第四章 三角形 易错题专练-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册（广西专用）

第四章」 易错题专练 易错点1在等腰三角形中，因忽视三角形的三边关系而致错 1.若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 A.9 B.7 C.12 D.9或12 变式等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三 角形的底边长为 ( A.3cm或5cm B.3cm或7cm C.3 cm D.5 cm 易错点2在等腰三角形中，因忽视分类讨论而致错 2.若等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个内角的度数分别是 A.65°，65 B.50°，80° C.65°，65°或50°，80° D.50°，50° 变式1如图，在△ABC中，∠B=20°，∠A=105°，点P在△ABC的 三边上运动.当△PAC为等腰三角形时，顶角的度数为 变式2在等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD将△ABC 的周长分成15和9两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长 变式3已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求这个 等腰三角形的底角的度数 A易错提醒 当题目中未指明所给边长是 等腰三角形的腰还是底时，需 分情况讨论，此时易忽视三角 形成立的条件“三角形的任意 两边之和大于第三边”而 致错 A易错提醒 当题目中未指明所给内角为 等腰三角形的顶角还是底角 时，需分类讨论 73 易错点3相似三角形无明确对应关系时，因忽视分类讨论而 致错 3.在△ABC中，AB=6,AC=4,D是AC的中点，过点D的直线交AB于 点E.若以A,D,E为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相 似，则AE的长为 变式1如图，在△ABC中，AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开 始，沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC 边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P,Q分别从点A,B同时出 发，经过几秒△PBQ与△ABC相似 B→O 变式2在△ABC中，AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上，且AM= 3,过点M作直线MW与三角形的另一边交于点N.若裁得的三角 形与原三角形相似，则MN的长为 74 A易错提醒 当题目中相似三角形无明确 对应关系时，需要分类讨论 注意：“△PBQ∽△ABC”与 “△PBQ与△ABC相似”两种 说法的区别又.·∠BAD=∠CAE. ∴.∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE,即∠BAC=∠DAE, .△ABC∽△AED,.∠E=∠B. (2)解：S△AmS△ABc=9:16, .DE93 4 六BC√16=4.BC=3DE=8 19.（1)证明：.·AD是∠BAC的平分线，.∠BAD=∠EAD. D=E,B,08△4n△0F (2)解：：△ABD△ADE,.∠ADB=∠AED. .·∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE =180°，.∠CDE=∠DAE. 又.·∠DCE=∠ACD,.△DCE∽△ACD, %器誓多A0=44=4c0 7 4 20.D【解析】由折叠可得DE⊥AC,PQ⊥AC,MN⊥AC,AM= MD=DP=PC,∴.MN∥DE∥PQ∥BC,故A正确，不符合 题意；易得△ADE一△ACB~△AMN,DE=AD=」 BC AC 2 MN AM 1 DE=AD=2 BC=2DE.DE=2MN,BC=2DE= N.故B正确，不符合题意：MN/PQ/BC,名 BQ 1 AM AN 1 PM ON 1 AB4·CB4CB子B0=W=AB, QN=子4BAN=B0=70,故C正确，不符合题意： △ADE△ACB~△AMN∽△APO,DE-AD2' MN AM 1 5是号是品子器器故D错 误，符合题意.故选D. 第六节锐角三角函数及其应用 1.B2.B3.164.D5.155m6.120w57.3.75 20 4 8.4339.5ana+510.2引11.(65+8)em12.g 13.校园西门A与东门B之间的距离约为207.6米. 14.(1)摩擦力P的方向与重力G的方向的夹角B的度数 为115°. (2)小物件的铅垂高度CD约为15cm. 15.解：(1)如解图，过点B作BE⊥AC于点E,设BE=x, 依题意，得∠EBC=53,∠EB0=45,CD=10x5, ∴.∠C=90°-∠EBC=37°，ED=x, ∴.EC=ED+DC=x+5. 在R△BCE中，EC=BE= x4 tanC tan37 0.753*, 4 3x=x+5,解得x=15, ∴.渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里 (2)在Rt△ABE中，∠ABE=14°，BE=15, .AE=BE·tan14°≈15×0.25=3.75. ∴.AD=AE+DE≈3.75+15=18.75， 18.75÷10=1.875(时)， 从15：00经过1.875小时是16：52：30，在17：30之 前到达， .不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A. C E DC北 东 E F -1 B B/H D 第15题解图 第16题解图 16.【模型求解】如解图，过O点作OH⊥EF,垂足为H. .·∠AEF=∠CFE=65°，∴.OE=OF. F=06m,B阴=R=03(m. 在Rt△0EH中，∠0EF=65°，cos∠OEF=-EA Γ0E EH0.30.3 ∴.OE cos ZOEF-cos650.7(m). 【问题总结】0.8 第四章易错题专练 1.C【变式】C2.C【变式1】105°或70°或55 【变式2】解：如解图，设CD=x,则AD=x, AB=2x, ①当AB+AD=15,BC+CD=9时，则2x+ D x=15. ∴.x=5,∴.AB=AC=10,BC=9-5=4, .这个等腰三角形的腰长为10，底边长B 为4. ②当AB+AD=9,BC+CD=15时.则2x+x=9. x=3,.AB=AC=6,BC=15-3=12, 6+6=12,.此时不成立. 综上，这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4 【变式3】解：在△ABC中，设AB=AC,BD LAC于点D. 若△ABC是锐角三角形，如解图1，∠A=90°-40°=50°， ∴.∠ABC=∠C=(180°-50°)÷2=65°： 若△ABC是钝角三角形，如解图2，∠BAC=40°+90°= 130°， ..∠C=∠ABC=(180°-130°)÷2=25° 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数是65°或25°. A C B D 解图1 解图2 33或4 【变式1】解：设经过ts,则AP=2tcm,BQ=4tcm,BP=(10- 2t)cm. △PBQ与△ABC相似，分两种情况： ①当△PBQ∽△ABC时， 器品即90心六解得25 AB BC' ②当△PBQ∽△CBA时， 7 BP.B吧.即1024=4“ BCAB 2010解得1=1， .经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似. (变式2】3或4或6 第五章四边形 第一节多边形与平行四边形 1.C2.D【变式1】36【变式2】132° 3.B4.B5.A6.C7.98.D9.C 10.C11.C12.D13.2(答案不唯一) 14.(1)略.（2)四边形BFEC是平行四边形. 15.略.16.B17.D18.C 19.5【解析】如解图1，在☐ABCD中，AB=6,AD=8,∠B= 60°，则∠BAD=180°-60°=120°..·△MNP是等边三角 形，∴.MP=NP=MN,∠MPN=60°，连接AP..AM=AN. MP=NP,AP=AP,,△AMP≌△ANP(SSS),.∠1= ∠2=60°，∠3=∠4=30°，∴.∠AMP=180°-∠1-∠3=90°. 作∠BAD的平分线交BC于点E.:∠B=∠BAE= ∠DAE=60°，.△ABE是等边三角形.：∠BAE=∠1， ∴直线AP和直线AE重合，即点P在线段AE上运动. :SA心至n,则P最大时.△P的面积最大。 4 根据题意可得，当点P与点E重合时，MP最大，即 △MNP的面积最大，此时，如解图2，则BM=AM=3. ∴.AN=AM=3,.DN=8-3=5. M M E P(E) 解图1 解图2 20.(1)证明：.·BD∥CE∥GF,∠ABD=127°，∠GFE=53°， .∴.∠ACE=∠ABD=127°，∠DEC=∠GFE=53°， 则∠ACE+∠DEC=180°， ∴.BCDE,四边形BCED是平行四边形 (2)解：如解图，延长AC交GF于点H, 由(1)可知，CH∥EF,CEHF, AN .四边形CHFE是平行四边形. B D CE=BD=20 cm, .CH=EF =50 em,HIF CE 20cm, AH=AC+CH=100 em,GH=GF- HF=60 cm. 连接AG,:AC=EF=CG=CH, ∴.∠CAG=∠CGA.∠CGH=∠CHG. ∴.∠CAG+∠AGH+∠CHG=2(∠CGA+∠CGH)=180°， :.∠AGH=90°，·.AG=√/A-Gf=80cm 即椅子最高点A到地面GF的距离为80cm 第二节矩形 1.D2.B【变式】(2+2√3)cm3.D4.C5.2√3 6.(1)略. (2)当AB=AC时，四边形AEBD是矩形.证明略. 7.(1)略.(2)AC=10. 8 8.(1)证明：.D,E分别为AB,AC的中点 .DE是△ABC的中位线，.DE∥BC. :DG=FC,四边形DFCG是平行四边形. 又.DF⊥BC,.∠DFC=90°. .四边形DFCG是矩形. (2)解：DF⊥BC,∴.∠DFB=90° ∠B=45°，.△BDF是等腰直角三角形， ∴.BF=DF=3. .·DG=FC=5,∴.BC=BF+FC=8. 由(I)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩 形DE=BC=4,CG=DF=3,∠G=90°， 2 ∴.EG=DG-DE=1,.CE=√CG+EG=√Io. E为AC的中点，AC=2CE=2√10 7 2 9C10.C11A12.B13.514415. 16.3或9 第三节菱形 1.C2.B3.AC⊥BD(答案不唯一)4.45.5 6.17.128.略.9.略. 10.(1)证明：.·E为对角线AC的中点，BE⊥AC, ∴.BE垂直平分AC,∴.AB=BC,.□ABCD是菱形 (2)解：BE=EF,∴.∠EBF=∠EFB. ·CF=CE,∴.∠CEF=∠CFE, ∴.∠BCE=∠CEF+∠CFE=2LCFE=2∠EBF. ∠BEC=90°，∠CBE=30°，∠BCA=60°， .∠ACB=∠ACD=60°， ∴.∠DCF=60°，∴.∠BCE=∠DCF 由(I)得BC=CD. .·CE=CF,∴.△BCE≌△DCF(SAS), ∴.∠DFC=∠BEC=90°. CF=CE=4,∴.DF=√3CF=45, 1 8a2DF·CF=7x45x4=8w万. 11.(1)证明：：EF是AC的垂直平分线， .EA=EC,FA=FC,0A=0C,∠A0E=∠C0F=90°. :四边形ABCD是平行四边形，.ADBC,AB∥CD, .∠OAE=∠OCF 1∠AOE=∠COF. 在△OAE和△0CF中，〈OA=0C, ∠OAE=∠OCF, .△OAE≌△OCF(ASA),.EA=FC, .EA=EC=FA=FC,.四边形AFCE是菱形. (2)解：四边形ABCD是平行四边形，AB=3,BC=5, ∴.CD=AB=3,∠D=∠B. .·四边形AFCE是菱形，.∠ACB=∠ACE. CE平分∠ACD,∠DCE=∠BCA. 又.∠D=∠B,∴.△CDE∽△CBA, E即E2 9 ABBC 3=5DE=5 2B1aA4C152916E75