专题04 轴对称及其性质、线段的垂直平分线 期中复习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题04轴对称及其性质、线段的垂直平分线期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解轴对称图形与两个图形成轴对称的定义，厘清二者的区别与联系。 2.掌握轴对称的性质，明确对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线。 3.掌握线段垂直平分线的定义、性质定理与判定定理，规范几何证明的书写格式。 4.能够运用线段垂直平分线的性质完成线段等量转化，进行线段求值与推理论证。 ✵高频题型梳理 题型1.轴对称图形的识别 题型2.成轴对称的两个图形的识别 题型3.利用轴对称的特征进行计算 题型4.线段垂直平分线的性质应用 题型5.线段垂直平分线的判定应用 题型6.尺规作图--作线段的垂直平分线、画对称轴 题型7.轴对称最短路径问题 题型8.折叠问题 题型9.命题、逆命题与互逆定理 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、 轴对称相关概念 1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线对称。 提示：（1）轴对称图形是一个具有对称关系的图形；（2）对称轴是一条直线，不是射线、线段； ◆轴对称图形的三个条件：（1）一个图形；（2）至少存在一条对称轴（直线）；（3）对称轴两旁的部分能够互相重合（重合就是全等）； 2.常见的轴对称图形和它们的对称轴 3.两个图形成轴对称的定义： 把两个平面图形沿一条直线折叠，如果折叠后两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线对称。 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. ✔关键区别： （1）轴对称图形：一个图形自身对称；（2）成轴对称：两个图形相互对称。 ◆两个图形成轴对称的三个条件：（1）两个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）折叠重合 4.轴对称图形和轴对称的区别与联系： 知识点二、 轴对称的性质 1.关于某直线对称的两个图形是全等形，对应线段相等，对应角相等。 2.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 4.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 5.轴对称变换只改变图形位置，不改变图形形状、大小。 知识点三、轴对称作图 作图原理：对称轴垂直平分对应点所连线段。 通用步骤：找到图形关键点 → 作出关键点的对称点 → 顺次连接对称点。 考试要求：必须保留作图痕迹，禁止无痕迹作图。 知识点四、线段垂直平分线 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 核心要点：必须同时满足平分线段、垂直于线段两个条件；垂直平分线是直线，不是线段或射线。 2.线段垂直平分线的性质定理 定理内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵AC=BC,直线L⊥AB，垂足为C，点P在直线L上∴PA=PB。 作用：可直接判定线段相等，简化几何证明步骤。 3.线段垂直平分线的判定定理 定理内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB，∴点 P 在线段AB的垂直平分线上。 核心要点：单点只能判定点在直线上，两个不同的点才能确定线段的垂直平分线。 外心（拓展）： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心（外接圆圆心）。 知识点五、线段垂直平分线性质与判定的互逆关系 性质定理：由点在垂直平分线上，推出线段相等（位置关系推数量关系）。 判定定理：由线段相等，推出点在垂直平分线上（数量关系推位置关系）。 二者互为逆命题，均为真命题。 知识点六、尺规作图、作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段 AB 的垂直平分线 作图步骤：（1）分别以点 A、点B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；（2）作直线CD，该直线即为线段AB的垂直平分线。 注意：作图必须保留圆弧痕迹，禁止无痕迹作图。 知识点七、画图形的对称轴 1.找：找出任意一组对应点；2.连：连接这组对应点；3.作：作对应点所连线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是所求的对称轴。 ✵易错提醒 1. 对称轴是直线，不是线段或射线。 2. 注意区分 “轴对称图形” 与 “两个图形成轴对称”，二者研究对象不同。 3. 由PA=PB仅能判定点P在线段AB的垂直平分线上，不能直接判定经过该点的直线就是垂直平分线。 4.作图时，画弧半径必须大于AB，否则两弧无法相交。 5.成轴对称的两个图形一定全等，全等的图形不一定成轴对称。 ✵典例精讲 题型1.轴对称图形的识别 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 2．将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 _____．（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟记轴对称图形的定义是解题的关键． 依据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：①③④都可以沿一条竖直线翻折，使左右重合，所以都可以看出轴对称变换， 而②不是轴对称变换， 故答案为：②． 3．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 题型2.成轴对称的两个图形的识别 1．如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 【答案】轴对称变换 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等变换，解题关键是能够识别全等三角形理解全等变换的概念； 由全等三角形的性质及全等变换的意义直接解答即可． 【详解】解：∵， 有图可知：，， ， ∴这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换， 故答案为：轴对称变换． 2．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 【答案】 （1）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 在△ABD和△ACD′中， ∵ ， ∴ △ABD≌△ACD′（SSS）. （2） 【详解】（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可； （2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可． （）略； （）解：∵≌， ∴， ∴， ∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 即． 点睛：本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键. 题型3.利用轴对称的特征进行计算 1．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（     ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 【答案】B 【分析】利用轴对称性质，得出线段相等关系，进而通过线段的和差计算出的长度． 【详解】解：∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ 2．如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 【答案】/115度 【分析】先由轴对称性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由轴对称性质得， ∵， ∴． 3．如图，与关于直线成轴对称．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】首先，根据轴对称的性质得到，，再由，，三角形的内角和为即可得出的度数． 【详解】解：∵与关于直线成轴对称，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型4.线段垂直平分线的性质应用 1．如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若， ，则下列说法不一定正确的是（     ） A．且 B． C． D．与的周长相等 【答案】C 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴直线垂直平分， ∴且，则选项A正确，不符合题意； ∵与关于直线对称，， ∴， ∵， ∴，则选项B正确，不符合题意； 由轴对称的性质可知，，，无法证明，则选项C不一定正确，符合题意； ∵与关于直线对称， ∴的三边与的三边分别相等， ∴与的周长相等，则选项D正确，不符合题意． 2．如图，垂直平分，垂足为，交于点，连接，的垂直平分线交于点，，则的周长为______． 【答案】9 【分析】由垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，即可得，，再用线段相等进行转化即可求解的周长． 【详解】解：∵点在的垂直平分线上， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴的周长为： 的周长为 ． 3．如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点．过点作于，于，其中在边上，在的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分，于，于， ∴，， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（）由角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，再证明即可求证； （）证明，得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型5.线段垂直平分线的判定应用 1．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 2．如图，在中，，，垂足为，若，，求的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内外角关系，解题的关键是正确地作出辅助线将所求线段转换到已知的线段长所在的三角形中进行等量代换求解．在上取一点，使，可知垂直平分， 得到，， 结合已知以及外角的性质，等量代换易得， 根据等角对等边得到的长， 进而根据可求得的长． 【详解】解：如图所示，在上取一点，使， ， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为： ． 3．如图，点在上，点在上，与交于点，，． (1)求证：； (2)求证：过点的直线垂直平分线段． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴点都在的垂直平分线上， ∴过点的直线垂直平分线段． 【分析】（）证明即可求证； （）证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定即可求证． 【详解】（1）略 （2） 略 题型6.尺规作图--作线段的垂直平分线、画对称轴 1．如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，； ②作直线，与边交于点； ③连接．，，则的周长是（     ） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】由题意可知垂直平分，依据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得，再由即可求解． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ， ，， ． 2．下列图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（    ） A．菱形 B．正三角形 C．正方形 D．正五边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质以及以及菱形、三角形、等腰梯形和正五边形的性质等知识．轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，而这条直线就是这个图形的对称轴． 根据轴对称图形的特点以及菱形、三角形、等腰梯形和正五边形的性质逐项判断即可． 【详解】A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误； B、正三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确； C、正方形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故C选项错误； D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一个等腰三角形与一个等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故D选项错误． 故选：B． 3．画出图中所示图形的对称轴．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，直线即为所画对称轴． 【分析】作出对应点连线段的垂直平分线即可． 【详解】略 题型7.轴对称最短路径问题 1．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（即：，）．小球从点出发第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点为图中的（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据反射角等于入射角，依次找出小球每次碰到长方形边上的点，得到碰撞点以次为一个周期循环，进而求出第次碰撞对应的点． 【详解】解：根据反射角等于入射角的规律，分析小球的运动路径，依次确定每次碰撞的点位：第次碰到长方形边：点； 第次碰到长方形边：点； 第次碰到长方形边：点； 第次碰到长方形边：点； 第次：从向右上反弹，沿对角线穿过网格，碰到长方形的上边（点右侧的顶边位置）； 第次：从上边的碰撞点向右下反弹，碰到长方形的右边点位置； 第次：从右边的碰撞点向左下反弹，最终落在底边点，和第次的碰撞点完全重合； 小球的碰撞位置以次为一个周期循环出现，计算周期余数： ， 余数为，说明第次碰撞的位置，与一个周期内第次碰撞的位置相同，对应点为． 2．已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面与水平面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板 的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为____________．      【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形求解是解题关键．过点D作，根据平行线的性质得出，，结合图形求解即可． 【详解】解：过点D作， 根据题意得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知光线射向光滑镜面，入射光线与反射光线成轴对称．         (1)在图（1）中作出对称轴；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） (2)如图（2），入射光线经过两次光滑镜面反射后得到反射光线，若，则 °． 【答案】(1)如图：对称轴即为所求； (2)90 【分析】（1）对称轴是入射光线与反射光线夹角的角平分线，尺规作图方法：以入射光线和反射光线的公共交点为圆心，任意长为半径画弧，分别交两条光线于两点；分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在角内部交于一点；连接顶点和交点得到直线，即为所求对称轴，保留作图痕迹即可． （2）根据反射性质和平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：根据反射性质，可得：，， ∵， ∴， ∴， 化简得， 在中：． 题型8.折叠问题 1．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，已知，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：是由沿折叠得到的， ，， ，， ． ， ， ． 2．将一张长厘米，宽厘米的长方形纸沿对角线对折后，得到如图所示的图形，图中阴影部分的周长是________厘米． 【答案】16 【详解】解：如图： 由折叠的特点可知，，， 阴影部分的周长是： （厘米）． 3．如图，在中，，将沿直线m翻折，使点A落在点D的位置，求的度数． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得，再由三角形外角的定义及性质即可求解． 【详解】解：如图，设直线m与和的交点分别是点E，F，与交于点G． 由题意，得． ，， ， ． 4．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这道题主要考查了几何图形折叠问题，其中长方形每个内角都为直角，即，再根据折叠的性质，折痕为对称轴，折叠前后对应角相等即和，再利用已知角建立方程求解． 【详解】解： ∵根据题意，以、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、， ∴利用折叠对称性，设，； ∵长方形中， ∴， 即， ∵折叠后， 即， ． 题型9.命题、逆命题与互逆定理 1．下列命题有逆定理的是（     ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个角都是，那么这两个角相等 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】先写出各命题的逆命题，逆命题为真命题则原定理有逆定理． 【详解】解：A的逆命题为对应角相等的两个三角形是全等三角形，是假命题，故没有逆定理，不符合题意； B的逆命题为同位角相等，两直线平行，为真命题，故有逆定理，符合题意； C的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角都是，是假命题，故没有逆定理，不符合题意； D的逆命题为相等的两个角是对顶角，是假命题，故没有逆定理，不符合题意． 2．下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的判断，核心是理解逆定理的定义：若一个定理的逆命题为真命题，则该定理存在逆定理；若逆命题为假命题，则该定理没有逆定理．据此逐项分析即可． 【详解】解：选项A：原定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，该逆命题是假命题，故原定理没有逆定理； 选项B：原定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项C：原定理“等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合”的逆命题是“若一个三角形一边上的高、中线和该边所对顶角的平分线互相重合，则这个三角形是等腰三角形”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项D：原定理“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 故选：A． 3．探究不同情境，回答下面问题： (1)已知：如图，，分别平分和．求证：． (2)在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴． (2)两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可证明结论； （2）根据（1）的证明过程可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，，故A、B、D选项正确， ∵不一定成立，故C选项错误， 因此不一定正确的是C． 2．如图，在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，若，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵在中，的垂直平分线交于D点，交于E点， ∴， ∴的周长． 3．如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，即平分；故①③正确， 又∵， ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故①②③④正确． 4．如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反弹时反射角等于入射角作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后点回到出发点， ∵， ∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组第4次碰到矩形的边， ∴点P的坐标为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了点坐标的规律探索，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 二、填空题 5．有下列几何图形：等边三角形；线段；角；正方形；任意三角形；长方形；梯形；圆．其中，一定是轴对称图形的有________．（只填序号） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐个判断即可求解． 【详解】解：一定是轴对称图形的有：等边三角形，线段，角，正方形，长方形，圆， 故答案为：． 6．圆是轴对称图形，它有_____条对称轴，每条对称轴都是这个圆的_____所在的直线． 【答案】 无数 直径 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义即可得． 【详解】解：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，每条对称轴都是这个圆的直径所在的直线． 故答案为：无数；直径． 7．如图，在中，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交边于点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意可得，垂直且平分， ∴， ∴． 三、解答题 8．尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； (2)如图②，在边上找一点，使的周长等于； 【答案】(1)如图，分别作、的角平分线，交于点，根据角平分线的性质，点到、的距离相等，到、的距离也相等，因此，点到三条边的距离相等，点即为所求． (2)如图，以B、C为圆心，以相同且大于的长度为半径画弧，交于E、F，连接，交于点D，连接，点D即为所求． 【分析】（1）要求点O到三条边的距离相等，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可以利用三角形两个内角的角平分线交点确定所求点． （2）要求的周长等于，将周长条件转化为线段相等，得到，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，要使，则点D在线段的垂直平分线上，所以作线段的垂直平分线，它与的交点D即可满足要求． 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，点是外的一点，点与关于对称，点与关于对称，直线分别交，于点，，若，． (1)求线段，的长； (2)求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由点与关于对称可得出，结合的长度可求出的长度； （2）由点与关于对称可得出，再根据即可求出线段的长． 【详解】（1）解：，关于对称， ， ， ． （2）解：，关于对称， ， ． 10．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时， (1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角； (2)设的度数为x，的度数为y，那么，的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示） (3)与之间有一种数量关系始终保持不变，请直接写出它们的关系． 【答案】(1)，与、与、与是对应角 (2)， (3) 【分析】（1）根据翻折方法可得，进而可得出对应角； （2）根据翻折方法可得，再根据平角定义可得，； （3）首先由，，可得，，再根据三角形内角和定理可得，再利用等量代换可得． 【详解】（1）解：∵把纸片沿折叠， ∴，其中与、与、与是对应角； （2）解：∵， ∴ ∴，； （3）解：． 理由：∵， ∴，， ∴． 11．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，的垂直平分线分别交，于点，的延长线交于点． (1)若，则长为______； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，，则_____． 【答案】(1) (2)点在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， 分别垂直平分， ， ， 点在的垂直平分线上； (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到的周长等于的长； （2）连接，根据垂直平分线的性质得到，继而得到，得证结论； （3）根据垂直平分线的性质得到，，进而得到答案． 【详解】（1）解：的垂直平分线分别交于点， ， ， 的周长，即， ； （2）略； （3）解：如图，连接， 分别垂直平分， ，，且，， ，， ， ． 12．光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图1，在反射现象中，过入射点垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线，反射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（），反射光线与法线的夹角叫做反射角（）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．请你利用反射定律解决以下问题： (1)如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，则_____； (2)如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）和的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②当时，的度数为；当时，的度数为 【分析】本题主要考查了三角形内角和、平角的定义、入射角和反射角等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据入射角等于反射角得，再由是直角可得结论； （2）①延长，交于点G，作，求出，由三角形内角和定理可得结论； ②当时，的度数为；当时，的度数为 【详解】（1）解：∵入射角等于反射角， ∴， ∵， ∴, 故答案为： （2）解：①延长，交于点G，作 ∴， ∵， ∴, 又， ∴， ∴, ∴ ②当时，， ∴，此时，与重合， 当时，， ∴ ∴， ∴， 即的度数为； 当时，如图， 同理可得， ∴ ∵， ∴， 即的度数为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04轴对称及其性质、线段的垂直平分线期中复习讲义 ✵复习目标 · 1.理解轴对称图形与两个图形成轴对称的定义，厘清二者的区别与联系。 · 2.掌握轴对称的性质，明确对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线。 · 3.掌握线段垂直平分线的定义、性质定理与判定定理，规范几何证明的书写格式。 · 4.能够运用线段垂直平分线的性质完成线段等量转化，进行线段求值与推理论证。 ✵高频题型梳理 题型1.轴对称图形的识别 题型2.成轴对称的两个图形的识别 题型3.利用轴对称的特征进行计算 题型4.线段垂直平分线的性质应用 题型5.线段垂直平分线的判定应用 题型6.尺规作图--作线段的垂直平分线、画对称轴 题型7.轴对称最短路径问题 题型8.折叠问题 题型9.命题、逆命题与互逆定理 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、 轴对称相关概念 1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线对称。 提示：（1）轴对称图形是一个具有对称关系的图形；（2）对称轴是一条直线，不是射线、线段； ◆轴对称图形的三个条件：（1）一个图形；（2）至少存在一条对称轴（直线）；（3）对称轴两旁的部分能够互相重合（重合就是全等）； 2.常见的轴对称图形和它们的对称轴 3.两个图形成轴对称的定义： 把两个平面图形沿一条直线折叠，如果折叠后两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线对称。 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. ✔关键区别： （1）轴对称图形：一个图形自身对称；（2）成轴对称：两个图形相互对称。 ◆两个图形成轴对称的三个条件：（1）两个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）折叠重合 4.轴对称图形和轴对称的区别与联系： 知识点二、 轴对称的性质 1.关于某直线对称的两个图形是全等形，对应线段相等，对应角相等。 2.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 4.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 5.轴对称变换只改变图形位置，不改变图形形状、大小。 知识点三、轴对称作图 作图原理：对称轴垂直平分对应点所连线段。 通用步骤：找到图形关键点 → 作出关键点的对称点 → 顺次连接对称点。 考试要求：必须保留作图痕迹，禁止无痕迹作图。 知识点四、线段垂直平分线 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 核心要点：必须同时满足平分线段、垂直于线段两个条件；垂直平分线是直线，不是线段或射线。 2.线段垂直平分线的性质定理 定理内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵AC=BC,直线L⊥AB，垂足为C，点P在直线L上∴PA=PB。 作用：可直接判定线段相等，简化几何证明步骤。 3.线段垂直平分线的判定定理 定理内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB，∴点 P 在线段AB的垂直平分线上。 核心要点：单点只能判定点在直线上，两个不同的点才能确定线段的垂直平分线。 外心（拓展）： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心（外接圆圆心）。 知识点五、线段垂直平分线性质与判定的互逆关系 性质定理：由点在垂直平分线上，推出线段相等（位置关系推数量关系）。 判定定理：由线段相等，推出点在垂直平分线上（数量关系推位置关系）。 二者互为逆命题，均为真命题。 知识点六、尺规作图、作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段 AB 的垂直平分线 作图步骤：（1）分别以点 A、点B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；（2）作直线CD，该直线即为线段AB的垂直平分线。 注意：作图必须保留圆弧痕迹，禁止无痕迹作图。 知识点七、画图形的对称轴 1.找：找出任意一组对应点；2.连：连接这组对应点；3.作：作对应点所连线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是所求的对称轴。 ✵易错提醒 1. 对称轴是直线，不是线段或射线。 2. 注意区分 “轴对称图形” 与 “两个图形成轴对称”，二者研究对象不同。 3. 由PA=PB仅能判定点P在线段AB的垂直平分线上，不能直接判定经过该点的直线就是垂直平分线。 4.作图时，画弧半径必须大于AB，否则两弧无法相交。 5.成轴对称的两个图形一定全等，全等的图形不一定成轴对称。 ✵典例精讲 题型1.轴对称图形的识别 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 _____．（填序号） 3．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 题型2.成轴对称的两个图形的识别 1．如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 2．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 题型3.利用轴对称的特征进行计算 1．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（     ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 2．如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 3．如图，与关于直线成轴对称．已知，，求的度数． 题型4.线段垂直平分线的性质应用 1．如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若， ，则下列说法不一定正确的是（     ） A．且 B． C． D．与的周长相等 2．如图，垂直平分，垂足为，交于点，连接，的垂直平分线交于点，，则的周长为______． 3．如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点．过点作于，于，其中在边上，在的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型5.线段垂直平分线的判定应用 1．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 2．如图，在中，，，垂足为，若，，求的长为______． 3．如图，点在上，点在上，与交于点，，． (1)求证：； (2)求证：过点的直线垂直平分线段． 题型6.尺规作图--作线段的垂直平分线、画对称轴 1．如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，； ②作直线，与边交于点； ③连接．，，则的周长是（     ） A．10 B．12 C．13 D．14 2．下列图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（    ） A．菱形 B．正三角形 C．正方形 D．正五边形 3．画出图中所示图形的对称轴．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型7.轴对称最短路径问题 1．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（即：，）．小球从点出发第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点为图中的（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面与水平面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板 的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为____________．      3．已知光线射向光滑镜面，入射光线与反射光线成轴对称．         (1)在图（1）中作出对称轴；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） (2)如图（2），入射光线经过两次光滑镜面反射后得到反射光线，若，则 °． 题型8.折叠问题 1．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，已知，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 2．将一张长厘米，宽厘米的长方形纸沿对角线对折后，得到如图所示的图形，图中阴影部分的周长是________厘米． 3．如图，在中，，将沿直线m翻折，使点A落在点D的位置，求的度数． 4．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型9.命题、逆命题与互逆定理 1．下列命题有逆定理的是（     ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个角都是，那么这两个角相等 D．对顶角相等 2．下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 3．探究不同情境，回答下面问题： (1)已知：如图，，分别平分和．求证：． (2)在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，若，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 4．如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．有下列几何图形：等边三角形；线段；角；正方形；任意三角形；长方形；梯形；圆．其中，一定是轴对称图形的有________．（只填序号） 6．圆是轴对称图形，它有_____条对称轴，每条对称轴都是这个圆的_____所在的直线． 7．如图，在中，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交边于点，连接，若，，则的长为________． 三、解答题 8．尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； (2)如图②，在边上找一点，使的周长等于； 9．如图，点是外的一点，点与关于对称，点与关于对称，直线分别交，于点，，若，． (1)求线段，的长； (2)求线段的长． 10．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时， (1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角； (2)设的度数为x，的度数为y，那么，的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示） (3)与之间有一种数量关系始终保持不变，请直接写出它们的关系． 11．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，的垂直平分线分别交，于点，的延长线交于点． (1)若，则长为______； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，，则_____． 12．光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图1，在反射现象中，过入射点垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线，反射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（），反射光线与法线的夹角叫做反射角（）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．请你利用反射定律解决以下问题： (1)如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，则_____； (2)如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）和的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $