小专题培优9 隐形圆（辅助圆）及与圆有关的最值问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮A+培优册（广西专用）

2×40°=80° B 解图2 解图3 (4)解：如解图3，分别作点A关于OB的对称点A',点B 关于OA的对称点B',连接A'B',交OB于点C,交OA于 点D,则C,D为两岸的装货地点，A'B是最短路线， 由轴对称的性质可知，OA'=0A=1千米，0B'=0B=2千 米，∠BOA'=∠A0B=30°，∠A0B'=∠A0B=30°， ∴.∠A'0B′=90°， .A'B'=√0A+0B=√+2=√5（千米）， 答：最短路程为5千米. 小专题培优9隐形圆（辅助圆） 及最值问题 例1100【解析】：AB=AC=AD,.B,C,D三点都在以点 A为圆心，AB长为半径的圆上.·∠CBD=20°，∠BDC 30°，.∠CAD=2∠CBD=40°，∠BAC=2∠BDC=60°， ∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=100°. 例22√3-2【解析】如解图，连接CE,作EG⊥BC于G ·P是直线AB上的一个动点，AE=2,∴.AE=EF=2, .点F在以E为圆心，AE为半径的圆上运动.矩形 ABCD中，AB=4,BC=8,∴.CD=AB=4,AD=BC=8,∴.DE= AD-AE=6.在Rt△CDE中，由勾股定理得CE= √DE+CD=2√3，∴.FC的最小值为CE-EF=2√3-2 B 例2题解图 例3题解图 例3√5-1【解析】在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC= 1AB=BC. ∠BCD.在△ABE和△BCF中， ∠ABE=∠BCF BE=CF. ∴.△ABE≌△BCF(SAS),.∠BAE=∠CBF..'∠CBF+ ∠ABF=90°，∴.∠BAE+∠ABF=90°，∴.∠APB=90°， 点P在以AB为直径的圆上，由图形可知当O,P,D在 同一直线上时，DP有最小值，如解图.AB=AD=2, .A0=1=0P.在Rt△0AD中，0D=√A0+AD=5, ∴.PD=OD-OP=√5-1. 例4号 【解析】：△ABC为等边三角形，∠ABC= ∠BAC=60°，AC=AB=2..'∠PAB=∠ACP,∠PAC+ ∠PAB=60°，∠PAC+∠ACP=60°，.∠APC=120°， 点P的运动轨迹是劣弧AC,如解图，过点P作PD⊥AC 于点D,当O,P,B共线时，直线OB与AC的交点为D, 此时PD长度最大，即△APC的 面积最大，.PA=PC,AD= 0. 1,∠PAC=∠ACP=30°，∴.PD= AD·tan30=3 ,△APC面积的 最大值为2AC:PD=2×2X √3√3 33 例5C【解析】：四边形ABCD是矩形，.∠BAE=90°. OE⊥BD,∠B0E=90°，.四边形AB0E对角互补， .A,B,0,E四点共圆，∠A0E=∠ABE=20°. 例633 D 4 【解析】如解图，连 0 接BD,取BD的中点O,连 E 接OE,OF.∠BAC= B F 120°，AB=AC,∴.∠ABC=∠C=30°..DE⊥AB,DF⊥ BC,OB=0D=0E=0F=2BDB,D,E,F四点共圆， .∠EOF=2∠EBF=60°，.△OEF是等边三角形.∴EF= 0F=7BM.∠C=∠BF=30,AB=3.BC=35, 当D1GD时，D的值最小，D=分BC=35, 2÷EF 的能小价为宁n:源 例7(1)∠ACB=∠AQB:甲 (2)C【解析】取格点O,连接OA,OB,OD,0E,如解图 1..·0A=OB=OD=0E=√5，∴.A,B,D,E四点在以点0 为圆心，√5为半径的圆上.0C=3>√5，.点C在⊙0 外，由(I)知∠AEB=∠ADB,∠ACB<∠ADB,同理，线段 CD(异于端点)上一点的射门角均小于∠AEB.在线段 DE(异于端点)上任取一点P,连接AP并延长交⊙O于 点Q,连接BP,BQ,如解图2，则∠AQB=∠AEB.:∠APB= ∠AQB+∠PBQ,∠APB>∠AQB,·∠APB>∠AEB, .最好的射点在线段DE(异于端点)上一点. B B 解图1 解图2 例825-2【解析】如解图，连接0P,0C,0C交半圆0 于点P,:0B=子AB=2,在R△0BC中，0C= √0B2+BC=25.CP≥0C-0P,.CP≥2√5-2，当点 35 P与点p'重合时，CP取得最小值25-2. B 例8题解图 例9题解图 例9D【解析】如解图，取AC的中点O,连接OP,BO, ·PA+PC2=AC2,.∠APC=90°，.点P在以AC为直径 的半圆上运动.在△BPO中，BP≥BO-OP,.当点P在 线段B0上时，BP有最小值.：O是AC的中点，∠APC= 90°，P0=A0=C0=V3.an∠B0C=BC .∠B0C=60°，.△C0P是等边三角形，.SAcoP= c33 3 35 4 ￥0A=0C,Saam=2Samr=2 例10(1)7【解析】如解图1.：1⊥PA,.当点P在⊙0 外且0，A,P三点共线时，点0到直线1的距离最大，最 大值为A0+AP=5+2=7; N/ 解图1 解图2 (2)√2T【解析】如解图2.：M,N是直线1与⊙0的 交点，.当线段MN的长度最大时，线段MN是⊙O的直 径..I⊥PA,.∠AP0=90°..AP=2,0A=5,.0P= √0A-AP=√2I. L.2√3-4【解析】：四边形ABCD是矩形，.∠ABC= 90°，∴.∠ABP+∠PBC=90°..∠PBC=∠PAB,∴.∠ABP+ ∠PAB=90°，∴.∠APB=90°，点P在以AB为直径的 半圆上运动，如解图，设圆心为0，D 连接OC交⊙0于点P,此时PC 1 最短：0P=0B=2AB=4,0C- √OB+BC=2√3，PC的最小 值为0C-0P=2√3-4. 296 5 【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=√5， AC=√AB+BC=3,S△ABC= 2AB·BC=5.BE1 BD,则∠ABC=∠EBD=90°.·∠BDA=∠C,∴.△ABCn △EBD, BC F,则Sa=BD 5 5 BD -,即当BD取得最大值时，△BDE的面积取得最大 5 值.∠BDA=∠C,∠ABC=90°，由圆周角定理可知，A, 36 B,C,D四点共圆，.点D在以AC为直径的圆上，.BD≤ 4C=3,即BD的最大值为3S6的最大值为95 5 3.203【解析】如解图，取MW的中 点F,过点F作FE⊥OB于点E,以 MN为直径作⊙F..·MN=2OM= M 40m,F是MN的中点，∴.MF=O PE B FN=20m,0F=40m.∠A0B=30°，EF⊥OB,∴.EF= 20m,0E=20W5m,∴EF=MF.EF⊥OB,EF为⊙F的 半径，OB是⊙F的切线，切点为E,当点P与点E重 合时，观景视角∠MPN最大，此时OP=20W3m 4.√7-1【解析】，△AMN沿MN所在直线翻折得到 △A'MN,.MA'=MA=1,∴.A'的轨迹是以点M为圆心， MA为半径的圆弧.如解图，过点M作MF⊥DC,交CD的 延长线于点F..MA'是定值，A'C长度取最小值时，A'在 MC上.·在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为 AD中点，∴.2MD=AD=CD=2,∠FDM=60°，∴.∠FMD= 302m=7m=分，5M=Do0 2.CF=CD+ Fm=乏MC=VPm+CF=万，C=wc-M'=万 1,A'C长度的最小值为√7-1. 第4题解图 第5题解图 5.5-1【解析】∠BAD=∠BCD=90°，A,B,C,D四 点共圆，且BD为圆的直径，取BD的中点O,则圆心为点 O,如解图，连接OA,OC,取A0的中点F,连接EF,DF ∠ACD=30°，∠A0D=60°.OA=0D,.△A0D为 等边三角形，.AD=0A=OD=0C=2,∠AFD=90°，.DF= √5.E,F分别是AC,0A的中点，EF是△AOC的中位 线EF=20C=1在△DF中，DF-BF≤DE,当D, E,F三点共线时，DE取得最小值，最小值为√3-1. 10【解析】如解图，取AE的 6. D 中点0，连接OD,OF .·∠AFE=∠ADE=90°，∴.OA= OD=OE=OF,.A,D,E,F四 点共圆，.∠AED=∠AFD, 当⊙O与BC相切时，∠AFD最 大.BF=CF=4.易得△ABF△FCE,FCEC4 AB BF 6 Bc-号DE=0c-Gg=号当DE的长为9， 4 ∠AFD最大，∠AED最大 7.3【解析】如解图，连接CO,CP,过点C作CH⊥AB于点 H.PQ是⊙C的切线，CQ1PQ,PQ=√Cp-CQ= √CP2-3,当CP⊥AB时，CP最小，PO取最小值，此时」 点P与点H重合.△ABC为等边三角形，.∠B=60°， .CH=BC·sinB=25PQ的最小值为√(23)-3=3. B 小专题培优10利用瓜豆模型解决最值问题 例(1)如解图1，点Q的轨迹为线段Q,Q2. A B(P)P C(P,) 解图1 (2)如解图2，点Q的轨迹为直线QQ B +C(P) 解图2 (3)如解图3，点Q的轨迹为⊙M. Q -0 解图3 (4)如解图4，点Q的轨迹为⊙M. M 解图4 (5)如解图5，点Q的轨迹为⊙M. .0 解图5 1.A【解析】P是边AD的中点， D AD=6,AP=3,如解图，连接AM. ·△AEF是等边三角形，M是边EF P 的中点，.AM⊥EF,∠EAM= M 万2FAE=30,∠PAM=60P AE B .点M的运动轨迹是射线AM,.当PM⊥AM时，PM的 值最小，此时P,F,M三点共线.在Rt△PMA中，∠PAM= 23g AP=3..PM= 2 2.B【解析】如解图，在AB边上作点A关于点B的对称点 A',连接DA',AC,交于点E,过点E作PQ⊥AB于点Q,交 CD于点P,连接BE,则EB为点E的运动轨迹.··四边形 ABCD是正方形，.CD∥AB,∠CAB=45°，AD=AB=CD=2 PQ⊥AB,.PQ⊥CD,.PQ=AD=2.设BQ=x,则AQ= 2-x.∠CAB=45°，PQ⊥AB,∴.EQ=AQ=2-x,∴.PE=PQ- EQ=2-(2-x)=x.又：点M,N关于点B对称，.BM= BN,当点M在起点A处时，点N在点A'处，BM=BN=2, 六AN=4又：GD/AB,△CED△AE4,C-, 子=解得=子B0=2-=B 2 VE0+B0=25 3 A D E C A(M)Q B A(N) 第2题解图 第3题解图 3.2-√2【解析】如解图，延长DC到G,使DG=BD,连接 GF.:DE绕点D逆时针旋转45°得到DF,∴.∠EDF= 45°，DE=DF.四边形ABCD是正方形，.∠DBE= ∠BDG=45°，.∠BDE=∠GDF,.△DBE≌△DGF (SAS),.∠DBE=∠DGF=45°，∴.点F在直线FG上运 动，即当CF⊥GF时，CF最小..四边形ABCD是正方形 .CD=BC=2,∠BCD=90°，∴.BD=√BC+CD=22, .DG=BD=22,..CG=DG-CD=22-2.LDGF= 45°，.当CF⊥GF时，△CGF是等腰直角三角形，.CF= 2×(22-2)=2-2,即CF的最小值为2-2. 4弓【解析】如解图，过点C作CK1AB于点K,将线段 3 CK绕点C逆时针旋转90°得到CH,连接HE,延长HE交 AB的延长线于点J,则CK=CH.:将线段CD绕点C逆 时针旋转90°得到线段CE,∴.∠DCE=∠KCH=90°，CD= CE..·∠ECH=∠KCH-∠KCE,∠DCK=∠DCE-∠KCE. ∴.∠DCK=∠ECH,∴.△CKD≌△CHE(SAS),∴.∠CKD= ∠H=90°，.∠CKJ=∠KCH=∠H=90°，.四边形CKJH 37小专题培优9隐形圆（辅助圆）及与圆有关的最值问题 (3年1考，2024.26) ///1/II典例精讲1I// 类型1定点定长(2024.26) 园方法解读 例1如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD, 知识回顾：平面内到定点的距离等于定长 ∠CBD=20°，∠BDC=30°，则∠BAD= 的所有，点构成的集合.（圆的定义） 构造思路：若动，点到平面内某定点的距离 模型识别：定点是A,定长 始终为定值，则其轨迹是圆或圆孤 是AB,画出隐形圆. 若有共端，点的三条等线段（如图1，OA= OB=OC),可考虑构造辅助圆. 例2如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P是直 线AB上的一个动点，AE=2,△APE沿PE翻折 形成△FPE,连接PF,EF,则FC的最小值 图1 图2 为 推广：如图2，点E为定点，点F为线段BC 上的动，点（不含点B),将△BEF沿EF折 模型识别：点F在以E为圆 叠得到△B'EF,则点B'的运动轨迹为以点 心，AE为半径的圆上运动. E为圆心，以线段BE为半径的一段圆孤 园方法解读 类型2定弦对定角 知识回顾：在同圆或等圆中，同孤或等孤 例3如图，已知正方形ABCD边长为2，E,F分别 所对的圆周角都相等.（圆周角定理） 是射线BC,CD上的动点，且满足BE=CF,连接 构造思路：若线段AB的长度及其所对的 AE,BF,交点为P,则PD的最小值为 ∠ACB的大小不变，则，点C的运动轨迹是 摸型识别：∠APB=90°，P点轨 以AB为弦的圆. 迹是以AB为直径的圆」 (1)如图1，当∠C<90°时，点C在优孤 ACB上运动（不与，点A,B重合）， 结论：∠AOB=2∠C (2)如图2，当∠C=90°时，点C在AB上 例4如图，△ABC为等边三角形，AB=2,P为 运动（不与点A,B重合）， △ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP,则 结论：弦AB为⊙O的直径. △APC面积的最大值是 模型识别：∠APC=120°，画出点 (3)如图3，当∠C>90°时，点C在劣孤AB P的运动轨迹 上运动（不与A,B重合） 结论：7∠40B+∠C=180 图1 图2 图3 28 类型3四点共圆(2024.26) 园方法解读 例5如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O作OE⊥ 情形1： BD,交AD于点E,连接BE,若∠ABE=20°，则∠AOE的度 知识回顾：圆内接四边形对角 数是 互补 A.10° B.15° C.20° D.30° 构造思路：如图，若∠ACB+ 模型识别：判断哪四点共圆，画出隐形圆。 E ∠ADB=180°，则A,B,C,D四 点共圆 例6如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=3.点D 在CA的延长线上，DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,连接 情形2： EF,则EF的最小值为 知识回顾：同孤所对的圆周角 模型识别：判断哪四点共圆，画出隐 相等 形圆 构造思路：如图，若∠ACB= ∠ADB,则A,B,C,D四点 B 类型4最大张角(2024.26) 共圆 例7【提出问题】如图1，直线1是足球场底线，AB是球门. 点P是射门点，连接PA,PB,则∠APB叫作射门角.如图 2,在足球比赛上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门AB 进攻，当甲带球冲到Q点时，乙跟随冲到P点，仅从射门 国方法解读 角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自 问题：已知A,B是∠MON的 己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学 边OW上的两个定，点，C是边 知识说明理由. OM上的动点，则当，点C在何 处时，∠ACB最大. B B 图1 图2 图3 OA、-B 【问题解决】(1)解：如图，记AP与过AB两点的圆的交点 结论：当且仅当△ABC的外接 为C,连接BC,AQ,BQ, 圆⊙P与边OM相切于点C AB=AB,.. 时，∠ACB最大。 证明：设C'是边OM上不同于 .'∠ACB=∠APB+∠PBC, 点C的任意一点，连接AC', .∠AQB>∠APB.. 射门好 BC',BC交⊙P于点D,连接 【理解应用】 (2)如图3，在正方形网格中，点A,B,C,D,E均在格点上，AB AD.由圆周角定理可知∠ACB= 为球门，球员丙带球沿CD方向进攻，最好的射点在 ∠ADB.由三角形内外角关系可 A.点C B.点D或点E 知∠ADB>∠ACB,∴.∠ACB> C.线段DE(异于端点)上一点 ∠ACB,当⊙P与边OM相 D.线段CD(异于端点)上一点 切时，∠ACB最大， 29 类型5点圆最值问题 已知平面内一定点A和⊙0，P是⊙0上一动点，设⊙0的半径为r,OA=d,求A,P两点之间 距离的最值 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外 p D D 图形背景 0 D A(P) 0 最小值 当点P在OA的延长线上 当，点P与点A重合时，AP取 当点P在OA上（即，点P (即点P处)时，AP取得最 得最小值0. 处)时，AP取得最小值d-T 小值r-d 40 最大值 当点P在AO的延长线上 当点P在AO的延长线上 当点P在AO的延长线上 (即点P,处)时，AP取得最 时，AP取得最大值2r (即点P,处)时，AP取得 大值r+d 最大值d+r 例8如图，正方形ABCD的边长为4，P是以AB为直径的半圆O上一点，则CP的最小值 为 D 例9如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2√3，BC=3.P为△ABC内一点，且满足PA2+ PC2=AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是 () A.3 B.33 C. 33 D.33 4 2 30 类型6线圆最值问题(2024.26) 已知⊙0与直线l,M是⊙0上一动点.若⊙0的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.求点 M到直线l的距离最值. 直线1与⊙0相离 直线1与⊙0相切 直线1与⊙0相交 图形背景 0. 0. 0. M P(切，点( 0, 0 0. M M 6 P(M) M, 过点0作直线1的垂线，交 连接OP,当点M与，点P重 当点M为直线1与⊙O的 最小值 ⊙O于点M,当，点M运动 合时，点M到直线l的距离 交，点时，点M到直线1的 到点M1的位置时，点M到 取得最小值0 距离取得最小值0 直线1的距离取得最小值 d-r M 过点O作直线1的垂线，其 过点O作直线1的垂线， 最大值 连接OP,其反向延长线交 反向延长线交⊙0于点M, 其反向延长线交⊙0于，点 ⊙O于点M,当点M运动 M2,当，点M运动到点M2 当点M运动到，点M,的位置 到点M,的位置时，点M到 的位置时，点M到直线1 时，点M到直线I的距离取 直线1的距离取得最大值2 的距离取得最大值r+d 得最大值d+r 例10如图，⊙0的半径是5，点A在⊙0上.P是⊙0所在平面内一点，且AP=2,过点P作 直线l,使I⊥PA. (1)点0到直线l距离的最大值为 (2)若直线1与⊙O相交，且交点为M,N,则当线段MW的长度最大时，OP的长 为 31 ///II/巩固练习II/I/// 1.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点P在矩形的内部，连接PA,PB,PC,若∠PBC= ∠PAB,则PC的最小值是 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=√5，D为平面内一点，且∠BDA=∠C,过点B 作BE⊥BD,与DA的延长线相交于点E,则△BDE面积的最大值为 3.(2022桂林)如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行 走.已知∠AOB=30°，MN=2OM=40m,当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离 OP是 m. 】 NA 八\A B 0 第3题图 第4题图 4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将 △AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则A'C长度的最小值是 5.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ACD=30°，AD=2,E是AC的中点，连接 DE,则线段DE长度的最小值为 D 第5题图 第6题图 6.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,E,F分别是边CD,BC上的动点，且∠AFE=90°.当 DE的长为 时，∠AED最大 7.如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为√3，P为AB上一动点，过点P作⊙C的 切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 32