专题1.1 实数及其运算（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

该初中数学中考复习讲义聚焦实数及其运算专题，覆盖5大核心考点，以“5个知识点+5大考点+16个题型”架构系统梳理知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，结合考情分析中运算融入情境的趋势，帮助学生突破难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“举一反三”设计与情境化教学，如无理数估算结合数轴直观、科学记数法关联真实数据，培养抽象能力和应用意识。分层训练（例题+变式）适配不同学生，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

专题1.1 实数及其运算（举一反三复习讲义） 【5个知识点+5大考点+16个题型】 【考点一 实数的分类】 2 【题型1 实数的分类】 2 【题型2 无理数的估算】 3 【考点二 实数的相关概念】 3 【题型3 相反数、倒数、绝对值的求值】 4 【题型4 具有相反意义的量】 4 【题型5 直接求(算术)平方根/立方根】 5 【题型6 算术平方根的非负性】 5 【题型7 根据(算术)平方根/立方根的性质求解】 5 【题型8 (算术)平方根/立方根的实际应用】 6 【题型9 实数与数轴】 7 【考点三 科学记数法与近似数】 8 【题型10 利用科学记数法表示较大的数】 8 【题型11 利用科学记数法表示较小的数】 9 【题型12 近似数与精确度】 9 【考点四 实数的大小比较】 10 【题型13 实数的大小比较】 10 【考点五 实数的运算】 11 【题型14 实数的运算】 11 【题型15 与实数运算有关的新定义问题】 12 【题型16 实数运算的实际应用】 12 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握实数的分类、相反数、绝对值、数轴、科学记数法等基本概念；熟练进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，遵循运算顺序和律法；理解平方根、算术平方根、立方根的定义与区别. 考查趋向基础与本质，聚焦核心概念（如无理数识别、绝对值几何意义）的透彻理解。纯计算题减少，更多将运算融入生活情境、跨学科背景或数学文化中；题型上，选择题、填空题侧重双基，解答题则侧重实数与其他知识的综合应用. 1. 概念题：紧扣定义，如利用“无限不循环”判断无理数； 2. 运算题：遵循顺序，先乘方开方，再乘除，后加减，善用运算律； 3. 综合题：数形结合（活用数轴分析），分类讨论（如去绝对值），从情境中准确抽象数学模型是关键. 【考点一 实数的分类】 知识点1 实数的分类 1、按实数的定义分类： 2、按大小分类： 【题型1 实数的分类】 【例1】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【变式1-1】（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式1-2】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·上海奉贤·三模）下列各数化成小数后，结果为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 无理数的估算】 【例2】（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2-1】（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2-2】（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 【变式2-3】（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 【考点二 实数的相关概念】 知识点2 实数的相关概念 （1）数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （2）相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数. 一般地，a和-a互为相反数.0的相反数是0. a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等.很显然，a =0. （3）绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即：如果a >0，那么|a|=a； 如果a =0，那么|a|=0； 如果a <0，那么|a|=-a. a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等.很显然，a≥0. （4）倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数.即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立. a=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等.很显然，a =±1. （5）平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根. 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. （6）算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”. 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零. （7）立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根. 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零. 【题型3 相反数、倒数、绝对值的求值】 【例3】（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【变式3-1】（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【变式3-2】（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【变式3-3】（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【题型4 具有相反意义的量】 【例4】（2025·浙江宁波·模拟）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·贵州·中考真题）如果向前运动记作，那么向后运动，记作（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·江苏镇江·中考真题）如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作 ． 【变式4-3】（2025·广东深圳·三模）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　） 转账——来自小明 微信红包——发给小红 A． B． C． D． 【题型5 直接求(算术)平方根/立方根】 【例5】（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 【变式5-1】（2025·四川眉山·中考真题）的立方根是 ． 【变式5-2】（2025·浙江·中考真题） ． 【变式5-3】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【题型6 算术平方根的非负性】 【例6】（2025·湖南长沙·一模）若，则 . 【变式6-1】（2025·广东佛山·三模）已知，那么（    ） A． B． C．6 D．8 【变式6-1】（2025·广东佛山·三模）已知，那么（    ） A． B． C．6 D．8 【变式6-2】（2025·贵州·一模）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为 ． 【变式6-3】（2025·重庆·模拟）已知，则的值为 【题型7 根据(算术)平方根/立方根的性质求解】 【例7】（2025·贵州贵阳·二模）实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（    ） A． B．7 C．23 D．48 【变式7-1】（2025·河北石家庄·模拟）若，，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知一个正实数x的两个平方根分别是m和，且，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．50 【变式7-3】（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是______． 【题型8 (算术)平方根/立方根的实际应用】 【例8】（2025·陕西西安·模拟预测）《冷庐杂识》中有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式，多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”、“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．把一副七巧板按如图所示进行①~⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是64，那么“蝴蝶”上带有阴影的正方形板块边长为 ． 【变式8-1】（2025·甘肃张掖·模拟）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为 ． 【变式8-2】（2025·山东德州·二模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式8-3】（2025·山东临沂·模拟）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【题型9 实数与数轴】 【例9】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式9-1】（2025·吉林·中考真题）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式9-2】（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 【变式9-3】（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【考点三 科学记数法与近似数】 知识点3 科学记数法与近似数 （1）科学记数法： ①当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1. ②当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万×1万=108. （2）近似数 ①近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；…… ②一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字. 【题型10 利用科学记数法表示较大的数】 【例10】（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2025·江苏徐州·中考真题）2025年“五一”假期，约有166200人次的参观者走进淮塔园林接受红色教育．将166200用科学记数法表示为 ． 【变式10-2】（2025·浙江温州·一模）用科学记数法表示的数 的原数是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 【题型11 利用科学记数法表示较小的数】 【例11】（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·山东济宁·二模）科学记数法表示的数是（   ） A． B． C． D．52000 【变式11-2】（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【变式11-3】（2025·甘肃陇南·模拟）某项抽奖活动特等奖的中奖率用科学记数法可表示为，下列与数据“”相等的是（   ） A． B． C． D． 【题型12 近似数与精确度】 【例12】（2025·江西抚州·模拟预测）中国老龄办公布的《“十一五”期间中国老龄事业发展状况》称，“十一五”期间，中国养老保障制度不断完善．截至2011年初，全国城镇基本养老保险参保人数为人，保留两个有效数字后为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025·四川凉山·模拟预测）西昌年地区生产总值（）首次突破亿元大关，达到亿元，持续稳坐凉山州经济“头把交椅”．这里的亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．千万位 D．百万位 【变式12-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）用四舍五入把639548精确到千位，其中不正确的是（   ） A．640000 B． C．64.0万 D．640千 【变式12-3】（2025·山东潍坊·一模）某市2025年参加中考的学生数大约为人，下列关于这个近似数说法正确的是（   ） A．精确到百位，有3个有效数字 B．精确到百位，有5个有效数字 C．精确到百分位，有3个有效数字 D．精确到百分位，有5个有效数字 【考点四 实数的大小比较】 知识点4 实数的大小比较 （1）数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. （2）类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． （3）作差比较法：对任意负实数，，①． （4）平方比较法： ①对任意正实数，，； ②对任意负实数，，； （5）倒数比较法：若>，，则． （6）作商比较法： ①任意实数，，=1； ②任意正实数，，若＞1；1； ③任意负实数，，若＞1；1. 【题型13 实数的大小比较】 【例13】（2025·青海西宁·中考真题）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 【变式13-1】（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2025·江西·中考真题）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 【变式13-3】（2025·辽宁大连·一模）若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C．a D．ab 【考点五 实数的运算】 知识点5 实数的运算 （1）实数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0； ③一个数同0相加，仍得这个数. （2）实数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. （3）实数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0； ②几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积是负数，当负因数的个数为偶数时，积是正数； ③几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0. （4）实数除法法则： ①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数； ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0. （5）乘方的运算法则： 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0. 【题型14 实数的运算】 【例14】（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【变式14-1】（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【变式14-2】（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 【变式14-3】（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【题型15 与实数运算有关的新定义问题】 【例15】（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【变式15-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）规定一种新的定义： ，若，则 ． 【变式15-2】（2025·山东·模拟预测）如果n是一个自然数，那么n的“阶乘”记为，其表示从1到n的所有数的积，如果，那么的末尾数字为 ． 【变式15-3】（2025·四川乐山·模拟预测）对于正数x，规定，解答下列问题． （1）计算 ； （2）计算 ． 【题型16 实数运算的实际应用】 【例16】（2025·云南·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 当身高公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表（二）归类，实际体重介于公斤至公斤之间会被归类为正常，若将上述身高1.8公尺且实际体重被归类为正常的成年男性，重新以算法③计算理想体重并根据表（二）归类，则所有可能被归类的类别为何？（ ） A．正常 B．正常、过重 C．正常、过轻 D．正常、过重、过轻 【变式16-1】（2025·山东日照·一模）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为 （元） 根据此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档． A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【变式16-2】（2025·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【变式16-3】（2025·四川·模拟）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 实数及其运算（举一反三复习讲义） 【5个知识点+5大考点+16个题型】 【考点一 实数的分类】 2 【题型1 实数的分类】 2 【题型2 无理数的估算】 4 【考点二 实数的相关概念】 6 【题型3 相反数、倒数、绝对值的求值】 7 【题型4 具有相反意义的量】 9 【题型5 直接求(算术)平方根/立方根】 9 【题型6 算术平方根的非负性】 11 【题型7 根据(算术)平方根/立方根的性质求解】 13 【题型8 (算术)平方根/立方根的实际应用】 15 【题型9 实数与数轴】 17 【考点三 科学记数法与近似数】 19 【题型10 利用科学记数法表示较大的数】 19 【题型11 利用科学记数法表示较小的数】 21 【题型12 近似数与精确度】 22 【考点四 实数的大小比较】 24 【题型13 实数的大小比较】 24 【考点五 实数的运算】 26 【题型14 实数的运算】 26 【题型15 与实数运算有关的新定义问题】 28 【题型16 实数运算的实际应用】 31 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握实数的分类、相反数、绝对值、数轴、科学记数法等基本概念；熟练进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，遵循运算顺序和律法；理解平方根、算术平方根、立方根的定义与区别. 考查趋向基础与本质，聚焦核心概念（如无理数识别、绝对值几何意义）的透彻理解。纯计算题减少，更多将运算融入生活情境、跨学科背景或数学文化中；题型上，选择题、填空题侧重双基，解答题则侧重实数与其他知识的综合应用. 1. 概念题：紧扣定义，如利用“无限不循环”判断无理数； 2. 运算题：遵循顺序，先乘方开方，再乘除，后加减，善用运算律； 3. 综合题：数形结合（活用数轴分析），分类讨论（如去绝对值），从情境中准确抽象数学模型是关键. 【考点一 实数的分类】 知识点1 实数的分类 1、按实数的定义分类： 2、按大小分类： 【题型1 实数的分类】 【例1】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 【变式1-1】（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了正数的概念，熟知正数的概念是解题的关键． 根据正数的定义判断各选项是否符合条件． 【分析】A．1大于0，是正数，故本选项符合题意； B．0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； C．小于0，属于负数，故本选项不符合题意； D．小于0，属于负数，故本选项不符合题意． 故选：A 【变式1-2】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（2025·上海奉贤·三模）下列各数化成小数后，结果为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数，根据有限小数的定义逐项进行判断即可．熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：A．是无理数，是无限不循环小数，故此选项不符合题意； B．，是有限小数，故此选项符合题意； C．，是无限循环小数，故此选不符合题意； D．是无理数，是无限不循环小数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【题型2 无理数的估算】 【例2】（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 【变式2-1】（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 【变式2-2】（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是， 故答案为：3（答案不唯一） 【变式2-3】（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 【答案】2 【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边． 由点B坐标确定圆柱的高，根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；利用勾股定理计算以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得到露出部分的最小长度并保留整数． 【详解】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∵铅笔总长度为，即， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∵结果保留整数， ∴露出部分的最小长度约为． 故答案为：2． 【考点二 实数的相关概念】 知识点2 实数的相关概念 （1）数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （2）相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数. 一般地，a和-a互为相反数.0的相反数是0. a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等.很显然，a =0. （3）绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即：如果a >0，那么|a|=a； 如果a =0，那么|a|=0； 如果a <0，那么|a|=-a. a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等.很显然，a≥0. （4）倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数.即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立. a=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等.很显然，a =±1. （5）平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根. 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. （6）算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”. 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零. （7）立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根. 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零. 【题型3 相反数、倒数、绝对值的求值】 【例3】（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 【变式3-1】（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可. 【详解】解：∵， ∴3的倒数是， ∴ 的倒数是， 故选：B 【变式3-2】（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式3-3】（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型4 具有相反意义的量】 【例4】（2025·浙江宁波·模拟）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正数与负数，绝对值的计算；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的砝码． 【详解】解：通过求4个砝码的绝对值得： ； 的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的砝码； 故选：B． 【变式4-1】（2025·贵州·中考真题）如果向前运动记作，那么向后运动，记作（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用，根据正负数表示一对相反意义的量，向前为正，则向后为负，进行判断即可． 【详解】解：向前运动记作，那么向后运动，记作； 故选：C． 【变式4-2】（2025·江苏镇江·中考真题）如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作 ． 【答案】升 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，根据题意准确分析可得结果． 根据加油记作，则用去油记作即可得解． 【详解】汽车加油30升记作升， 用去油10升记作升； 故答案是：升． 【变式4-3】（2025·广东深圳·三模）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　） 转账——来自小明 微信红包——发给小红 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义以及有理数加法运算．根据正负数的意义以及有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：根据题意可知，收入为正，支出为负，且（元） 则最终结果收入6元应表示为， 故选：B 【题型5 直接求(算术)平方根/立方根】 【例5】（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，正方形的面积等于边长的平方，所以2的算术平方根即为所求． 【详解】解：已知一个正方形的面积为2，则其边长为． 故答案为： 【变式5-1】（2025·四川眉山·中考真题）的立方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 【变式5-2】（2025·浙江·中考真题） ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 【变式5-3】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 【题型6 算术平方根的非负性】 【例6】（2025·湖南长沙·一模）若，则 . 【答案】0 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由可知：， ∴， ∴， ∴； 故答案为0． 【变式6-1】（2025·广东佛山·三模）已知，那么（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 先根据非负数的性质可得，求出，再代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选B. 【变式6-2】（2025·贵州·一模）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，掌握平方数和绝对值的非负性是解题的关键． 根据平方数和绝对值的非负性可知，，即，，先求出的值，把的值代入，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 【变式6-3】（2025·重庆·模拟）已知，则的值为 【答案】 【分析】根据所给式子的特征，得到，结合，求出，继而得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，分式有意义的条件，解题的关键是根据互为相反数的两个数作为被开方数求出x值． 【题型7 根据(算术)平方根/立方根的性质求解】 【例7】（2025·贵州贵阳·二模）实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（    ） A． B．7 C．23 D．48 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根、代数式求值等知识，理解并掌握立方根和算术平方根的定义是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于， ∴， ∴． 故选：C． 【变式7-1】（2025·河北石家庄·模拟）若，，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的概念，根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【变式7-2】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知一个正实数x的两个平方根分别是m和，且，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】A 【分析】一个正实数x的两个平方根分别是m和，得到，代入得到，解答即可． 本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由一个正实数x的两个平方根分别是m和， 得到， 代入得到， 故， 解得，（舍去）． 故选：A． 【变式7-3】（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是______． 【答案】72 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据华罗庚的方法，首先判断立方根的位数：由于，因此立方根是两位数；其次，根据个位数字8，确定立方根的个位数字是2；最后，划去后三位248得到373，通过比较，，确定十位数字是7，从而得到立方根为72． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2， 划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7． 因此，． 故答案为 ：72． 【题型8 (算术)平方根/立方根的实际应用】 【例8】（2025·陕西西安·模拟预测）《冷庐杂识》中有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式，多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”、“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．把一副七巧板按如图所示进行①~⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是64，那么“蝴蝶”上带有阴影的正方形板块边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了七巧板的认识，算术平方根的应用．结合“蝴蝶”的面积之和为64，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：设⑤的面积为， 结合七巧板的特点得各个面积的情况如图所示： 依题意，， 解得， ∴“蝴蝶”上带有阴影的正方形板块即①的面积为8， ∴边长为 故答案为：． 【变式8-1】（2025·甘肃张掖·模拟）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了立方根的应用，由正方体的体积及立方根即可求解． 【详解】解：设正方体的棱长为a，则， ∴， 故答案为：4． 【变式8-2】（2025·山东德州·二模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，无理数的估算，根据题意可得铁块的体积为，则铁块的棱长为，再估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：由排水法可知，排出的水的体积即为铁块的体积， ∴铁块的体积为， ∴铁块的棱长为， ∵， ∴， ∴铁块的棱长在3和4之间， 故选：B． 【变式8-3】（2025·山东临沂·模拟）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1)98cm (2)不能够裁出来，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． （1）设绣布的长为，宽为，根据面积公式列式得出，解出，即可作答． （2）设完整的圆形绣布的半径为r cm，根据圆面积公式列式，进行计算得，结合，即可作答． 【详解】（1）解：设绣布的长为，宽为，根据题意， 得 即 ∴ ∵ ∴ ∴绣布的长为28cm，宽为21cm， 周长为（cm） （2）解：不能够裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为r cm， 得， ∵取3， ∴， 解得（负值已舍去） ∵， ∴， ∴不能够裁出来． 【题型9 实数与数轴】 【例9】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 【变式9-1】（2025·吉林·中考真题）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 【变式9-2】（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据实数在数轴上对应点的位置，判定出符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小． 【详解】解：由实数在数轴上对应点的位置可知：，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 【考点三 科学记数法与近似数】 知识点3 科学记数法与近似数 （1）科学记数法： ①当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1. ②当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万×1万=108. （2）近似数 ①近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；…… ②一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字. 【题型10 利用科学记数法表示较大的数】 【例10】（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 【变式10-1】（2025·江苏徐州·中考真题）2025年“五一”假期，约有166200人次的参观者走进淮塔园林接受红色教育．将166200用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将166200写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式10-2】（2025·浙江温州·一模）用科学记数法表示的数 的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是科学记数法的知识．首先根据科学记数法的定义，由的形式，可以得出原数变形为；然后再根据有理数的乘法法则进行计算即可得出结果. 【详解】解：． 故选：C． 【变式10-3】（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可． 【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即： ． 故选：C 【题型11 利用科学记数法表示较小的数】 【例11】（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 【变式11-1】（2025·山东济宁·二模）科学记数法表示的数是（   ） A． B． C． D．52000 【答案】B 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了还原用科学记数法表示的小数，以及用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴科学记数法表示的数是， 故选：B 【变式11-2】（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． 【变式11-3】（2025·甘肃陇南·模拟）某项抽奖活动特等奖的中奖率用科学记数法可表示为，下列与数据“”相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法还原原数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【题型12 近似数与精确度】 【例12】（2025·江西抚州·模拟预测）中国老龄办公布的《“十一五”期间中国老龄事业发展状况》称，“十一五”期间，中国养老保障制度不断完善．截至2011年初，全国城镇基本养老保险参保人数为人，保留两个有效数字后为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法、保留有效数字等知识，熟记科学记数法及四舍五入到两位有效数字的方法是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．再根据有效数字的定义，将数字四舍五入到两位有效数字，即可得到答案． 【详解】解：， 又∵保留两个有效数字，需看小数点后第二位数字， ∴将数字四舍五入到两位有效数字时，由知需要进位，得， 故选：B． 【变式12-1】（2025·四川凉山·模拟预测）西昌年地区生产总值（）首次突破亿元大关，达到亿元，持续稳坐凉山州经济“头把交椅”．这里的亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．千万位 D．百万位 【答案】D 【分析】本题考查了精确度，把原数还原，看末位数字在还原后的数中所占的数位即可求解，理解精确度的定义是解题的关键 【详解】解：亿， ∵亿的末位数字在还原后的数中所占的数位是百万位， ∴亿精确到百万位， 故选：． 【变式12-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）用四舍五入把639548精确到千位，其中不正确的是（   ） A．640000 B． C．64.0万 D．640千 【答案】A 【分析】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．把百位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：639548精确到千位是或64.0万或640千． 640000不能体现精确到千位， 故选：A． 【变式12-3】（2025·山东潍坊·一模）某市2025年参加中考的学生数大约为人，下列关于这个近似数说法正确的是（   ） A．精确到百位，有3个有效数字 B．精确到百位，有5个有效数字 C．精确到百分位，有3个有效数字 D．精确到百分位，有5个有效数字 【答案】A 【分析】此题主要考查科学记数法与有效数字，解答的关键是明确用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法． 在标准形式中的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是，且其展开后可看出精确到的是百位． 【详解】解：，所以有 3 个有效数字，，精确到百位． 故选：A． 【考点四 实数的大小比较】 知识点4 实数的大小比较 （1）数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. （2）类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． （3）作差比较法：对任意负实数，，①． （4）平方比较法： ①对任意正实数，，； ②对任意负实数，，； （5）倒数比较法：若>，，则． （6）作商比较法： ①任意实数，，=1； ②任意正实数，，若＞1；1； ③任意负实数，，若＞1；1. 【题型13 实数的大小比较】 【例13】（2025·青海西宁·中考真题）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较实数大小，无理数的估算，掌握比较实数大小的法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键，根据比较实数大小的法则求解即可． 【详解】解：负数小于0，0小于正数， ， 又，，且， ， ， 最大的是， 故选：． 【变式13-1】（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：，，，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 【变式13-2】（2025·江西·中考真题）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 【答案】D 【分析】本题考查负数的知识，负数大小的比较．分别比较几个凝固点的大小，即可得到解答．． 【详解】解：由表格可知，固态氢的熔点为，固态氧的熔点为，固态氮的熔点为，固态酒精的熔点为， ∵， ∴熔点最高的是固态酒精． 故选：D． 【变式13-3】（2025·辽宁大连·一模）若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C．a D．ab 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用有理数的概念、有理数加减运算、有理数的大小比较等知识点，掌握有理数的加减运算法则成为解题的关键． 根据有理数的概念与运算法则进行比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴中最大的一个数是． 故选：A． 【考点五 实数的运算】 知识点5 实数的运算 （1）实数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0； ③一个数同0相加，仍得这个数. （2）实数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. （3）实数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0； ②几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积是负数，当负因数的个数为偶数时，积是正数； ③几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0. （4）实数除法法则： ①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数； ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0. （5）乘方的运算法则： 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0. 【题型14 实数的运算】 【例14】（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 【变式14-1】（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 【变式14-2】（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可. 【详解】原式 . 【变式14-3】（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 【题型15 与实数运算有关的新定义问题】 【例15】（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 【变式15-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）规定一种新的定义： ，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义运算. 根据定义先求出，再计算即可. 【详解】∵， ∴ 即 故答案为：4. 【变式15-2】（2025·山东·模拟预测）如果n是一个自然数，那么n的“阶乘”记为，其表示从1到n的所有数的积，如果，那么的末尾数字为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数字类规律的探索，关键在找到规律． 由于，，，，，再往后的结果个位数都是0，依此可求的个位数字． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 再往后的结果个位数都是0， ∵， ∴的个位数是； 故答案为：． 【变式15-3】（2025·四川乐山·模拟预测）对于正数x，规定，解答下列问题． （1）计算 ； （2）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，分式的计算以及乘法公式； （1）将和分别代入代数式，即可求解． （2）根据题意得出，进而根据平方差公式展开结合新定义，即可求解． 【详解】解：（1） ， 故答案为：． （2）∵， ∴， ， 故答案为：． 【题型16 实数运算的实际应用】 【例16】（2025·云南·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 当身高公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表（二）归类，实际体重介于公斤至公斤之间会被归类为正常，若将上述身高1.8公尺且实际体重被归类为正常的成年男性，重新以算法③计算理想体重并根据表（二）归类，则所有可能被归类的类别为何？（ ） A．正常 B．正常、过重 C．正常、过轻 D．正常、过重、过轻 【答案】B 【分析】本题考查百分数的计算，数据的分析与分类，熟练掌握数据的分析与分类是解题的关键，根据题意计算出实际体重的范围，再利用算法③计算理想体重并和表二对比即可得到答案． 【详解】解：∵身高公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表（二）归类，实际体重介于公斤至公斤之间会被归类为正常， ∴这类男性的实际体重为公斤至公斤， 按照算法③身高公尺的成年男性理想体重为：（公斤）， ∴，， ∴对比表二归类，该男子可能属于正常或过重， 故选：B． 【变式16-1】（2025·山东日照·一模）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为 （元） 根据此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档． A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，通过计算用电量为度和度时的电费，得到临界值元和元，从而判断各说法． 【详解】用电量度时，电费为元， 当时，用电量在第一档，故（1）正确； 用电量度时，电费为元， 当时，用电量在第二档，故（2）正确； 当 时，用电量在第三档，故（3）正确； 故选：D． 【变式16-2】（2025·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【答案】25.2 【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可． 【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶 合计费用为：元 第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶 合计费用为：元 故选择第二种更划算，最低费用为25.2元 故答案为：25.2． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键． 【变式16-3】（2025·四川·模拟）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 【答案】(1)组分组积分赛对阵表见解答过程； (2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； (3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可； （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案； （3）分组积分赛48场，决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场，相加即可． 【详解】（1）组分组积分赛对阵表：    阿根廷    沙特    墨西哥    波兰    阿根廷    阿根廷：沙特    阿根廷：墨西哥    阿根廷：波兰    沙特    沙特：阿根廷    沙特：墨西哥    沙特：波兰    墨西哥    墨西哥：阿根廷    墨西哥：沙特    墨西哥：波兰    波兰    波兰：阿根廷    波兰：沙特    波兰：墨西哥 （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场， 一共踢了（场）， 本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； （3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共（场）； 决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场； 一共踢了（场）； 本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $