第三章 第六节 二次函数的图象与性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（广西专用）

当AN+CN最小时，点N的坐标为（号，0）. 第六节二次函数的图象与性质 ①止②吓@=名④-h⑤x 2 2）⑦(h,k)8t 2 :⑨小0大 ①减小2增大B左侧④右侧 1.(1)下x=1;2；(-1,0)和(3,0)；(0,3)；大；大；4；(1,4) (2)y=-(x-1)2+4:y=-(x+1)(x-3) (3) (4)增大；3(5)<；< 【变式1】> 【变式2】x=3;左；右；4；1；3；小；yB<yc<ya;(0,yc);左； -1<0<2;减小：ys<yc<ya;减小；ya>yays<y<a 【思考】若m>0,yc<ys<ya,若m<0,y<yc<r 2.(1)①8：0②35：3③3；-1④24：-1(2)-1或3 3.解：(1)：二次函数y=ax2+2ax+a2+2(a≠0)， 对称轴为直线x= 2a 2a1, (2).a<0, ·.二次函数图象开口向下，且对称轴为直线x=-1, .当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=a-2a+a2+ 2=a2-a+2. 当-2≤x≤1时，函数的最大值为4， .a2-a+2=4,解得a1=-1,a2=2(不合题意，舍去)， ∴.a=-1. (3)当a=2时，二次函数为y=2x2+4x+6=2(x+1)2+4. 函数图象开口向上，对称轴为直线x=-1. t>0,∴.t-1>-1, .当x在t-1≤x≤t的范围时，y随x的增大而增大， 当x=t-1时，得y=2(t-1+1)2+4=2+4, 当x=t时，得y=2(t+1)2+4=2+4t+6. .当t-1≤x≤t(t>0)时，8≤y≤n, 当y=8时，得2+4=8，解得t=√2（负值已舍）， .当y=n时，得n=22+4t+6=2×(2)'+4×√2+6=10+ 42. 当x=时，总有y≥n,且当x≥t时，y随x的增大而增 大，o≥t,即xo≥2. :点(2,10+42)关于对称轴直线x=-1的对称点为 (-2-√2,10+42)， .当xo≤-2-√2时，y≥n. 综上所述，实数的取值范围为x≥2或。≤-2-√2. 第七节二次函数的解析式的确定及图象的变换 1.(1)y=x2+2.(2)y=-17x2-34x-8. (3y=224312(4y-r-5x (5)y=5x2+20x+15.(6)y=-x2+4x-3. ①不变②相反③a(x-m)2+b(x-m)+c④ax2+bx+c+m ⑤ax2+bx+c-m 2.A3.D4.C 第八节二次函数的图象与系数的关系 （含与方程、不等式的关系) ①>02c0③-0④名0⑤异号0=0⑦0 ⑧b2-4ac<0 1.D【变式】B 2.C【解析】根据函数图象可知，a>0,对称轴为直线x= b =-1,.b=2a.b2>0,-8a<0,.b2>-8a,故A正确， 2a 不符合题意；：函数的最小值在x=-1处取到，.若实数 m≠-1，则a-b-2<am2+bm-2,即a-b<am2+bm,故B正 确，不符合题意；直线∥x轴，.y1=y2,令x=0,则y= -2,即抛物线与y轴交于点(0，-2)，∴当y1=y2>-2时， x<0,x>0,当y1=y2>-2时，x1x2<0,故D正确，不符 合题意；当x=1时，y=a+b-2,b=2a,y=3a-2.由题 图可知，当x=1时，y<0,3a-2<0,故C错误，符合 题意 3.②3④580 4.(1)x1=-1,x2=3（2)x1=-1,x2=3(3)x1=-1,x2=3 (4)-1<x<3 第九节二次函数的实际应用 1.(1)10x:(300+10x):(150-x):(150-x-100) (2)W=-10x2+200x+15000 (3)10:16000 (4)解：由题意，得10%≤150-10-≤30%. 100 解得20≤x≤40. 由(2)知，W=-10x2+200x+15000=-10(x-10)2+ 16000, .-10k0 .∴.当x=20时，W取得最大值15000. 答：当每盒售价降低20元时，每天所获的利润最大，最大 利润为15000元. 2.解：(1)由题意，得y=-3+90(0<x≤120)， 1 六当y=50时，3+90=50=120， ∴.D(120,50),∴.B(120,40). 设y1=x+b,将(0,60)，(120,40)代入， 得，60. \k2 1 61 120k+b=40, b=60. 17第六节 二次函数的图象与性质 (必考，10分或12分) 0版本导航人教：九上P27~P42;湘教：九下P2~P20:沪科：九上P2~P21. 考点二次函数的图象与性质(2025.22,2024.25,2023.24涉及) 概念 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数项，且a≠0)的函数 开口方向 a>0,开口向① a<0,开口向② 大致图象 (抛物线) 解析式 般式：y=ax2+bx+c(a≠ 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x,)(x (三种形式) 0) （a≠0) x2）(a≠0) 对称轴 直线③ 直线④ 直线⑤ 将x=⑧ 代入解 顶点坐标 ⑥ ⑦ 析式，求y值 最值 在对称轴处，y取得最⑨ 值 在对称轴处，y取得最⑩ 值 在对称轴⑧ ,y随x的增大而 在对称轴左侧，y随x的增大而① 增大； 增减性 在对称轴右侧，y随x的增大而② 在对称轴④ ,y随x的增大而 减小 ⊙针对训练 1.(人教九上P41T7改编)已知抛物线y=-x2+2x+3. (1)该抛物线开口向 ,对称轴是直线 ,与x轴有 个交点，交点坐标是 ,与y轴的交点坐标是 ,有最 (填“大”或“小”)值，最 值为 顶点坐标为 (2)将抛物线的解析式化为顶点式是 化为交点式是 (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线： (4)当x≤0时，y随x的增大而 最大值为 (5)若抛物线经过点(-2，a)和(-1，b),则a b:若抛物线经过点(-3，m)和(4，n),则 m 几.（填“>”“<”或“=”） 45 变式1[横坐标含参数]已知点A(n2,y,),B(n2+1,y2)在抛物线y=-(x+2)2+1上，则y1 y2.(填“>”“<”或“=”) 变式2[抛物线含参数]如果点A(-1,ya),B(2,yB)和C(6,yc)都在抛物线y=mx2-6mx+4(m> O)上，求yA,yB,y。的大小关系.（完成下面的解答过程） 解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线 则点A(-1,y),B(2,yB)在对称轴的 侧，点C(6,yc)在对称轴的 侧， 点A,B,C与对称轴的距离分别为d,= ,dB= ,dc= m>0,∴.抛物线开口向上，画草图如解图. 方法一—直接由距离判断：观察图象可知，离对称轴越近的点的纵坐标 越 'dg<dc<d,∴. 方法二一异侧转同侧，利用增减性判断：易知点C关于对称轴的对称点 t3 C的坐标为 ,则点A,B,C都在对称轴的 侧，且横坐标的大小排序为 在对称轴左侧，y随x的增大而 方法三一结合增减性和距离判断：·在对称轴左侧，y随x的增大而 da<de<d,.C的纵坐标也介于A,B的纵坐标之间， 思考：如果本题中未指明m的正负，三个纵坐标的大小关系如何呢？（提示：需分类讨论） 重难点二次函数含参最值问题 2.已知二次函数的解析式为y=x2-4x+3. (1)[定轴定范围]①当-1≤x≤1时，函数的最大值为 最小值为 ②当4≤x≤8时，函数的最大值为 ,最小值为 ③当0≤x≤3时，函数的最大值为 ,最小值为 ④当1≤x≤7时，函数的最大值为 ,最小值为 (2)[定轴动范围]若当a≤x≤a+2时，二次函数的最小值为0，则a的值为 3.（2025崇左二模)课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数y=ax2+2ax+a2+2(a≠0)展开探究. 【问题探究】 (1)求该二次函数图象的对称轴： (2)若a<0,当-2≤x≤1时，函数的最大值为4，求实数a的值： 46 【问题拓展】 (3)若a=2,当t-1≤x≤t(t>0)时，8≤y≤n,当x=时，总有y≥n,求实数x的取值范围， 园方法总结 解决二次函数的最值问题时，通常会用到分类讨论思想 (1)若自变量的取值范围未限定，则在对称轴处取得最值，此时需要由二次项系数的符号 来确定是最大值还是最小值：若α的符号未知，则需要分类讨论：①二次项系数大于0：②二 次项系数小于0 (2)若自变量的取值范围被限定，且自变量的取值范围或二次函数解析式中含有参数，通常 需要分类讨论：①自变量的取值范围全部落在对称轴的左侧：②自变量的取值范围全部落在 对称轴的右侧：③对称轴在自变量的取值范围内， 以二次函数y=ax2+bx+c(a>0),自变量的取值范围为x,≤x≤x2为例： 对称轴与 对称轴在x,≤x≤ 对称轴在x,≤x≤x,内 对称轴在x1≤ 取值范围 x2右侧 x≤x,左侧 的关系 离x,近 离x,近 图示 2a 2a 2a x=x1时，y最大； x=x2时，y最大； x=x1时，y最大； x=x2时，y最大； 结论 x=x2时，y最小 b时，y最小 X=- x=x1时，y最小 2 时，y最小 2a 十一十一十一十一十十一十一十一十一十十一十一十十一十 十一十一十 十一十一十十十一 温馨提示 请完成分层练习册P40~41习题 47