A+专题一 圆的综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮A+培优册（广西专用）

二、A专题突破 A+专题一 圆的综合题 (必考，10分) 。考情通览 考情 命题角度 (1)常以圆为载体，考查：孤、弦、圆心角之间的关系：圆周 与圆的基本性质有 2025广西20题 角定理及其推论 关的证明与计算 (2)常见设问有：①证三角形全等；②求角度 (1)常以圆为载体，考查：切线的性质与判定，还会涉及锐 与切线有关的证明 2024广西24题 角三角函数、相似三角形、全等三角形、勾股定理等知识. 与计算 2023广西23题 (2)常见设问有：①证切线；②证线段平行、相等、特殊图 形；③求圆的半径、线段长 类型1 与圆的基本性质有关的证明与计算(2025.20) 例1(2025广西20题10分)如图，已知AB是⊙0的直径， 园思路点拨 点C,D在⊙0上，∠ABC=65°，BC=CD 已知OB=OC=OD,要证 (1)求证：△B0C≌△DOC; △BOC≌△DOC,只需证 ∠BOC=∠DOC 由BC=CD可得，∠BOC ∠DOC (2)求∠ABD的度数. 要求∠ABD的度数，根据圆 周角定理，只需求∠AOD的 度数 要求∠AOD的度数，只需求 ∠DOC和∠B0C的度数 由(1)可知，∠D0C=∠B0C. 由OC=OB,得∠OCB= ∠ABC.根据三角形的内角 和定理易得∠BOC的度数 36 VZZ41171JA4444879 针对训练I/I// 1.(2025柳州城中区模拟)如图，四边形ABCD2.(2025南宁模拟)如图，在⊙0中，弦AB 内接于⊙O,AC为⊙0的直径，∠ADB= 的长为8，点C在B0的延长线上，且 ∠CDB. 1 C0s∠ABC三3,0C=OB (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； 2 (2)若AB=√2，AD=1,求CD的长度 (1)求⊙0的半径： D (2)求∠BAC的正切值！ 37 3.原创如图，已知AB为⊙0的直径，C,D4.(2025上海)如图，已知AB,CD为⊙0中 为圆上两点，连接CD与AB交于点E,且 的两弦，连接OA,OB交弦CD于点E,F, CB=BD,2CB=AB=1. 且CE=DF (1)求证：AB∥CD: (1)求证：E为CD的中点； (2)求OE的长度. (2)如果AB=BD,求证：AB2=BF·0B. EF 38 5.(2025安徽)如图，四边形ABCD的顶点都6.(2025福建)如图，四边形ABCD内接于 在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接 ⊙O,AD,BC的延长线相交于点E,AC,BD OC,∠DAB+2∠ABC=180°. 相交于点FG是AB上一点，GD交AC于 (1)求证：OC∥AD: 点H,且AB=AC,BG=DG. (2)若AD=2,BC=25,求AB的长 (1)求证：∠ABC=∠DBE+∠E; (2)求证：AH2=HF·HC; (3)若tan∠ABC=√5，AD=2DE,CD=√6， 求△AGH的周长. 39 类型2与切线有关的证明与计算(2024.24,2023.23) 例2(2024广西24题10分)如图，已知⊙0是△ABC的 目思路点拨 外接圆，AB=AC.点D,E分别是BC,AC的中点，连接DE 从问题出发，要证四边形是平行 并延长至点F,使DE=EF,连接AF 四边形，可选择不同的方法 (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； 从题干看，能得到以下信息： ①DE是△ABC的中位线（中位 0 线模型)； ②，点D,E分别是BC,AC的中 点，连接DE并延长至点F,使 DE=EF(倍长类中线模型) 结合模型，求证（相关模型见本 册P1) (2)求证：AF与⊙0相切； 连半径， E 证垂直 （3)若n∠BAC-BC=12,求@0的半径 由ntanLBAC=-子， 联想到等角转换 将正切值放在直 ”角三角形中，连 半径，得等腰三 B 角形，连中线， 得垂直 国通性通法 与切线判定有关的辅助线的作法 ①已知公共点：连半径，证垂直 ②未知公共点：作垂线，证半径 ②相关内容见课堂精讲册P105 40 ///针对训练I/I// 7.(2022玉林)如图，AB是⊙0的直径，C,D8.(2025广西模拟)如图，⊙0的半径0C垂 都是⊙O上的点，AD平分∠CAB,过点D 直于弦AB,垂足为D. 作AC的垂线交AC的延长线于点E,交 (1)若AB=16,0A=10,求tan∠ABC; AB的延长线于点F, (2)若∠ABC=225°，OA=√2，求AB的长； (1)求证：EF是⊙0的切线； (3)若BC平分∠ABE,判断直线BE与 (2)若AB=10,AC=6,求tan∠DAB的值 ⊙0的位置关系，并加以证明. 41 9.[中华优秀传统文化](2025池河一模)据10.(2025兰州)如图，⊙0是△ABC的外接 史料记载，马车的发明者是四千多年前生 圆，AB是⊙0的直径，过点B的切线交 活于夏朝初年的奚仲.马车的发明是中国 AC的延长线于点D,连接DO并延长，交 科技史上的一大创举.如图是古代马车的 ⊙O于点E,连接AE,CE 侧面示意图，AB是车轮⊙0的直径，过圆 (1)求证：∠ADB=∠AEC; 心O的车架AC的一端点C着地时，水平 地面CD与车轮⊙O相切于点D,连接 (2)若AB=4,c0s∠ABC= 3,求0D AD,BD. 的长. (1)若∠C=20°，求∠A的度数： (2)若CD=2√5，CB=3,求⊙0的半径长 42 11.(2025南宁一模)如图1，在△ABC中，12.(2025广西模拟)如图，已知AB是⊙0 ∠BAC=45°，以AB为直径作⊙0交AC 的直径，P是BA延长线上一点，PC切 于点D,且AD=CD. ⊙0于点C,CG是⊙O的弦，CG⊥AB,垂 (1)求证：BC是⊙O的切线； 足为D. (2)如图2，在⊙0上取一点E,连接AE, (1)求证：∠PCA=∠ABC; BE,DE.若BE=√2，AD=√5 (2)过点A作AE∥PC交⊙0于点E,交 ①求AE的长； 4 CD于点F,连接BE,若cos∠P= ,CF= ②求△ADE的面积. 20,求BE的长 图1 图2 43是正方形，CH==KJ=CK,点E在直线H山上运 动，当点E与点J重合时，BE的值最小.在Rt△ABC中， LACB=90°，AB=5,AC=4,.BC=V√AB-AC=3,KI= 0k=3x4.12 12、9 5 BK=VBc-CK=√3-(5)=5， 六=灯-成号号号即3份是小宜为子 M 4 D K B 第4题解图 第5题解图 $33 2 【解析】如解图，分别延长AE,BF交于点H.:∠A= ∠FPB=60°，.AH∥PF.同理BH∥PE,.四边形EPFH为 平行四边形，.EF与HP互相平分.：G为EF的中点， .G正好为PH中点，即在点P的运动过程中，G始终为 PH的中点∴.点G的运动轨迹为△HAB的中位线MW, ∴.MN∥AB,PG<AM,.当P是AB中点时，PH⊥AB,PG的 值最小.：△AEP和△PFB是等边三角形，∠A=∠B= 60°，.△AHB是等边三角形，·.AH=AB=6,.当P是AB 中点时，m=35G=m=3即PG的最小值 冬3g 2 6万 ·【解析】如解图1，在CD的延长线上截取DN= CD,连接EN.M为CE的中点，.DM是△CEN的中位 线DM=N由旋转的性质知，点B在以点A为园 二、A+专 A专题一圆的综合题 例1(1)证明：BC=C⑦.∠B0C=∠D0C. .OC=OC,OB=0D,∴.△B0C≌△DOC(SAS) (2)解：.0C=OB,∴.∠0CB=∠ABC=65°， .∴.∠B0C=180°-∠ABC-∠0CB=50°， .∠D0C=∠B0C=50°， ∴.∠A0D=180°-∠D0C-∠B0C=80°， ∠ABD= F2∠A0D=400 1.解：(1)△ABC是等腰直角三角形.证明如下： .·AC为⊙0的直径，.∠ABC=90 .LADB=L CDB,..AB=BC,:.AB=BC, ·△ABC是等腰直角三角形. (2)由(1)知，在Rt△ABC中，BC=AB=2,.AC=2. .·AC为⊙0的直径，.∠ADC=90° 38 心，1为半径的圆上，.当A,E,N三点共线时，且点E在 线段AN上时，EN最小，即DM最小，如解图2.：DN= CD=AD=2,∠ADN=90°，AN=22,.EN=2V2-1, :M=万-子即N的最小值为2-号 M D D 解图1 解图2 7.45+3【解析】由题意可得，点F在以点E为圆心，3为 半径的圆上，如解图，连接AE,将线段AE绕点A顺时针 旋转90°得AE1,.∠E,AE=90°，AE1=AE.由题意可得， ∠FAP=90°，AP=AF,∴.∠E,AP+∠PAE=∠EAF+∠PAE= 90°，∴.∠E,AP=∠EAF,.△APE,≌△AFE(SAS), .E,P=EF=3,点P在以点E,为圆心，3为半径的圆 上，要使EP最大，则P,E,E,三点共线时最大，最大值为 EP1.四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°.在Rt△ABE 中，AB=6,BE=2,.AE=√AB+BE=2√10，.AE1= AE=210,..EE=AEi+AE=45,..EP =EE+EP= 45+3,即PE的最大值为45+3. D 专题突破 AD=1,AC=2,CD=√5. 2.解：(1)如解图，过点0作0D1AB,垂足为D. B=8AD=BD4. 在Rt△OBD中，cos∠ABC=- 5 0 SLABC-5,⊙0的半径为5. ..OB=_ BD (2)如解图，过点C作CE⊥AB,垂足为E. 0C=20B,0B=5, c-之08 2 OD⊥AB,.OD/CE, 0 , .BE=6...AE=AB-BE=2 9 在Rt△BCE中，CE=√BC-BE= 2 CE 9 在Rt△ACE中，tan∠BAC 3.(1)证明：CB=BD.CB=BD. OC=OD,.AB是CD的垂直平分线」 .CE=DE,.E为CD的中点 (2)解：2CB=AB=1,CB= 2,0B=AB= 2 2 2△B0C是等边三角形 ∴.OC=OB=CB= CD⊥AB,.CE是△BOC的中线，OE= 4.证明：(1)如解图，连接0C,0D. .OC=0D,.∠0CD=∠ODC. 在△OCE和△ODF中， 10C=0D. ∠OCE=∠ODF CE=DF ..△OCE≌△ODF(SAS),∴.OE=OF OE OF 0A=OB.0AOB 又.·∠EOF=∠AOB,.△OEF∽△OAB .∠OEF=∠OAB,.AB∥CD (2)如解图，连接OD,BD. AB=BD ∠AOB=∠BOD,AB=BD. 又.OA=OB=0D ∴.△AOB≌△BOD(SAS), .∠OAB=∠OBD 由(1)可得AB∥CD ∴.∠OBA=∠BFD,∴.△OAB∽△DBF, OB AB 六DE-BEAB·DF=OB·BF OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA,∴.∠DFB=∠DBF .BD=DF...DF=AB...AB2=OB.BF. 5.(1)证明：由圆周角定理知，∠A0C=2∠ABC. :∠DAB+2∠ABC=180°， ..∠DAB+∠AOC=180°，∴.OC∥AD (2)解：如解图，连接BD,交0C于点E. :AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°，即AD⊥BD. .OCAD,∴.OC⊥BD O为AB中点.E为BD的中点， 0E是△ABD的中位线，.OB= 2AD=1. 设半圆0的半径为r,则CE=r-1. 由勾股定理知OB2-OE2=BE=BC2-CE, 2-1=(25)2-(r-1)2,解得11=3,12=-2（舍去）， .AB=2r=6. 6.(1)证明：AB=AC,.∠ABC=∠ACB. AB=AB,.∠ACB=∠ADB,.∠ABC=∠ADB. ∠ADB=∠DBE+∠E,.∠ABC=∠DBE+∠E. (2)证明：D=D,.∠ABD=∠ACD. .·BG=DG,·.∠BDG=∠ABD=∠ACD. 又.·∠DHF=∠CHD,.△HDF∽△HCD. HF HD ·DCD=F.HC. 由(1)知∠ABC=∠DBE+∠E. 又.·∠ABC=∠DBE+∠ABD ∴.∠ABD=∠E,∴.∠BDG=∠E. .·∠ADB=∠ADG+∠BDG=∠DBE+∠E,..∠ADG=∠DBE. CD=CD,.LDAC=∠DBE, .∠ADG=∠DAC,.AH=DH,.AR=HF·HC. (3)解：由(2)知AH=DH, ∴.△AGH的周长为AG+GH+AH=AG+GH+DH=AG+DG= AG+BG=AB 设DE=m,则AD=2DE=2m,AE=AD+DE=3m. 由(2)可知，∠ACD=∠E. 又.·∠CAD=∠EAC,.∴.△ACD∽△AEC, 六-00A0-6m √6m√6 又：m=6…30记EC=3 如解图，过点C作CP⊥AE,垂足为P, 则∠CPD=∠CPE=90°. :四边形ABCD是圆内接四边形， .∠ADC+∠ABC=180° 又.∠ADC+∠CDP=180°， .∴.∠CDP=∠ABC, .tan∠CDP=tan∠ABC=√5. 在Rt△DCP中，tan∠CDP= 05,即PC=5Pn PC .CD=√PD+PC=√6PD,.N6PD=√6，PD=1, .PE=DE-PD=m-1.PC=/5. 在Rt△CPE中，PE+PC2=CE2 (m-1)2+(5)2=32,解得m=3或m=-1(舍去)， .AB=AC=36,.△AGH的周长为36. 例2(1)证明：点D,E分别是BC,AC的中点， DEMB,且Dg=B 又：D,E,F三点在同一直线上，且DE=EF, .DF=DE+EF=AB, .四边形ABDF是平行四边形 (2)证明：如解图1，连接AD. AB=AC,BD=CD,.AD⊥BC .AD垂直平分BC,.AD经过圆心O. ·.·四边形ABDF为平行四边形. 39 ..AF∥BC,.DA⊥AF OA为⊙0的半径，.AF与⊙0相切 解图1 解图2 (3)解：如解图2，连接0B,0C,0D. OB=OC.BD=CD=BC=6, 1 OD⊥BC,∠BOD=2∠BOC. ·∠BAC= 2LBOC.∠B0D=LBAC tan∠BAC=3 tan∠BOD= BD 3 0D4 ∴.0D=8,.∴.0B=BD+0D2=10 .⊙0的半径为10. 7.(1)证明：如解图，连接0D .·AD平分∠CAB, .∠OAD=∠EAD. .·OD=OA,∴.∠ODA=∠OAD .∠ODA=∠EAD,∴.OD∥AE. .·AE⊥EF,.OD⊥EF .·OD为⊙O的半径，.EF是⊙O的切线 (2)解：如解图，连接BC,交OD于点H. AB是⊙0的直径，.∠ACB=90° .AB=10,AC=6...BC=AB-AC=8. ∠E=∠ACB=90°，∴.BCEF OD LEFOD LBC..CH-2 BC=4. aI=Bm.0A=0B0I=24c=3. 0D=AB=5,心DH=0D-0H=2. ·∠E=∠HCE=∠EDH=90°， .四边形ECHD是矩形， .DE=CH=4,CE=DH=2,..AE=AC+CE=8. ∠DAB=∠DAEtam∠DAB=tam∠DAE-DE-L AE2 8.解：(1).⊙0的半径OC垂直于弦AB, Bm=A0=74B=8,∠A00=∠CDB=90 0C=A0=10,.0D=√A02-AD=6, CD=OC-OD=4..tn LABC=CD=1 BD 2 (2).·∠ABC=22.5°，∴.∠A0D=2∠ABC=45° 由(1)知∠AD0=90°，∴.△AD0是等腰直角三角形， :0A=2A0=0=50A=1,:AB=2A0=2. 2 40 (3)直线BE与⊙O相切.证明如下： 连接0B.OB=0C.∠OBC=L0CB .·AB⊥OC,∴.∠CDB=90°，.∴.∠OCB+∠DBC=90° :BC平分∠ABE,∠DBC=∠CBE, .∠OBC+∠CBE=90°， ∴.∠OBE=90°，∴.OB⊥BE. .OB是⊙O的半径，.直线BE与⊙O相切 9.解：(1)连接OD. .CD与车轮⊙0相切于点D,.∠ODC=90°. .·∠C=20°，∴.∠B0D=70° 0A=0D,∠A=2∠B0D=359. (2)设⊙0的半径长为r. 在Rt△0DC中，由勾股定理可得0D2+CD2=C02, 即产+(25)=(33，解得宁 即©0的半径张为) 10.(1)证明：BD是⊙0的切线， .∴.∠ABD=90°=∠BAD+∠ADB. AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°=∠ABC+∠DAB. .∠ADB=∠ABC AC=AC.∠AEC=∠ABC,.∠ADB=∠AEC. (2)解：由(1)得∠ADB=∠ABC=∠AEC, osLA0B=cs∠AEC,D-5 AD 3 设AD=x,则D=5 3 ∠ABD=90°，∴.由勾股定理得AB+BD=AD, 即4+（停）=，解得=6（负值配会）0-25 0B=4B=20D=V0B+BD=26. 11.(1)证明：连接BD.AB是⊙0的直径，.∠ADB=90° AD=CD,BD为AC的垂直平分线， ·.BA=BC,·.∠BCA=∠BAC=45°. ∴∠ABC=180°-∠BCA-∠BAC=90°，即AB⊥BC. 又0B为⊙0的半径，BC是⊙0的切线 (2)解：①如解图，连接BD. ·AB是⊙O的直径，.∠ADB=∠AEB=90° 在Rt△ABD中，∠BAD=45 ∴.AB= AD Cos∠BAD √10. 在Rt△ABE中，AB=WI0 BE=√2， .AE=√AB-BE=22. ②如解图，过点A作AF⊥DE 于点F B .·∠ADB=90°，.∠ABD=90°-∠BAC=45 又AD=AD,∠AED=∠ABD=45°， .EF=AF=AE.sin LAED=2. 由勾股定理得DF=√AD-AF=1, DE=EF+DF=3,.S△Ds=2 DE·AF=3 12.(1)证明：如解图，连接0C. .·PC是⊙O的切线， ∴0C⊥PC,∠PC0=90°， .∴.∠PCA+∠AC0=90° AB是⊙0的直径， .∠ACB=90° .·.∠ACO+∠OCB=90°，.∠PCA=∠OCB. .·OC=OB,∴.∠OCB=∠ABC, ∠PCA=∠ABC. (2)解：AE∥PC,.∠CAF=∠PCA. :AB⊥CG.AC=AG,.∠ACF=∠ABC .·∠ABC=∠PCA,∴.∠CAF=∠ACF,.AF=CF=20 AE/PC∠P=LFAD,cosP=cs∠FAD=4 5 在Rt△AFD中，cos∠FHD=4D. AF,4F=20, .∴.AD=16,∴.FD=WAF2-AD=12,∴.CD=CF+FD=32 在Rt△OCD中，设OC=r,则0D=OA-AD=r-16, 由勾股定理得.0C2=0D2+CD2,即r2=(r-16)2+322. 解得r=40,∴.AB=2r=80. ·AB是⊙O的直径，.∠AEB=90° 在R△AEB中，cOs∠EAB= ,AB=80. AB .'.AE=64,.'.BE=VAB-AF=48. A+专题二实际应用题 1.解：(1)设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为 (x+400)元 根据题意，得180.300 xx+400 ,解得x=600. 经检验，x=600符合题意，.x+400=1000. 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元. (2)设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷(20-m)顶， 总费用为W元 1 根据题意，得20-m≥3m,解得m≤15， 又两种型号的帐篷均需购买，0<m≤15. W=600m+1000(20-m)=-400m+20000. :-400<0..W随m的增大而减小 .当m=15时，W取最小值，最小值为-400×15+20000= 14000,此时20-m=5. 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最 低，最低总费用为14000元 2.解：(1)设A水果买了x千克，B水果买了y千克. 根超监6年行代行子 答：A水果买了2千克，B水果买了1千克 (2)由小明买A水果m千克，得小明买B水果(m+1) 千克 ①根据题意，得14m+18(m+1)≤50，解得m≤1. 又：m>0,.m的取值范围为0<m≤1. ②根据题意，得14×0.75m+18×1+18×0.75×(m+1-1)= 48,解得m=1.25. 3.解：(1)设排球的单价为x元，则绣球的单价为(110 x)元， 根据题意可列方程为x=5(110-x)-10,解得x=90. .110-x=110-90=20(元). 答：排球的单价为90元，则绣球的单价为20元. (2)①(20x+3500):(18x+4050) ②由题意可得20x+3500=18x+4050,解得x=275, .购买275个绣球时，A,B两种方案所需要的钱数一 样多. 4.(1)30:1500 (2)解：设每件商品的售价定为x元， 则每件商品的利润为(x-120)元，每天销售的商品数量 为70-(x-130)=(200-x)件， .(x-120)(200-x)=1600,解得x,=x2=160 .当每件商品的售价定为160元时，商场日盈利可达到 1600元. 5.解：任务一：设礼盒装销售了x盒，普通袋装销售了y袋 根据题意，得10r+8y=120, 300x+210y=34500 解得80， (y=50. 答：礼盒装销售了80盒，普通袋装销售了50袋 任务二：可以分装成普通袋装75袋，礼盒装10盒（答案 不唯一).理由如下： 设分装成普通袋装m袋，则分装成礼盒装00-8m=(70 10 4 m)盒 4 3m+5(70-5m)≤280， 根据题意，得 解得70≤m<87.5. 4 70 5m>0, m)均为正整数， 4 又m,(70 .m可以为70,75,80,85，共有4种分装方案， 方案1：分装成普通袋装70袋，礼盒装14盒； 方案2：分装成普通袋装75袋，礼盒装10盒； 方案3：分装成普通袋装80袋，礼盒装6盒； 方案4：分装成普通袋装85袋，礼盒装2盒 答：可以分装成普通袋装75袋，礼盒装10盒（答案不唯一）. 6.解：(1)设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价 是y元 10x+25y=2000, 根据题意，得 解得125， 8x+8y=1240, (y=30. 答：A配件的进货单价是125元，B配件的进货单价是 30元. 41