第五章 第三节 菱形-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册（广西专用）

第三节 菱 形(3年1考，2分) 阶 基础巩固 考点菱形的性质与判定(2024.17) 6.(2025福建)如图，菱形ABCD的对角线相交 1.(2025湖南)如图，在四边形ABCD中，对角线 于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于 AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四边形 点E,F.若OA=2,OD=1,则△A0E与△D0 ABCD的周长为 的面积之和为 B A.6 B.9 C.12 D.18 第6题图 第7题图 2.(2025防城港一模)若菱形ABCD的边长为6， 7.(2025青海)如图，在菱形ABCD中，BD=6, 其中较短的一条对角线的长也为6，则这个菱 E,F分别为AB,BC的中点，且EF=2,则菱形 形的面积为 ABCD的面积为 A.123B.183C.24 D.36 8.(2025长春)如图，口ABCD的对角线AC,BD 3.(2025龙东地区)如图，在平行四边形ABCD 相交于点0，AB=5,OA=4,OB=3.求证： 中，对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条 口ABCD是菱形. 件 使平行四边形 ABCD为菱形， D B E 第3题图 第4题图 4.(2025兰州)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC, 垂足为E,交BD于点F,BE=CE.若AB= 43,则AF= 5.(2025凉山州)如图，四边形ABCD是菱形，对 角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点， 过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若 AC=12,BD=16,则FG的长为 81 9.(2025泸州)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是11.(2025扬州)如图，在口ABCD中，对角线AC 边AB,BC上的点，且AE=CF.求证：AF=CE. 的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点 E.F. (1)求证：四边形AFCE是菱形； (2)若AB=3,BC=5,CE平分∠ACD,求DE 的长 10.（2025贵州)如图，在口ABCD中，E为对角线 AC的中点，连接BE,且BE⊥AC,垂足为E. 延长BC至点F,使CF=CE,连接EF,FD,且 EF交CD于点G (1)求证：口ABCD是菱形； (2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积 82 二阶能力提升 12.(2025北流一模)如图，在平面直角坐标系 △HMD与四边形AOMH的面积比为() xOy中，菱形AOBC的顶点B在x轴正半轴 上，顶点A在直线y= 4t上，若点A的横坐 标是-8，则点C的坐标为 A.(1,6) B.(2,6) A.5 B.3 C.3 D.1 .(3,6) D.(4,6) 15.(2025上海)在矩形ABCD中，E在边CD上， E关于直线AD的对称点为F,连接BE,AF, 如果四边形AFEB是菱形，那么AB:AD的值 B 为 第12题图 第13题图 16. 多解法(2025辽宁)如图，在菱形ABCD中， 13.（2025南宁模拟)如图，在菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD= ∠ABC=60°，AD=6,点E在边CD上，且 12,点E在线段OA上，AE=2,点F在线段 DE=4,F是边AD上一动点，将△DEF沿直 OC上，OF=1,连接BE,点G为BE的中点， 线EF折叠，点D落在点N处，当点N在四 连接FG,则FG的长为 边形ABCD内部（含边界）时，DF的长度的 最小值是 ( A.2 B.213 C.4 D.42 14.(2025梧州一模)如图，在菱形ABCD中，对 第16题图 第17题图 角线AC,BD相交于点0，AC3 BD 5 17.(2025内蒙古)如图，在菱形ABCD中，AB= 线段BC与 4√5，对角线BD的长为16，E是AD的中点， NM关于过点O的直线l对称，点C的对应 F是BD上一点，连接EF.若BF=3,则EF 点M在线段OD上，NM交AD于点H,则 的长为 三阶实践操作 18.[利用函数解决几何问题]如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°，如图2，翻折∠ABC, ∠ADC,使两个角的顶点重合于对角线BD上一点P,EF,GH分别是折痕.设AE=x(0<x<2),则 六边形AEFCHG的面积的最大值是 图1 图2 83BP.B吧.即1024=4“ BCAB 2010解得1=1， .经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似. (变式2】3或4或6 第五章四边形 第一节多边形与平行四边形 1.C2.D【变式1】36【变式2】132° 3.B4.B5.A6.C7.98.D9.C 10.C11.C12.D13.2(答案不唯一) 14.(1)略.（2)四边形BFEC是平行四边形. 15.略.16.B17.D18.C 19.5【解析】如解图1，在☐ABCD中，AB=6,AD=8,∠B= 60°，则∠BAD=180°-60°=120°..·△MNP是等边三角 形，∴.MP=NP=MN,∠MPN=60°，连接AP..AM=AN. MP=NP,AP=AP,,△AMP≌△ANP(SSS),.∠1= ∠2=60°，∠3=∠4=30°，∴.∠AMP=180°-∠1-∠3=90°. 作∠BAD的平分线交BC于点E.:∠B=∠BAE= ∠DAE=60°，.△ABE是等边三角形.：∠BAE=∠1， ∴直线AP和直线AE重合，即点P在线段AE上运动. :SA心至n,则P最大时.△P的面积最大。 4 根据题意可得，当点P与点E重合时，MP最大，即 △MNP的面积最大，此时，如解图2，则BM=AM=3. ∴.AN=AM=3,.DN=8-3=5. M M E P(E) 解图1 解图2 20.(1)证明：.·BD∥CE∥GF,∠ABD=127°，∠GFE=53°， .∴.∠ACE=∠ABD=127°，∠DEC=∠GFE=53°， 则∠ACE+∠DEC=180°， ∴.BCDE,四边形BCED是平行四边形 (2)解：如解图，延长AC交GF于点H, 由(1)可知，CH∥EF,CEHF, AN .四边形CHFE是平行四边形. B D CE=BD=20 cm, .CH=EF =50 em,HIF CE 20cm, AH=AC+CH=100 em,GH=GF- HF=60 cm. 连接AG,:AC=EF=CG=CH, ∴.∠CAG=∠CGA.∠CGH=∠CHG. ∴.∠CAG+∠AGH+∠CHG=2(∠CGA+∠CGH)=180°， :.∠AGH=90°，·.AG=√/A-Gf=80cm 即椅子最高点A到地面GF的距离为80cm 第二节矩形 1.D2.B【变式】(2+2√3)cm3.D4.C5.2√3 6.(1)略. (2)当AB=AC时，四边形AEBD是矩形.证明略. 7.(1)略.(2)AC=10. 8 8.(1)证明：.D,E分别为AB,AC的中点 .DE是△ABC的中位线，.DE∥BC. :DG=FC,四边形DFCG是平行四边形. 又.DF⊥BC,.∠DFC=90°. .四边形DFCG是矩形. (2)解：DF⊥BC,∴.∠DFB=90° ∠B=45°，.△BDF是等腰直角三角形， ∴.BF=DF=3. .·DG=FC=5,∴.BC=BF+FC=8. 由(I)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩 形DE=BC=4,CG=DF=3,∠G=90°， 2 ∴.EG=DG-DE=1,.CE=√CG+EG=√Io. E为AC的中点，AC=2CE=2√10 7 2 9C10.C11A12.B13.514415. 16.3或9 第三节菱形 1.C2.B3.AC⊥BD(答案不唯一)4.45.5 6.17.128.略.9.略. 10.(1)证明：.·E为对角线AC的中点，BE⊥AC, ∴.BE垂直平分AC,∴.AB=BC,.□ABCD是菱形 (2)解：BE=EF,∴.∠EBF=∠EFB. ·CF=CE,∴.∠CEF=∠CFE, ∴.∠BCE=∠CEF+∠CFE=2LCFE=2∠EBF. ∠BEC=90°，∠CBE=30°，∠BCA=60°， .∠ACB=∠ACD=60°， ∴.∠DCF=60°，∴.∠BCE=∠DCF 由(I)得BC=CD. .·CE=CF,∴.△BCE≌△DCF(SAS), ∴.∠DFC=∠BEC=90°. CF=CE=4,∴.DF=√3CF=45, 1 8a2DF·CF=7x45x4=8w万. 11.(1)证明：：EF是AC的垂直平分线， .EA=EC,FA=FC,0A=0C,∠A0E=∠C0F=90°. :四边形ABCD是平行四边形，.ADBC,AB∥CD, .∠OAE=∠OCF 1∠AOE=∠COF. 在△OAE和△0CF中，〈OA=0C, ∠OAE=∠OCF, .△OAE≌△OCF(ASA),.EA=FC, .EA=EC=FA=FC,.四边形AFCE是菱形. (2)解：四边形ABCD是平行四边形，AB=3,BC=5, ∴.CD=AB=3,∠D=∠B. .·四边形AFCE是菱形，.∠ACB=∠ACE. CE平分∠ACD,∠DCE=∠BCA. 又.∠D=∠B,∴.△CDE∽△CBA, E即E2 9 ABBC 3=5DE=5 2B1aA4C152916E75 833 2 【解析】如解图，设EF与 BD交于点M,GH与BD交于 B 点N,.·菱形ABCD的边长为2 .AB=BC=2,∠ABC=60° ∴AC=AB=2,BD=2√5.由折叠的性质知，△BEF是等边 三角形，AE=x,.BE=AB-AE=2-x,EF=BE=2-x. :∠EBM=1 ∠Ac=0,W=P-27M= EM()BP=2BM-(2-DP=BD-BP= tan30°2 2Dp=3 25-5(2-x)=5x,DN= x.∠GDN= 分Ac=号<Ac=30,6N=Ntm0=子 .CH=2GN=x,.S大形BFGc=S签形BCD-S△BEP-SaD0H=2X 2x262--=-129 2 0.当x=1时，六边形AFCG的面积最大，为35 2 第四节正方形 1.D2.B3.C4.C5.2(答案不唯一) 6.457.√34 8.(1)证明：.·四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB= 90°，.∠FBE=∠GCF=∠HDG=∠EAH=90°. BE=CF=DG=AH..'.AB+BE=BC+CF=CD+DG=DA+AH, 即AE=BF=CG=DH (BE=CF, 在△FBE和△CCF中.〈∠FBE=∠GCF. BF=CG. .△FBE≌△GCF(SAS),.EF=FG,∠BFE=∠CGF, .·∠GCF=90°，.∴.∠CGF+∠GFC=90°， ∴.∠BFE+∠GFC=90°，即∠EFG=90° 同理可得△GCF兰△HDG,△HDG兰△EAH,△EAH≌ △FBE,∴.FG=GH,GH=HIE,HE=EF, ∴.EF=FG=GH=HE,..四边形EFGH是菱形 又：∠EFG=90°，.四边形EFGH是正方形. (2)解：AH=BE=1,AB=2,.AE=AB+BE=3, HE=√AF+AE=√0，.S形am=HE=10. 又B10A1B2B18令48915 3 16(5)7.c 18.解：(1)两条路等长：它们的位置关系是：互相垂直. 理由如下： 四边形ABCD是正方形， .BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90° DE=CF,∴.AD-DE=CD-CF,∴.AE=DF. BA=AD. 在△BAE和△ADF中， ∠BAE=∠D. AE=DF. .△BAE≌△ADF(SAS),.BE=AF,∠ABE=∠DAF. .∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，∴.∠BAO+∠ABE=90°. 在△AOB中，∠AOB=180°-（∠BAO+∠ABE)=90°， .AF⊥BE,道路AF与BE等长，且它们互相垂直. (2)能修建一条这样的直路.理由如下： AD=AB=CD=4米，AE=3米，DE=CF=1米， 在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=√AB+AE=5(米)， 由(1)得AF=BE=5米，AF⊥BE, 1 SA4s=2BE,0M=2AB·AE, 0A=BAE-24米)0F=AF-0A=2.6(米). BE 根据“垂线段最短”得点F到路段OB的最短距离为 2.6米，.路段OB上不存在符合题意的点P, .点P不在路段OB上 当点P在边界BC上时， 在Rt△PCF中，由勾股定理得PC=√FP-FC=②T 2 .BP=BC-PC=(4-))米 2>4 :4②7 2:4②7 2 >1.5,点p符合题意， 即能修建成一条这样的直路. 第五节梯形、特殊四边形之间的关系 (含中点四边形) 1.D2.B3.B4.C5.B 6.解：(1)不相等、垂直：矩形：相等、不垂直：菱形：相等、垂 直；正方形（从左往右依次填写） (2)已知：在四边形ABCD中，AC=BD,AC⊥BD,E,F,G, H分别为边AD,AB,BC,CD的中点，连接EF,FG, GH.HE. 求证：四边形EFGH为正方形. D 证明：如解图，设AC与BD相交 于点O,EH与BD相交于点M. 由题意可得EHAC,EH=2AC EF//BD,EF-2 BD,FG//AC, FGAC.MG/BD.c E/FG.E-FG-AC.FF/WG.FG. ∴.四边形EFGH为平行四边形 .'AC=BD,AC⊥BD,∴.EH=EF,EH⊥EF, .四边形EFGH为正方形. 第五章易错题专练 1.5,6,7【变式1】5,6,7【变式2】A 2.D【变式1】B【变式2①③ 3.D【变式1】B【变式2】C 4.解：如解图1，在□ABCD中，BC=AD=8,BC∥AD,CD= AB,∴.∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC. :AE平分∠BAD,DF平分∠ADC, ∴.∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF, .∠BAE=∠AEB,∠DFC=∠CDF, 9