A+专题四 二次函数综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮A+培优册（广西专用）

A专题四二次函数综合题 (必考，10分或12分) ◆考情通览 考情 命题角度 二次函数（含参 2024广西25题 以探究二次函数最值为主题，考查利用配方法求最值 数)最值问题 利用二次函数解决 2025广西22题 常以三角形、四边形等常见的几何图形为背景，涉及动，点、 几何问题 2023广西24题 动图问题，最终将问题转化为利用函数最值求面积最值 题型概述：二次函数综合题为广西必考题型，设问数量不定，分值为10分或12分.广西统考后弱 化了单纯考查二次函数的综合题，将二次函数放在特定的图形或主题中，考查学生分析问题、解决 问题的能力 类型1二次函数（含参数）最值问题(2024.25） 1.原创数学活动课上，同学们在刘老师的指导下对二次函数y=x2+bx-5进行了研究， (1)甲同学经过分析后发现，无论b取任何实数，该函数的图象与x轴都有两个交点请 你通过计算判断甲同学的说法是否正确； (2)若该函数图象经过点(-1，-8)，当-5≤x≤3时，求y的取值范围.乙同学经过思考后， 通过待定系数法求函数的解析式，利用函数的图象与性质确定了y的最大值和最小值， 进而求出y的取值范围.请你结合自己对二次函数的理解求出y的取值范围. 67 2(2025南宁三中模拟)如图，抛物线L:=+bm-3(b为言数). (1)求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分别位于原点的两侧： (2)当抛物线L经过点M(-4,m),N(6,m)时， ①求抛物线L的顶点坐标，以及抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； ②若0≤：≤a时，函数y=子+6-3的最大值与最小值的差总为}求a的取值范围 3.(2025贵港港北区一模)已知抛物线L1:y=(x-3)2-5,若点A(m,y1)和B(n,y2)在抛物线 L1上，且n-m=4,y1=y2 (1)求A,B两点的坐标： (2)将抛物线L,平移得到抛物线L2:y=(x-3+k)2-5.当m≤x≤n时，抛物线L2的函数最 大值为p,最小值为g,若p-q=8,求k的值 68 4.(2025广西模拟)(1)【问题初探】综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已 知二次函数y=x2+2x-3,当-2≤x≤2时，y的取值范围为 ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y=a(x-h)2+k的形式，确定抛物线的对称 轴为直线x=h,通过比较-2，h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y 的取值范围； ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围. 请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 (2)【类比分析】张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让 同学们更好的感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知 二次函数y=x2+2x-3,当a-1≤x≤a+1时，求y的最大值，并写出a的取值范围； (3)【学以致用】已知二次函数y=-x2+6x-5,当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1, 最小值为y2,若y1-y2=3,求a的值 69 5.(2025来宾兴宾区一模)我们常借助图象来探究二次函数的性质及其变化规律 【初步探究】如图1，我将二次两数y=宁的图象，向上平移得到y之+3的图象 M2,过M1上点A作AB∥y轴交M2于点B. (1)点A在M1上运动的过程中，线段AB的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值； 若变化，请说明理由； 【拓展探究】如图2，线段PQ:y=2+3(0≤x≤6)分别交y轴、x轴于点P,Q.平移M,得 到M3,且使其顶点始终在线段PQ上.过点B作BC∥y轴交M,于点C. (2)若M3的顶点横坐标为4，BC=3,求点B的横坐标； (3)若点B的坐标为(2,5)，M3的顶点横坐标为m,BC的长为S ①求S关于m的函数解析式； ②求S的最大值 M M,M. 0 图1 图2 70 类型2利用二次函数解决几何问题(2025.22,2023.24) 6.（2023广西24题10分)如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D,E,F分别在边AB, BC,CA上运动，满足AD=BE=CF (1)求证：△ADF≌△BED: (2)设AD的长为x,△DEF的面积为y,求y关于x的函数解析式； (3)结合(2)所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化. D 7.(2025北流一模)如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发向点B 运动，同时点Q从点B出发向点C运动，且点Q的速度是点P的2倍.设△PBQ的面积 为S(cm2).求： (1)当点P的速度为1cm/s时，2s后S是多少？ (2)若在点P,Q运动的过程中，S(cm2)与时间t(s)的关系如图2所示，求点P的速度. (3)在(2)的条件下，求出当t为何值时，S取最大值，最大值是多少？ D S/cm R 图1 图2 71 8.原创如图，在△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点，连接DE,CE,BD,BD和CE交于 点G. (1)若BD1CE,BD=1,CB=子则四边形BCDE的面积为 3 (2)若BD+CE=)△ABC的最大面积为&设BD=x,求S与x之间的函数关系式，并求S 的最大值； (3)若(2)问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，求平移 后的函数图象与x轴的交点坐标. 72 类型3交点问题 9.（2025连云港)已知二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3,a为常数. (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围： (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点. 10.(2022北部湾)已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在，点B的左侧） (1)求点A,点B的坐标； (2)如图，过点A的直线1：y=-x-1与抛物线的另一个交点为C,点P为抛物线对称轴上 的一点，连接PA,PC,设点P的纵坐标为m,当PA=PC时，求m的值； (3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN,若抛 物线y=a(-x2+2x+3)(a≠0)与线段MW只有一个交点，请直接写出a的取值范围. 73 类型4图形存在性问题 11.原创如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3交坐标轴于B,C两点，抛物线y=x2+ bx+3经过B,C两点，且交x轴于另一点A(-1,0).D为抛物线在第一象限内的一点，过 点D作DQ∥CO,DQ交BC于点P,交x轴于点Q. (1)求抛物线的解析式： (2)设点P的横坐标为m,在点D的移动过程中，存在∠DCP=∠DPC,求出此时m 的值； (3)在抛物线上取点E,在平面直角坐标系内取点F,问是否存在以C,B,E,F为顶点且 以CB为边的矩形？如果存在，请求出点E的坐标：如果不存在，请说明理由， 74 2,(2025广安)如图，二次函数三+x+c(6,c为常数)的图象交x轴于4，B两点，交 y轴于点C,已知点B的坐标为(9,0)，点C的坐标为(0，-3)，连接AC,BC. (1)求抛物线的解析式： (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC,当∠PCB=∠OBC时，求点P的坐标： (3)将抛物线沿射线CA的方向平移2√I0个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线 上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形， 请直接写出点E的坐标. B B C 备用图 75 13.（2025青海)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A,B两 点，点B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上 (1)求抛物线的解析式： (2)①求点A的坐标； ②当y<0时，根据图象直接写出x的取值范围 (3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三 角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由. /B 76增加的长度为3个边长，即3×20=60(cm),第一个拼接 单元有一个正六边形左边的10cm,每增加一个拼接单 元长度增加60cm,所以y个这样的拼接单元拼成一行 的长度为(60y+10)cm项目分析：计算方案二每行可拼 接的单元数量.令40x+10≤740，解得x≤18.25，.每行 可以先拼18块拼接单元，即共用去18个正六边形和36 个正三角形组件.由40×18+10=730知，所拼长度为 730cm,剩余10cm,无法再摆放组件.由5×18+1×36= 126知，方案二每行的成本为126元.由于每行宽度为 205cm(按3=1.73计算)，设拼成s行，则20√3s≤ 600,解得s≤10√3≈17.3，故需铺17行.由126×17= 2142知，方案二所需的总成本为2142元.项目实施： 两种方案比较可知2163>2142..：.选方案二完成实践 活动， 13.解：(1)090°②360°÷90°=4③360°÷135°=氵 ④不能 (2)8【解法提示】如解图1，设AB切⊙0于点E,连接 OE,AC,BD.则AC,BD交于点O,AC⊥BD,OE⊥AB. OA=OB,.AE=BE=OE=1,.AB=2,.正方形ABCD 的周长为44B=8. 解图1 解图2 (3)如解图2，设AB切⊙0于点G,连接OG,OA, 1 则0GLAB,0G=1,且∠GA0=7∠BMF=60°， 在△40C中，∠AG0=90°，am∠G40= AG 3AB23 tan60°=G=34AC3 3 正六边形的周长为64B=45. (4)45:9:65【解法提示】正三角形4C= -=4. A0=之C=2∠0D=3∠BMC-=30,m∠00- 03,00=3 OD3 3SouC=3XAC.OD= 2√5 12 45;正方形：AB= 4=3,S正方形c0=AB=9.正六边 形：如解图2，AB=2-2.AG=分4B=10G=AG 6 .ta5x0G=65. 14.解：(1)①如解图，圆弧上取一点C,交界面与圆弧的交 点为M,N,连接MC,NC: ②分别作MC,NC的中垂线，交于点O,则点0为圆弧的 圆心： 46 ③连接OM,过点M作 PM⊥OM,则PM为⊙O 的切线，故∠PMW即为 所求 (2)变强 (3)∠CAD=2∠BAC,理 由如下： 连接OA,则OA=OB .∠ABC=∠OAB. AD为切线，.OA⊥AD,.∠OAB+∠BAD=90 BC⊥AC,.∠ABC+∠BAC=90°， ∴.∠BAD=∠BAC, .∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC. (4)设水滴弧所对的圆心角度数为n°，水滴弧所在圆的 半径长为则水滴弧的长度为1= 1807=180, ·可以根据上的大小，进行判断，越大，水滴越趋近 于球形，疏水性越强（答案不唯一）. 15.(1)3.75:2.0(2)② (3)解：这片树叶更可能来自荔枝树 11 理由如下：561.6， 这片树叶长宽比更接近荔枝树叶的长宽比，即这片树 叶更可能来自荔枝树： A专题四二次函数综合题 1.解：(1)当y=x2+bx-5=0时. 4=b2-4×(-5)=b2+20≥20>0， .无论b取任何实数，函数的图象与x轴都有两个交点 故甲同学的说法正确。 (2)把(-1，-8)代人y=x2+bx-5,解得b=4, .函数的解析式为y=x2+4x-5=(x+2)2-9, .顶点坐标为(-2，-9) 当-5≤x≤3时，y=x2+4x-5在顶点处有最小值-9， 当x=3时有最大值y=x2+4x-5=32+4×3-5=16, ∴.y的取值范围为-9≤y≤16. 2（1)证明：在)子-3中，当)=0时，得+h-3=0 1 4=6-4×4×(-3)=b+3>0, ·.该一元二次方程有两个不相等的实数根 即抛物线L一定与x轴有两个交点. 设好+-3=0的两根分别为1 x1·x2=-12<0, .该一元二次方程有两个异号的实数根， “.抛物线L与x轴的两个交点分别位于原点的两侧： (2)解：①抛物线L经过点M(-4,m),N(6,m), ∴抛物线L的对称轴为直线=4+6=1=6 2 4 1 12-1 2心抛物线L的函数解析式为y=4 23 11 当x=1时，y=42 13 -3= 4” 抛物线L的顶点坐标为1，). 当)=0时0子-弓-3解得=1+B(负值已舍去)。 故抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标为(1+√3,0)： ②：=子73与y抽交于点(0.-3). .该点关于直线x=1的对称点为(2，-3) 抛物线L的开口向上， ∴.当0≤x≤2时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是-3， 最低点的坐标意是(1，子.两个点的竖直距离总为宁， 放当1≤0≤2时，函数y-子号-3的最大值与最小 值的差总为子 3.解：(1)：y1=y2,且抛物线的对称轴是直线x=3, 空”3甲m=6 又n-m=4,.m=1,n=5..A(1,-1),B(5,-1). (2)由题意，得抛物线L2:y=(x-3+k)?-5的对称轴为直 线x=3-k,顶点坐标为(3-k,-5).由(1)得1≤x≤5. ①当3-k≤1，即k≥2时， x=5时，函数最大值为p=(k+2)-5: x=1时，函数最小值为q=(k-2)2-5. ∴p-q=[(k+2)2-5]-[(k-2)2-5]=8k=8, .k=1<2(舍去). ②当3-k≥5，即k≤-2时， x=1时，函数最大值为p=(k-2)2-5: x=5时，函数最小值为q=(k+2)2-5, p-q=[(k-2)2-5]-[(k+2)2-5]=-8k=8, .k=-1>-2(舍去). ③当1<3-k<5,即-2<k<2时， 当x=3-k时，函数有最小值q=-5. 若3-k-1≥5-(3-k),即-2<k≤0时，当x=1时，函数有 最大值p=(k-2)2-5, p-9=(k-2)2-5+5=(k-2)2=8, k,=2+22(舍去)，k2=2-2√2； 若3-k-1<5-(3-k),即0<k<2时，当x=5时，函数有最 大值p=(k+2)2-5. .p-9=(k+2)2-5+5=(k+2)2=8, k1=-2+22,k2=-2-22(舍去). 综上所述，k的值为2-2√2或-2+2√2. 4.解：(1)-4≤y≤5【解法提示】根据小伟的作法：y=(x+ 1)2-4,.二次函数y=x2+2x-3的图象的对称轴为直线 x=-1.-2≤-1≤2，且12-(-1)1>1-2-(-1)1，.当 x=-1时，y有最小值-4，当x=2时，y有最大值5，-4≤ y≤5. (2)y=(x+1)2-4,对称轴是直线x=-1. ①当a-1≥-1，即a≥0时，x=a+1,y有最大值，y*做= (a+1+1)2-4=a2+4a. ②当a+1≤-1，即a≤-2时，x=a-1,y有最大值，y最大笛= (a-1+1)2-4=a2-4. ③当a-1<-1<a+1,即-2<a<0时， i.若-1-(a-1)≤a+1-(-1),即a≥-1， .当-1≤a<0,x=a+1时，y有最大值， y最大做=(a+1+1)2-4=a2+4a. ii.若-1-(a-1)≥a+1-(-1),即a≤-1， .当-2<a≤-1，x=a-1时，y有最大值， y最大描=(a-1+1)2-4=a2-4. ja2+4a,(a≥-1)， 综上所述，y大鱼{a2-4,(a≤-1)： (3)y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,对称轴是直线x=3. ①当a≥3时，x=a,y1=-a2+6a-5.x=a+3,y2=-a2+4. y1y2=3,.-a2+6a-5-(-a2+4)=3,解得a=2(舍去). ②当a+3≤3，即a≤0时，x=a+3,y1=-a2+4. x=a,y2=-a2+6a-5. y1y2=3,∴.-a2+4-(-a2+6a-5)=3,解得a=1(舍去). ③若a<3<a+3.即0<a<3时， 33 i.若3-a≤a+3-3,即a≥2≤a<3. x=3,y1=4,x=a+3,y2=-a2+4. y1y2=3,∴.4-(-a2+4)=3,解得a1=√3，a2=-√3（舍去）. .3 3 i.若3-a>a+3-3,即a<0ca<2 x=3,y1=4;x=a,y2=-a2+6a-5. y1-y2=3,.4-(-a2+6a-5)=3, 解得a1=3-√5，a2=3+√5（舍去）. 综上所述，a的值为3或3-√5. 5.解：(1)线段AB的长度不变，AB=3.理由如下： :M2是由M,向上平移3个单位长度得到， ·对应的函数值相差3，即线段AB的长度不变 (2):线段PQ的解析式为y=-2x+3,M,的顶点横坐 标为4，.M3的顶点坐标为(4,1)， 1 ·M,的函数解析式为y=2(x-4)+1. 设43).c,-41. 当点B在点C上方时，6C=宁43-4P-1=3. 2 解得=4 y 当点c在点B上方时，C=4-4+1-3=6-=3. 1 解得=4 3 47 小点日的能坐标为子或子 (3)①M3的顶点横坐标为m, ·顶点坐标为(m:2m+3) 。M,的函数解析式为y=2m21 2m+3. 2.c2,7m 2m+5). 当点R.C真合时了-子55，解得m=0西=5 当0a5时.s=5-(分-亭+5)=了+ 1 2m; 1 5 当5<m≤6时S三2m-)m+5-5=2m2m 综上所述，S关于m的函数解析式为 了1 5 2m+2m,0≤m≤5， S= (2m5 1 2m,5<m≤6. 1 ②当0≤m≤5时，S= 2m. 1 .5 “2<0,对称轴为直线m= 当m名时，S的最大值为弓× )+3x525 2×28 当5<m≤6时，S=7m了 1. 2m. 5 ~2>0,对称轴为直线m=之 当m>了时，S随m的增大而增大， 当m=6时S的最大值为宁×6-高×6=3 32 $的最大值为25 8 6.(1)证明：.·△ABC是等边三角形， .AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60°. .·AD=BE=CF,∴.BD=CE=AF .∴.△ADF≌△BED(SAS). (2)解：如解图，过点F作FG⊥AB于点G .·∠A=60°，AB=BC=CA=4,CF=AD=x, ·AB2=45,AF=4-x, 4 FG-AF.sinA= 2(4-), G D SAm52AD·FG2+3 由(1)知，△ADF≌△BED, 同理易得△ADF≌△BED≌△CFE, .S△EDe=S△Bc-3S△AFD= 332-33x+43, 48 关T的函数解折式为y--34 (3)解：点D在边AB上运动，0≤x≤4. 由(2)得)-35-35x+45. 4 :抛物线的对称轴为直线x=2 b =2. 33 >0抛物线开口向上， .当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，即△DEF的面积 随AD的增大而减小：当2<x≤4时，y随x的增大而增 大，即△DEF的面积随AD的增大而增大 7.解：(1)：点Q的速度是点P的2倍，点P的速度为1cm/s, ∴.点Q的速度是2cm/s. 当t=2s时，AP=2cm,BQ=4cm. 1 AB=6 em,PB=4 cm=x448(em). (2)设点P的速度为vcm/s,则点Q的速度为2mcm/s, ..AP=u,BP=6-u,BQ=2ut, S=.2t·(6-t)=-v2+62t 由图象可知，当t=1s时，S=3cm2, .-2+6=3,即2-6+3=0. 解得=3+√6或=3-√6， 结合图象可得3+6不符合题意，舍去， .点P的速度为(3-√6)cm/s. (3)由(2)知，=3-√6，则2=(3-√6)2=15-66， .S=-(15-66)t+(18-66)t :点P在AB上最长运动时间为6 3-6 =(6+26)s, 点Q在BC上最长运动时间为12 =(6+2W6)s, 2(3-√6) .当t=- 18-6w6 =(3+√6)s时，S最大，最大值为 -2×(15-66) -(15-6w6)(3+6)2+(18-66)(3+√6)=9(cm2), .当t=(3+√6)s时，S取最大值，最大值是9cm2. 8解：(1)日 (2)在△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点， 六DE是△ABC的中位线DE/BC,DE=BC. 1 3 .S△D= 4Sa4,S边= S△AcB, 4 4 S△4s=3S边无c .当四边形BCDE的面积最大时， △ABC的面积最大 如解图，过点B作BM⊥CE于点M,过点D作DN⊥CE 于点N,则BM≤BG,DN≤DG. :Saa=Sam+5ae=子CE·BM+CB·N≤ CEGCED 2 .四边形BCDE的最大面积S= 2CE·BD, ·BD+CE=3 D=CE=3 x, 413 2 32(2x)= ∴.S= 3*ta= 2 3、 3(t 3 2+ 4 81 当=子时，5最大为 3 8 ·平移后的函数解析式S”=- 3 3 3(x- 4-1)+8+1= 令子子号0，解得 4 平移后的函数图象与x轴的交点坐标分别为 二0“ 9.(1)解：在二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3中，1>0， .二次函数的图象开口向上 .·二次函数的图象与直线y=2a有两个交点， ∴.二次函数的最小值小于2a2 二次函数的最小值为4(30-2a+3)-4(a+1)=2a- 4 4a+2.即2a2-4u+2<2i,解得o>分 (2)解：：二次函数的图象与x轴有交点， .4=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8(a-1)2≥0， .8(a-1)2≤0. 又.(a-1)2≥0，∴.8(a-1)2=0,解得a=1. (3)证明：当x=-0时y=3d-2a+3=3(a+0, ·二次函数的图象不经过原点。 10.解：(1)当y=0时，即-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3. 点A在点B的左侧，.A(-1,0),B(3,0). (2)联立1， a0 C(4,-5). :抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4的对称轴为直线 x=1,∴.P(1,m) PA=PC, .√(1+1)+(m-0)=√(1-4)+(m+5)7,.m=-3. (3)加的取值范围为a5-1或a=或心号 【解法提示】A(-1,0),B(3,0),由平移性质可知 M(0,5),N(4,5).根据题意，当抛物线y=a(-x2+2x+ 3)(a≠0)与线段MN只有一个交点时，可分两种情况 进行讨论：①当a>0时，y=a(-x2+2x+3)=-a(x-1)2+ 4a,开口向下.如解图1，当顶点(1,4a)在线段MW上 时，有且只有一个交点4如=5，解得a=子如解图2。 当抛物线y=a(-x2+2x+3)刚好过点M(0,5)时，a(-0+2× 0+3)=5,解得a= 3:抛物线y=a(-x2+2x+3)恒过 5 AB丙点当。>号时，抛物线y=a(-242+3)与线 段MN只有一个交点.②当a<0时，y=a(-x2+2x+3)= -a(x-1)2+4a,开口向上.如解图3，当抛物线y=a(-x2+ 2x+3)刚好过点N(4,5)时，a(-4+2×4+3)=5,解得 a=-1.抛物线y=a(-x2+2x+3)恒过A,B两点，.当 a≤-1时，抛物线y=a(-x2+2x+3)与线段MN只有一 个交点.综上所述，若抛物线y=a(-x2+2x+3)(a≠0)与 线段MN只有一个交点，a的取值范围为a≤-1或a= 或a心 5 2 M 解图1 解图2 解图3 11.解：(1)将x=0代入y=-x+3中，得y=3,.C(0,3). 将y=0代入y=-x+3中，得x=3,.B(3,0). 把A(-1,0),B(3,0)代人y=ax2+bx+3中，得 a-b+3=0,解得a=,1. (9a+3b+3=0, 1b=2, .抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)B(3,0),C(0,3),∴.0B=0C=3. .'DQ∥C0,∴.∠OCB=∠OBC=∠BPQ=∠DPC=45°. .∠DCP=∠DPC,∴.∠DC0=90°， ∴.CD∥AB, 点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为3. 当y=3时，由-x2+2x+3=3,解得x=2或x=0, .点D的横坐标为2. P点在DQ上，且DQ小轴， .点P与点D的横坐标相等，.m=2. (3)存在.理由如下： ①当四边形BCEF是矩形时，则CE⊥BC 直线BC的解析式为y=-x+3, .设直线CE的解析式为y=x+c 把点C(0,3)代人得c=3, .直线CE的解析式为y=x+3. 49 联立+3， y=-x2+2x+3, ②当四边形BCFE是矩形时，则BE⊥BC 设直线BE的解析式为y=x+n. 将点B(3,0)代入得3+n=0,解得n=-3, .直线BB的解析式为y=x-3. （y=x-3, 联立 解得红=2或=3 (y=-x2+2x+3, (y=-5(y=0. ∴.E(-2,-5). 综上所述，存在以C,B,E,F为顶点且以CB为边的矩 形，此时点E的坐标为(1,4)或(-2，-5) 12.解：(1)把B(9,0),C(0,-3)代入=3+bx+c中， 8 ×92+9b+c=0, 6=- 得3 解得 c=-3 c=-3, 128 抛物线的解析武为)=333， (2)当点P在BC下方时， .·∠PCB=∠OBC,∴.PC∥OB .点P与点C关于抛物线的对称轴对称. 8 3 ·抛物线的对称轴为直线x=- 3 点P的坐标为(8，-3) 当点P在BC上方时，设直线PC交x轴于点H. .∠PCB=∠OBC, .CH=BH...CH2=BHP 设(m,0),.(0-m)2+(-3-0)2=(9-m)2, 解得m=4,.H(4,0) 设直线PC的解析式为y=k1x+b,(k,≠0)，将C(0,-3) 和4,0)分别代入，得6，=0， k,2 3 解得 4 b1=-3, （b,=-3, ·直线PC的解析式为)=3x 4t3 ( 3 41 4t3, y= = 联立 解得 4 或/0， 75 (y=-3. 33, y16 点P的坐标为(416 4175 签上所述，点P的坐标为(83)或总 (3)点E的坐标为(-5,14)或(13,38)或(5，子。 【解法提示】由(2)可得原抛物线对称轴为直线x=4. B(9,0),由对称性可得A(-1,0),OA=1.C(0, -3),.0C=3,.AC=√OA+0C=√10.：将抛物线 沿射线CA的方向平移2√⑥个单位长度后得到新抛物 50 线，.将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移 6个单位长度得到新抛物线，·新抛物线解析式为y= :2号(2)-346=亭1当服为对角 线时，·平行四边形对角线互相平分，.BE,CF的中点 坐标相同，∴. xg+90+4 2 =2,心g=-5心g=3×(-5)2- 3×(-5)-1=14,点E的坐标为(-5,14)；当BF为 对角线时，：平行四边形对角线互相平分，.BF,CE的 巾点坐标相同…0-9=13与写X1g ×13-1=38,d点E的坐标为(13,38)：当BC为对角 线时，：平行四边形对角线互相平分，·.BC,EF的中点 xε+49+0 1 坐标相同，. 2=2=，xE=5,.yE=2×52、4 35 1-子点E的坐标为(5，子)综上所述，点E的坐标 2 为(-5,14)或(13,38)或(5,3) 2、 13.解：(1)将B(1,0),C(2,5)代人y=ax2+bx-3(a≠0)得 a+b-3=0,解得{ （a=1, 4a+2b-3=5, b=2, .抛物线的解析式为y=x2+2x-3. (2)①令y=0,则x+2x-3=0,解得x=-3或x=1, 点A的坐标为(-3,0). ②-3<x<1. (3)存在符合条件的点P,点P的坐标为(0,7)或(0. -3).【解法提示】设点P的坐标为(0，m)..A(-3, 0),C(2,5),.AC=(2+3)2+(5-0)2=50,AP2=(0+3)2+ (m0)2=9+m2,Cp2=(0-2)2+(m-5)2=m2-10m+29. .·△ACP是以AC为直角边的直角三角形，：.分以下两 种情况讨论：当AP为斜边时，则AP2=AC2+CP2,9+ m2=50+m2-10m+29,解得m=7.点P的坐标为(0,7)；当 CP为斜边时，则CP2=AC2+AP2,∴.m2-10m+29=50+9+ m,解得m=-3,∴点P的坐标为(0，-3).综上所述，存 在符合条件的点P,点P的坐标为(0,7)或(0，-3). 14.解：(1)把B(4,0),C(0,-8)代入y=x2+bx+c中， 解得62， \c=-8, ∴.该抛物线的函数解析式为y=x2-2x-8. 当y=0时，0=x2-2x-8,解得x=4或x=-2, .点A的坐标为(-2,0) (2)存在.理由如下： 如解图1，连接Pp'交C0于点D. 当四边形POP'C为菱形时，OC=8. .PC=P0,且PD⊥C0 ∴.OD=DC=4,即点P的纵坐标为-4 由x2-2x-8=-4,得x1=1+5,x2=1-√5（舍去）， 故存在这样的点P,此时点P的坐标为(1+√5，-4). 解图1 解图2 (3)如解图2，连接P0,作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于 点N 设点P的坐标为(m,m2-2m-8). A(-2,0),B(4,0),0C=8, .∴.A0=2,0B=4,PM=-m2+2m+8,PN=m. aaem=Sac+5am+Smc=40,0C+0B· 1 PM+20C·PN=2×2×8+2×4(-m+2m+8)+2× 8m=-2(m-2)2+32. .-2<0,0<m<4, .当m=2时，四边形ABPC的面积有最大值，最大值 为32， 此时m2-2m-8=-8. 点P的坐标为(2，-8)， 即当点P运动到(2，-8)时，四边形ABPC的面积最大， 四边形ABPC的最大面积为32. A专题五几何动态问题综合题 1.解：(1)四边形BDB'E是菱形.理由如下： 由折叠可得BD=B'D,BE=B'E,∠BDE=∠B'DE B'D∥BC,.∠B'DE=∠BED,∴.∠BDE=∠BED .BD=BE...BE=BD=B'D=B'E. .四边形BDB'E是菱形 (2)①DE⊥A'E.理由如下： 由(1)知BD=B'E=B'D.由折叠可得AD=A'D AD=2BD...A'D=2BD=2B'D=2B'E. ∴.B'D=A'B'=B'E,∴.∠1=∠2，∠3=∠4. .∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴.∠2+∠3=90°， .DE⊥A'E ②4F的长为5或37 .165 【解法提示】.∠C=90°，AB= 15,BC=9,.AC=√AB-BC=12.延长A'F交AB于点 H.设AC,A'D的交点为M.如解图1，当△A'FG是以A'F 为腰，A'G为底的等腰三角形时，则FG=A'F.:∠C= 90°，A'D∥BC,.∠AMD=∠C=90°，∴.∠AMA'=90°.由 折叠得AD=A'D,∠A=∠DA'F..·∠AFH=∠A'FG ∠AHF=∠AMA'=90°，.∠AHF=∠C,.△AFH E识那：A=BCAC:B=345 △ABC,AB BC AC' 易得△AHF≌△A'MF(AAS),.HF=FM,AH=A'M.设 FM=HF=3x,A'M=AH=4x,A'F=AF=5x,..AM=AF+ EW=8AD/BC,△AWD∽△4CB,C招即8 2 AD=10wBE=BD=AB-AD-15-10x.CE=BC- AD BE=10x-6.FG=A'F=5x,..MG=FG-FM=2x,..CG= AC-AM-MG=12-8x-2x=12-10x.·A'D∥BC,.△A'MG △Ba0-瓷62解得=1支0 2x (已舍)，.A'F=5x=5;如解图2，当△A'FG是以A'F为 腰，FG为底的等腰三角形时，则A'F=A'G.同理得HF: AH:AF=BC:AC:AB=3:4:5.HF=FM.AH=A'M.AF=A'F. 设HF=FM=3y,AH=A'M=4y,AF=A'F=5y,∴.AM=AF+ AM_AD,即 FM=8.A'D∥BC,.△AMD△ACB,AC-AB AD=10y..BE=BD=AB-AD =15-10%..CE= BC-BE=1Oy-6.:△A'FG是以A'F为腰，FG为底的等 腰三角形，A'M⊥AC,.MG=FM=3y,FG=GM+FM= 6y,.CG=AC-AF-FG=12-11y.A'D∥BC,.△A'MG △m僵-瓷·中6品解y- 33 0已合)P=5y-综上所述，AF的长为5 或165 37 H D 0 2 B B E 解图1 解图2 2.【探究发现】解：四边形DEGF是菱形. 【探究证明】证明：由折叠可得BN=HN,BM=HM, BN=BM...HN=BN=BM=HM. .四边形BMHN是菱形，.NH∥BC .·E为边AD的中点，M为边BC的中点， :四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AD∥BC,∴.DE=BM,ADNH. ·四边形DEGF是菱形，·.DE=FG,FG∥AD, ∴.FG=DE=BM=IN,FGNH. .四边形GFHN是平行四边形 【探究提升】四边形CFN能成为轴对称图形且 AB .【解法提示】由【探究证明】知，四边形GFIN 是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形 GFHN是矩形或菱形.当四边形GFHN是矩形时，过点G 作GK⊥AB于点K,过点E作ET⊥AB于点T,如解图L. 51