A+专题六 新定义问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮A+培优册（广西专用）

A+专题六新定义问题 (2025年新增，12分)】 》考情通览 考情 命题角度 以平行四边形和菱形为载体，定义【平行六边形】【菱六边 定义新图形 2025广西23题 形】，考查新定义的图形的性质与判定 题型概述：新定义问题为2025年广西中考新增题型，设问为3问，分值为12分.解决这类问题时， 通常需要遵循一定的步骤，阅读题目并理解新定义，通过解答特殊问题形成方法和结论，最后运用 这些方法和结论解决一般性问题.考查学生的阅读理解能力和逻辑思维能力 类型1定义新运算 1.对于任意的正数x,y定义运算“#”：x#y= -5(x≥y)·则计算(25#49)-(49#25)的结果 +(x<y), 为 () A.-14 B.-10 C.14 D.10 2.原创对x,y定义一种新运算“※”，规定：x※y=mx+y(其中m,n均为非零常数).若※ =1,1※2=3，则2※1的值是 3 () A.3 B.5 C.9 D.11 3.(2025内江)对于x,y定义了一种新运算G,规定G(x,y)=x+3y.若关于a的不等式组 C(a,1-2m)产-2，恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 G(-2a,1+4a)>P 4对于两个数a,6,我们定义：①M(a,b)表示这两个数的平均数，例如：M(-1,3)=-+3 21; ②max(a,b)表示这两个数中更大的数，当a≥b时，max(a,b)=a;当a<b时，max(a,b)= b.例如：max(-1,3)=3. 根据以上材料，解决下列问题： (1)M(2026,0)= ,max(2025,0)= (2)若M(6-2x,2)=max(6-2x,2),求x的值. 87 类型2定义新函数 5.数学活动课上，老师定义了匀速变化的函数：设y是x的函数，x1,x2是自变量x取值范围 内的两个值，当x由心，变化到x,时，对应的y值由，变化到2，我们称比值：为y在 x,与x2之间的平均变化速度.当y在自变量x取值范围内任意两值之间的平均变化速度 是同一个数时，我们称y为x的匀速变化的函数 【活动一】 (1)判断：一次函数y=-2x 匀速变化的函数（填“是”或“不是”）； (2)试说明一次函数y=kx+b(k≠0)是匀速变化的函数； 一次函数是匀速变化的函数，事实上，匀速变化的函数是一次函数，因此，如果知道一个 函数是匀速变化的，那么这个函数就是一次函数，我们就可以用待定系数法求这个一次 函数的解析式. 【活动二】 (3)运用活动一的结论，解决下列问题： 表示气温时，大多数国家都使用摄氏温度C(℃)，少数国家用华氏温度F(℉).两种计量 单位之间有如下的对应关系： 摄氏C(℃) 0 10 20 30 40 50 华氏F(℉) 32 50 68 86 104 122 求华氏温度F关于摄氏温度C的函数关系式，以及多少摄氏度时两种计量方式的数值 相等？ 88 6.(2025江西)问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x。=m时，其对应的函数值y。=m, 那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函 数y=x2中，当x=1时，y=1,则我们称函数y=x2为“不动点函数”，点(1,1)为该函数图 象上的一个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关 探究 探究1： (1)对一次函数y=kx+b(k≠0)进行探究后，得出下列结论： ①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②)=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是(？，0)： ③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点 以上结论中，你认为正确的是 (填写正确结论的序号). (2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是“不动点函数”，请直接写出k,b应满足的条件 探究2： (3)对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答 若抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b,c满足的关系式. 探究3： (4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(12-x)件，获 得利润y元.请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理 由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义， 89 类型3定义新图形(2025.23)》 7.(人教八下P64数学活动改编)综合与实践 宽与长的比是5 2(约为0.618)的矩形叫作黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的 美感.世界各国许多的建筑都采用了黄金矩形的设计.下面我们折叠出一个黄金矩形： 【动手操作】 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平； 第三步，折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到如图3中所示的AD处，折痕为AP; 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE,矩形BCDE(图4)就是黄金矩形 【尝试理解】 CD (1)如图4，在矩形BCDE中，的值为 DE 【深入探究1】 (2)如图3，求证：四边形ABPD为菱形 【深入探究2】 (3)找出图4中另一个黄金矩形，并证明. M:-- B E 图1 图2 图3 图4 90 8.(2025遂宁改编)我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形 叫这个圆的内接四边形.我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形 是这个圆的“邻等内接四边形” (1)请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四 边形，其中是邻等内接四边形的有 （填序号) ① ② ③ ④ (2)如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC=90°，AB=3,AC=4,AB=AD,求四边 形ABCD的面积. 91 9.(2025长春)数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的，点均在圆内或圆上） 为该平面图形的覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平 面图形的最小覆盖圆， 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆 理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A,点B.如图1，以AB为直径作⊙O,再 过A,B两点作⊙O'(O'与0不重合)，连接O'A,O'B. 在△O'AB中，有O'A+O'B>AB(▲) O'A=O'B,.2O'A>AB,即⊙O的直径大于⊙0的直径 ∴.⊙O是线段AB的最小覆盖圆. “▲”处应填写的推理依据为 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问 题.这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个 圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆.如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90° ⊙0是以AB为直径的圆.请你判断点C与⊙O的位置关系，并说明理由. 又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆， 所以⊙O是Rt△ABC的最小覆盖圆. 【拓展应用)矩形的最小覆盖圆 如图3，在矩形ABCD中，AB=1cm,BC=2cm. 0 图1 图2 图3 (1)用圆规和无刻度的直尺在图3中作矩形ABCD的最小覆盖圆；（不写作法，保留作图 痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描，点) (2)该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 cm; (3)若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD,则这样的两个等圆的最小直径为 cm. 92 10.(2025深圳)综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形 【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形 的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”， 如图2，在△ABC中，AB=AC,AC=AD,∠D=∠BAC.此时，四边形ABCD是“双等四边 形”，△ABC是“伴随三角形”. D c 图1 图2 图3 (问题解决】如图3，在△ABC中，AB=AC,AD=CD,∠D=∠BAC.求： ①AD与BC的位置关系为 ②AC AD·BC.(填“>”“<”或“=”) 【方法应用】①如图4，将等腰△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE,点D恰好落在BC边 上，求证：四边形ABDE是双等四边形 3 ②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC,osB=亏，AB=5,在平面内找一点D,使四边形 ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说 明理由. D B B 图4 图5 备用图 备用图 93 11.(2025广西23题12分)【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE, BC∥EF,CD∥FA,我们称这样的凸六边形叫作“平行六边形”，其中AB与DE,BC与EF, CD与FA叫作“主对边”；∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F叫作“主对角”；AD,BE,CF 叫作“主对角线” (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误” 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ②平行六边形的三组主对角分别相等 ③平行六边形的三条主对角线互相平分 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫作“菱六边形”. (2)如图2，已知平行六边形OPORST满足OP=PQ=QR=RS. 求证：平行六边形OPORST是菱六边形 (3)如图3是一张边长为3,4,6的三角形纸片.剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片 为菱六边形.请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长 3 6 图1 图2 图3 94E,使得△MNE是含30°角的等腰三角形，E,(0,0), E,(3,5)E,(2,2 9-333w3-3 9.解：(1)BD⊥DG.理由如下： ·.四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形 ∴.AD=AB,AG=AE,∠DAB=∠EAG,∠ADB=∠ABD .∠DAB=∠DAE+∠EAB,∠EAG=∠DAE+∠GAD, .∴.∠EAB=∠GAD AG=AE. 在△ADG和△ABE中，∠GAD=∠EAB. AD=AB. .∴△ADG≌△ABE(SAS),∴.∠ADG=∠ABE. ∠GDB=∠ADG+∠ADB=90°，.BD⊥DG (2)Da+8【解法提示】如解图1，连接AC交BD于点 8 O.,·四边形ABCD是正方形，.AC⊥BD.:BD⊥DG DG//AC..△DMG∽△0MC,C正方形0d7 的边长为8，AC=BD=82,.OD=0C=4V2.设DM=t, 则0M=42-t.DG=a,. 4a a t a+4W2 tan∠CMB=tan L DMG==7 F,tan∠CwB= √2a+8 8 M 解图1 解图2 6 E B 解图3 解图4 (3)当点E在对角线BD上，点F在射线CD上时，如解 图2，过点E作EN⊥AD于点N DE=x,∠ADB=45°，DN=EN= 2t,4W=8- 2 在Rt△ANE中，AE2=EN2+AN2=x2-82x+64, .:S=AE2=x2-82x+64. 当点E在BD上，点F在CD上时，如解图3，过点E作 EN⊥AD于点N. DE=,∠ADB=45,DN=EN= 2t,4W=82 在Rt△ANE中，AE2=EN+AN2=x2-82x+64, S=AE=x2-82x+64. 当点E在对角线BD的延长线上时，如解图4，过点E作 EN⊥AD交AD的延长线于点N. DE=,ZADB=45.DN=EN 在Rt△ANE中，AE2=EN2+AN2=x2+8√2x+64, S=AE=x2+8√2x+64. x2-82x+64, 综上所述，S= (x2+82x+64. A+专题六新定义问题 1.D 1 3 2.C【解析】由题意，得 了2 +2n=1,整理得 m+2n=3, m+31=20①-2得n=-1.把n=-1代人0得m=5. (m+2n=3②， .∴.x※y=5x-y,则2※1=5×2-1=9. 3.-17≤P<-7【解析】小G(x,y)=x+3y,关于a的不等 式组{a,1-2）≥-2即+3(1-2a)≥-20 解不等 (G(-2a,1+4a)>P,(-2a+3(1+4a)>P②， 式0.得a≤1，解不等式②，得a。:不等式组有 3个整数解整数解为-1,0,1，-2≤P-3 10<1,解得 -17≤P<-7. 4.解：(1)1013：2025 (2)M(6-2x,2)=6-2x+2=4-, 2 当6-2x≥2时，得x≤2，此时max(6-2x,2)=6-2x 当6-2x<2时，得x>2,此时max(6-2x,2)=2. .M(6-2a,2)=max(6-2x,2), .当x≤2时，4-x=6-2x,得x=2; 当x>2时，4-x=2,得x=2(舍去)， x的值是2. 5.解：(1)是【解法提示】设x1,x,是自变量x取值范围内 的两个值，∴.对应的y值分别为y1=-2x1,y32=-2x2.平均 变化速度为：2，（-2）.2(）.-2（定 x2-x1x2-x1 x2-x1 值)，.一次函数y=-2x是匀速变化的函数. (2)设x1,x2是自变量x取值范围内的两个值，对应的函 数值分别为y1=kx,+b,y,=2+b,则平均变化速度为 少(，+b)-(+b)_6(-）=k(6为定值). X2-X1 x2-X1 X2-x1 :k≠0，.一次函数y=x+b(k≠0)是匀速变化的函数. (3)设F=mC+n. 55 把C=0,F=32和C=10,F=50代入F=mC+n中 得/n32, ,解得8 \10m+n=50, .F关于C的函数关系式为F=1.8C+32. 令F=C.即C=1.8C+32,解得C=-40. ∴.-40摄氏度时两种计量方式的数值相等 6.解：(1)③【解法提示】①对于y=x+2,代人点(m,m), 得m=m+2,无解，y=x+2不是“不动点函数”，原结论 错误：②对于y=-3x+2,代入点(m,m),得m=-3m+2,解 得m= 2…y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是 （2,2),原结论错误；⑧=x是“不动点函数”，且有无 11 数个不动点，结论正确 (2)k,b应满足的条件为当k≠1且k≠0时，b为任意实 数或当k=1时，b=0. (3)由抛物线y=x2-2bx+c=(x-b)2+c-b2,得顶点坐标为 (b,c-b). :抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不 动点，.b=c-b, .b,c满足的关系式为b=c-b2. (4)根据题意，得y=(x-6)(12-x)=-x2+18x-72, .令x=-x2+18x-72,解得x1=8,x2=9, .该函数是“不动点函数”，该函数不动点表达的实际意 义为在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总 利润与销售单价相等 7.（1)5-1【解法提示】设MN=2a,根据题意，得4C=a, 2 BC=MN=2a,LACB=90°，∴.AB=V√AC+BC= √a+(2a)下=√5a.由折叠得AD=AB=√5a,.CD=AD- AC=(√5-1)a.四边形BCDE是矩形，.DE=BC=2a. .CD_(5-1)a_5-1 DE 2a 2 (2)证明：根据题意，得BP∥AD,.∠BPA=∠DAP. 由折叠得AB=AD,∠BAP=∠DAP .∠BPA=∠BAP,.AB=BP,∴.AD=BP ·BP∥AD,∴.四边形ABPD为平行四边形 又.·AB=AD,.四边形ABPD为菱形 (3)解：矩形MNDE是黄金矩形. 证明：设MN=2m,由折叠得MB=BC=MN=2m,NA= AC=m. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√AC+BC=√5m, .AD=AB=5m,..DN=AD+NA=(5+1)a, MN2m-5-1 ÷DN5+1)m2, .矩形MNDE是黄金矩形. 8.解：(1)③ (2):∠BAC=90°，AB=3,AC=4.BC=WAB+AC2=5. ·四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC=90°， 56 ∴.A,B,C,D四点共圆，且BC为直径. 如解图，把BC的中点记为点O,即A,B,C,D四点在⊙0 上，连接BD,AO相交于点H. 5 .BC=5,∴.B0=A0= 2 设0H=x,则AH=2, 5 .·AB=AD,.AO⊥BD,BH=DH 在Rt△ABH中，B=AB-AH 在Rt△BOH中，B=BO-O. 0-0f=-f,即(3)产-=3-( x)2, 7 解得x=10 号则m=-(即m ·0m7 5 .·BC是直径，.∠BDC=90° BH=DH,BO=OC∴.OH是△BDC的中位线 c-20m=子则Sk00c 25 AM 25 84.108192 .S阳ǜ5n=Samc+5am-252525 9.解：探究一：三角形的任意两边之和大于第三边. 探究二：点C在⊙0上.理由如下： ∠ACB=90°，AB为⊙0的直径， ∴.0C=0A=0B,.点C在⊙0上. 拓展应用：(1)如解图1，⊙0即 为矩形ABCD的最小覆盖圆. (2)5 (3)√2【解法提示】如解图2， B 作AD的垂直平分线LJ,交AD 于点L,交BC于点J,.四边形 解图1 ABJL,DCJL是两个全等的矩 形.AL=DL=BJ=CJ=1.用两个等圆完全覆盖矩形 ABCD,.两圆一定过点L,J.连接AJ,BL,CL,DJ,交点分 别为点E,F,同理可得这样的两个等圆的最小直径为AJ (或BL)和CL(或D),.最小直径为√+1下=√2.如解 图3，作AB的垂直平分线交AB,CD于点V,W,同法作 ⊙Q,⊙K,此时它们不是直径最小的等圆.综上所述，用 两个等圆完全覆盖矩形ABCD,则这样的两个等圆的最 小直径为2cm. 解图2 解图3 10.【问题解决】①平行（或ADBC)②=【解法提示】 ①.·AB=AC,DA=DC,∠BAC=∠ADC,..∠ACB= 180°-∠BA 2 ,∠D4C=180°-∠AD ,.∠DAC=∠ACB 2 .∴.AD∥BC:②，·∠ACB=∠DAC,∠BAC=∠ADC 六△MBC△DCA,品CAC=BC·AD AC AD 【方法应用】①证明：由旋转得AB=AD,DE=BC,AE=AC 令∠B=,则∠ADB=,∠BAD=180°-2a, ∠ADE=∠B=aL. 又AC=BC,EA=ED,.∠DAE=∠ADE=, ∴.∠E=180°-2a. .·.∠E=∠BAD,·.四边形ABDE为双等四边形 ②解：存在.理由如下：如解图，作AH⊥BC于点H. ,AB=5BH=3,AH=4 3 '.cosB=- 设CH=x,则AC=BC=x+3. 在Rt△AHC中，CP+A=AC2,即x2+4=(x+3)2, 解得x 6CH 6..AC=BC=25 6 如解图1，若∠ACB=∠D=∠CAD,AC=CD时， CDAC 如解图2，若∠ACB=∠D=∠ACD,AD=AC时， AD=AC=25 6 作AM⊥CD于点M,CM=DM, CM CH 7 六AC=cos∠ACM=os∠ACB= C251 CM=x257 25*66cD=2CM= 3； 如解图3，若∠D=∠ACB,DA=DC时. ∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ABC, 25 △DAC∽△CAB, CD AC CD 6 BC AB255 6 解得CD=1 36CD的长为25 36 综上所述，满足条件时，CD的长为25或7 6 36 D 4 D B H B H C 解图1 解图2 H C 解图3 11.(1)①错误②正确③错误【解法提示】如解图1， 连接BE,CF,AD,BE与AD交于点O.①由AB∥DE,只 能知道△AOB∽△DOE,其他对边同理，故平行六边形 的三组主对边分别相等是错误的：②由AB∥DE,得 ∠ABE=∠BED,同理可得∠CBE=∠BEF,·∠ABE+ ∠CBE=∠BED+∠BEF,即∠CBA=∠DEF,其他对角同 理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的： ③由①可知.平行六边形的三条主对角线互相平分是错 误的. B D D R 解图1 解图2 (2)证明：如解图2，过点Q作QHP0且QH=PO,连接 OH,HS 则四边形PQHO是平行四边形， .PQ∥oH,PQ=OH .·PO∥Rs,P0=RS. .QH∥Rs且QH=RS .四边形QRSH为平行四边形， .∴.QR∥IS,QR=HS. 又：PQST,QR∥oT, ∴.OST,HSoT. .四边形ST0为平行四边形， .HS=OT,OH=ST. .∴.QR=OT,PQ=ST .OP=PQ=OR=RS, .ST=PO=OR=RS=OT=PO. .平行六边形OPORST是菱六边形 (3)解：设三角形纸片为 △ABC,裁剪后的纸片为 32 A-E AF 菱六边形DEFGH瓜，如解B∠ H6G =C 图3， 解图3 .∴.DEHG,KH∥EF,FG∥ DK.DE=EF=FG=HG=KH=DK, ∴.△ADE∽△ABC,△BKH∽△BAC, DE AD AE KH BK ÷BC-AR AC'ACAB DE=EF=FG=HG=KH=DK=x 则=AD-AE BK 63443 之02,48= 1 3*BK=3 AB=AD+DK+BK=3, 3 4 六2+x+=3,解得x=3, ∴.AD= 1 2 :剪藏掉的小△0E的三边长分别为号，号号 57