第24章 圆（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测中等卷 第24章 圆 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式，代入圆心角和半径计算即可． 【规范解答】解：由弧长公式，其中，， 则的长为（）． 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的直径，是弦，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【规范解答】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：． 故选：C． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解此题的关键．由垂径定理求出，再由勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵的直径为5， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）在等边中，以A为圆心，长为半径画圆，则点C在（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．都有可能 【答案】B 【思路引导】本题考查等边三角形的性质，点与圆的位置关系，由于等边三角形的三边相等，得到．以A为圆心、为半径画圆，点C到圆心的距离等于半径，因此点C在圆上，即可得出结果． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴． ∵ 以A为圆心、长为半径画圆， ∴ 点C到圆心A的距离（半径）， ∴ 点C在圆上； 故选B． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 【答案】B 【思路引导】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接交于点，设灯罩截面所在圆的圆心为，连接，设灯罩截面所在圆的半径为,则由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【规范解答】解：连接交于点， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴于点M， ∴， ∴， 设灯罩截面所在圆的圆心为，连接， 设灯罩截面所在圆的半径为,则 由勾股定理可得，， 即 解得 即灯罩截面所在圆的半径为 故选：B 6．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了圆周角定理、等边对等角、平行线的性质，对性质的综合应用是解题的关键． 先根据圆周角定理推导出，根据等边对等角得到，，再根据平行线求解． 【规范解答】解：如图所示，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．先利用圆周角定理及平行线的性质证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据圆周角定理及直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出的长，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 同理可得，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 解得，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故选：C． 8．（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键． 先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径． 【规范解答】解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 9．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 10．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查求弧的度数，斜边上的中线. 根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数即可． 【规范解答】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴. 故选：B． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，，圆心在边上的半径为，．若沿方向移动，当与相切时，圆心O移动的最短距离为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质， 当与相切时，，再根据直角三角形的性质得，然后根据可得答案． 【规范解答】解：如图所示，当与相切时，， 由题意可知，， ∴， ∴， 即圆心O移动的最短距离是． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的直径，，，则 【答案】 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理的应用，根据，，即得，故，再根据圆周角定理即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，是的直径，点C在上，过点C的切线交的延长线于点D，连接，若，则的大小是 用含的式子表示 【答案】 【思路引导】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，先根据圆周角定理可得：，再利用切线的性质可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答． 【规范解答】解：连接， ， ， 与相切于点， ， ， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查了切线长定理，解题关键是熟记切线长定理． 根据切线长定理得到，，然后求出，进而得到． 【规范解答】解：∵，，是的切线， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：9． 15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，连接并延长交于点，并且，，则的半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了等腰三角形三线合一和勾股定理，圆的基本概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，由等腰三角形三线合一得，，设的半径为，则，那么，在中，根据，列出方程，然后解方程即可． 【规范解答】解：连接，，如图所示： ∵是弦的中点，，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得． 则的半径为． 故答案为：． 16．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，矩形内接于扇形，若点是的中点，则等于 ． 【答案】 【思路引导】如图，连接、，交于点，根据矩形的性质得出，证明是等边三角形，结合等边三角形的性质及角的和差求出，再根据圆周角定理即可得出答案． 【规范解答】解：如图，连接、，交于点， ∵四边形OCDE是矩形， ∴，， ∵矩形内接于扇形，点是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵在中，圆心角和圆周角所对的弧为， ∴， 即等于． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键． 17．（25-26九年级上·山西朔州·月考）作为华夏文明孕育的璀璨明珠，武术有着悠久的历史脉络与深厚的文化底蕴：武术界流传的“枪挑一条线，棍扫一大片”便是其生动的体现．如图1，某武术爱好者挥舞长为1米的木棍，木棍在竖直平面内顺时针旋转，图2为其挥舞的示意图，则木棍扫过的面积为 平方米． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是识别出木棍扫过的区域是扇形，并利用扇形面积公式求解． 确定木棍扫过的图形为圆心角、半径1米的扇形，代入扇形面积公式计算即可． 【规范解答】解：木棍扫过的区域是扇形，圆心角为，半径为米， 扇形面积公式为，代入得（平方米）． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·江苏南京·期中）将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，测得，则圆形玉佩的半径为 【答案】 【思路引导】本题考查的是切线性质的应用，连接，，根据题意得到，则根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，计算即可． 【规范解答】解：连接，， 由题意得，， 圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B， ，， ∴ ∴ ∴，即圆形玉佩的半径为， 故答案为： 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的直径，E为延长线上一点，与相切于点C，于点D，连接．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，灵活利用平行线的判定与性质是解答本题的关键．连接，利用切线的性质，先证明，即有，再根据，可得，即有． 【规范解答】证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（本题6分）（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，半径，，垂足为D，． (1)求证：； (2)若的半径为5，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据垂径定理得和，即可得出结论； （2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长． 【规范解答】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：2 ． 21．（本题8分）（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【规范解答】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（本题8分）（25-26九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，是的切线，． (1)如图①，若，求直径的长； (2)如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 【答案】(1) (2)，； 【思路引导】本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．； （1）由题意得；推出即可求解； （2）连接，同理可得；根据，推出，即；进而得，设半径为，则，根据，即可求解； 【规范解答】（1）解：∵是的切线， ∴，即； ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，； ∴， ∴； ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴； 设半径为，则， ∵， ∴，解得：， ∴； 23．（本题8分）（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，的弦，点D为中点，连接，过点D作交的延长线于点E，连接并延长，分别交、于点G、F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了垂径定理，切线的判定定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理． （1）根据垂径定理得到，根据得到，即可证明是的切线； （2）先证明四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理得到，设的半径长为x，连接，根据勾股定理得到，求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵点D为中点，是半径， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径长为x，则， ∴， 连接，在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 24．（本题8分）（25-26九年级上·江苏连云港·期中）老舍先生作品《骆驼祥子》的主人公是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计．如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接，． (1)小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由． (2)若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，的长为米，求车轮的半径． 【答案】(1)小明的猜想正确，证明见解析 (2)车轮的半径为米 【思路引导】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及勾股定理等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）连接，由切线的性质可证，由直径所对的圆周角是直角可证，再证明，进而可证； （2）设车轮的半径为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：小明的猜想正确． 连接，如图 与相切， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ； （2）设车轮的半径为r，则 ， 米， ． 解得． 答：车轮的半径为米． 25．（本题10分）（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，锐角内接于于点于点，交于点，延长交于点，连接，． (1)当，时，求的度数． (2)求证：． (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得，，即可求解； （2）根据直角三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，即可求证； （3）延长交于点H，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，然后根据垂径定理可得，可得，即可求证． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长交于点H，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．（本题10分）（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知，为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图，在中，点，位于直线异侧，．求的度数； 若的半径为，，求的长． 【逆向思考】 （2）如图，为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心． 【答案】（1） （2）见解析 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理． 根据，结合圆周角定理求的度数； 构造直角三角形，根据勾股定理可以求出，，根据线段之间的关系求出的长度； 只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可． 【规范解答】 解：，， ， ； 解：如下图所示，连接，过作，垂足为， ，， 是等腰直角三角形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角中，， ． 证明：如下图所示，延长交圆于点，则， ， ， ， ， ， ， ， 为该圆的圆心． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测中等卷 第24章 圆 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的直径，是弦，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 4．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）在等边中，以A为圆心，长为半径画圆，则点C在（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．都有可能 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 6．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（   ） A．3 B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 9．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，，圆心在边上的半径为，．若沿方向移动，当与相切时，圆心O移动的最短距离为 ． 12．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的直径，，，则 13．（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，是的直径，点C在上，过点C的切线交的延长线于点D，连接，若，则的大小是 用含的式子表示 14．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为 ． 15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，连接并延长交于点，并且，，则的半径为 ． 16．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，矩形内接于扇形，若点是的中点，则等于 ． 17．（25-26九年级上·山西朔州·月考）作为华夏文明孕育的璀璨明珠，武术有着悠久的历史脉络与深厚的文化底蕴：武术界流传的“枪挑一条线，棍扫一大片”便是其生动的体现．如图1，某武术爱好者挥舞长为1米的木棍，木棍在竖直平面内顺时针旋转，图2为其挥舞的示意图，则木棍扫过的面积为 平方米． 18．（25-26九年级上·江苏南京·期中）将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，测得，则圆形玉佩的半径为 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的直径，E为延长线上一点，与相切于点C，于点D，连接．求证：． 20．（本题6分）（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，半径，，垂足为D，． (1)求证：； (2)若的半径为5，，则______． 21．（本题8分）（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．（本题8分）（25-26九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，是的切线，． (1)如图①，若，求直径的长； (2)如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 23．（本题8分）（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，的弦，点D为中点，连接，过点D作交的延长线于点E，连接并延长，分别交、于点G、F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 24．（本题8分）（25-26九年级上·江苏连云港·期中）老舍先生作品《骆驼祥子》的主人公是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计．如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接，． (1)小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由． (2)若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，的长为米，求车轮的半径． 25．（本题10分）（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，锐角内接于于点于点，交于点，延长交于点，连接，． (1)当，时，求的度数． (2)求证：． (3)当时，求证：． 26．（本题10分）（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知，为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图，在中，点，位于直线异侧，．求的度数； 若的半径为，，求的长． 【逆向思考】 （2）如图，为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $