第01讲 实数及其运算（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“实数及其运算”核心模块，覆盖实数分类、科学记数法、二次根式、大小比较、混合运算五大中考命题点，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析形成系统复习架构，结合真题训练与方法指导，助力学生突破易错点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于融入新课标核心素养，如通过规律探究题培养创新意识，设计“基础巩固→能力提升→全国新趋势”分层练习，结合安徽本地热点预测命题方向，有效提升学生运算能力与应考技巧，教师可据此精准把控复习节奏，实现高效备考。

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 实数的分类与相关概念 题型01实数的分类 题型02实数的相关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 命题点二 科学记数法与近似数 题型01 科学记数法 题型02 近似数 命题点三 数的开方与二次根式 题型01数的开方 题型02二次根式 命题点四 实数的大小比较 题型01实数的大小比较 题型02实数的估算 命题点五 实数的运算 题型01实数的运算 题型02含特殊角三角函数值的实数运算 05·重难突破·思维进阶难 24 突破 实数中的规律探究题 06·优题精选·练能提分 28 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2023~2025年 课标要求 实数的分类与相关概念 2024年第1题 2023年第1题 考查绝对值、相反数较多，未单独考查倒数 1. (新增)理解负数的意义,理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小 2. 了解无理数和实数,(新增)知道实数由有理数和无理数组成,了解实数与数轴上的点对应.(新增)能用数轴上的点表示实数,能比较实数的大小. 3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法,会求实数的相反数和绝对值. 科学记数法 2025年第2题 2024年第2题 2023年第12题 均考查大数的科学记数法，主要有大数不带单位,大数带单位万、亿 1.会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。 2.了解近似数,在解决实际问题中,会按问题的要求进行简单的近似计算. 数的开方与二次根式 2025年第4题 2024年12题 2023年11题 多结合实数的混合运算考查 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根； 2.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根,会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根； 3.了解二次根式和最简二次根式概念，会用相关运算法则进行简单四则运算。 实数的大小比较 2025年第1题 2024年第12题 1.(新增)能用数轴上的点表示实数,能比较实数的大小. 2.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 实数的运算 2025年第11题 新定义下的实数运算 能进行实数的简单四则运算，理解乘方、开方的意义；掌握实数运算的顺序和运算律，能进行含有二次根式、绝对值、三角函数值等的混合运算。 命题预测 2026年可能结合安徽本地的地域数据、社会热点如农业产量、生态治理相关的数值等作为题目背景，让实数运算更具应用性，贴合中考命题 “联系实际” 的原则。 题目会注重对易错点的考查，比如负整数指数幂的计算、零指数幂中底数不为 0 的隐含条件、二次根式有意义的条件等，以此检验学生运算的严谨性。 考点一 实数的分类与相关概念 1.实数的分类 实数(按定义分) 2.实数的相关概念   概念 定义 性质 数轴 规定了原点、单位长度、正方向的直线,如图: 实数与数轴上的点一一对应 　   绝对值 (1)|a|:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(几何意义);  (2)|a|= 非负性:(1)|a|≥0; (2)若|a|+|b|+…+|m|=0, 则a=b=…=m=0. 注:绝对值最小的数是0 相反数 (1)只有符号不同的两个数互为相反数,特别地,0的相反数是0.  (2)几何意义:在数轴上,表示互为相反数的两个点位于原点的两侧,且到原点的距离相等,即这两个点对应的数的绝对值相等  若实数a,b互为相反数,则a+b=0 倒数 乘积是1的两个数互为倒数,0没有倒数 实数a,b互为倒数⇔ab=1               1．（2025·安徽滁州·三模）下列为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴是正数，，，不是正数， 故选：D． 2．（2025·安徽阜阳·三模）的相反数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 3．（2025·安徽淮南·二模）下列各数中，与实数25互为倒数的是（    ） A．25 B．52 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ 与25互为倒数的数是． 故选D． 4．（2025·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】6 【详解】解：， 故答案为：． 考点二 科学记数法与近似数 科学记数法 把一个数表示成a×10(1≤|a|<10,n为整数)的形式 近似数 一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到那一位,常采用四舍五入法得到一个数的近似数.如3.14159精确到0.01是3.14;近似数3.14万是精确到百位 1．（2025·安徽·中考真题）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将数据521.7亿用科学记数法表示为； 故选C． 2．（2025·安徽·模拟预测）“谷子”经济，即以漫画、动漫、游戏等IP为原型的二次元周边商品，正在成为年轻人的消费新宠．数据显示，中国“谷子经济”市场规模在2024年达1689亿元．数字“1689亿”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：1689亿． 故选：B 3．（2025·安徽合肥·二模）哈尔滨工业大学团队利用飞秒激光在二维多层材料上制备出超分辨率纳米沟槽阵列（），沟槽宽度仅纳米（约为激光波长的），深度贯穿纳米片该技术突破了光学衍射极限，且加工过程低损伤，保留了材料的单晶特性，为高性能气敏传感器（如检测）和电子器件提供了新方案，纳米（纳米米）用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：14.5纳米米米． 故选：B． 考点三 数的开方与二次根式 1.平方根、算术平方根与立方根 类别 a(a≥0) b(b<0) 【常用结论】 (1)只有非负数才有平方根,任何实数都有立方根; (2)正数的平方根有两个,它们互相反数,正数的算术平方根只有一个且为正数;  (3)立方根等于它本身的数有3个,分别为 -1,0,1 平方根 ± 无 算术平方根 无 立方根 2.二次根式 概念 二次根式 一般地,我们把形如≥0的式子叫做二次根式 ） 最简二次根式 同时满足下列两个条件的二次根式: (1)被开方数不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式(补充) 化为最简二次根式后,被开方数相同的二次根式 性质 (1)≥0, a≥0 (双重非负性); (2)()²=a (a ≥ 0);  (3)=|a|;  (4)=·(a ≥ 0,b ≥ 0);  (5)=(a ≥ 0,b＞0)  运算 加减运算:先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并 乘除运算:·=(a≥0,b≥0);=(a ≥ 0,b＞0)  1．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 2．（2025·安徽阜阳·三模）计算的结果是 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2023·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 考点四 实数的大小比较 1.实数比较大小 (1)在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.  (2)正数>0>负数. (3)两个正数比较大小,绝对值大的就大;两个负数比较大小, 绝对值大的反而小 . (4)比较实数大小的其他常用方法: 差值比较法:对于任意实数a,b:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.(实质是不等式的性质) 平方法:例如2与3比较大小:(2)²=20,(3)²=18.因为20>18,所以2>3. 2.无理数的估值 确定(a≥0)在哪两个相邻整数之间的步骤: 估计2在哪两个相邻整数之间 第一步:对进行平方,得到()²=a; 第二步:找到与a相邻的两个开得尽方的整数; 第三步:对以上两个整数开方; 第四步:确定在开方后在哪两个相邻整数之间.　　　 1．（2025·安徽·中考真题）在，0，2，5这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】A 【详解】解：有理数大小比较规则：负数正数． 对于、、、这四个数， 是负数，是零，、是正数， ， 即最小的数是． 故选：． 2．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】> 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 3．（2025·安徽宿州·三模）已知，为正整数，则 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 考点五 实数的运算 1.实数的运算 运算 法则 加法 法则 同号两数相加:取相同的符号,并把绝对值相加 异号两数相加:绝对值相等时,和为 0 ;  绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值 减法法则 减去一个数,等于加这个数的相反数:a-b=a+(-b) 乘除法则 (1)两数相乘(除),同号得正,异号得负,并把绝对值相乘(除); (2)任何数与0相乘,都得0; (3)0除以任何一个不等于0的数,都得0 乘方 ,求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂,在中,a叫做底数,n叫做指数,读作“a的n次幂”(或“a的n次方”)  运算律 交换律 加法交换律:a+b=b+a,乘法交换律:ab=ba 结合律 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c), 乘法结合律:(ab)c=a(bc) 分配律 a(b+c)=ab+ac 2.实数混合运算的顺序 先算乘方和开方 ,再算乘除 ,最后算加减;如果有括号,先进行括号内的运算,一般按小括号、中括号、大括号依次进行;同级运算,从左到右进行. 3.知识链接 (1)负整数指数幂:=.(a≠0,p为正整数)  (2)零次幂:=1.(a≠0)  (3)特殊角的三角函数值: sin 30°= , cos 30°= , tan 30°= .  sin 60°= , cos 60°= tan 60°= .  sin 45°= , cos 45°= , tan 45°= 1 .  1．（2025·安徽·二模）计算：= 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（2025·安徽芜湖·三模）计算：． 【答案】 【详解】解： 3．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 命题点一 实数的分类与相关概念 1.正数、负数 负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2.无理数的四种常见形式 （1）被开方数开方开不尽的数:如,,等; （2）含有根号的特殊角的三角函数值:如sin 45°,sin 60°,cos 30°等; （3）有规律的无限不循环小数:如0.10010001…(相邻两个1之间依次多1个0); （4）π及化简后含有π的数:如π,,-π等. 3.求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 3.绝对值 如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． ►题型01 实数的分类 【典例】（2025·安徽蚌埠·三模）在，0，3，这四个数中，负整数是（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：是负整数， 0既不是正数，也不是负数， 3是正整数， 是负无理数． 故选A． 【变式1】下列各数中，负数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴是负数的是； 故选D． 【变式2】下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意； B、是整数，是有理数，故本选项不符合题意； C、是分数，是有理数，故本选项不符合题意； D、是有限小数，，是有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． ►题型02 实数的相关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 【典例】（2025·安徽淮北·一模）的倒数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 的倒数是． 故选：B． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）若与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．5 D． 【答案】C 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【变式2】（2024·安徽·模拟预测）下列说法中错误的是（    ） A．一个负数的绝对值是它的相反数 B．数轴上离原点越远的点所表示的数越大 C．任何有理数都有相反数 D．正数都大于零 【答案】B 【详解】解：A、负数的绝对值是它的相反数，正确，选项不符合题意； B、数轴上在原点的右侧离原点越远的点所表示的数越大，而在原点的左侧离原点越远所表示的数越小，故选项符合题意； C、任何数都有相反数，正确，选项不符合题意； D、正数都大于正确，选项不符合题意． 故选：B 命题点二 科学记数法与近似数 1.用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 小技巧：1万=104，1亿=1万×1万=108. 2．科学记数法与有效数字 （1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； （2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． ►题型01 科学记数法 【典例1】（2024·安徽·中考真题）据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：万， 故选：． 【典例2】（2023·安徽·中考真题）据统计，年第一季度安徽省采矿业实现利润总额亿元，其中亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：亿． 故答案为：． 【变式1】（2025·安徽淮南·二模）决胜“十四五”，奋进新征程．安徽省政府工作报告明确了2025年安徽经济社会发展的主要预期目标，其中全员劳动生产率达168000元/人左右，城镇常住居民人均可支配收入增速高于全国平均水平．数据168000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数据168000用科学记数法表示为． 故选：C 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）水是生命之源．已知水分子的直径为0.00000000028米，则0.00000000028用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 故选：B． 【变式3】（2025·安徽芜湖·三模）据国家统计局数据，今年月份，全国规模以上工业企业实现利润总额超过亿元，同比增长．数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：亿， 故答案为：． ►题型02 近似数 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场日均蔬菜交易量约为，关于这个近似数，下列说法正确的是（    ） A．它精确到 B．它精确到万位 C．它精确到万分位 D．它精确到千位 【答案】B 【详解】解：∵， ∴该数精确到万位． 故选B． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）将精确到百位的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：精确到百位的结果是． 故选D． 【变式2】数精确到万位是 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 命题点三 数的开方与二次根式 二次根式的混合运算应注意以下几点： 1.与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． 2.在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． 3.二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 4.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 平方根、算术平方根、立方根相关易错点 混淆平方根与算术平方根：正数的平方根有两个，且互为相反数。算术平方根仅指其中的非负值。 忽略平方根的非负前提：只有非负数才有平方根，学生易犯 “负数有平方根” 的错误，另外，对特殊值的相关性质记忆混乱，比如混淆 “平方根等于自身的数是 0” 和 “立方根等于自身的数是 -1、0、1” 这两个知识点。 ►题型01 数的开方 【典例1】（2025·安徽·一模）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【典例2】（（2025·安徽合肥·三模）计算： ． 【答案】3 【详解】解：． 故答案为：3 【变式1】（2025·安徽六安·三模）计算： ． 【答案】 【详解】解：原式， 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽马鞍山·三模）计算： ． 【答案】6 【详解】解：， 故答案为：6 ►题型02 二次根式 【典例1】（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、当时，，当时，，选项错误，不符合题意； 故选：C 【典例2】（2025·安徽合肥·二模）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1】（2025·安徽宿州·一模）已知为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.当时，没有意义，不符合题意； B.当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； C.当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； D.当，即取全体实数时，有意义，符合题意． 故选D 【变式2】（2025·安徽阜阳·三模）南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积．其求三角形面积的方法用现在的语言表达为：的三条边为．若的三条边，则的面积 （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：当时， ． ． 故答案为． 命题点四 实数的大小比较 实数比较大小的6种基础方法： 数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 作差比较法：若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b． 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b； ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b． 倒数比较法：若>，ab>0，则a<b． 作商比较法：①任意实数a，b，=1a=b； ②任意正实数a，b，>1a>b；<1a＜b； ③任意负实数a，b，>1a<b；<1a＜b. 注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较 ►题型01 实数的大小比较 【典例1】（2025·安徽安庆·三模）在实数，，，四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， 故最小的数是． 故选：A． 【典例2】（2025·安徽蚌埠·三模）比较大小： （填，或）． 【答案】 【详解】解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·安徽安庆·三模）如图，实数、、、在数轴上表示如下，则最小的实数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察数轴可知，， ∴最小的实数是m． 故选：A 【变式2】（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型03 实数的估算 【典例】（2025·安徽阜阳·三模）（数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故选：B． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知，下列与m 最接近的整数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴，且更接近8， 与整数8最接近． 故选：C． 【变式】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，若对x取近似值保留到个位，则 ． 【答案】6 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 命题点五 实数的运算 实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． ►题型01 实数的运算 【典例1】（2025·安徽黄山·模拟预测）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【典例2】（2025·安徽阜阳·三模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）计算： 【答案】 【详解】解：原式 【变式2】（2025·安徽铜陵·三模）计算： 【答案】 【详解】解： ． ►题型02 含特殊角三角函数值的实数运算 【典例】（2025·安徽滁州·二模）计算：． 【答案】7 【详解】解： ． 【变式1】（2025·安徽宿州·模拟预测）计算： 【答案】 【详解】解：原式 【变式2】（2025·安徽亳州·三模）计算：． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】（2025·安徽·模拟预测）计算： 【答案】5 【详解】解：， ， ． 突破 实数中的规律探究题 【典例】（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 【变式1】（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 【变式2】（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字例如，初始数列为，，第次构造后得到，，（即，，），第次构造后得到，，，（即，，，），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示． (1)观察前几次构造的结果，完成下列问题： 构造次数 构造后的数列 的值 的值 ， ，， ，，， ，，，， ，，，，， ①第次构造后的的值为______；（直接填数字） ②根据上表规律，第次构造后的值是_____；（用含的代数式表示） (2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程： ，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即， 阅读完上述过程，请直接写出当时______，的结果为______．（用含的代数式表示） 【详解】（1）解：①∵根据表格，第五次构造的数列为，，，，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵，，，，， ∴，，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵表示，，，，这列数中的第个数， ∴表示，，，，这列数中的第个数， ∴， 令（其中）， 则， 两式相减，得， 即， 故答案为：； ∵， ∴ ， ∵根据表格， ∴， 故答案为：． 1．（2025·安徽合肥·二模）2025年1～2月，安徽省汽车产量为万辆，首次反超广东，登顶中国第一汽车产量大省．数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：万． 故选：C． 2．（2025·安徽芜湖·三模）下列实数比小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴实数比小的是， 故选：D． 3．（2025·安徽滁州·二模）下列四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：0与均为非负数，一定比负数大， ∵，， ，， ∴， ∴，最小的数是， 故选：D 4．（2025·安徽·模拟预测）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，， 解得：． 故答案为：． 5．（2025·安徽合肥·一模）比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 7．（2025·安徽合肥·二模）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为．请比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，， 而， ∴， 故答案为： 8．（2025·安徽淮南·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 9．（2025·安徽马鞍山·三模）计算：． 【答案】1． 【详解】解： ． 10．（2025·安徽·三模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 1．（2025·安徽芜湖·三模）已知实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，， ∴， ， ． 把代入， 解得． ∵， ∴， ∵， ∴． A．因为，所以，该选项错误，不符合题意； B．由前面计算可知，，所以，该选项正确，符合题意； C．因为，所以，该选项错误，不符合题意； D．因为，所以，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·安徽·模拟预测）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，若，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：由题意得， ， 解得， 故答案为：． 3．（2025·安徽马鞍山·三模）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．若一个三角形的三边长分别为3，3，4，其面积S介于两个连续整数n和之间，则n的值为 ． 【答案】4 【详解】解：由题意，可得， ， ， ， 故答案为： 4．（2025·安徽·模拟预测）若则的值为 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， 当时，有，解得：； 当时，有，该方程无解； 当时，有，解得：． 综上，该方程的解为或． 故答案为：或． 5．（2025·安徽蚌埠·二模）定义：若点把线段分成两部分，且满足较长线段是较短线段的倍，则称点为线段的青铜分割点．已知点是线段的青铜分割点，且，则 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况考虑， ①当时， 根据题意设，则， ∵， ∴， 解得， 即； ②当时， 同理可得， 故答案为：或． 一、单选题 1．（2025·陕西·中考真题）的绝对值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的绝对值是8． 故选：A． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 3．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 二、填空题 4．（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 5．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 6．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 三、解答题 8．（2025·四川泸州·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 9．（2025·四川遂宁·中考真题）计算：． 【答案】3 【详解】解： 10．（2025·宁夏·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 11．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】． 【详解】解： ． 12．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 实数的分类与相关概念 题型01实数的分类 题型02实数的相关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 命题点二 科学记数法与近似数 题型01 科学记数法 题型02 近似数 命题点三 数的开方与二次根式 题型01数的开方 题型02二次根式 命题点四 实数的大小比较 题型01实数的大小比较 题型02实数的估算 命题点五 实数的运算 题型01实数的运算 题型02含特殊角三角函数值的实数运算 05·重难突破·思维进阶难 17 突破 实数中的规律探究题 06·优题精选·练能提分 19 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2023~2025年 课标要求 实数的分类与相关概念 2024年第1题 2023年第1题 考查绝对值、相反数较多，未单独考查倒数 1. (新增)理解负数的意义,理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小 2. 了解无理数和实数,(新增)知道实数由有理数和无理数组成,了解实数与数轴上的点对应.(新增)能用数轴上的点表示实数,能比较实数的大小. 3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法,会求实数的相反数和绝对值. 科学记数法 2025年第2题 2024年第2题 2023年第12题 均考查大数的科学记数法，主要有大数不带单位,大数带单位万、亿 1.会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。 2.了解近似数,在解决实际问题中,会按问题的要求进行简单的近似计算. 数的开方与二次根式 2025年第4题 2024年12题 2023年11题 多结合实数的混合运算考查 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根； 2.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根,会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根； 3.了解二次根式和最简二次根式概念，会用相关运算法则进行简单四则运算。 实数的大小比较 2025年第1题 2024年第12题 1.(新增)能用数轴上的点表示实数,能比较实数的大小. 2.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 实数的运算 2025年第11题 新定义下的实数运算 能进行实数的简单四则运算，理解乘方、开方的意义；掌握实数运算的顺序和运算律，能进行含有二次根式、绝对值、三角函数值等的混合运算。 命题预测 2026年可能结合安徽本地的地域数据、社会热点如农业产量、生态治理相关的数值等作为题目背景，让实数运算更具应用性，贴合中考命题 “联系实际” 的原则。 题目会注重对易错点的考查，比如负整数指数幂的计算、零指数幂中底数不为 0 的隐含条件、二次根式有意义的条件等，以此检验学生运算的严谨性。 考点一 实数的分类与相关概念 1.实数的分类 实数(按定义分) 2.实数的相关概念   概念 定义 性质 数轴 规定了原点、单位长度、正方向的直线,如图: 实数与数轴上的点 　   绝对值 (1)|a|:一般地,数轴上表示数a的点与 的距离叫做数a的绝对值(几何意义);  (2)|a|= 非负性:(1)|a|≥0; (2)若|a|+|b|+…+|m|=0, 则a=b=…=m=0. 注:绝对值最小的数是0 相反数 (1)只有 不同的两个数互为相反数,特别地,0的相反数是 .  (2)几何意义:在数轴上,表示互为相反数的两个点位于原点的两侧,且到原点的距离 ,即这两个点对应的数 的 相等  若实数a,b互为相反数,则a+b=0 倒数 乘积是 的两个数互为倒数,0没有倒数 实数a,b互为倒数⇔               1．（2025·安徽滁州·三模）下列为正数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽阜阳·三模）的相反数是（    ） A． B． C． D．3 3．（2025·安徽淮南·二模）下列各数中，与实数25互为倒数的是（    ） A．25 B．52 C． D． 4．（2025·安徽·中考真题）计算： ． 考点二 科学记数法与近似数 科学记数法 把一个数表示成a×10(1≤|a|<10,n为整数)的形式 近似数 一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到那一位,常采用四舍五入法得到一个数的近似数.如3.14159精确到0.01是3.14;近似数3.14万是精确到百位 1．（2025·安徽·中考真题）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）“谷子”经济，即以漫画、动漫、游戏等IP为原型的二次元周边商品，正在成为年轻人的消费新宠．数据显示，中国“谷子经济”市场规模在2024年达1689亿元．数字“1689亿”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·二模）哈尔滨工业大学团队利用飞秒激光在二维多层材料上制备出超分辨率纳米沟槽阵列（），沟槽宽度仅纳米（约为激光波长的），深度贯穿纳米片该技术突破了光学衍射极限，且加工过程低损伤，保留了材料的单晶特性，为高性能气敏传感器（如检测）和电子器件提供了新方案，纳米（纳米米）用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 考点三 数的开方与二次根式 1.平方根、算术平方根与立方根 类别 a(a≥0) b(b<0) 【常用结论】 (1)只有非负数才有平方根,任何实数都有立方根; (2)正数的平方根有两个,它们互 ,正数的算术平方根只有一个且为正数;  (3)立方根等于它本身的数有3个,分别为 平方根 无 算术平方根 无 立方根 2.二次根式 概念 二次根式 一般地,我们把形如 0的式子叫做二次根式 ） 最简二次根式 同时满足下列两个条件的二次根式: (1)被开方数不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式(补充) 化为最简二次根式后,被开方数相同的二次根式 性质 (1)≥0, a≥0 (双重非负性); (2)()²= (a ≥ 0);  (3)= ;  (4)=·(a 0,b 0);  (5)=(a 0,b 0)  运算 加减运算:先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并 乘除运算:·=(a≥0,b≥0);=(a 0,b 0)  1．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽阜阳·三模）计算的结果是 ． 3．（2023·安徽·中考真题）计算： ． 考点四 实数的大小比较 1.实数比较大小 (1)在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数 .  (2)正数>0>负数. (3)两个正数比较大小,绝对值大的就大;两个负数比较大小, . (4)比较实数大小的其他常用方法: 差值比较法:对于任意实数a,b:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.(实质是不等式的性质) 平方法:例如2与3比较大小:(2)²=20,(3)²=18.因为20>18,所以2>3. 2.无理数的估值 确定(a≥0)在哪两个相邻整数之间的步骤: 估计2在哪两个相邻整数之间 第一步:对进行平方,得到()²=a; 第二步:找到与a相邻的两个开得尽方的整数; 第三步:对以上两个整数开方; 第四步:确定在开方后在哪两个相邻整数之间.　　　 1．（2025·安徽·中考真题）在，0，2，5这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D．5 2．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 3．（2025·安徽宿州·三模）已知，为正整数，则 ． 考点五 实数的运算 1.实数的运算 运算 法则 加法 法则 同号两数相加:取相同的符号,并把绝对值相加 异号两数相加:绝对值相等时,和为 ;  绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值 减法法则 减去一个数,等于加这个数的相反数:a-b=a+(-b) 乘除法则 (1)两数相乘(除),同号得正,异号得负,并把绝对值相乘(除); (2)任何数与0相乘,都得0; (3)0除以任何一个不等于0的数,都得0 乘方 ,求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂,在中,a叫做 ,n叫做 ,读作“a的n次幂”(或“a的n次方”)  运算律 交换律 加法交换律:a+b=b+a,乘法交换律:ab=ba 结合律 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c), 乘法结合律:(ab)c=a(bc) 分配律 a(b+c)=ab+ac 2.实数混合运算的顺序 先算 ,再算 ,最后算 ;如果有括号,先进行括号内的运算,一般按小括号、中括号、大括号依次进行;同级运算,从左到右进行. 3.知识链接 (1)负整数指数幂:= .(a≠0,p为正整数)  (2)零次幂:= .(a≠0)  (3)特殊角的三角函数值: sin 30°= , cos 30° , tan 30°= .  sin 60°= , cos 60°= tan 60°= .  sin 45°= , cos 45°= , tan 45°= .  1．（2025·安徽·二模）计算：= 2．（2025·安徽芜湖·三模）计算：． 3．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 命题点一 实数的分类与相关概念 1.正数、负数 负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2.无理数的四种常见形式 （1）被开方数开方开不尽的数:如,,等; （2）含有根号的特殊角的三角函数值:如sin 45°,sin 60°,cos 30°等; （3）有规律的无限不循环小数:如0.10010001…(相邻两个1之间依次多1个0); （4）π及化简后含有π的数:如π,,-π等. 3.求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 3.绝对值 如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． ►题型01 实数的分类 【典例】（2025·安徽蚌埠·三模）在，0，3，这四个数中，负整数是（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式1】下列各数中，负数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 实数的相关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 【典例】（2025·安徽淮北·一模）的倒数是（   ） A．3 B． C． D． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）若与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．5 D． 【变式2】（2024·安徽·模拟预测）下列说法中错误的是（    ） A．一个负数的绝对值是它的相反数 B．数轴上离原点越远的点所表示的数越大 C．任何有理数都有相反数 D．正数都大于零 命题点二 科学记数法与近似数 1.用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 小技巧：1万=104，1亿=1万×1万=108. 2．科学记数法与有效数字 （1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； （2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． ►题型01 科学记数法 【典例1】（2024·安徽·中考真题）据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·安徽·中考真题）据统计，年第一季度安徽省采矿业实现利润总额亿元，其中亿用科学记数法表示为 ． 【变式1】（2025·安徽淮南·二模）决胜“十四五”，奋进新征程．安徽省政府工作报告明确了2025年安徽经济社会发展的主要预期目标，其中全员劳动生产率达168000元/人左右，城镇常住居民人均可支配收入增速高于全国平均水平．数据168000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）水是生命之源．已知水分子的直径为0.00000000028米，则0.00000000028用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽芜湖·三模）据国家统计局数据，今年月份，全国规模以上工业企业实现利润总额超过亿元，同比增长．数据亿用科学记数法表示为 ． ►题型02 近似数 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场日均蔬菜交易量约为，关于这个近似数，下列说法正确的是（    ） A．它精确到 B．它精确到万位 C．它精确到万分位 D．它精确到千位 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）将精确到百位的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】数精确到万位是 ． 命题点三 数的开方与二次根式 二次根式的混合运算应注意以下几点： 1.与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． 2.在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． 3.二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 4.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 平方根、算术平方根、立方根相关易错点 混淆平方根与算术平方根：正数的平方根有两个，且互为相反数。算术平方根仅指其中的非负值。 忽略平方根的非负前提：只有非负数才有平方根，学生易犯 “负数有平方根” 的错误，另外，对特殊值的相关性质记忆混乱，比如混淆 “平方根等于自身的数是 0” 和 “立方根等于自身的数是 -1、0、1” 这两个知识点。 ►题型01 数的开方 【典例1】（2025·安徽·一模）计算： ． 【典例2】（（2025·安徽合肥·三模）计算： ． 【变式1】（2025·安徽六安·三模）计算： ． 【变式2】（2025·安徽马鞍山·三模）计算： ． ►题型02 二次根式 【典例1】（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·安徽合肥·二模）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【变式1】（2025·安徽宿州·一模）已知为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽阜阳·三模）南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积．其求三角形面积的方法用现在的语言表达为：的三条边为．若的三条边，则的面积 （填“”“”或“”）． 命题点四 实数的大小比较 实数比较大小的6种基础方法： 数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 作差比较法：若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b． 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b； ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b． 倒数比较法：若>，ab>0，则a<b． 作商比较法：①任意实数a，b，=1a=b； ②任意正实数a，b，>1a>b；<1a＜b； ③任意负实数a，b，>1a<b；<1a＜b. 注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较 ►题型01 实数的大小比较 【典例1】（2025·安徽安庆·三模）在实数，，，四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·安徽蚌埠·三模）比较大小： （填，或）． 【变式1】（2025·安徽安庆·三模）如图，实数、、、在数轴上表示如下，则最小的实数是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． ►题型03 实数的估算 【典例】（2025·安徽阜阳·三模）（数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知，下列与m 最接近的整数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，若对x取近似值保留到个位，则 ． 命题点五 实数的运算 实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． ►题型01 实数的运算 【典例1】（2025·安徽黄山·模拟预测）计算： ． 【典例2】（2025·安徽阜阳·三模）计算：． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）计算： 【变式2】（2025·安徽铜陵·三模）计算： ►题型02 含特殊角三角函数值的实数运算 【典例】（2025·安徽滁州·二模）计算：． 【变式1】（2025·安徽宿州·模拟预测）计算： 【变式2】（2025·安徽亳州·三模）计算：． 【变式3】（2025·安徽·模拟预测）计算： 突破 实数中的规律探究题 【典例】（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【变式1】（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3） 应用规律计算：（需写出过程）． 【变式2】（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字例如，初始数列为，，第次构造后得到，，（即，，），第次构造后得到，，，（即，，，），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示． (1)观察前几次构造的结果，完成下列问题： 构造次数 构造后的数列 的值 的值 ， ，， ，，， ，，，， ，，，，， ①第次构造后的的值为______；（直接填数字） ②根据上表规律，第次构造后的值是_____；（用含的代数式表示） (2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程： ，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即， 阅读完上述过程，请直接写出当时______，的结果为______．（用含的代数式表示） 1．（2025·安徽合肥·二模）2025年1～2月，安徽省汽车产量为万辆，首次反超广东，登顶中国第一汽车产量大省．数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽芜湖·三模）下列实数比小的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽滁州·二模）下列四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 5．（2025·安徽合肥·一模）比较大小： （填“>”或“<”）． 6．（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为 ． 7．（2025·安徽合肥·二模）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为．请比较大小： ．（填“”或“”） 8．（2025·安徽淮南·一模）计算：． 9．（2025·安徽马鞍山·三模）计算：． 10． （2025·安徽·三模）计算：． 1．（2025·安徽芜湖·三模）已知实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，若，则的值为 ． 3．（2025·安徽马鞍山·三模）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．若一个三角形的三边长分别为3，3，4，其面积S介于两个连续整数n和之间，则n的值为 ． 4．（2025·安徽·模拟预测）若则的值为 5．（2025·安徽蚌埠·二模）定义：若点把线段分成两部分，且满足较长线段是较短线段的倍，则称点为线段的青铜分割点．已知点是线段的青铜分割点，且，则 ． 一、单选题 1．（2025·陕西·中考真题）的绝对值是（    ） A．8 B． C． D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 3．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 二、填空题 4．（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 5．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 6．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 7．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 三、解答题 8．（2025·四川泸州·中考真题）计算：． 9．（2025·四川遂宁·中考真题）计算：． 10．（2025·宁夏·中考真题）计算：． 11．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 12．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $