第三章 第九节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第九节 二次函数的实际应用 (3年2考，2分或12分) 9版本导航人教：九上P49~P57:湘教：九下P29~P32:沪科：九上P36~P42. 类型①)利润最值问题 1.[广西人文信息]（人教九上P50探究2改编）广西百色是“中 【解题步骤】 国芒果之乡”，芒果有抗菌消炎、祛痰止咳、防治便秘等功效 审题，找出题目中的数量 某水果超市推出一款成本为100元的芒果礼盒，当每盒售价 关系 为150元时，每天可销售300盒.为增大市场占有率，在保证 盈利的情况下，超市采取降价措施，根据市场调查发现，每盒 售价每降低1元，每天销量可增加10盒.设每盒售价降低x 根据数量关系确定二次函 元时，超市销售该礼盒每天所获利润为W元. 数解析式和自变量的取值 (1)每盒售价降低x元时，每天的销量可增加 盒，每 范围 天可销售 盒；降价后每盒的售价为 元，每盒 ↓ 的利润为 元 利用二次函数的性质（增 (2)W与x之间的函数关系式为 减性或最值)，结合自变量 (3)当每盒售价降低 元时，超市销售该礼盒每天所获 的取值范围进行求解 的利润最大，最大利润为 元 (4)若要满足超市销售该礼盒利润率不低于10%，不高于 30%,那么当每盒售价降低多少元时，每天所获的利润最大？ 【常用等量关系】 最大利润为多少元？ (1)常用公式： ①每件利润=每件售价-每 件成本； ②总利润=每件利润×销售 数量； 2.(湘教九下P32T3改编)某企业生产 y/元 ③利润率=利润÷成 并销售某种产品，假设销售量与产 N 本×100%. 量相等，图中的线段AB表示该产品60 (2)每每问题中，单价每涨 每千克生产成本y,(单位：元)与产 40 a元，少卖b件，则涨价x元 量x(单位：kg)之间的函数关系：线 x/kg 时，少卖的数量为心·6件 段CD表示该产品销售价格y,(单 a 位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系，且关系式为y2 3t+90(0<≤120). (1)求线段AB所表示的y,与x之间的函数关系式； (2)该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是 多少？ 52 考点②抛物线形问题(2024.18) 3.(2024广西18题2分)如图，壮壮 【特别提醒】选择合适的位 同学投掷实心球，出手（点P处）的 4 m 置建立坐标系，要方便图象 高度0p是了a,出手后实心球治 上的点的表示，使，点坐标尽 5 m 可能为正数 一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是 4m.若实心球落地点为M,则OM= m. 4.(湘教九下P38T12改编)鹰眼技术助力“苏超”，提升球迷观 【思路点拨】求高度，一般是 赛体验.如图，分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画 求二次函数图象顶点的纵 面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点0，守门员 坐标，或求出自变量的取值 位于点A,OA的延长线与球门线交于点B,且点A,B均在足球 范围，利用函数的增减性求 轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.水平距离s(m) 二次函数的最值 与离地高度h(m)的鹰眼数据如下表： 0 B 图1 图2 s/m 0 9 12 18 21 h/m 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 (1)根据表中数据可得，当s= m时，h达到最大高 度 m; (2)求h(m)关于s(m)的函数解析式： (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的 最大防守高度2.6m时，视为防守成功，若一次防守中，守门 员位于足球正下方时，s=24m,请问这次守门员能否防守成 功？试通过计算说明。 53 类型3面积最值问题(2025.22) 5.(课标P148例71改编)如图，用一段长为40m的篱笆围出 【解题思路】 个一边靠墙的矩形菜园，已知墙足够长.设矩形的AB边的长 用含有自变量的代数式表 为xm,面积为ym2. 示相关线段的长度 D 根据几何图形的相关计算 B 公式，列出所求几何量与 (1)求y与x之间的函数关系式： 自变量之间的关系式，并 确定自变量的取值范围 根据二次函数的性质（增 减性或最值)，结合自变量 的取值范围解决问题 (2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 变式如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩 形菜园，墙长12m,这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积 最大？最大面积是多少？ D 温馨提示 请完成分层练习册P46~49习题 54当AN+CN最小时，点N的坐标为（号，0）. 第六节二次函数的图象与性质 ①止②吓@=名④-h⑤x 2 2）⑦(h,k)8t 2 :⑨小0大 ①减小2增大B左侧④右侧 1.(1)下x=1;2；(-1,0)和(3,0)；(0,3)；大；大；4；(1,4) (2)y=-(x-1)2+4:y=-(x+1)(x-3) (3) (4)增大；3(5)<；< 【变式1】> 【变式2】x=3;左；右；4；1；3；小；yB<yc<ya;(0,yc);左； -1<0<2;减小：ys<yc<ya;减小；ya>yays<y<a 【思考】若m>0,yc<ys<ya,若m<0,y<yc<r 2.(1)①8：0②35：3③3；-1④24：-1(2)-1或3 3.解：(1)：二次函数y=ax2+2ax+a2+2(a≠0)， 对称轴为直线x= 2a 2a1, (2).a<0, ·.二次函数图象开口向下，且对称轴为直线x=-1, .当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=a-2a+a2+ 2=a2-a+2. 当-2≤x≤1时，函数的最大值为4， .a2-a+2=4,解得a1=-1,a2=2(不合题意，舍去)， ∴.a=-1. (3)当a=2时，二次函数为y=2x2+4x+6=2(x+1)2+4. 函数图象开口向上，对称轴为直线x=-1. t>0,∴.t-1>-1, .当x在t-1≤x≤t的范围时，y随x的增大而增大， 当x=t-1时，得y=2(t-1+1)2+4=2+4, 当x=t时，得y=2(t+1)2+4=2+4t+6. .当t-1≤x≤t(t>0)时，8≤y≤n, 当y=8时，得2+4=8，解得t=√2（负值已舍）， .当y=n时，得n=22+4t+6=2×(2)'+4×√2+6=10+ 42. 当x=时，总有y≥n,且当x≥t时，y随x的增大而增 大，o≥t,即xo≥2. :点(2,10+42)关于对称轴直线x=-1的对称点为 (-2-√2,10+42)， .当xo≤-2-√2时，y≥n. 综上所述，实数的取值范围为x≥2或。≤-2-√2. 第七节二次函数的解析式的确定及图象的变换 1.(1)y=x2+2.(2)y=-17x2-34x-8. (3y=224312(4y-r-5x (5)y=5x2+20x+15.(6)y=-x2+4x-3. ①不变②相反③a(x-m)2+b(x-m)+c④ax2+bx+c+m ⑤ax2+bx+c-m 2.A3.D4.C 第八节二次函数的图象与系数的关系 （含与方程、不等式的关系) ①>02c0③-0④名0⑤异号0=0⑦0 ⑧b2-4ac<0 1.D【变式】B 2.C【解析】根据函数图象可知，a>0,对称轴为直线x= b =-1,.b=2a.b2>0,-8a<0,.b2>-8a,故A正确， 2a 不符合题意；：函数的最小值在x=-1处取到，.若实数 m≠-1，则a-b-2<am2+bm-2,即a-b<am2+bm,故B正 确，不符合题意；直线∥x轴，.y1=y2,令x=0,则y= -2,即抛物线与y轴交于点(0，-2)，∴当y1=y2>-2时， x<0,x>0,当y1=y2>-2时，x1x2<0,故D正确，不符 合题意；当x=1时，y=a+b-2,b=2a,y=3a-2.由题 图可知，当x=1时，y<0,3a-2<0,故C错误，符合 题意 3.②3④580 4.(1)x1=-1,x2=3（2)x1=-1,x2=3(3)x1=-1,x2=3 (4)-1<x<3 第九节二次函数的实际应用 1.(1)10x:(300+10x):(150-x):(150-x-100) (2)W=-10x2+200x+15000 (3)10:16000 (4)解：由题意，得10%≤150-10-≤30%. 100 解得20≤x≤40. 由(2)知，W=-10x2+200x+15000=-10(x-10)2+ 16000, .-10k0 .∴.当x=20时，W取得最大值15000. 答：当每盒售价降低20元时，每天所获的利润最大，最大 利润为15000元. 2.解：(1)由题意，得y=-3+90(0<x≤120)， 1 六当y=50时，3+90=50=120， ∴.D(120,50),∴.B(120,40). 设y1=x+b,将(0,60)，(120,40)代入， 得，60. \k2 1 61 120k+b=40, b=60. 17 .线段AB所表示的y与x之间的函数关系式为y,= 6t+60 (2)由题意，设产量为xkg时，获得的利润为W元 根据器意，得时=（(-了490)-（石+0）1= 1 30x=-6(x-90)2+1350, 石0当=90时，W取得最大值最大值为130 答：该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利润 是1350元. a9 4.解：(1)15：5 (2)由表中数据可知，抛物线关于直线s=15对称， 设h=a(s-15)2+5, 把(12,4.8)代人，得a(12-15)2+5=48,解得a=45, 市15453子 (3)不能防守成功. 当=24m时h=5×24+号x24=32(m） …3.2>2.6,.这次守门员不能防守成功 5.解：(1)根据题意，得AB=xm,则BC=(40-2x)m, ∴.y=x(40-2x)=-2x+40x, 即y与x之间的函数关系式为y=-2x2+40x(0<x<20); (2)由(1)得y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200. :-2<0,.当x=10时，y取得最大值，最大值为200 答：当AB边的长为10m时，菜园的面积最大，最大面积 为200m2 【变式】解：设矩形的长为xm,面积为sm,则宽为30。 2 m, 2(x-15)2+ 菜园的面积S=x:32=-2x+15x=一 2(0cx≤12). 22 1 2<0当K15时，S随x的增大而增大， 当=12时.5取最大位5a=子y空10服 答：这个矩形的长为12m、宽为9m时，菜园的面积最大， 最大面积是108m2. 第十节利用函数解决几何动态问题 1.解：(1)B (2):正方形纸片ABCD的边长为4,4个直角三角形 全等， .'AB=AD=BC=CD=4,AE=DH=x,BE=AH=4-x,LA= ∠D=90°，EH=HG=FG=EF,∠AEH=∠GHD, .:∠AEH+∠AHE=90°，.∠AHE+∠GHD=90°， .∴.∠EHG=90°， 18 ∴四边形EFGH是正方形， y=AE2+AF=x2+(4-x)2=2x2-8x+16. (3)当y=10时，即2x2-8x+16=10, 解得x=1或x=3, .∴.当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10. (4)四边形EFGH的面积存在最小值， 由(2)得y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8. 2>0,当x=2时，y有最小值，最小值为8， 即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8. 2.C3.B 【变式1】B【解析】C点移动到F点，即当0≤x≤2时， 重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形，则高为 2,面积为y=2·2= 2x·三x=2x2;B点移动到F点，即当 25:54时，重益部分三角形的边长为4：).高为（4 功面职4)停4 4(4-x),两个三角形 重合时面积正好为√3，由二次函数图象的性质可判断答 案为B 【变式2】5【解析】当点B移动到点B时，重叠部分的 面积不再变化.根据图象可知B'C'=a,S。4gc=√3.如解 图，过点A'作A'H⊥B'C于点H,则A'H为△A'BC的高 △A'B'C'是等边三角形，.∠A'B'H=60°，.A'H=A'B· sin60°=√ 4,Sauwc= 15 22 -a· √3 a=40=5,解得a=2(负值已 舍)，当点C移动到点C时，重叠 部分的面积开始变小，根据图象BHB(C) 可知BC=a+3=2+3=5,∴.△ABC 的边长是5. 【变式3】解：当移动距离x的取值范围为0≤x≤2时，三 角形重叠部分是等边三角形，底边为x,底边上对应的高 为 1x5.-32 4 当移动距离x的取值范围为2<x≤5时，三角形重叠部分 是△A'B'C,底边为2，底边上对应的高为√3， 1 y=2×2x5=5. 当移动距离x的取值范围为5<x≤7时，三角形重叠部分 是等边三角形，底边为2-(x-5)=7-x,底边上对应的高 为号(1-y宁(7-)号(（--7-0 综上所述，y与x之间的函数关系式为y= 停.0 5,(2<x≤5) 5 7-x)只.(5<≤7)