 ⑧B⑨大于0：①大角卫hB=: 1.B2.6(答案不唯一)3.(1)30°(2)直角三角形 590°6内部⑦直角⑧内部9外部②@内部 @)②2相等西中点2F①号 2 2 4.B5.(1)①4②8(2)①12°②5：3③3 6.(1)高：6(2)角平分线①65°②15③110° (3)中线①12②22 第三节特殊三角形 ①相等②相等③相互重合④1⑤相等⑥相等 ⑦60°⑧轴⑨3060°m5n 1（165:（2)032号(3)等边三角形，3,255 5 4 2.√3-1 @互余B90”8-半雪}国-半@ ⑧a2+b2=c2990°②0互余④a2+b=c2②相等 3相等②445°51 3.(1)①6②50(2)①60②5√2：254.C5.A 6.35°【变式1】38°或26°【变式2】80°或20° 【变式3】80°或40° 7.16cm或14cm8.A9.90°或40° 180-e@180°-a8180°-2a四2a+h26+a 2 2 第四节全等三角形 ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等⑥相等 ⑦三边⑧夹角⑨夹边①对边 1.(1)①：SSS(答案不唯一) (2)证明：△ABC≌△DEF,∠A=∠EDF,ABDE 2.略.3.略.4.8 5.C【解析】设AC与BD相交于点O.∠EAD=∠BAC, ∴.∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD,∴.∠BAE=∠CAD.在 LAB=AC. △BAE和△CAD中， ∠BAE=∠CAD,.△BAE≌△CAD AE=AD. (SAS),∴.∠ABE=∠ACD..·∠BOC是△ABO和△CDO 的外角，.∠BOC=∠ABE+∠BAC=∠ACD+∠BDC. .:∠BDC=56°，..∠BAC=∠BDC=56°..AB=AC. ∠ABC=∠ACB=2(180°-∠BAC)=62 第五节相似三角形（含位似） 0号@号号6 1.3-52.2【变式】D ⑦相等⑧成比例⑨相似比①相似比①相似比的平方 ②成比例B夹角④相等 11 11 3.△ABC:2:3;6:93 4.证明：：AF,AG分别是△ABC和△ADE的高， ∴.AF⊥BC,AG⊥DE,∴.∠AFB=90°，∠AGD=90°， ∴.∠BAF+∠B=90°，∠DAG+∠ADG=90° ∠BAF=∠DAG,.∠B=∠ADG .∠EAD=∠BAC,.∴.△ABC∽△ADE. 5.证明：∠EBD=∠BAD,∠EDB=∠BDA, ∴.△EDB∽△BDA,∴.∠DEB=∠DBA. :∠ABC=∠DCE,∴.∠DCE=∠BED. ·∠EBC=∠EBD,.△BED∽△BCE BD DE BE-CEBD·CE=BE·DE :D为BC中点B0=C 1 2BC,CE=BE·DEBC·CE=2BE·DE. 6.9 7.证明：(1)，：∠AEC=∠ABC,∠ADE=∠BDC, ·△ADE∽△CDB,CDDB AD DE 又·∠ADC=∠EDB,.△ACD∽△EBD. (2).·△ADE∽△CDB,·.∠DCB=∠EAB. .CD平分∠ACB,.∠ACD=∠BCD,∴.∠ACD=∠EAB .∠AED=∠CEA,∴.△AED∽△CEA, AE CE 六DE-AEAE=DE·CE 8.证明：在等边三角形ABC中，∠B=∠C=60°. ,∠APD=60°，∠APC=∠PAB+∠B=∠APD+∠DPC 19 ∴.∠DPC=∠PAB,∴.△ABP∽△PCD. 9.135°【解析】由旋转可得CD=BC=2,∠ECD=∠ACB= 45°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=2√2.由旋转得 CE=AC=22.·∠ECD=∠ACB,.∠ACB+∠ACD= ∠ECD+∠ACD,LBCD=LACE.又BC-CD1 AC CE .△BCD∽△ACE,∴.∠CBD=∠CAE,..∠AFB=∠ACB= 45°，.∠BFE=180°-45°=135°. 5位似中心⑥相似比①(kx,y)或(-kx,-y) 10.D11.D 第六节锐角三角函数及其应用 ⑤√/3⑥a2+b2=c2⑦90° c 2 c 1()5:60:302223)；:114Z9 4 (5)⑤ 0北偏东30°①南偏东60°②北偏西45°B3上方 下方⑥ ,03⑦3.183.15 2.213.31 4.解：(1)根据题意得∠CBE=30°，∠BAC=15°， AB=16×2=32(海里). .∠C=15°，.∠C=∠BAC,.BC=AB=32海里 答：B处到灯塔C的距离为32海里 (2)有触礁的危险，理由如下： 过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. C=32海里，上GB0=30CD=7C=16(海里). 16<18,∴.若该船继续由西向东航行，会有触礁的危险。 E 60°y753 北 北 西 Bi DE东 B D 第4题解图 第5题解图 5.解：如解图，过点C作CH⊥E0于点H,.EH=BD=30m 在Rt△0EA中，∠AE0=90°，∠A0E=60°，0A=40m, ∴.EA=0A·sin60°≈34.6(m),0E=0A·c0s60°=20(m). 在Rt△0HC中，∠C0H=53°，OH=EH-0E=10(m), .CH=0H.tan53°≈10×1.33=13.3(m), .EA-CH≈21(m). 答：两栋楼CD与AB的高度之差约为21m. 第五章四边形 第一节多边形与平行四边形 ①(n-2)·180°②360°③(n-3)④(m-3） 2 20 ⑤n-2)·180° 6360 ，⑦偶⑧奇⑨同心 几 1.(1)①900°：360°：14②5：3：2③6(2)①9②140°： 40°③是：不是④6 ⑩平行且相等①相等②互补B∠BCD④180° 5∠ADC6平分⑦中心⑧对角线的交点9平行 ②①AD∥BC①相等②AD=BC②平行且相等 ②④AB=CD5互相平分②6OB=OD 2.B 3()10(2)60:120(3)01w5,2②3537,7 (4)1(5)2 4.3 5.解法一：证明：.DF∥BE, .∠DFE=∠BEF,∴.∠AFD=∠CEB. 又AF=CE,DF=BE,.△AFD≌△CEB(SAS), .∴.AD=BC,∠DAF=∠BCE, .ADBC,四边形ABCD是平行四边形. 解法二：证明：DF∥BE,.∠DFE=∠BEF 又：AF=CE,AF+EF=CE+EF,AE=CF. 又DF=BE,△ABE≌△CDF(SAS), ∴AB=CD 又.·∠DFE=∠BEF,∴.∠AFD=∠CEB. AF=CE.DF=BE. .△AFD≌△CEB(SAS).AD=BC, .四边形ABCD是平行四边形. 解法三：证明：DF∥BE,∠DFE=∠BEF :AF=CE,∴.AF+EF=CE+EF,∴.AE=CF. 又.DF=BE,∴.△ABE≌△CDF(SAS), ..∠BAE=∠DCF,.AB∥CD. 又.·∠DFE=∠BEF,.∠AFD=∠CEB 又.AF=CE,DF=BE, .△AFD≌△CEB(SAS),、∠DAF=∠BCE, .AD//BC. .四边形ABCD是平行四边形 解法四：证明：DF∥BE,∠DFO=LBEO. .·DF=BE,∠DOF=∠BOE. .∴.△DFO≌△BEO(AAS),.OF=OE,OD=OB 又AF=CE,.AF+OF=CE+OE,即OA=OC, :.四边形ABCD是平行四边形 6.(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD,AB∥CD,.∠BAE=∠DCF AB=CD. 在△ABE和△CDF中. ∠BAE=∠DCF AE=CF」 ∴.△ABE≌△CDF(SAS). (2)证明：连接DB,交AC于点O. .·四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=0C,0B=0D. .AE=CF,∴.OE=OF.