第五章 第四节 正方形-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册（广西专用）

第四节 正方形3年2考，2分或3分) 一阶基础巩固 考点正方形的性质与判定(2024.12,2023.18) BE=2DE,连接CE,则CE的长为 1.已知矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O, 下列条件中能判定矩形ABCD是正方形的是 ( A.OA=OC B.OA=OB C.AB⊥BC D.OA⊥OB 第6题图 第7题图 2.如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上 7.如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点， 一点，连接AE,CE,若∠BCE=70°，则∠EAD 连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为H,延长 的大小为 ( BH交CD于点F,连接AF,若正方形ABCD的 A.15° B.20° C.25° D.30° 边长是5，BE=2,则AF的长为 8.如图，将正方形ABCD的各边AB,BC,CD,DA 顺次延长至E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH. (1)求证：四边形EFGH是正方形； B (2)若AH=1,AB=2,求正方形EFGH的面积. 第2题图 第3题图 3.如图，点E在正方形ABCD的内部，且△ABE 是等边三角形，连接BD,DE,则∠BDE= ( A.37.5°B.35°C.30° D.25° 4.(2025陕西)如图，正方形ABCD的边长为4， 点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC,则 △CEF的面积为 A.10 B.8 C.5 D.4 AF D B D 第4题图 第5题图 5.[开放性试题](2024深圳)如图所示，四边形 ABCD,DEFG,GHW均为正方形，且S正方形BcD= 10,SE方形=1，则正方形DEFG的边长可以 是 ·(写出一个答案即可) 6.(2025防城港模拟)如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BD为对角线，点E在BD上，且 84 二阶 能力提升 9.如图，O是正方形ABCD内一点，四边形OHBE 13.(2025北京)如图，在正方形ABCD中，点E 与四边形OGDF也都是正方形，图中阴影部 在边CD上，CF⊥BE,垂足为F.若AB=1, 分的面积是10，则EG的长为 ∠EBC=30°，则△ABF的面积为 D E A.√10 B.2√5C.10 D.20 14.（2025桂林二模)如图，正方形ABCD中有两 10.(2025广西模拟)如图，正方形ABCD的边长 为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点 个小正方形，两个小正方形的面积分别为S, B关于直线EF的对称点记为B',连接B'D, 和S2,边长分别为a,b,当AB=4时，ab的值 B'E,B'F.点F在BC边上移动，当四边形 为 BEB'F成为正方形时，B'D的长为( B B 15.(2025南宁模拟)如图，三条相互平行的直线 A.2B.√3 C.22 D.3 l1,l2和L3分别经过正方形ABCD的三个顶 11.(2025广西模拟)如图，已知正方形ABCD的 点，l2交边AD于点E.若L1与12之间的距离 边长为a,延长BC到点E,使CE=BC,取CD 为6,11与13之间的距离为14，则CE的长 的中点F,连接DE,BF,DE与BF的延长线 为 相交于点G,则BG的长为 3B.25 D. 26 16.（2025内江)如图，在平面直角坐标系中，正 3 a 方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标 12.(2021河池)如图，在边长为4的正方形 为(1,0).点E在边CD上.将△ADE沿AE ABCD中，点E,F分别在CD,AC上，BF⊥ 折叠，点D落在点F处.若点F的坐标为 EF,CE=1,则AF的长是 (0,3),则点E的坐标为 D A.22B.32 C.42 3 D.5② OB衣 4 85 三阶实践操作 17.(2025河池宜州区期末)如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱 形学具，他先将该活动学具调成如图1所示的菱形，测得∠A=120°，对角线AC=8cm,接着将该 活动学具调成如图2所示的正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接 BE,则图3中△BCE的面积为 () 图1 图2 图3 A.32 cm2 B.32√3cm2 C.16 cm2 D.163cm2 18.(2025德阳)在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用， 如图，点E,F处是它的两个门，且DE=CF,要修建两条直路AF,BE,AF与BE相交于点O(两个 门E,F的大小忽略不计) (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由： (2)同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一 条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边 界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修 建几条，并说明理由 B 86833 2 【解析】如解图，设EF与 BD交于点M,GH与BD交于 B 点N,.·菱形ABCD的边长为2 .AB=BC=2,∠ABC=60° ∴AC=AB=2,BD=2√5.由折叠的性质知，△BEF是等边 三角形，AE=x,.BE=AB-AE=2-x,EF=BE=2-x. :∠EBM=1 ∠Ac=0,W=P-27M= EM()BP=2BM-(2-DP=BD-BP= tan30°2 2Dp=3 25-5(2-x)=5x,DN= x.∠GDN= 分Ac=号<Ac=30,6N=Ntm0=子 .CH=2GN=x,.S大形BFGc=S签形BCD-S△BEP-SaD0H=2X 2x262--=-129 2 0.当x=1时，六边形AFCG的面积最大，为35 2 第四节正方形 1.D2.B3.C4.C5.2(答案不唯一) 6.457.√34 8.(1)证明：.·四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB= 90°，.∠FBE=∠GCF=∠HDG=∠EAH=90°. BE=CF=DG=AH..'.AB+BE=BC+CF=CD+DG=DA+AH, 即AE=BF=CG=DH (BE=CF, 在△FBE和△CCF中.〈∠FBE=∠GCF. BF=CG. .△FBE≌△GCF(SAS),.EF=FG,∠BFE=∠CGF, .·∠GCF=90°，.∴.∠CGF+∠GFC=90°， ∴.∠BFE+∠GFC=90°，即∠EFG=90° 同理可得△GCF兰△HDG,△HDG兰△EAH,△EAH≌ △FBE,∴.FG=GH,GH=HIE,HE=EF, ∴.EF=FG=GH=HE,..四边形EFGH是菱形 又：∠EFG=90°，.四边形EFGH是正方形. (2)解：AH=BE=1,AB=2,.AE=AB+BE=3, HE=√AF+AE=√0，.S形am=HE=10. 又B10A1B2B18令48915 3 16(5)7.c 18.解：(1)两条路等长：它们的位置关系是：互相垂直. 理由如下： 四边形ABCD是正方形， .BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90° DE=CF,∴.AD-DE=CD-CF,∴.AE=DF. BA=AD. 在△BAE和△ADF中， ∠BAE=∠D. AE=DF. .△BAE≌△ADF(SAS),.BE=AF,∠ABE=∠DAF. .∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，∴.∠BAO+∠ABE=90°. 在△AOB中，∠AOB=180°-（∠BAO+∠ABE)=90°， .AF⊥BE,道路AF与BE等长，且它们互相垂直. (2)能修建一条这样的直路.理由如下： AD=AB=CD=4米，AE=3米，DE=CF=1米， 在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=√AB+AE=5(米)， 由(1)得AF=BE=5米，AF⊥BE, 1 SA4s=2BE,0M=2AB·AE, 0A=BAE-24米)0F=AF-0A=2.6(米). BE 根据“垂线段最短”得点F到路段OB的最短距离为 2.6米，.路段OB上不存在符合题意的点P, .点P不在路段OB上 当点P在边界BC上时， 在Rt△PCF中，由勾股定理得PC=√FP-FC=②T 2 .BP=BC-PC=(4-))米 2>4 :4②7 2:4②7 2 >1.5,点p符合题意， 即能修建成一条这样的直路. 第五节梯形、特殊四边形之间的关系 (含中点四边形) 1.D2.B3.B4.C5.B 6.解：(1)不相等、垂直：矩形：相等、不垂直：菱形：相等、垂 直；正方形（从左往右依次填写） (2)已知：在四边形ABCD中，AC=BD,AC⊥BD,E,F,G, H分别为边AD,AB,BC,CD的中点，连接EF,FG, GH.HE. 求证：四边形EFGH为正方形. D 证明：如解图，设AC与BD相交 于点O,EH与BD相交于点M. 由题意可得EHAC,EH=2AC EF//BD,EF-2 BD,FG//AC, FGAC.MG/BD.c E/FG.E-FG-AC.FF/WG.FG. ∴.四边形EFGH为平行四边形 .'AC=BD,AC⊥BD,∴.EH=EF,EH⊥EF, .四边形EFGH为正方形. 第五章易错题专练 1.5,6,7【变式1】5,6,7【变式2】A 2.D【变式1】B【变式2①③ 3.D【变式1】B【变式2】C 4.解：如解图1，在□ABCD中，BC=AD=8,BC∥AD,CD= AB,∴.∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC. :AE平分∠BAD,DF平分∠ADC, ∴.∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF, .∠BAE=∠AEB,∠DFC=∠CDF, 9