小专题培优5 对角互补模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮A+培优册（广西专用）

小专题培优5对角互补模型 模型特点 在四边形中，存在一对对角互补 方法1：作垂线 方法2：作等角 解题策略 过，点C分别作OA,OB的垂线，垂足分别 在BE上找一，点F,连接CF,使∠ECF= 为G,H ∠OCD 常见模型 HE B 0 E (1)△CGD∽△CHE; (1)△CDO∽△CEF; 结论 (2)当CD=CE时，△CGD≌△CHE (2)当CD=CE时，△CDO≌△CEF 例 (2025广西23题考法)新定义四边形ABCD若满足两组对角互补，即∠A+∠C=180°， ∠B+∠D=180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”. (1)如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD.求证：CA平 分∠BCD. 小东同学是这么做的：延长CD至点M,使DM=BC,连接AM,可证明△ABC≌△ADM,得 到△ACM是等腰直角三角形，由此证出CA平分∠BCD. ①还可以知道CB,CD,CA的数量关系为 ②请描述△ABC如何旋转得到△ADM: (2)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD,请你仿照小东 的做法，求证：①CA平分∠BCD:②CA=CB+CD. 图 图2 13 //11111111KK针对训练IIII/II/ 1.如图，在等边三角形ABC中，D为BC边的中点，E,F分别是AB,AC边上的点，且∠EDF= 120°.若∠BDE=45°，DF=6,求BE的长. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,在Rt△MPN中，∠MPN=90°，点P在AC 上，PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时，求AP的长. 变式如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠M0N的顶点O在AB上，OM, ON分别交CA,CB于点P,.Q,∠M0ON绕点0任意旋转，当-时.OP的值为 时00 10B2 当你时0的位为 OB n ·(用含m,n的式子表示) 14小专题培优4旋转（手拉手)模型 例19【解析】解法一：如解图1，将AD绕点A顺时针旋 转60°得到AE,连接DE,BE,则△ADE为等边三角形. ∴.∠BAC=∠DAE=∠AED=60°，DE=AD=12.:∠BAE+ ∠CAE=∠CAD+∠CAE,.∠BAE=∠CAD.在△BAE和 AB=AC. △CAD中， ∠BAE=∠CAD,.△BAE≌△CAD(SAS), AE=AD. .∠BEA=∠CDA=30°，BE=CD..:∠AED=60°， ,∠BED=90°.在Rt△BED中，由勾股定理得BE= √BD-DE2=9,∴.CD=9. E 解图1 解图2 解法二：如解图2，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得 到CF,连接BF,DF,则△CDF为等边三角形.，·∠BCA+ ∠ACF=∠DCF+∠ACF,∴.∠BCF=∠ACD.在△BCF和 (BC=AC, △ACD中 ∠BCF=∠ACD,∴.△BCF≌△ACD(SAS), CF=CD. ∴.∠BFC=∠ADC=30°，BF=AD=12..∠CFD=60° .∠BFD=90°.在Rt△BFD中，由勾股定理得DF= √BD-BF=9,.CD=9. 例2证明：·AB=BC,AP=PD,∠APD=∠ABC .∠BAC=∠PAD,.△ABC△APD,.P= ∠BAP+∠PAC=∠CAD+∠PAC,.∠BAP=∠CAD .∴.△BAP△CAD,∴.∠ABC=∠ACD 1.√2【解析】如解图，连接BD,BD1.∠ABC=90°，AB= BC=2,.AC=√2+2=22.D为AC的中点，BD= 4G=反.？将△4c绕点B运时针旋转@，得到 △A,BC1,.BD,=BD,∠DBD,=60°，.△BDD,为等边三 角形，∴DD,=BD=√2 B 第1题解图 第2题解图 2.4【解析】如解图，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于 点E,连接BE,.∠EAD=90.:∠ADC=45°，.∠AED= 45°，AE=AD.∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE, 28 IAB=AC ∴.∠BAE=∠CAD.在△BAE和△CAD中， ∠BAE=∠CAD, AE=AD ∴.△BAE≌△CAD(SAS),∴.BE=CD,∠BEA=∠CDA= 45,.LBEC=90°.Sam=2BE·CD=8,CD=4 3.证明：.AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=60°， .△ABC和△DEC均为等边三角形，∠BCA=∠ECD, .∴∠BCE+∠ECA=∠ECA+∠ACD,∴.∠BCE=∠ACD. BC=AC, 在△BCE和△ACD中， ∠BCE=∠ACD. CE=CD. .△BCE≌△ACD(SAS),.BE=AD ...AE+AD=AE+BE=AB=AC,AC=AE+AD. 4.解：如解图，连接BD,设∠BAB'=a ·AB=AB', LA6g=0号 .∠B'AD=90°-a,AD=AB' 六∠1"D=45+受 B .∠EB'D=180°-∠AB'D-∠AB'B=45 DE⊥BB',.∠EDB'=∠EB'D=45°， △D5g是等题直角三角形泥-反 四边形ABCD是正方形， BD DB' B0=2,BDC=45°C00 2. .·∠EDB'=∠BDC,.∠EDB'-∠B'DC=∠BDC- ∠B'DC,即∠B'DB=∠EDC △80Ba0c路0反 小专题培优5对角互补模型 例(1)①CD+CB=√2CA ②将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADM. (2)证明：①如解图，延长CD至点 M,使DM=BC,连接AM. 四边形ABCD为对角互补四边形， B .∠B+∠ADC=180°. .∠ADC+∠ADM=180°， .∠B=∠ADM: AB=AD,∴.△ABC≌△ADM(SAS), ∴.AC=AM,∠BAC=∠DAM,∠ACB=∠M .·∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°， .∠CAM=∠CAD+∠DAM=60. 又：AC=AM,.△ACM是等边三角形，.∠ACM=∠M. .·∠ACB=∠M,.∠ACB=∠ACM,即CA平分∠BCD. ②·△ACM是等边三角形，.CA=CM. BC=DM...CM=CD+DM=CD+CB. ∴.CA=CB+CD. 1.解：如解图，连接AD,过点D分别作DG⊥AB于点G, DH⊥AC于点H, ,△ABC为等边三角形，∴.∠BAC=60° ,∠EDF=120°，∴.∠EAF+∠EDF=180°， .∴.∠AED+∠AFD=180° ,∠AED+∠DEG=180°，∴.∠DEG=∠DFH. .D为BC边的中点，.AD平分∠BAC,.DG=DH 在△DEG和△DFH中， A ∠DEG=∠DFH, ∠EGD=∠FHD DG =DH. .△DEG≌△DFH(AAS), .DE=DF=6. D 过点E作EP⊥BC于点P. ∠BDE=45°，EP= 2DE-32 ∠B=60°BB=EP sin60°-26. 2.解：如解图，作PQ⊥AB于点Q,PR⊥BC于点R 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC=5. .∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°， ∴四边形PQBR是矩形， ∴.PR=BQ,PQ∥BC,∠QPR=90°=∠MPN, ∴.∠QPE=∠RPF s△0PE∽ARPr,PO.P =2...PO=2PR=2B0 PR PF PO//BC...AQ:OP AP=AB:BC:AC=3:4:5 设PQ=4x,则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x, ∴.AB=BQ+AQ=2x+3x=5x,∴.AP=AB=3. A R 第2题解图 变式题解图 【变式，【解标】如解图，作0DL4C于点D, OE⊥BC于点E,则∠0DP=∠OEQ=90°.∠ACB=90°， 四边形DCE0为矩形，∠D0E=90°.∠M0N=90°， OD OP OA ÷∠D0P=LE00.△PD0△QE0,OEO0'0B 、号设0A=x,则0B=2x,易知∠A0D=LABC=30°一AD= 2,0E=x在△AD0中，由勾股定理，得OD= 1 2， 0D.20P0P_5当04-m时，设0A=mx,则 0Ex00'…0020Bn OB=nx∠ABC=30°，∴.AD=)m,0E= 2nx,在 △D0中，由勾股定理，得00=5， OP OD 2m,00F0E 5 2 mx √3m 1 2 n 小专题培优6半角模型 例解：结论：EF=DF+BE. 理由：解法一：如解图1，延长CD到点G,使得DG=BE, 连接AG. :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠B=∠ADC=90°， ∴.∠ADG=90°，∴.∠B=∠ADG, .△ABE≌△ADG(SAS),.AE=AG,∠BAE=∠DAG. .:∠EAF=45°，∴.∠BAE+∠DAF=45°， .∠DAG+∠DAF=45°，∴.∠EAF=∠GAF .·AF=AF,.△AFE≌△AFG(SAS), .EF=FG=DF+DG=DF+BE. G 1E1 D E E 解图1 解图2 解法二：如解图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，使 AB与AD边重合，得到△ADE', ∴.AE=AE',BE=DE',∠BAE=∠DAE',∠ABE=∠ADE= 90°. .·∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴.∠BAE+∠DAF=45°. :∠BAE=∠DAE',.∠FAE'=∠DAF+∠DAE'=45°， ·.∠FAE'=∠FAE. .·∠ADE'=∠ADF=90°， ∴.∠ADE+∠ADF=180°，.E',D,F三点共线. .·AF=AF,AE=AE, △EAF≌△E'AF(SAS),.EF=E'F ·E'F=DF+DE',BE=DE',∴.EF=DF+BE L.55【解析】如解图，将CE绕点C顺时针旋转90°得到 CG,连接GB,GF.·∠BCE+∠ECA=∠BCE+∠BCG= 90°，.∠ECA=∠BCG.在△ACE和△BCG中， (AC=BC. ∠ACE=∠BCG,△ACE≌△BCG(SAS),·∠A= CE=CG. ∠CBG,AE=BG..·∠ACB=90°，CA=CB,∴.∠A=∠ABC= 45°，∠CBG=45°，∠FBG=∠ABC+∠CBG=90°， .FG=BG+BF2=AE2+BF2.∠ECF=45°，.∠FCG= ∠ECG-∠ECF=45°=∠ECE.在△ECF和△GCF中， CE=CG. ∠ECF=∠GCF,'.△ECF≌△GCF(SAS),.EF=GF, CF=CF. 29