第二章 第三节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第三节一元二次方程及其应用 (3年2考，3分) 0版本导航人教：九上P1~P26;湘教：九上P25~P60;沪科：八下P18~P50. 考点①一元二次方程的有关概念 概念 举例 元二次方程：只含有1个未知数，并且 (1)x2+2=0① 一元二次方程；2x2+3x-1= 未知数的最高次数是2的整式方程 2(x2-4)② 一元二次方程.（填“是”或“不 二次项系数一次项系数 是”) 般形式：x+ 整+号= 0(a≠0) (2)方程3x2-2x=1的二次项系数是③ 二次项一次项常数项 ·次项系数是④ 常数项是⑤ 例1（人教九上P4T1改编）已知关于x的方程(m+1)x2-3x+ 【注意事项】 2=0. (1)若题目中有“一元二次 (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值范围是 方程ax2+bx+c=0”,则必然 (2)若该方程是一元一次方程，则m的值是 隐含着a≠0这一条件； (3)若m=0,则该方程的二次项是 ,二次项系数是 (2)若未说明方程类型，则 ,一次项是 ,一次项系数是 ,常数项 需分类讨论：①当a=0时， 是 方程是一元一次方程；②当 变式若方程(k-2)x1+2x+5=0是一元二次方程，则k的值 a≠0时，方程是一元二次 是 方程 考点②一元二次方程的解法 例2求下列方程的解： 【方法总结】 (1)方程3(x-3)2-24=0的根为 (1)直接开平方法：形如(x+n)2=p(p≥ (2)用三种方法解方程：x2+4x-12=0. 0)的根为x=⑥ 配方法：移项、配方，得x2+4x+ (2)配方法：适用二次项系数化为1后， 即( )2= 一次项系数为偶数的方程； (3)公式法：适用于所有一元二次方程， 解得 化为一般式ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac 公式法：原方程中，a= ,b= ≥0)，方程的解为x=⑦ c= (4)因式分解法：(x-a)(x-b)=0,根为 b2-4ac= x,=⑧ ,x2=⑨ 由求根公式，得x= (5)解法选择（优先顺序）： 即方程的解为 直接开平法→因式分解法→配方法→ 因式分解法： 公式法 原方程可转化为( )( )=0, 【注意事项】用因式分解法解一元二次 即 =0或 =0, 方程时，若等号两边含相同的未知数的 解得 因式，勿直接约去公因式，避免漏解 21 ⊙针对训练 1.多解法解方程：x2-6x+8=0, 配方法： 公式法： 因式分解法： 2.（沪科八下P31T6改编)选择合适的方法解下列一元二次方程： (1)(x-2)2=5; (3)x2+3x+1=0; (4)2x(x-3)+x=3. 考点③一元二次方程根的判别式 根的判别式与方程根的关系（根的判别式为b2-4ac,用△表示，即△=b2-4ac): (1)A=b2-4ac>0台一元二次方程am2+bx+c=0(a≠0)有两个0 的实数根； (2)△=b2-4ac=0曰一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个① 的实数根； (3)△=b2-4ac<0台一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)② 实数根， 【特别提醒】在使用一元二次方程根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要 加上二次项系数不为0这个限制条件. ⊙针对训练 3.（沪科八下P36练习2改编)已知方程5x2+x-6=0. (1)若该方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值： (2)试判断方程根的情况； (3)小聪在求解时，误将方程抄写成5x2+kx+6=0,则当k为何值时，方程有两个相等的实数根？ 22 考点④一元二次方程根与系数的关系(2025.11) 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x,+x2=③ x1x2=④ 【拓展变形】根据完全平方公式(a+b)2=a+2ab+b2和分式的性质填空： (1)x+x=(x1+x2)2-⑤ (2)(x1-x2)2=⑥ (3)1+=0 (4)+5-,)户-2 X1xX2 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提：(1)a≠0：(2)△≥0. 0针对训练 4.(人教九上P16例4改编)已知关于x的一元二次方程x2+3x+h=0的两个实数根分别为1，x2: (1)当k=2时， ①x1x2= ,X1+X2 11 ②x2+x= 十= XI X2 (2)若x1=2x2,则常数k的值为 考点⑤一元二次方程的实际应用(2023.11) 例3根据下列实际问题列方程 【方法总结】 (1)[变化率问题]南宁市大力推进“以旧换新”政策，某店月 一元二次方程的常见类型及数 销售额从一月份的2.8万元增长到三月份的4万元.设这两 量关系： 个月的平均增长率为x,根据题意可列出方程： (1)变化率问题：设a为原来 变式某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售 的量，b为变化后的量 价由3200元降到了1600元.设平均每月降价的百分率为x, ①若平均增长率为x,增长次 根据题意列出的方程是 数为2，则⑧ (2)[病毒传播问题]有一个人患了流感，经过两轮传染后共 ②若平均下降率为x,下降次 有121个人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个 数为2，则四 人，则可列方程为 (2)病毒传播问题：若初始数据 (3)[握手、单循环赛问题]某中学组织篮球比赛，赛制为单循 为a,每次传播x个，则第一轮后 环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛.若设共 共有a(1+x)个，第二轮后共有 有x支队伍参加比赛，则可列方程为 20 个 (4)[互赠礼物问题]联欢会上，每位同学向其他同学赠送 (3)握手、单循环赛问题：若共 1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数 有n人，则握手（单循环赛）总 若设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程： 次数为④ (5)[每每问题]一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购 (4)互赠礼物问题：若共有n人， 买了一批树苗.园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每 则送礼物总份数为②② 棵售价为120元：如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每 (5)每每问题：单价每涨a元， 增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元.若该校最 少卖b件，则涨价x元时，少卖 终向园林公司支付树苗款8800元.设该校共购买了x棵树 的数量为②3 苗，则可列出方程： 23 ⊙针对训练 5.[每每问题]（湘教九上P50T2改编）某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接 国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存.经市场调查发现： 若每件童装降价1元，则平均每天可多售出2件.如果要使平均每天销售这种童装盈利1200元， 那么每件童装应降价多少元？ (1)填空：设每件童装降价x元，那么平均每天就可多售出 件，一天可售出 件， 每件盈利 元； (2)列方程求解上述问题 6.[面积问题]（人教九上P25T8改编）如图，利用一面墙（墙的长度为20m),用34m长的篱笆围成 两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门.设AB的长为xm,两个鸡场的面 积和为Sm2. 20m (1)求S关于x的关系式；（不用写出自变量的取值范围） (2)两个鸡场的面积和可以等于160m2吗？如果可以，求出此时AB的长；如果不可以，请说明 理由 变式如图，在矩形ABCD中，BC=a,CD=b.设阴影部分的宽为x,则图1中S室n= ,图2 中S空的= ,图3中S的= 图1 图2 图3 温馨提示 请完成分层练习册P20~21习题 24⑦：d8g⑨不变0加减m4±6 b·c Bal±bc bd 4.(1)2x(2) 话3(415 及原式动 《原式当=3时，原式弓 7.原式=2(m+2)(m-2). 当m=√3-1时，原式=-45. 第二章方程（组)与不等式（组) 第一节一次方程（组）及其应用 1.C2.2 ①一个②1③整式 例16(4x-1):6-2=6-4+16r+4x=6+1+2:10x=9:=☐ 3.(1)x=1.(2)x=-8. 例2(1)y=2x-4;3x+2(2x-4)=-1;x=1;x=1;y=-2; {=l,（2)8x=8=1=1y=1=l, (y=-2 (y=1 x=2, 1 4.2x=4x=2;x=2;y= 2 1;4y=2;y= y= 2y= ix= 2 x=2, 1x=2 2: 12x=4;x=2;4y=2y=2 y=2 Y= x=2:(答案不唯一） 5. (y=4 例3(1)/10y=6. y-9x=10 (2)2×3x=4(20-x) 11 (3)7+9=1(4)3+10x=30+x+18 6.解：设每餐含甲原料x克，乙原料y克. 根据题意，得Q42,。解得红=30， (0.8x+0.8y=40. (y=20. 答：每餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足初中学 生的需要 第二节分式方程及其应用 例1(x+1):x-3+x+1=x+2;x=4;x=4;x+1≠0：x=4 1.(1)原分式方程的解是x=-1. (2)原方程的解为x=-9 7 例2(1)200_3000 (2)100=300 xx+50 40-xx (3)2x800800 x+1x-2 2音 2.解：(1)设在乙商店租用服装每套x元，则在甲商店租用 服装每套(x+10)元，由题意，得500400 x+10x 解得x=40, 14 经检验，x=40是该分式方程的解，且符合题意， .x+10=50. .∴.在甲、乙两个商店租用的服装每套各50元、40元 (2)在乙商店租用服装的费用较少. 理由：该参赛队伍准备租用20套服装时， 甲商店的费用为50×20×0.9=900（元）， 乙商店的费用为40×20=800（元）. .:900>800 “在乙商店租用服装的费用较少 第三节一元二次方程及其应用 ①是②不是③3④-2⑤-1 例1(1)m≠-1(2)-1(3)x2;1;-3x:-3;2 【变式】-2 例2(1)x1=3+22,x2=3-22（2)4;16;x+2;16:x1=2, -4±√64 0=-6;1:4;-12:64:2x =-2±4；x1=2,x2=-6: x-2;x+6;x-2x+6;x1=2,x2=-6 ⑥-n±6⑦btV6-4ae ⑧a⑨b 2a 1.x1=2,2=4. 2.(1)x1=2+5,=2-5.(2)x1=46=4 5 3 (3)4,3+5 235 2 (4,=3=7 0不相等①相等2没有 3.解：(1)将x=2代入方程，得20+2k-6=0,解得k=-7. 由k=-7,得原方程为5x2-7x-6=0. 3 解得x1=2,=-5 即它的男个银为子的位为7 (2)由题意得62-4ac=2+4×5×6=k2+120>0, 则方程有两个不相等的实数根. (3)由题意得b2-4ac=k2-4×5×6=k2-120, 当2-120=0，即k=±2√30时，方程有两个相等的实 数根 B-b 后526(x,+,)'-4,6①1t a a x1x2 4(1)①2：-3②5；-2 3 (2)2 例3(1)2.8(1+x)2=4【变式】3200(1-x)2=1600 (2)1++x(1+x)=121(3)(x1D-36 2 (4)x(x-1)=870(5)x[120-0.5(x-60)]=8800 Ba(1+x)2=69a(1-x)2=b@a(1+)2@n(m-1 2 8m(a-)8号·6 5.(1)2x:(20+2x):(40-x) (2)解：根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200, 整理，得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20. :要扩大销售量，尽快减少库存， .x=20. 答：每件童装应降价20元. 6.解：(1)由题意，得S=x(34-3x+2)=-3x2+36x, 即S关于x的关系式是S=-3x2+36x (2)不可以，理由如下： 由题意，得-3x2+36x=160,即3x2-36x+160=0. .4=b2-4ac=(-36)2-4×3×160=-624<0, 原方程无实数解， .两个鸡场的面积和不能等于160m2. 【变式】(a-2x)(b-2x);(a-x)(b-x);(a-x)(b-x) 第四节一次不等式（组）及其应用 ①>②>③>④<⑤< 1.④62.A ⑥实心圆点⑦空心圆圈⑧左⑨右 3.C4.x<-2 5.x>4.解集在数轴上表示略 ⑩公共部分①x≥b②x<aBa≤x<b④无解 例1x≥1；x<2;解集在数轴上表示如下： -10123 1≤x<2 6.(1)-2≤x<1:-3 (2)解集在数轴上表示如下： -3-2-10123 (3)(i)a≥1(i)-2<a≤-1 (50x+20y=5000,(x=60 例2 60:100:≤：≥：(500 (30x+10y=2800 1y=100 60a+100(500-a)≤42000， a); 1 :200≤a≤400： 500-a≥44 200≤a≤400(a取整数) 15≥6≤⑦≥8≤ 7.解：根据题意，得 若得到的两位数比原来的两位数大，则10b+a<10a+b, ∴.9b<9a,∴.b<a,即a>b. 若得到的两位数比原来的两位数小，则10b+a>10a+b, ∴.9b>9a,∴.b>a,即a<b. 若得到的两位数等于原来的两位数，则10b+a=10a+b, ∴.9b=9a,即a=b. 第三章函数 第一节平面直角坐标系与函数 ①四②三③-④=⑤=⑥=⑦=⑧y1 ⑨-y20纵①横 1.(1)四(2)2；1：2m<1(3)7:4 2.C【变式设问】(15,10) 2(a-c,b)B(atc,b)④(a,b+c）⑤(a,b-c) 6(a,-b)⑦(-a,b)⑧(-a,-b）9(b,-a) ②@(-b,a)@(-a,-b) 3.(1)(3,2);(-3,-2);(3,-2) (2)(-6,2):(-3,-2):1:上：2 (3)(-2,-3);(2,3):(3,-2) (4)(1,2):(-3,4) 2√e+y781y-nl②41x-x1l51y-y,l 4.(1)4:3;5(2)√29(3)①1m-31②(-2,4)或(8， 4) 6唯一四≥18>19≠0 5.(1)x≠2(2)x≤7(3)x≥-1且x≠06.D7.B 第二节一次函数的图象与性质 ①一、二、三②一、三③一、三、四④一、二、四 ⑤二、四⑥二、三、四⑦增大⑧减小⑨正半轴 0原点①负半轴®三，四B(0,)(冬，0) 1.(1)0(2)k<0,b<0(3)<;>(4)-2:-6 (5)(-3,0):(0,-6 2.b>a>c 2k+b=1,(k=2, 例y=x+b(k≠0)： -6+6=-5{6=-3=2x-3 【变式1(1)y=多（2y=2x-】 5+m0-m⑦+m8-m9x2①y=k(-x)+b ①y=-kx+b2x,y3-y=k(-x）+b2④y=kx-b 3.(1)4(2)1(3)y=x+3(4)y=x-1(5)y=x+5 (6)y=x+2(7)y=-x-3 4.(1)x=3;x=1 x=1, (2)y=-i.5(3)>1(4)x≤1 (5)3 第三节一次函数的实际应用 1.C 2.解：(1)设甲飞机的函数解析式为y=kx(k≠0)， 将(20,20)代人y=,得20=20k,解得k=1, 甲飞机的函数解析式为y=x 设乙飞机的函数解析式为y=mx+n(m≠0). 把(0,10)，(20.20)代入y=mx+n, 得/20=20m*n,】 1 2, m= 解得 (10=0+n, n=10, 乙飞机的函数解析式为y=2+10. (2)当这两个小飞机的高度相差5m时， 则1-（宁10）1=5，解得=10或=0 故当甲、乙两个小飞机的高度相差5m时，飞机上升的时 间为10分或30分. 3.审题：(80-60)：(120-90)：(100-x) 解：(1)根据题意，得y=(80-60)x+(120-90)(100-x)= -10x+3000,.y与x的函数关系式为y=-10x+3000. 15