第三章 第十节 利用函数解决几何动态问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（广西专用）

.线段AB所表示的y与x之间的函数关系式为y,= 6t+60 (2)由题意，设产量为xkg时，获得的利润为W元 根据器意，得时=（(-了490)-（石+0）1= 1 30x=-6(x-90)2+1350, 石0当=90时，W取得最大值最大值为130 答：该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利润 是1350元. a9 4.解：(1)15：5 (2)由表中数据可知，抛物线关于直线s=15对称， 设h=a(s-15)2+5, 把(12,4.8)代人，得a(12-15)2+5=48,解得a=45, 市15453子 (3)不能防守成功. 当=24m时h=5×24+号x24=32(m） …3.2>2.6,.这次守门员不能防守成功 5.解：(1)根据题意，得AB=xm,则BC=(40-2x)m, ∴.y=x(40-2x)=-2x+40x, 即y与x之间的函数关系式为y=-2x2+40x(0<x<20); (2)由(1)得y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200. :-2<0,.当x=10时，y取得最大值，最大值为200 答：当AB边的长为10m时，菜园的面积最大，最大面积 为200m2 【变式】解：设矩形的长为xm,面积为sm,则宽为30。 2 m, 2(x-15)2+ 菜园的面积S=x:32=-2x+15x=一 2(0cx≤12). 22 1 2<0当K15时，S随x的增大而增大， 当=12时.5取最大位5a=子y空10服 答：这个矩形的长为12m、宽为9m时，菜园的面积最大， 最大面积是108m2. 第十节利用函数解决几何动态问题 1.解：(1)B (2):正方形纸片ABCD的边长为4,4个直角三角形 全等， .'AB=AD=BC=CD=4,AE=DH=x,BE=AH=4-x,LA= ∠D=90°，EH=HG=FG=EF,∠AEH=∠GHD, .:∠AEH+∠AHE=90°，.∠AHE+∠GHD=90°， .∴.∠EHG=90°， 18 ∴四边形EFGH是正方形， y=AE2+AF=x2+(4-x)2=2x2-8x+16. (3)当y=10时，即2x2-8x+16=10, 解得x=1或x=3, .∴.当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10. (4)四边形EFGH的面积存在最小值， 由(2)得y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8. 2>0,当x=2时，y有最小值，最小值为8， 即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8. 2.C3.B 【变式1】B【解析】C点移动到F点，即当0≤x≤2时， 重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形，则高为 2,面积为y=2·2= 2x·三x=2x2;B点移动到F点，即当 25:54时，重益部分三角形的边长为4：).高为（4 功面职4)停4 4(4-x),两个三角形 重合时面积正好为√3，由二次函数图象的性质可判断答 案为B 【变式2】5【解析】当点B移动到点B时，重叠部分的 面积不再变化.根据图象可知B'C'=a,S。4gc=√3.如解 图，过点A'作A'H⊥B'C于点H,则A'H为△A'BC的高 △A'B'C'是等边三角形，.∠A'B'H=60°，.A'H=A'B· sin60°=√ 4,Sauwc= 15 22 -a· √3 a=40=5,解得a=2(负值已 舍)，当点C移动到点C时，重叠 部分的面积开始变小，根据图象BHB(C) 可知BC=a+3=2+3=5,∴.△ABC 的边长是5. 【变式3】解：当移动距离x的取值范围为0≤x≤2时，三 角形重叠部分是等边三角形，底边为x,底边上对应的高 为 1x5.-32 4 当移动距离x的取值范围为2<x≤5时，三角形重叠部分 是△A'B'C,底边为2，底边上对应的高为√3， 1 y=2×2x5=5. 当移动距离x的取值范围为5<x≤7时，三角形重叠部分 是等边三角形，底边为2-(x-5)=7-x,底边上对应的高 为号(1-y宁(7-)号(（--7-0 综上所述，y与x之间的函数关系式为y= 停.0 5,(2<x≤5) 5 7-x)只.(5<≤7)第十节 利用函数解决几何动态问题 (3年2考，10分或12分) 0版本导航人教：九上P52~P57;湘教：九下P32~P39, 类型1点动问题(2023.24) 1.如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直 【通性通法】 角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x,四边形EFGH (1)判断几何动态函数图象 的面积为y 问题，常有两种方法：①直 接分析法：此类问题的选项 中函数图象只有大致曲线， 没有其他数据信息，直接分 析动态图形的变化特点即 (1)y与x的函数图象可能为 可；②关系式确定法：此类 问题中，题设所给的函数图 象一般为直线、抛物线，且 图象中拐点的横坐标与纵 坐标一般是已知的，解决此 类问题可按图象拐点情况 对自变量分段，并确定每一 段的函数关系式（面积问题 常用到面积公式，一般要作 对应边上的高)，再根据函 (2)求y关于x的函数解析式； 数关系式进行判断； (3)当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？ (2)分析判断函数图象，要 (4)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小 抓住以下几，点：①自变量变 值；若不存在，请说明理由， 化而函数值不变化的图象 用水平线段表示；②自变量 不变化而函数值变化的图 象用铅垂线段表示；③自变 量变化函数值也变化的增 减变化情况，简单记为：一 变一不变，图象是直线；两 个都变图象是曲线：同增同 减口向上，一增一减口向 下；④函数图象的最低，点和 最高点 55 类型2线动问题 2.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点P从点A出发 【思路点拨】分析图象横纵 运动到点B时停止，过点P作PO LAB,交直角边AC(或BC) 坐标代表的含义，根据图2 于点Q,设点P运动的路程为x,△APQ的面积为y,y与x之 可知，AB=8,利用正切函数 间的函数关系图象如图2所示，当x=5时，△APQ的面积为 的定义求得PQ的长，再利 用三角形面积公式求解 即可 图1 图2 33 53 A. B.23 C. D.43 2 类型3面动问题(2025.22) 3.如图，长为2、宽为1的矩形和边长为3的正方形在同一水平 【思路点拨】根据图象可得 线上，矩形沿该水平线从左向右匀速穿过正方形.设穿过的时 出重叠部分三角形的边长 间为t,正方形与矩形重叠部分的面积为S,则S与t的函数关 为x,根据特殊角的三角函 系大致图象为 数值可得高为尽， 2七，由此得 出面积y是x的二次函数， 直到重合面积固定，再往右 移动重叠部分的边长变为 (4-x),同时可得高和面积， C D 两个三角形重合时面积正 变式1如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形 好为√3，由二次函数图象的 它们的边BC,EF在同一条直线l上，点C,E重合，现将△ABC 性质可判断答案 沿直线1向右移动，直至点B与F重合时停止移动，在此过程 中，设点C移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y, 则y随x变化的函数图象大致为 ( C(E) 3Y B 56 变式2如图1，△ABC和△A'B'C是两个边长不相等的等边 【思路点拨】在点B到达B 三角形，点B',C',B,C都在直线1上，△ABC固定不动，将 之前，重叠部分的面积在增 △A'B'C在直线1上自左向右平移.开始时，点C与点B重 大，当点B到达B点以后， 合，当点B移动到与点C重合时停止.设△A'B'C'移动的距 且，点C'到达C以前，重叠部 离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,y与x之间的函数关 分的面积不变，之后在B'到 系如图2所示，则△ABC的边长是 达C之前，重叠部分的面积 慢慢变小，由此可得出B'C 的长度为a,BC的长度为 a+3,再根据△A'B'C'的面 B'B(C) 积即可列出关于a的方程！ 图1 图2 求出a即可 变式3如图，△ABC和△A'BC是边长分别为5和2的等边 三角形，点B',C',B,C都在直线I上，△ABC固定不动，将 △A'B'C在直线1上自左向右平移.开始时，点C与点B重 (思路点拨】把△A'B'C'的 合，当点B移动到与点C重合时停止.设△A'B'C'移动的距 移动分为三个阶段，0≤x≤ 离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,求y与x之间的函 2,2<x≤5,5<x≤7，对每 数关系式 个阶段讨论重叠部分的面 积y与x的关系，求出解 析式 B'B(C 温馨提示 请完成分层练习册P50~52习题 57