A+专题五 几何动态问题综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮A+培优册（广西专用）

A专题五 几何动态问题综合题 (必考，10~20分) ◆考情通览 考情 命题角度 折叠问题 2023广西26题 以折纸为主题，考查矩形的折叠 以旋转为主题，考查：(1)相似三角形的判定；(2)三角形面积最大 旋转问题 2024广西26题 时旋转角的度数；(3)三角形为直角三角形时旋转角的度数 以探究遮阳区面积大小的变化为主题，考查平行四边形在平移过程 平移问题 2025广西22题 中与矩形重叠部分的面积，涉及分段函数 利用二次函数解决几何动，点问题，考查：(1)全等三角形的判定； 动点问题 2023广西24题 (2)三角形面积与边长的关系式；(3)二次函数的基本性质 题型概述：几何动态问题综合题为广西必考题型，设问数量不定，分值为10分或12分.题目综合 性强，难度大，重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、数学运算能力等 类型1折叠问题(2023.26) 1.(2025山西)综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB>BC,点D在边AB上，AD>BD.沿过点D的直线折 叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平行，且折痕与边BC交于点E,得到△DB'E,然后 展平 猜想证明：(1)判断四边形BDB'E的形状，并说明理由， 拓展延伸：(2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB 上，且折痕与边AC交于点F,然后展平.连接A'E交边AC于点G,连接A'F ①若AD=2BD,判断DE与A'E的位置关系，并说明理由； ②若∠C=90°，AB=15,BC=9,当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请直接写出A'F 的长 图1 图2 78 2.(2025吉林)【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为 60°的平行四边形的折叠问题.其探究过程如下： 【探究发现】如图1，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB>AD,E为边AD的中点，点F在 边DC上，且DF=DE,连接EF,将△DEF沿EF翻折得到△GEF,点D的对称点为点G.小 组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明 理由、 【探究证明】取图1中的边BC的中点M,点N在边AB上，且BN=BM,连接MW,将△BMW 沿MN翻折得到△HMN,点B的对称点为点H.连接FH,GN,如图2.求证：四边形GFHW 是平行四边形 【探究提升】在图2中，四边形GFN能否成为轴对称图形.如果能，直接写出AD 的值：如 AB 果不能，说明理由 图1 图2 79 类型2旋转问题(2024.26) 3.（2025苏州)综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,△CDE中， ∠DCE=90°，∠E=30°，AB=CE=12cm. 【观察感知】 (1)如图1，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB,DE交于点F,求∠AFD 的度数和线段AD的长.（结果保留根号） 【探索发现】 (2)在图1的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度， 使得点A落在边DE上（如图2）. ①求线段AD的长；（结果保留根号） ②判断AB与DE的位置关系，并说明理由. 图1 图2 80 4.(2024广西26题10分)如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=6,AC的垂直平分线分别交AC, AB于点M,O,C0平分∠ACB. (1)求证：△ABC∽△CBO: (2)如图2，将△AOC绕点0逆时针旋转得到△A'OC',旋转角为ax(0°<<360°)，连接 A'M.C'M. ①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角，的度数，并说明理由； ②当△A'MC'是直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数. R 图1 图2 81 5.(2025齐齐哈尔)综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何 模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美” (1)【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,在△ABC内部取一点D,连接 AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD',连接BD,CD',则CD'与BD的数量关 系是 ;∠AD'C与∠ADB的数量关系是 (2)【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E,使∠CED=90°，将线段CE绕点C 逆时针旋转90得到线段CE,连接E'B,延长E'B交DE的延长线于点F,求证：四边形 CEFE'是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,在其内部取一点E,使∠CED=90°， 将线段C绕点C时针旋转90得到线段CP,延长CE至点G,使C4连接Gh,延 长GB交DE的延长线于点F,连接AF,若AF=2,则BF= (4)【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE,将线段AE绕点A逆时 针旋转60°得到线段AE',连接DE',若AD=32,AB=√6，则DE'的最小值为 D E 图1 图2 图3 备用图 82 类型3平移问题(2025.22) 6.(2025吉林)如图，在△ABC中，AB=3√2，BC=5,∠BAC=45°.动点P从点A出发，沿边 AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动.当点P出发后，以AP为边作正方形 APDE,使点D和点B始终在边AC同侧.设点P的运动时间为x(s)(x>0),正方形APDE 与△ABC重叠部分图形的面积为y(平方单位). (1)AC的长为 (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值 备用图 83 7.(2025天津)在平面直角坐标系中，0为原点，等边△ABC的顶点A(0,2),B(0,-1),点C 在第一象限，等边△EOF的顶点E(-√3,0)，顶点F在第二象限. (1)填空：如图1，点F的坐标为 ,点C的坐标为 ； (2)将等边△EOF沿水平方向向右平移，得到等边△E'O'F',点E,O,F的对应点分别为 E',0',F'.设00'=t. ①如图2，若边E'F'与边AB相交于点G,当△E'O'F'与△ABC重叠部分为四边形OO'F'G 时，试用含有t的式子表示线段GA的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为S,当5≤1≤33时，求5的取值范（直接写出结果即可）. 4 B 图1 图2 84 类型4动点问题(2023.24) 8.（2025龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA= √/3，OA的长是一元二次方程x2-3x-18=0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q,交对角 线OB于点P.动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点N从 点B以每秒3个单位长度的速度沿B0向终点O运动，M,N两点同时出发，设运动时间 为t秒： (1)求点P坐标： (2)连接MN,PM,求△PMW的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当t=3时，在对角线OB上是否存在一点E,使得△MNE是含30°角的等腰三角形.若 存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由. O MO 85 9.(2025绥化)综合与实践 如图，在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD,点E是射线BD上的一个动点，连接AE, 以AE为边作正方形AEFG,连接CG交射线BD于点M,连接DG.(提示：依题意补全图 形，并解答) 【用数学的眼光观察】 (1)请判断BD与DG的位置关系，并利用图1说明你的理由； 【用数学的思维思考】 (2)若DG=a,请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值 【用数学的语言表达】 (3)设DE=x,正方形AEFG的面积为S,请求出S与x的函数解析式.（不要求写出自变量 x的取值范围) D D 图1 备用图 备用图 86故存在这样的点P,此时点P的坐标为(1+√5，-4). 解图1 解图2 (3)如解图2，连接P0,作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于 点N 设点P的坐标为(m,m2-2m-8). A(-2,0),B(4,0),0C=8, .∴.A0=2,0B=4,PM=-m2+2m+8,PN=m. aaem=Sac+5am+Smc=40,0C+0B· 1 PM+20C·PN=2×2×8+2×4(-m+2m+8)+2× 8m=-2(m-2)2+32. .-2<0,0<m<4, .当m=2时，四边形ABPC的面积有最大值，最大值 为32， 此时m2-2m-8=-8. 点P的坐标为(2，-8)， 即当点P运动到(2，-8)时，四边形ABPC的面积最大， 四边形ABPC的最大面积为32. A专题五几何动态问题综合题 1.解：(1)四边形BDB'E是菱形.理由如下： 由折叠可得BD=B'D,BE=B'E,∠BDE=∠B'DE B'D∥BC,.∠B'DE=∠BED,∴.∠BDE=∠BED .BD=BE...BE=BD=B'D=B'E. .四边形BDB'E是菱形 (2)①DE⊥A'E.理由如下： 由(1)知BD=B'E=B'D.由折叠可得AD=A'D AD=2BD...A'D=2BD=2B'D=2B'E. ∴.B'D=A'B'=B'E,∴.∠1=∠2，∠3=∠4. .∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴.∠2+∠3=90°， .DE⊥A'E ②4F的长为5或37 .165 【解法提示】.∠C=90°，AB= 15,BC=9,.AC=√AB-BC=12.延长A'F交AB于点 H.设AC,A'D的交点为M.如解图1，当△A'FG是以A'F 为腰，A'G为底的等腰三角形时，则FG=A'F.:∠C= 90°，A'D∥BC,.∠AMD=∠C=90°，∴.∠AMA'=90°.由 折叠得AD=A'D,∠A=∠DA'F..·∠AFH=∠A'FG ∠AHF=∠AMA'=90°，.∠AHF=∠C,.△AFH E识那：A=BCAC:B=345 △ABC,AB BC AC' 易得△AHF≌△A'MF(AAS),.HF=FM,AH=A'M.设 FM=HF=3x,A'M=AH=4x,A'F=AF=5x,..AM=AF+ EW=8AD/BC,△AWD∽△4CB,C招即8 2 AD=10wBE=BD=AB-AD-15-10x.CE=BC- AD BE=10x-6.FG=A'F=5x,..MG=FG-FM=2x,..CG= AC-AM-MG=12-8x-2x=12-10x.·A'D∥BC,.△A'MG △Ba0-瓷62解得=1支0 2x (已舍)，.A'F=5x=5;如解图2，当△A'FG是以A'F为 腰，FG为底的等腰三角形时，则A'F=A'G.同理得HF: AH:AF=BC:AC:AB=3:4:5.HF=FM.AH=A'M.AF=A'F. 设HF=FM=3y,AH=A'M=4y,AF=A'F=5y,∴.AM=AF+ AM_AD,即 FM=8.A'D∥BC,.△AMD△ACB,AC-AB AD=10y..BE=BD=AB-AD =15-10%..CE= BC-BE=1Oy-6.:△A'FG是以A'F为腰，FG为底的等 腰三角形，A'M⊥AC,.MG=FM=3y,FG=GM+FM= 6y,.CG=AC-AF-FG=12-11y.A'D∥BC,.△A'MG △m僵-瓷·中6品解y- 33 0已合)P=5y-综上所述，AF的长为5 或165 37 H D 0 2 B B E 解图1 解图2 2.【探究发现】解：四边形DEGF是菱形. 【探究证明】证明：由折叠可得BN=HN,BM=HM, BN=BM...HN=BN=BM=HM. .四边形BMHN是菱形，.NH∥BC .·E为边AD的中点，M为边BC的中点， :四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AD∥BC,∴.DE=BM,ADNH. ·四边形DEGF是菱形，·.DE=FG,FG∥AD, ∴.FG=DE=BM=IN,FGNH. .四边形GFHN是平行四边形 【探究提升】四边形CFN能成为轴对称图形且 AB .【解法提示】由【探究证明】知，四边形GFIN 是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形 GFHN是矩形或菱形.当四边形GFHN是矩形时，过点G 作GK⊥AB于点K,过点E作ET⊥AB于点T,如解图L. 51 ∠M=60,∠A7=0A们=证设4=，则A 2x,.ET=√AE-AT=√3x=GK:E为AD的中点， .∴.AD=2AE=4x,DE=AE=2x..四边形DEGF是菱形 .EG=DE=2x=TK四边形GFHN是矩形，∠GNH= 90°..AD∥NH,∠A=60°，∴.∠HNB=∠A=60°，∴.∠GNK= 180°-∠GNH-∠NB=30°，∴.KN=√3GK=3×√3x=3x. BN-CADAB-AT+TK+K:WN= 2+2=8招分：当四边形你N是装 形时，延长FC交AB于点W,如解图2.设AD=y,则DE= DF=BG=6F=BN=BM=HM=NM=四边形GFIN 是菱形，GF=FH=6N=M=x×EG/CD/MB,GF/ AD,.四边形AEGW是平行四边形，∠GWN=∠A=60°， AW=BG=,GW=A5= 2y,.GW=GW,△GwN是 等边三角形，.WN=GW= 2y六AB=AW+N+BN 2+ 11 三yA地=y=二综上所述，当四边形 2+2y=2y,AB=3 2 GFHN为轴对称图形肘，4 的值为或 AB 3 D--- G B 解图1 解图2 3.解：(1)在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB, ∠A=∠ABC=450. 在△CDE中，∠DCE=90°，∠E=30°， .∴.∠CDE=60°，∴.∠AFD=∠CDE-∠A=15° 在△C中，AC=A:sm∠AC=12x号-62(em, 在B△CDE中，CD=CE.tanE=12x =45(cm), 3 .AD=AC-CD=(62-45)cm. (2)①如解图.过点C作CG⊥DE,垂足为G. 在△CGD中，∠CGD=90°， B ∠CDE=60°，CD=43cm, .∴.DG=CD·cos∠CDE=23(cm). CG=CD·sin∠CDE=6(cm). 在△CGA中，∠CGA=90°， AC=62 cm,CG=6 cm. .AG=√AC2-CG=6(cm), .'AD=AG+DG=(6+23)cm. 52 ②AB⊥DE.理由如下： 在Rt△CGA中，∠CGA=90°，AG=CG=6cm, .∴.∠CAG=∠ACG=45° 又：∠BAC=45°，∴.∠DAB=∠CAG+∠BAC=90°， .AB⊥DE 4.(1)证明：：0M垂直平分AC ∴.OA=0C,∴.∠A=∠AC0. .·C0平分∠ACB,.∠BC0=∠AC0=∠A. ∠B=∠B,.△ABC∽△CBO. (2)①解：∠AC0=∠BC0=∠A,∠B=90°， ∴.∠AC0=∠BC0=∠A=30°. 在△ABC中，AB=6AC=AB c0s30°4V5. AM=23,0M=AM·tan30°=2. 如解图1，作MH⊥A'C'于点H,ON⊥A'C'于点N,连接 MN.由旋转可得A'C'=AC=4√3，ON=OM=2. 在Rt△MHN中，MH<MN,在△OMN中，MN<OM+ON, ∴.MH<MW<OM+ON. 如解图2，当N,H重合时，MH取得最大值，最大值为 0M+0N=4, 1 Sar=2A'C·MH=85, 即△A'MC'面积的最大值是85， 此时M,0,N三点共线，a=∠M0N=180°. ②当△A'MC'是直角三角形时，a为120°或240°。 【解法提示】由旋转可得OC=OC',∠A0C=∠A'OC'= 120.在Rt△C0M中，0M=2,.0C=4.MC'≤M0+ 0C=M0+OC=6<4V3=A'C,同理MA'≤6<A'C',∴.△A'MC 中只可能∠A'MC'=90°.：0M垂直平分AC,.MA=MC, ∠AM0=90°.(I)如解图3，当点C与点A重合时，点 A恰好在M0的延长线上，满足∠A'MC'=90°，此时a= 120°；（Ⅱ）如解图4，当点A'与点C重合时，点C恰好在 M0的延长线上，满足∠A'MC'=90°，此时a=240°.综 上所述，当△A'MC是直角三角形时，a为120°或240°. M B N(H A C 解图1 解图2 C(A') M (C)A B B 解图3 解图4 5.(1)相等（或CD'=BD):相等（或∠AD'C=∠ADB) (2)证明：四边形ABCD是正方形， .∴.∠DCB=90°，BC=DC. 线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE, .∠ECE'=90,CE=CE, .∠DCB=∠ECE'=90° ∴.∠DCB-∠BCE=∠ECE'-∠BCE,即∠DCE=∠BCE', ∴.△BCE'≌△DCE(SAS),∴.∠BE'C=∠DEC=90°. .∠CED+∠CEF=180°，∴.∠CEF=90°， ∴.∠BE'C=∠ECE'=∠CEF=90°， .四边形CEFE是矩形 又.·CE=CE',四边形CEFE'是正方形 (3)3V8【解法提示将线段CE绕点C逆时针 55 旋转90°得到线段CE∠BCE=90,CE=CB.~CC 3心CE3:四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, 4CG4 BC 4 CG BC 4 CD=AB=3CD=3CE=CD=3DCB= ∠ECE'=90°，.∠DCB-∠BCE=∠ECE'-∠BCE,即 ∠DCE=∠BCE',.△BCG∽△DCE,∴.∠BGC=∠DEC= 90°.∠CED+∠CEF=180°，.∠CEF=90°，.∠BGC= ∠ECG=∠CEF=90°，∴.四边形CEFG是矩形.如解图1， 连接AC,BD交于点O,连接OF,∴O是AC,BD的中点. 在R△BDF中，0F-BD0F=4C=OA=0C=0n OB,.点A,F,B,C,D共圆.连接CF,.∠AFC=90°.AD= BC,.AD=BC,.∠GFC=∠ACD.在Rt△ABC中，AC= VCBC=5.w∠4CD-2号在△Mc中 AF=2,FC=√AC-AF=√2I,.FG=FC·eos LGFC= FC·cos∠ACD=321BC=BC,.∠BFC=∠B4C.又 :∠AFC=∠G=90°，∴.∠ACB=∠FCG,∴.∠ACB-∠FCB= ∠FCG-∠FCB,即∠ACF=LBCG,.sin∠ACF=AC AF BG 2 BG sinz BCG=BG.....BG=5...BF=FG-BG= 3V2ī8 55 G E 解图1 解图2 (4 【解法提示】如解图2，连接AC,BD交于点O. ·四边形ABCD是矩形，.∠BAD=90°，AO=OB..:AD= 32,AB=6,..AC=BD=AB+AD=2/6,..AO=0B= AB=√6，△AOB是等边三角形，则∠0AB=60°.线段 AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE',∴.AE=AE, ∠EAE'=60°，∴.∠OAB-∠OAE=∠EAE'-∠OAE,即 ∠E'AO=∠EAB.又，OA=BA,E'A=EA,∴.△E'AO≌ △EAB(SAS),∴∠AOE'=∠ABE=90°，.E在AC的垂 直平分线上运动，.当DE'⊥OE时，DE取得最小值. .·∠A0B=60°，∴.∠A0D=120°.又.·∠A0E=90°， ∠E'0=30当DF'10E时，DE=0D=m= 即0吸的品小值为号 √6 6.(1)7 (2)解：当点D在线段AB上运动时， =.m0cs 当点D在线段AB的延长线上运动 D' 时，即点P'在线段PC上运动，如解 图，则AP'=x,PP'=x-3,CP'=7-x, (D)B. CP=4,BP=3. :FP'∥BP,.∠CFP'=∠CBP, ∠CP'F=∠CPB, D CP'FP △CFp'∽△CBP,CPBP 43,解得Fp=21-3x 即xFp 4 3+21-3x 1 4 六y=Sam+S影mm=2×3产+ 一×(x-3) 2 3(x-7)2+10.5(3x≤7八 (0<x≤3)， 2 .y= 8(x-7)2+10.5(3<≤7). (3)x的值为6. a(-5.5 331 【解法提示】如解图1，作 H ------->C FG⊥OE于点G,作CH⊥ E AB于点H.△OEF, GO B △ABC均为等边三角形， 解图1 0c=20E,0P=0E,4= AC=AB.A(0,2),B(0,-),E(-5,0 0B=5,MC=AB=2+1=3,0A=20G=5 3 2 PG-Vm-0c=子0m=0-AM=分，cm- 53 (2)①由平移可得∠F'E'0'=∠0EF=60°， 0'E'=0E=3. 00'=t,.0E'=0'E-00'=√5-t, .0G=0E'·tan60°=√3(3-t)=3-√3t, ∴.G4=0A-0G=2-3+√3t=√3t-1. 即6M的长为51-1,1的取值范围为5 ② .3W3 16$≤4 :【解法提示】当≤5时，查叠的 部分为四边形O0'F'G,如解图2，作F'M⊥x轴于点M. 由(0)和(2)①可知FM=子，0G=3-5,05=5- ssm5aa5x号}(6-0(3-50 5)0当时.5的价最 小摄小值为：8源段C交：于 32， 点N,则ON=0B·tan60°=3=0'E..当t=√3时，点E 与点0重合，点0与点N重合，重叠的部分恰为△O'EF, -厅子-当5s有偷瑞大 减小当=33 时，S有最小值，此时C01x轴，如解 图3，此时重叠部分为五边形GPQE,ON=35-5 2 2∠CN0'=∠B0=90°-∠ABC=30°，∠E'0F'= 60°∠N00'=9000= 20w 4QN=30'Q= 5aw=70r0.0w=35 3 1 2·:∠ACB=609,∠C0P= ∠NQ0'=90°，.∠F"PG=∠CPQ=30°，∴.∠F"GP=180° ®0°-60=90.由平移可得F'F=0N=号Fp/公0 ∴.∠F'F"G=∠O'E'F"=60°，.∠F"F'G=30°=∠F"PG 1V5、335 pFp”同法可得Sr2X432 .S=S△0Er-S△m0-S△raP= 35353595综上 4-3232=16 所述，9 3V3 16 SSS 4 G 0 E'OM O E V1O' 解图2 解图3 54 8.解：(1)由x2-3x-18=0,解得x1=6,x=-3. 0A的长是一元二次方程x2-3x-18=0的根，.0A=6. 四边形OABC为菱形，OA=0C=6. .tan∠COA=√3，∴.∠COA=60°. 又.CQ⊥0A,∴.∠0CQ=30°， 00=20c=3 ·四边形OABC为菱形，.OB平分∠COA, .∠P00=30°，.P0=√3，P(3,√3) (2)根据题意可知BN=√3t,OM=t. 如解图1，作MK⊥OB于点K,作BH⊥x轴于点H, 则MK=2 1 ∠P0Q=30°，PQ=√3，∠PQ0=90°，.0P=23. ·四边形OABC为菱形，.AB0OC,AB=OA=6, .∠BAH=∠C0A=60°，∴.∠ABH=90°-60°=30°， ·M=6x 2 =33,.0B=33×2=6√3. .PB=65-2W5=4√5. 当0<t<4时，PW=45-√3t, ∴△PMW的面积S= ·4-=5 当4<t≤6时，PW=√3t-45, △PMN的面积S= 2(-4w5)=5-52 11 4 5f+5(0<K4), 4 综上所述，S= 5-5(4k≤6). y B p(E,) MO A H(E,0MQA Hx 解图1 解图2 3)存在E的坐标为E(0.0,(35),乌2 35-3).【解法提示】如解图2，当6=3时，0M=3,点 2 M和点Q重合，BN=33,.OW=OB-BN=33,∠ONM= ∠NOM=30°.假设在对角线OB上存在一点E,使得 △MNE是含30°角的等腰三角形，当∠EMW为顶角时， 点E,与点O重合，E,(0,0);当∠MEN为顶角时，点E 与点P重合，E,(3,√5)；当∠ENM为顶角时，NE=NM= 0M=3.设E,(5a,a),则0E3=2a.0E3+WE3=0N, 2a+3=35a=35-3 9-35 ，一z之之一②—、 353).签上所述，当：=3时，在对角线0a上存在一点 E,使得△MNE是含30°角的等腰三角形，E,(0,0), E,(3,5)E,(2,2 9-333w3-3 9.解：(1)BD⊥DG.理由如下： ·.四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形 ∴.AD=AB,AG=AE,∠DAB=∠EAG,∠ADB=∠ABD .∠DAB=∠DAE+∠EAB,∠EAG=∠DAE+∠GAD, .∴.∠EAB=∠GAD AG=AE. 在△ADG和△ABE中，∠GAD=∠EAB. AD=AB. .∴△ADG≌△ABE(SAS),∴.∠ADG=∠ABE. ∠GDB=∠ADG+∠ADB=90°，.BD⊥DG (2)Da+8【解法提示】如解图1，连接AC交BD于点 8 O.,·四边形ABCD是正方形，.AC⊥BD.:BD⊥DG DG//AC..△DMG∽△0MC,C正方形0d7 的边长为8，AC=BD=82,.OD=0C=4V2.设DM=t, 则0M=42-t.DG=a,. 4a a t a+4W2 tan∠CMB=tan L DMG==7 F,tan∠CwB= √2a+8 8 M 解图1 解图2 6 E B 解图3 解图4 (3)当点E在对角线BD上，点F在射线CD上时，如解 图2，过点E作EN⊥AD于点N DE=x,∠ADB=45°，DN=EN= 2t,4W=8- 2 在Rt△ANE中，AE2=EN2+AN2=x2-82x+64, .:S=AE2=x2-82x+64. 当点E在BD上，点F在CD上时，如解图3，过点E作 EN⊥AD于点N. DE=,∠ADB=45,DN=EN= 2t,4W=82 在Rt△ANE中，AE2=EN+AN2=x2-82x+64, S=AE=x2-82x+64. 当点E在对角线BD的延长线上时，如解图4，过点E作 EN⊥AD交AD的延长线于点N. DE=,ZADB=45.DN=EN 在Rt△ANE中，AE2=EN2+AN2=x2+8√2x+64, S=AE=x2+8√2x+64. x2-82x+64, 综上所述，S= (x2+82x+64. A+专题六新定义问题 1.D 1 3 2.C【解析】由题意，得 了2 +2n=1,整理得 m+2n=3, m+31=20①-2得n=-1.把n=-1代人0得m=5. (m+2n=3②， .∴.x※y=5x-y,则2※1=5×2-1=9. 3.-17≤P<-7【解析】小G(x,y)=x+3y,关于a的不等 式组{a,1-2）≥-2即+3(1-2a)≥-20 解不等 (G(-2a,1+4a)>P,(-2a+3(1+4a)>P②， 式0.得a≤1，解不等式②，得a。:不等式组有 3个整数解整数解为-1,0,1，-2≤P-3 10<1,解得 -17≤P<-7. 4.解：(1)1013：2025 (2)M(6-2x,2)=6-2x+2=4-, 2 当6-2x≥2时，得x≤2，此时max(6-2x,2)=6-2x 当6-2x<2时，得x>2,此时max(6-2x,2)=2. .M(6-2a,2)=max(6-2x,2), .当x≤2时，4-x=6-2x,得x=2; 当x>2时，4-x=2,得x=2(舍去)， x的值是2. 5.解：(1)是【解法提示】设x1,x,是自变量x取值范围内 的两个值，∴.对应的y值分别为y1=-2x1,y32=-2x2.平均 变化速度为：2，（-2）.2(）.-2（定 x2-x1x2-x1 x2-x1 值)，.一次函数y=-2x是匀速变化的函数. (2)设x1,x2是自变量x取值范围内的两个值，对应的函 数值分别为y1=kx,+b,y,=2+b,则平均变化速度为 少(，+b)-(+b)_6(-）=k(6为定值). X2-X1 x2-X1 X2-x1 :k≠0，.一次函数y=x+b(k≠0)是匀速变化的函数. (3)设F=mC+n. 55