小专题培优10 利用瓜豆模型解决最值问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮A+培优册（广西专用）

小专题培优10利用瓜豆模型解决最值问题 (3年2考，2024.26,2023.18) 瓜豆模型也叫“主从联动模型”，即：一个动，点随另一动，点的运动而运动，分别叫作“主 模型解读 动点”与“从动点”，它们的运动轨迹相似出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”，在几何上 叫“种线得线，种圆得圆” ①一个动点（从动点）因另一个动，点（主动点）的运动而随之运动：（一定两动） 模型适用 ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角；（定角） 前提 ③两个动点到定，点的距离的比值是定值.（定比） 例 (1)如图，A是直线BC外一定点，Q是AP的中点，当点P在线段BC上运动时，画出点 Q的轨迹； 【思路点拔】定点A,主动点P,从动点Q三点共线，其中主 动点到定点距离AP与从动点到定点距离AQ之比一直保持不 变（定比AP:AQ=2:1),通过特殊位置上的主动点位置我出 不同位置的从动点，画出轨迹 B (2)如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ,当点P在直线BC上运动 时，画出点Q的轨迹； 【思路点拔】定点A,主动点P,从动点O三点，其中主动点 到定点距离AP与从动点到定点距离AQ之比为定值（定比 AP:AQ=1:1),通过特殊位置上的主动点位置我出不同位置 B 的从动点，画出轨迹 (3)如图，P是⊙0上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.当点P在⊙O上运动 时，画出点Q的轨迹； 【思路点拨】定点A,主动点P,从动点Q三点共线，满足定 比AQ:AP=1:2,定角∠PAQ=0°.将定点A与主圆心O的连线 A0绕定点A旋转定角0°，放缩定比得从动点圆心在A0的中 A 点M处 (4)如图，P是⊙0上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.当点P在⊙O 上运动时，画出点Q的轨迹； 【思路点拔】定点A,主动点P,从动点Q,满是定比 AQ:AP=1:1,定角∠PAQ=90°.将定点A与主圆心0的连线 AO绕定点A逆时针旋转定角90°得从动点圆心M. (5)如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ,当P在⊙O上运动时，画出点Q 的轨迹 【恩路点拔】定点A,主动点P,从动点Q,满是定比 AQ:AP=1:2,定角∠PAQ=90°.将定点A与主圆心0的连线 A0绕定点A逆时针旋转定角90°，放缩定比，得到从动点圆 0 心M 33 国模型总结 问题 结论 图示 如图，点O是定点，点A,B ,点B的运动轨迹是直线BB OB 点在 是动，点，∠AOB=a(a≠0)且 OA OB OB' 直线上 =k(定值)，点A的运动 =k(定值)，直线BB'与直线 OA OA 轨迹是直线AA'. A4'的夹角为ax (1)如图1，当α=0°时，①，点B的 运动轨迹是圆：②A,B,O始终在 一条直线上：③从动圆与主动圆的 如图，点O是定，点，点A,B 半径之 0020B 是动，点，∠AOB=Q且B=k 00,0M(定值). 图1 点在 OA (2)如图2，当≠0°时，①点B的 圆上 (定值)，点A在⊙01上 运动轨迹是圆；②从动圆与主动圆 运动 的半径之比 0020B 0010A =k(定值)； ③主、从动圆的圆心与定，点连线构 图2 成的夹角∠01002=a I/III针对训练B11111/ 1.如图，在边长为6的正方形ABCD中，P是边AD的中点，E是边AB上的一个动点（不与A 重合)，以线段AE为边在正方形内作等边三角形AEF,M是边EF的中点，连接PM,则在 点E运动过程中，PM的最小值是 () D 4.33 B.53 2 2 C.7 D.3 2.（2025广西一模)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是边AB上一个动点，在AB 延长线上找一点N,使点M和点N关于点B对称，连接CM,DN相交于点E.当动点M从 点A运动到点B时，点E的运动路径长为 () D M B N 4.23 B. 25 3 C. 3 3 34 3.(2025南宁二中三模)如图，正方形ABCD的边长为2，点E在BC边上运动，连接DE并绕 点D逆时针旋转45得到DF,点E运动过程中，CF的最小值为 E 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=4,D为AB边上一动点，将线段CD绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接BE,则BE的最小值为 D B 5.如图，已知P是线段AB上的动点(P不与，点A,B重合)，AB=6,分别以AP,PB为边在线 段AB的同侧作等边三角形AEP和等边三角形PFB,连接EF,设EF的中点为G,连接 PG,当动点P从点A运动到点B时，则PG的最小值是 6.如图，已知正方形ABCD的边长为2，另一边长为√2的正方形EFGH的中心与点A重合， 连接CE,设CE的中点为M,连接DM,当正方形EFGH绕点A旋转时，DM的最小值 为 7.(2022柳州18题改编)如图，在矩形ABCD中，AB=6,点E在BC上，点F在平面内，BE= 2,EF=3,连接AF,将线段AF绕点A顺时针旋转90°得到AP,则线段PE的最大值 为 B E C 357.3【解析】如解图，连接CO,CP,过点C作CH⊥AB于点 H.PQ是⊙C的切线，CQ1PQ,PQ=√Cp-CQ= √CP2-3,当CP⊥AB时，CP最小，PO取最小值，此时」 点P与点H重合.△ABC为等边三角形，.∠B=60°， .CH=BC·sinB=25PQ的最小值为√(23)-3=3. B 小专题培优10利用瓜豆模型解决最值问题 例(1)如解图1，点Q的轨迹为线段Q,Q2. A B(P)P C(P,) 解图1 (2)如解图2，点Q的轨迹为直线QQ B +C(P) 解图2 (3)如解图3，点Q的轨迹为⊙M. Q -0 解图3 (4)如解图4，点Q的轨迹为⊙M. M 解图4 (5)如解图5，点Q的轨迹为⊙M. .0 解图5 1.A【解析】P是边AD的中点， D AD=6,AP=3,如解图，连接AM. ·△AEF是等边三角形，M是边EF P 的中点，.AM⊥EF,∠EAM= M 万2FAE=30,∠PAM=60P AE B .点M的运动轨迹是射线AM,.当PM⊥AM时，PM的 值最小，此时P,F,M三点共线.在Rt△PMA中，∠PAM= 23g AP=3..PM= 2 2.B【解析】如解图，在AB边上作点A关于点B的对称点 A',连接DA',AC,交于点E,过点E作PQ⊥AB于点Q,交 CD于点P,连接BE,则EB为点E的运动轨迹.··四边形 ABCD是正方形，.CD∥AB,∠CAB=45°，AD=AB=CD=2 PQ⊥AB,.PQ⊥CD,.PQ=AD=2.设BQ=x,则AQ= 2-x.∠CAB=45°，PQ⊥AB,∴.EQ=AQ=2-x,∴.PE=PQ- EQ=2-(2-x)=x.又：点M,N关于点B对称，.BM= BN,当点M在起点A处时，点N在点A'处，BM=BN=2, 六AN=4又：GD/AB,△CED△AE4,C-, 子=解得=子B0=2-=B 2 VE0+B0=25 3 A D E C A(M)Q B A(N) 第2题解图 第3题解图 3.2-√2【解析】如解图，延长DC到G,使DG=BD,连接 GF.:DE绕点D逆时针旋转45°得到DF,∴.∠EDF= 45°，DE=DF.四边形ABCD是正方形，.∠DBE= ∠BDG=45°，.∠BDE=∠GDF,.△DBE≌△DGF (SAS),.∠DBE=∠DGF=45°，∴.点F在直线FG上运 动，即当CF⊥GF时，CF最小..四边形ABCD是正方形 .CD=BC=2,∠BCD=90°，∴.BD=√BC+CD=22, .DG=BD=22,..CG=DG-CD=22-2.LDGF= 45°，.当CF⊥GF时，△CGF是等腰直角三角形，.CF= 2×(22-2)=2-2,即CF的最小值为2-2. 4弓【解析】如解图，过点C作CK1AB于点K,将线段 3 CK绕点C逆时针旋转90°得到CH,连接HE,延长HE交 AB的延长线于点J,则CK=CH.:将线段CD绕点C逆 时针旋转90°得到线段CE,∴.∠DCE=∠KCH=90°，CD= CE..·∠ECH=∠KCH-∠KCE,∠DCK=∠DCE-∠KCE. ∴.∠DCK=∠ECH,∴.△CKD≌△CHE(SAS),∴.∠CKD= ∠H=90°，.∠CKJ=∠KCH=∠H=90°，.四边形CKJH 37 是正方形，CH==KJ=CK,点E在直线H山上运 动，当点E与点J重合时，BE的值最小.在Rt△ABC中， LACB=90°，AB=5,AC=4,.BC=V√AB-AC=3,KI= 0k=3x4.12 12、9 5 BK=VBc-CK=√3-(5)=5， 六=灯-成号号号即3份是小宜为子 M 4 D K B 第4题解图 第5题解图 $33 2 【解析】如解图，分别延长AE,BF交于点H.:∠A= ∠FPB=60°，.AH∥PF.同理BH∥PE,.四边形EPFH为 平行四边形，.EF与HP互相平分.：G为EF的中点， .G正好为PH中点，即在点P的运动过程中，G始终为 PH的中点∴.点G的运动轨迹为△HAB的中位线MW, ∴.MN∥AB,PG<AM,.当P是AB中点时，PH⊥AB,PG的 值最小.：△AEP和△PFB是等边三角形，∠A=∠B= 60°，.△AHB是等边三角形，·.AH=AB=6,.当P是AB 中点时，m=35G=m=3即PG的最小值 冬3g 2 6万 ·【解析】如解图1，在CD的延长线上截取DN= CD,连接EN.M为CE的中点，.DM是△CEN的中位 线DM=N由旋转的性质知，点B在以点A为园 二、A+专 A专题一圆的综合题 例1(1)证明：BC=C⑦.∠B0C=∠D0C. .OC=OC,OB=0D,∴.△B0C≌△DOC(SAS) (2)解：.0C=OB,∴.∠0CB=∠ABC=65°， .∴.∠B0C=180°-∠ABC-∠0CB=50°， .∠D0C=∠B0C=50°， ∴.∠A0D=180°-∠D0C-∠B0C=80°， ∠ABD= F2∠A0D=400 1.解：(1)△ABC是等腰直角三角形.证明如下： .·AC为⊙0的直径，.∠ABC=90 .LADB=L CDB,..AB=BC,:.AB=BC, ·△ABC是等腰直角三角形. (2)由(1)知，在Rt△ABC中，BC=AB=2,.AC=2. .·AC为⊙0的直径，.∠ADC=90° 38 心，1为半径的圆上，.当A,E,N三点共线时，且点E在 线段AN上时，EN最小，即DM最小，如解图2.：DN= CD=AD=2,∠ADN=90°，AN=22,.EN=2V2-1, :M=万-子即N的最小值为2-号 M D D 解图1 解图2 7.45+3【解析】由题意可得，点F在以点E为圆心，3为 半径的圆上，如解图，连接AE,将线段AE绕点A顺时针 旋转90°得AE1,.∠E,AE=90°，AE1=AE.由题意可得， ∠FAP=90°，AP=AF,∴.∠E,AP+∠PAE=∠EAF+∠PAE= 90°，∴.∠E,AP=∠EAF,.△APE,≌△AFE(SAS), .E,P=EF=3,点P在以点E,为圆心，3为半径的圆 上，要使EP最大，则P,E,E,三点共线时最大，最大值为 EP1.四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°.在Rt△ABE 中，AB=6,BE=2,.AE=√AB+BE=2√10，.AE1= AE=210,..EE=AEi+AE=45,..EP =EE+EP= 45+3,即PE的最大值为45+3. D 专题突破 AD=1,AC=2,CD=√5. 2.解：(1)如解图，过点0作0D1AB,垂足为D. B=8AD=BD4. 在Rt△OBD中，cos∠ABC=- 5 0 SLABC-5,⊙0的半径为5. ..OB=_ BD (2)如解图，过点C作CE⊥AB,垂足为E. 0C=20B,0B=5, c-之08 2 OD⊥AB,.OD/CE, 0 ,