小专题培优7 “十”字模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮A+培优册（广西专用）

小专题培优7 “十”字模型 (3年1考，2024.12) 模型 模型分析 过顶点 不过顶点 D 正方形 H H 常见模型 中的十 字模型 子 B 结论（全等） △ABE≌△BCF,AE=BF △EFM≌△HGN △DAN≌△CDM 2 D 矩形中 常见模型 的十字 C B 模型 H H 结论（相似）》 △ABN∽△DAM △EFM∽△KHW △ABN∽△DAM 例1如图，在正方形ABCD中，点F,G分别在边BC,CD上，且AF⊥BG于点P,求证：AF=BG 变式如图，正方形ABCD的边长为5，E,F,G分别为CD,AB,BC边上的点.若DE=1, BF=2,EF⊥AG,则AG的长为 D E 18 例2如图，在矩形ABCD中，E,F分别是CD,AD上的点，且BF⊥AE于点M.求证：AB·DE= AE·AM. D B 变式如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,AD上，且 EG⊥FH于点P.若EG·HF=48,则HF的长为 之 B /////I/针对训练III/// 1.（2021梧州)如图，在正方形ABCD中，E,F分别为边BC,CD上的点，且AE⊥BF于点P,G 为AD的中点，连接GP,过点P作PH⊥GP交AB于点H,连接GH. (1)求证：BE=CF; (2)若AB=6,BE=3BC,求GH的长. 19 2.综合与探究 【问题背景】如图，四边形ABCD是矩形，AB=mBC,G,H,E分别是线段AD,BC,AB上的动 点，连接GH,过点E作GH的垂线交线段CD于点F (1)①如图1，当点G运动到4点，点E运动到B点时，若m=2,则的值为 BE (直接写答案) ②如图2，当点G不与A点重合，点E运动到B点时，若m=2,试求G的值 BE (2)如图3，当点G不与A点重合，点E不与B点重合时， (用含m的式子表示) 【问题拓展】(3)如图4，将背景问题中的矩形改成“在四边形GBCF中，∠C=90°，BG= ,GH1BF,则S。 9 √2BC,sinLGBC= BF的值为 A(C) B(E) B(E 图1 图2 图3 图4 3.(2024防城港二模)综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E,F分别是CD,AD上的两点， 连接AE,BF交于点P. 已知AE⊥BF,求证：AE=BF 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得∠ABF=∠DAE.再由AB=DA,∠BAF=∠D=90° 证得△ABF兰△DAE(依据： ),从而得AE=BF. 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知AE=BF,同样可证得AE⊥BF, 图1 证明思路如下： 由AB=DA,BF=AE可证得Rt△ABF≌Rt△DAE(HL),可得∠ABF=∠DAE,再根据角的等量代 换即可证得AE⊥BF. 20 完成任务： (1)上述材料中的依据是 (填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”) 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知AE⊥BF可证得AE=BF,已知AE=BF同样可证得AE⊥BF, 为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究. 【迁移探究】 在正方形ABCD中，点E在CD上，点M,N分别在AD,BC上，连接AE,MW交于点P. 甲小组同学根据MW⊥AE画出图形如图2所示，乙小组同学根据MN=AE画出图形如图3 所示 甲小组同学发现已知MN⊥AE仍能证明MN=AE,乙小组同学发现已知MN=AE无法证明 MN⊥AE一定成立 (2)①在图2中，已知MN⊥AE,求证：MW=AE; ②在图3中，若∠DAE=a,则∠APM的度数为 【拓展应用】 (3)如图4，在正方形ABCD中，AB=3,点E在边AB上，点M在边AD上，且AE=AM=1,点 F,N分别在直线CD,BC上，若EF=MN,当直线EF与直线MN所夹较小角的度数为30° 时，请直接写出CF的长 图2 图3 图4 21小专题培优7“十”字模型 例1证明：.四边形ABCD是正方形 ∴.∠ABF=∠C=90°，AB=BC. .AF⊥BG,∴.∠APB=90°， .∠BAF=∠CBG=90°-∠ABG. I∠BAF=∠CBG, 在△ABF和△BCG中， AB=BC, N∠ABF=∠C, .△ABF≌△BCG(ASA),.AF=BG. 【变式】√2四【解析】如解图，过 D 点E作EH⊥AB于点H,则四边 E 形ADEH为矩形，.AH=DE=1, HE=AD,..HIF=AB-AH-BF =2, .EF=√EΠ+HF=√29.四 B G 边形ABCD为正方形，.AD=AB,∠B=90°，∴.AB=HE ∠B=∠EHF.:EF⊥AG,∴.∠BAG+∠AFE=90°.又 ∠AFE+∠HEF=90°，∴.∠BAG=∠HEF,∴△BAG≌ △HEF(ASA),.AG=EF=√29 例2证明：：四边形ABCD是矩形， .∴.∠BAD=∠D=90°，∴.∠BAE+∠EAD=90°. BF⊥AE,.∠AMB=90°，.∠BAE+∠ABM=90°， ∴.∠EAD=∠ABM. .·∠D=∠AMB=90° AE DE ÷△ADE△BMA,ABA7 ∴.AB·DE=AE·AM 【变式】26【解析】如解A 图，过点E作EM⊥CD于点 G M,交FH于点J,过点H作 M HN⊥BC于点N,交EM于点B L,则∠EMC=∠WB=90°.：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD∥BC..∠B=∠C= ∠EMC=90°，.四边形EBCM是矩形，.EM=BC=8, EM∥BC,.EM∥AD.∠A=∠B=∠HNB=90°，.四边 形ABNH是矩形，.HN=AB=4,∠AN=90°，.∠HIW= ∠AHN=90°..EG⊥FH于点P,.∠EPJ=90°， ∴.∠NHF=∠MEG=90°-∠EJI..·∠HNF=∠EMG gd△pn△Bc,既-器÷寸BG 2HF..EG·HF=48,∴.2HF·HF=48,解得HF=2√6 (负值已舍)，HF的长是26. 1.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∴.∠ABE=∠C=90°，AB=BC ·AE⊥BF,∠ABE=90°， .∴.∠EAB+∠ABF=90°，∠ABF+∠CBF=90°， ∴.∠EAB=∠CBF, ∠EAB=∠CBF, 在△ABE与△BCF中 〈AB=BC. N∠ABC=∠C. ∴.△ABE≌△BCF(ASA), .BE=CF: (2)解：.·∠EAB=∠CBF,.∴.∠GAE=∠PBH .PH⊥GP,.∠GPH=90°. .·∠APB=90°，∴.∠GPA+∠APH=∠APH+∠HPB, ∴.∠GPA=∠HPB,∴.△GPA△HPB, 路即 GAAP .tan∠EAB= EB BP AB=APAB=BC.BE=BC. BP 1 GA=3. .AD=3心B G为AD的中点，.AG=3, HB=1,.AH=5, .GH=√AG+AⅢ=√/34. 2.(1)①2【解法提示】小：四边形ABCD为矩形，∠ABC= ∠BCD=90°，∴∠BAH+∠AHB=90°.AH⊥BF, .∠CBF+∠AHB=90°，.∠BAH=∠CBF,.△ABH AH AB △BCF,BFBC AH AB AB=mBC,m=2,B肝BCm=2 ②解：如解图1，过点A作AT∥GH交BC于点T. GH⊥BF,AT⊥BF 四边形ABCD为矩形，.ADBC .四边形ATHG是平行四边形，AT=GH 由①可得”4B、 GH BF-BC=m=2.BF=2 TH 解图1 解图2 (2)m (3)93 【解法提示】如解图2，过点G作BC的平行线 10 交CF的延长线于点D,过B作BC的垂线交DG的延长 线于点A,.∠ABC=90°.AD∥BC,∠C=90°，.∠ADC= 180°-90°=90°，∠AGB=∠GBC,四边形ABCD为矩形， 9_A设 4=90 sin Z GBC=sin LAGB =10BG AB=9x,则BG=10x.BG=√2BC,.BC= 2Bc=5x :GHLBF,结合(1)的结论可得S_4B9x-92 BF BC 5 10 3.解：(1)ASA (2)①证明：如解图1，作MH⊥BC于点H,则∠MHC=90°. :四边形ABCD是正方形， ∴.CD=AD,∠C=∠D=90°， ∴.四边形CDMH是矩形. 31 ∴MH=CD=AD,∠AMH=∠DMH=90°， ∴.∠AMP+∠HMN=90° ·AE⊥MN, .∴.∠AMP+∠DAE=90°， ∴.∠HIMN=∠DAE. ∴.△HMN≌△DAE(ASA), .∴.MN=AE, M Ar A B N H 解图1 解图2 ②90°-2a【解法提示】如解图2，作NZ⊥AD于点L,同 理可证四边形CDLN是矩形，CD=LN=AD.AD=LN, AE=MN,.Rt△LNM≌Rt△DAE(HL),.∠MNZ= ∠DAE=a,∴.∠LMN=90°-&，∴.∠APM=∠LMN-∠DAE= 90°-2a. (3)CF的长为2+√3或2-√3.【解法提示)①当点N,F 在BC,CD边上时，如解图3，∠MPE=30°，作FG⊥AB于 点G,作MH⊥BC于点H,交EF于点K,则四边形ABHM 和四边形BCFG都是矩形，同理可证Rt△EGF≌Rt △IM(HL),∴.∠HIMW=∠EFG.GF∥BC,.MH⊥GF .∠FKH+∠EFG=90.∠FKH=∠IMN+∠MPE, .∴.∠HMN+∠MPE+∠EFG=90°..：∠MPE=30°， ∠HMN=∠EFG=30°，dEG=)EF,设EG=x,则EF 2x.EG+FG2=EF2,.x2+32=(2x)2,.x=V3(负值舍 去)，.CF=BG=AB-AE-EG=3-1-√3=2-√3.②当点 N,F在CB,CD的延长线上时，如解图4，同理可得 ∠HMN=∠EFG=30°，EG=√3，.CF=BG=AB-AE+EG= 3-1+√3=2+√3.综上所述.CF的长为2+√3或2-√3. M A E K B N BH C 解图3 解图4 小专题培优8线段最值问题 例1(3,0) 例212【解析】如解图，连接AP,AH.·AB=AC=13, △ABC的周长为36，∴.BC=36-2×13=10..H是BC的 中点BM=之BC=5△ABC是等腰三角形，ML BC,.AH=√AB2-B=√I32-5=12.MN是线段 AB的垂直平分线，：.点B关于直线MW的对称点为点 A,AP=PB,.PB+PH=AP+PH≥AH,.AH的长为PB+ 32 PH的最小值，.PB+PH的最小值为12. A M D 0 B 例2题解图 例3题解图 例3解：在矩形ABCD中，AD=4,MD=1,∴.AM=3. 如解图.连接MO并延长交BC于点P,则此时PM-PO 的值最大，且最大值为OM的长 AM∥CP,.∠MAO=∠PCO. .A0=C0,∠AOM=∠COP, ∴.△AOM≌△C0P(ASA), ∴.OM=OP,AM=CP=3,∴.PB=1. 过点M作MW⊥BC于点N,则四边形MNCD是矩形， .MN=CD=3.CN=MD=1. ∴.PN=BC-BP-CN=2, .MP=√MN+PW=√3， OM=√13即PM-P0的最大值为3 2 例4解：如解图，分别作点P关于BC,AC的对称点E,D, 分别交BC,AC于点G,H,连接DE,交AC于点M,交BC于 点N,此时△PMW的周长最小且∠PIM=∠PGWN=90°. :∠C=40° ∴.∠DPE=360°-∠PlM-∠PGN-∠C=140°. ∴.∠D+∠E=180°-∠DPE=40. PM=DM,NP=NE. ∴.∠MPD=∠D,∠NPE=∠E, ∴.∠MPD+∠NPE=∠D+∠E=40°， .∠MPW=∠DPE-(∠MPD+∠NPE)=140°- 40°=100°. B M E G 例4题解图 例5题解图 例524【解析】如解图，作点G关于CD的对称点G',作 点B关于AD的对称点B',连接B'G',B'E,FG.BE= B'E.FG=FG'...BE+EF+FG+BG=BE'+EF+FG'+BG. B'E+EF+FG'≥B'G,.当B'E+EF+FG'=B'G'时，四边 形BEFG的周长有最小值，最小值为BG+B'G'.:BG= CG=CC'=1 2 BC=4.AB'=AB=8..BB'=AB+AB'=16, BG'=BC+CG'=12,..B'G'=BG+BBT=20,..BG+ B'G'=24,.四边形BEFG周长的最小值为24.