专题3.1 投影与视图（举一反三讲义）数学湘教版九年级下册

本讲义聚焦初中数学“投影与视图”核心知识点，系统梳理投影（含中心投影、平行投影、正投影）的概念与特征，进而过渡到三种视图（主视图、左视图、俯视图）的定义、关系及画法，最终延伸至由视图还原几何体、判断小立方体个数等应用，构建从基础概念到实践应用的完整学习支架。 该资料以“知识点+题型”分层设计，8类题型均配例题与变式题，结合路灯影子、小立方体搭建等生活实例，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光）。通过作图、判断等题型训练，发展推理意识（数学思维），课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化知识应用能力。

专题3.1 投影与视图（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 平行投影】 3 【题型2 中心投影】 5 【题型3 正投影】 7 【题型4 立体图形的视图】 9 【题型5 由视图确定几何体】 11 【题型6 画三视图】 14 【题型7 由三视图判断小立方体的个数】 18 【题型8 已知三视图求最多或最少得小立方体个数】 20 知识点1 投影、中心投影 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3.中心投影的特征 （1）等高物体垂直于地面放置：离点光源越近，影子越短； 离点光源越远，影子越长 （2）等长物体平行于地面放置： 离点光源越近，影子越长； 离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度 （3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上． 知识点2 平行投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X光． 2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 3. 平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上． 知识点3 三种视图 1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图． 2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图；从左面得到的视图叫做左视图；从上面得到的视图叫做俯视图． 3. 常见几何体的三种视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 知识点4 三种视图之间的关系及画法 1. 位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽． 2. 大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等． 3. 三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图． 知识点5 由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 （1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2)根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3)画出图形后验证. 2. 还原简单组合体示例 【题型1 平行投影】 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行投影，同一地点同一时刻树高与影长的比是一样的，影子的方向也应相同，据此可得答案． 【详解】解：由平行投影的特点可知，四幅图中只有A选项中的图形符合题意， 故选：A． 【变式1-1】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．利用中心投影和平行投影的定义判断即可． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 在各选项中只有C选项得到的投影为平行投影． 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（    ） A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行投影， 根据平行形的投影是平行或重合，即可得出几何图形，并逐个判断即可． 【详解】解：矩形框在水平地面上形成的投影形状可能是矩形，正方形，平行四边形，线段，所以不可能是圆． 故选：D． 【变式1-3】如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 ． 【答案】②①④③ 【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行投影中影子的变化规律可知先后顺序． 【详解】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：影长由长变短再变长． 故答案为：②①④③ ． 【题型2 中心投影】 【例2】（24-25九年级上·福建·期中）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（    ） A．始终不变 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．先变短后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：D． 【变式2-1】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．利用中心投影和平行投影的定义判断即可． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 在各选项中只有C选项得到的投影为平行投影． 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级上·四川眉山·期末）用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【答案】C 【分析】本题考查中心投影，在灯光下，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短；接下来根据发光的手电筒由远及近，并结合上述知识，即可解答． 【详解】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大． 故选：C． 【变式2-3】一个立方体框架，用一支手电筒照上去，影子可能是 种样子． 【答案】/六 【分析】本题考查中心投影． 先判断投影类型，根据题意，列出投影形状的种数即可． 【详解】解：用手电筒照立方体，形成的投影为中心投影， 当投影面与正方体面不平行时，中心投影可能呈现平行四边形； 当投影面与正方体面呈一定角度时，中心投影可能呈现五边形； 当投影面与正方体面存在特定倾斜角度时，中心投影可能呈现六边形； 当投影面与正方体面垂直时，中心投影可能呈现菱形； 当投影面与正方体面平行时，中心投影可能呈现矩形； 当投影面与正方体面完全垂直时，中心投影呈现正方形。 ∴影子可能是种样子． 故答案为： ． 【题型3 正投影】 【例3】（2025·贵州六盘水·二模）正午时候，将一个足球踢到空中，在地面形成的影子是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正投影，根据正午时候，足球的投影为正投影，进行判断即可． 【详解】解：由题意，足球在地面形成的影子是 故选A． 【变式3-1】（24-25九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【分析】本题考查正投影，根据正投影的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是圆，原说法错误，不符合题意； B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是圆，原说法正确，符合题意； C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意； D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【变式3-2】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练掌握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定是解决此题的关键． 【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是 图形， 故选：B． 【变式3-3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）把一块正方形硬纸板P放在三个不同位置： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为 ． 【答案】 相同 不相同 一条线段 【分析】本题考查正投影，理解正投影的定义是解答的关键．根据光线照射角度不同，得到投影形状不同分析解答即可． （1）根据投影面与物体平行时，正投影与物体大小、形状相同求解即可； （2）根据投影面与物体不平行时，正投影与物体大小、形状不相同求解即可； （3）根据投影面与物体垂直时，正投影是一条线段求解即可． 【详解】解：（1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小相同， 故答案为：相同； （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小不相同， 故答案为：不相同； （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为一条线段， 故答案为：一条线段． 【题型4 立体图形的视图】 【例4】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，这个图形的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的视图．找到从前面看到的图形即可． 【详解】 解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 【变式4-1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形的视图，解题关键是掌握从上面看得到的图形的特征．从上面看有2行，上面一行有3个正方形，下面一行最左侧有1个正方形，据此判断即可． 【详解】 解：从上面看这个几何体得到的平面图形是 ， 故选：B． 【变式4-2】如图，是由6个棱长都为1的小立方体块搭建的几何体． (1)请在边长为1的小正方形组成的网格中画出这个几何体的左视图和俯视图； (2)这个几何体的表面积（包括底部）是__________． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型． （1）根据从左边，上边方向看到的结果画出图形即可； （2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：这个几何体的表面积． 【变式4-3】按要求完成下列视图问题．（其中的棱长为1） (1)如图1，它是由几个相同的小正方体搭成的几何体，若在①的上面添加一个同样大小的小正方体，请在网格图中画出添加后所得的新几何体的主视图； (2)如图1，无论是在①的上面添加一个同样大小的小正方体或是将①取走，新几何体的______视图不变； (3)如图2，它是由几个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，请在网格图中画出这个几何体的左视图； (4)如图2，若将数字1去掉，该几何体的______视图不变． 【答案】(1)见解析 (2)俯 (3)见解析 (4)主视图和左 【分析】根据三视图的定义并采用数形结合的方法解答即可； 本题主要考查了三视图的画法，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题的关键． 【详解】（1）若在①的上面添加一个同样大小的小正方体，所得的新几何体的主视图如下图： （2）无论是在①的上面添加一个同样大小的小正方体或是将①取走，新几何体的俯视图不变， 故答案为：俯 （3）根据图2几何体的俯视图和正方形中的数字得出这个几何体的左视图，如下图： （4）若将数字1去掉，该几何体从正面和左面看不变，所以主视图和左视图不变， 故答案为：主视图和左． 【题型5 由视图确定几何体】 【例5】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图是小静画的一个几何体的三视图． (1)这个几何体是由__________和__________这两个立体图形组成的； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)正方体，圆柱 (2) 【分析】本题考查了几何体的三视图，正方体和圆柱的体积公式，利用几何体的三视图还原几何图形是解题关键． （1）由主视图和左视图可得到这两个物体都是柱体，由俯视图可得下面的是长方体，上面的是圆柱； （2）根据几何体的体积长方体的体积圆柱的体积，进行计算即可． 【详解】（1）解：这个几何体是由正方体和圆柱这两个立体图形组成的． 故答案为：正方体，圆柱． （2）解：几何体的体积为：． 故这个几何体的体积为． 【变式5-1】（2025·河南郑州·三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图中的信息特征得到该几何体，即可解题． 【详解】解：由几何体的三视图看， 主视图是直角三角形，左视图是矩形，俯视图是矩形， 不难看出这个几何体是C选项． 故选：C． 【变式5-2】如图是一个几何体的三种视图，选项中箭头方向为主视方向，则这个几何体是（　　） A．B． C．D． 【答案】B 【详解】此题考查了简单几何体的三视图，根据三视图还原几何体的形状即可． 解：这个几何体是： ． 故选：B． 【变式5-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个几何体的三视图如图（其俯视图是正五边形），请解答下列问题： (1)这个几何体的名称是___________； (2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图． （1）根据三视图的知识即可判断出该几何体是五棱柱； （2）根据三视图可知底面是正五边形，用底面的边长乘以高再乘以5即可求出侧面积． 【详解】（1）解：根据三视图的知识即可判断出该几何体是五棱柱； 故答案为：五棱柱； （2）解：由三视图可知，这个几何体的侧面是五个长为，宽为的矩形， 这个几何体的侧面积为：， 答：这个几何体的侧面积是． 【题型6 画三视图】 【例6】如图是用12块完全相同的小正方体搭成的几何体．    (1)请在方格中分别画出它的主视图、左视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据主视图和左视图的定义作图即可； （2）从俯视图的相应位置增加小立方体，保持左视图和主视图不变即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）解：如图所示： 故如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加4个小正方体． 故答案为：4．    【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解三视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是解题的关键． 【变式6-1】下图是某几何体的表面展开图： （1）这个几何体的名称是 ； （2）若该几何体的主视图是正方形，请在网格中画出该几何体的左视图、俯视图； （3）若网格中每个小正方形的边长为1，则这个几何体的体积为 ． 【答案】（1）长方体；（2）作图见解析；（3）12． 【分析】（1）展开图都是由3对长方形组成的，每对长方形的大小完全相同． （2）观察左视图，主视图以及俯视图即可判定． （3）根据长方体的体积公式求解． 【详解】（1）由题目中的图可知为长方体． （2）∵该几何体的主视图是正方形， 则主视图和俯视图如图： （3）体积=长宽高=． 【点睛】本题考查作图-三视图、解题的关键是学会观察、搞清楚三视图的定义，求长方体体积的计算公式． 【变式6-2】从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件． （1）这个零件的表面积是　 　． （2）请按要求在边长为1网格图里画出这个零件的视图． 【答案】（1）24；（2）见解析 【分析】（1）几何体的表面积与原来相同，根据正方体的表面积公式计算即可求解； （2）根据几何体画出从左面、上面看所得到的图形即可． 【详解】解：（1）2×2×6＝24． 这个零件的表面积是24， 故答案为：24． （2）如图所示： 【点睛】本题考查了三视图，解题关键是树立空间观念，准确识图，认真计算． 【变式6-3】一个几何体的表面展开图如图1所示． (1)这个几何体的名称是______； (2)图（2）是根据a、b、c、h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图； (3)请用含a、b、c、h的代数式表示这个几何体的表面积：______．（不必化简） 【答案】(1)三棱柱 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据展开图，上下两个底面是三角形，侧面为三个矩形，可知，几何体为三棱柱； （2）根据主视图和俯视图，画出左视图即可； （3）根据表面积等于两个底面三角形的面积加上三个矩形的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据展开图，上下两个底面是三角形，侧面为三个矩形，可知，几何体为三棱柱； 故答案为：三棱柱； （2）画出左视图，如图所示： （3）解：由图可知，几何体的表面积等于两个底面三角形的面积加上三个矩形的面积，即表面积为； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据平面展开图确定几何体，三视图，以及求几何体的表面积．熟练掌握常见几何体的平面展开图，是解题的关键． 【题型7 由三视图判断小立方体的个数】 【例7】（24-25九年级上·河南焦作·期末）某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 【答案】 【分析】本题考查由三视图还原几何体，注意结合图形解答是关键．由三视图可知这个几何体木块有两层，由主视图和俯视图可知底层有三个小正方体，上层只在最左边有一个小正方体，加起来得到结果数． 【详解】解：由主视图、俯视图可知这个几何体木块有两层， 底层有块，由主视图和俯视图知上层只在最左边有一个小正方体， 综上可知共有块正方体， 故答案为：． 【变式7-1】一个物体是由棱长为4cm的正方体模型堆砌而成的，其形状图如图所示．    (1)请在从上面看到的形状图上标出小正方体的个数； (2)求出该物体的体积是多少； (3)该物体的表面积是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据三视图分别得到俯视图上小立方体的个数； （2）根据（1）可得小正方体的个数，然后用1个小正方体的体积乘以小正方体的个数，即可解答； （3）根据三视图可得该物体的表面有多少个小正方形，然后用1个小正方形的面积乘以正方形的个数，即可求解． 【详解】（1）解：如图，    （2）解：， 答：该物体的体积是． （3）解：， 答：该物体的表面积是． 【点睛】本题考查由三视图想象立体图形，做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意． 【变式7-2】小红在观察由一些相同小立方块搭成的几何体时，发现它的主视图、俯视图、左视图均为如图所示的图形，则构成该几何体的小立方块有 个． 【答案】4 【分析】此题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】从俯视图发现该几何体第一层有3个小立方块，从左视图与主视图发现第二层有1个小立方块，则构成该几何体的小立方块的个数有4个． 故答案为：4． 【变式7-3】如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体有 个； 【答案】 【分析】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，熟练掌握三视图的特点是解题的关键； 根据三视图的特点，几何体的底层有个小正方体，第二层应该有个小正方体，因此小正方体的个数有个； 【详解】解：根据三视图的特点，几何体的底层有个小正方体，第二层应该有个小正方体，因此小正方体的个数有个； 故答案为： 【题型8 已知三视图求最多或最少得小立方体个数】 【例8】（2025·黑龙江牡丹江·二模）由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了小正方体堆砌而成的几何体的三视图，根据题意可得最下面一层有4个小立方体，中间一层最多有2个，上面一层最多有2个，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，每个位置小立方体最多的情况如下： ∴这种几何体所需小正方体个数最多是， 故选：C． 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若一个几何体由若干大小相同的小立方体搭成，如图分别是它的左视图与俯视图，该几何体所用小立方体的个数是，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，利用俯视图，写出的值最大时小正方形的个数，可得结论．解题的关键是理解三视图的定义， 【详解】解：如图，的最大值为：． ∴m的最大值是． 故答案为：． 【变式8-2】小明利用棱长为1的一些小立方体，用强力胶粘贴在一起来做内空的长方体积木模型： （1）如图棱长为3的立方体积木模型，至少需要 个小立方体． （2）若做一个长宽高为7，6，5的长方体积木模型，则至少需要 个立方体． 【答案】 26 【分析】此题考查了立体图形，空间想象能力是解题的关键． （1）根据正方体找到规律计算求解； （2）根据（1）中的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得，（个）， 故答案为：26 （2）根据题意可得， （个） 故答案为： 【变式8-3】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在图的方格中画出该几何体的主视图和左视图．（打上阴影） (2)若每个小立方块的棱长为，则该几何体的表面积（包含底面）为 ． (3)在（2）的基础上，将该几何体放置在墙角，使得该几何体的右面和后面靠墙，底面在地上，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积为多少？ (4)若允许从该几何体中拿掉部分小立方块，使得其左视图和俯视图保持不变，则最多可拿掉 个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查作图—三视图、由三视图判断几何体、几何体的表面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据三视图的定义画图即可； （2）根据表面积的定义计算即可； （3）由题意得主视方向有个小正方形需要喷漆，左视方向有个小正方形需要喷漆，俯视方向有个小正方形需要喷漆，右视方向有个小正方形需要喷漆，计算即可， （4）要使得其左视图和俯视图保持不变，则可以拿走第一列的个或者第二列最后面的个，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：该几何体的表面积为， 故答案为：； （3）解：主视方向有个小正方形需要喷漆，左视方向有个小正方形需要喷漆，俯视方向有个小正方形需要喷漆，右视方向有个小正方形需要喷漆， 故需要喷漆的面积为； （4）解：若使得其左视图和俯视图保持不变，则可以拿走第一列的个或者第二列最后面的个， 故答案为： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 投影与视图（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 平行投影】 3 【题型2 中心投影】 4 【题型3 正投影】 5 【题型4 立体图形的视图】 6 【题型5 由视图确定几何体】 7 【题型6 画三视图】 8 【题型7 由三视图判断小立方体的个数】 10 【题型8 已知三视图求最多或最少得小立方体个数】 10 知识点1 投影、中心投影 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3.中心投影的特征 （1）等高物体垂直于地面放置：离点光源越近，影子越短； 离点光源越远，影子越长 （2）等长物体平行于地面放置： 离点光源越近，影子越长； 离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度 （3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上． 知识点2 平行投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X光． 2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 3. 平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上． 知识点3 三种视图 1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图． 2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图；从左面得到的视图叫做左视图；从上面得到的视图叫做俯视图． 3. 常见几何体的三种视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 知识点4 三种视图之间的关系及画法 1. 位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽． 2. 大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等． 3. 三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图． 知识点5 由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 （1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2)根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3)画出图形后验证. 2. 还原简单组合体示例 【题型1 平行投影】 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（    ） A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆 【变式1-3】如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 ． 【题型2 中心投影】 【例2】（24-25九年级上·福建·期中）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（    ） A．始终不变 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．先变短后变长 【变式2-1】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【变式2-2】（24-25七年级上·四川眉山·期末）用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【变式2-3】一个立方体框架，用一支手电筒照上去，影子可能是 种样子． 【题型3 正投影】 【例3】（2025·贵州六盘水·二模）正午时候，将一个足球踢到空中，在地面形成的影子是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【变式3-2】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）把一块正方形硬纸板P放在三个不同位置： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为 ． 【题型4 立体图形的视图】 【例4】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，这个图形的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，是由6个棱长都为1的小立方体块搭建的几何体． (1)请在边长为1的小正方形组成的网格中画出这个几何体的左视图和俯视图； (2)这个几何体的表面积（包括底部）是__________． 【变式4-3】按要求完成下列视图问题．（其中的棱长为1） (1)如图1，它是由几个相同的小正方体搭成的几何体，若在①的上面添加一个同样大小的小正方体，请在网格图中画出添加后所得的新几何体的主视图； (2)如图1，无论是在①的上面添加一个同样大小的小正方体或是将①取走，新几何体的______视图不变； (3)如图2，它是由几个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，请在网格图中画出这个几何体的左视图； (4)如图2，若将数字1去掉，该几何体的______视图不变． 【题型5 由视图确定几何体】 【例5】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图是小静画的一个几何体的三视图． (1)这个几何体是由__________和__________这两个立体图形组成的； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 【变式5-1】（2025·河南郑州·三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图是一个几何体的三种视图，选项中箭头方向为主视方向，则这个几何体是（　　） A．B． C．D． 【变式5-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个几何体的三视图如图（其俯视图是正五边形），请解答下列问题： (1)这个几何体的名称是___________； (2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的侧面积． 【题型6 画三视图】 【例6】如图是用12块完全相同的小正方体搭成的几何体．    (1)请在方格中分别画出它的主视图、左视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【变式6-1】下图是某几何体的表面展开图： （1）这个几何体的名称是 ； （2）若该几何体的主视图是正方形，请在网格中画出该几何体的左视图、俯视图； （3）若网格中每个小正方形的边长为1，则这个几何体的体积为 ． 【变式6-2】从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件． （1）这个零件的表面积是　 　． （2）请按要求在边长为1网格图里画出这个零件的视图． 【变式6-3】一个几何体的表面展开图如图1所示． (1)这个几何体的名称是______； (2)图（2）是根据a、b、c、h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图； (3)请用含a、b、c、h的代数式表示这个几何体的表面积：______．（不必化简） 【题型7 由三视图判断小立方体的个数】 【例7】（24-25九年级上·河南焦作·期末）某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 【变式7-1】一个物体是由棱长为4cm的正方体模型堆砌而成的，其形状图如图所示．    (1)请在从上面看到的形状图上标出小正方体的个数； (2)求出该物体的体积是多少； (3)该物体的表面积是多少？ 【变式7-2】小红在观察由一些相同小立方块搭成的几何体时，发现它的主视图、俯视图、左视图均为如图所示的图形，则构成该几何体的小立方块有 个． 【变式7-3】如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体有 个； 【题型8 已知三视图求最多或最少得小立方体个数】 【例8】（2025·黑龙江牡丹江·二模）由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若一个几何体由若干大小相同的小立方体搭成，如图分别是它的左视图与俯视图，该几何体所用小立方体的个数是，则的最大值是 ． 【变式8-2】小明利用棱长为1的一些小立方体，用强力胶粘贴在一起来做内空的长方体积木模型： （1）如图棱长为3的立方体积木模型，至少需要 个小立方体． （2）若做一个长宽高为7，6，5的长方体积木模型，则至少需要 个立方体． 【变式8-3】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在图的方格中画出该几何体的主视图和左视图．（打上阴影） (2)若每个小立方块的棱长为，则该几何体的表面积（包含底面）为 ． (3)在（2）的基础上，将该几何体放置在墙角，使得该几何体的右面和后面靠墙，底面在地上，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积为多少？ (4)若允许从该几何体中拿掉部分小立方块，使得其左视图和俯视图保持不变，则最多可拿掉 个小立方块． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $