小专题培优4 旋转（手拉手）模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮A+培优册（广西专用）

小专题培优4旋转（手拉手）模型 (3年1考，2024.26) 等腰三角形自旋转 共顶点三角形 模型特点 △ABC为等腰三角形，AB=AC ①共顶点：②顶角相等：③对应边成比例 常见模型 在△ABC中，D,E分别为AB,AC上的，点， 将△ABC绕，点A旋 将△ABC绕，点B旋 DE∥BC,将△ADE绕点A旋转，连接 转，连接BB',CC 转，连接A4',CC BD,CE (1)△ADE∽△ABC,△ABD∽△ACE; 结论 △BAB'≌△CAC △ABA'∽△CBC (2)当AD=AE,AB=AC时，△ABD≌△ACE 例1多解法如图，在△ABC和△ACD中，AB=AC=BC,∠CDA=30°，连接BD.若BD=15, AD=12,则CD的长度为 解法一：将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE,连接DE,BE,构造全等三 角形求解 解法二：将线段CD绕点C逆时针旋转60得到CF,连接BF,DF,构造全 等三角形求解」 例2如图，在等腰三角形ABC中，AB=BC,P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰三角形 APD,使AP=PD,∠APD=∠ABC,连接CD,求证：∠ABC=∠ACD. 11 //MII/I/针对训练III//I// 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2.将△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到 △A,BC1,则AC边的中点D与其对应点D1的距离是 D B C 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC和△ACD中，∠BAC=90°，AB=AC,∠ADC=45°，连接BD,若△BCD的面积 为8，则CD的长度为 3.如图，已知△ABC和△DEC均为等腰三角形，AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=60°，点E 在AB上，求证：AC=AE+AD. 4.如图，将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB',连接BB',过点D作DE⊥BB'交 BB'的延长线于点E,连接DB',CE.求BB 的值. 12小专题培优4旋转（手拉手)模型 例19【解析】解法一：如解图1，将AD绕点A顺时针旋 转60°得到AE,连接DE,BE,则△ADE为等边三角形. ∴.∠BAC=∠DAE=∠AED=60°，DE=AD=12.:∠BAE+ ∠CAE=∠CAD+∠CAE,.∠BAE=∠CAD.在△BAE和 AB=AC. △CAD中， ∠BAE=∠CAD,.△BAE≌△CAD(SAS), AE=AD. .∠BEA=∠CDA=30°，BE=CD..:∠AED=60°， ,∠BED=90°.在Rt△BED中，由勾股定理得BE= √BD-DE2=9,∴.CD=9. E 解图1 解图2 解法二：如解图2，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得 到CF,连接BF,DF,则△CDF为等边三角形.，·∠BCA+ ∠ACF=∠DCF+∠ACF,∴.∠BCF=∠ACD.在△BCF和 (BC=AC, △ACD中 ∠BCF=∠ACD,∴.△BCF≌△ACD(SAS), CF=CD. ∴.∠BFC=∠ADC=30°，BF=AD=12..∠CFD=60° .∠BFD=90°.在Rt△BFD中，由勾股定理得DF= √BD-BF=9,.CD=9. 例2证明：·AB=BC,AP=PD,∠APD=∠ABC .∠BAC=∠PAD,.△ABC△APD,.P= ∠BAP+∠PAC=∠CAD+∠PAC,.∠BAP=∠CAD .∴.△BAP△CAD,∴.∠ABC=∠ACD 1.√2【解析】如解图，连接BD,BD1.∠ABC=90°，AB= BC=2,.AC=√2+2=22.D为AC的中点，BD= 4G=反.？将△4c绕点B运时针旋转@，得到 △A,BC1,.BD,=BD,∠DBD,=60°，.△BDD,为等边三 角形，∴DD,=BD=√2 B 第1题解图 第2题解图 2.4【解析】如解图，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于 点E,连接BE,.∠EAD=90.:∠ADC=45°，.∠AED= 45°，AE=AD.∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE, 28 IAB=AC ∴.∠BAE=∠CAD.在△BAE和△CAD中， ∠BAE=∠CAD, AE=AD ∴.△BAE≌△CAD(SAS),∴.BE=CD,∠BEA=∠CDA= 45,.LBEC=90°.Sam=2BE·CD=8,CD=4 3.证明：.AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=60°， .△ABC和△DEC均为等边三角形，∠BCA=∠ECD, .∴∠BCE+∠ECA=∠ECA+∠ACD,∴.∠BCE=∠ACD. BC=AC, 在△BCE和△ACD中， ∠BCE=∠ACD. CE=CD. .△BCE≌△ACD(SAS),.BE=AD ...AE+AD=AE+BE=AB=AC,AC=AE+AD. 4.解：如解图，连接BD,设∠BAB'=a ·AB=AB', LA6g=0号 .∠B'AD=90°-a,AD=AB' 六∠1"D=45+受 B .∠EB'D=180°-∠AB'D-∠AB'B=45 DE⊥BB',.∠EDB'=∠EB'D=45°， △D5g是等题直角三角形泥-反 四边形ABCD是正方形， BD DB' B0=2,BDC=45°C00 2. .·∠EDB'=∠BDC,.∠EDB'-∠B'DC=∠BDC- ∠B'DC,即∠B'DB=∠EDC △80Ba0c路0反 小专题培优5对角互补模型 例(1)①CD+CB=√2CA ②将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADM. (2)证明：①如解图，延长CD至点 M,使DM=BC,连接AM. 四边形ABCD为对角互补四边形， B .∠B+∠ADC=180°. .∠ADC+∠ADM=180°， .∠B=∠ADM: AB=AD,∴.△ABC≌△ADM(SAS), ∴.AC=AM,∠BAC=∠DAM,∠ACB=∠M .·∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°， .∠CAM=∠CAD+∠DAM=60. 又：AC=AM,.△ACM是等边三角形，.∠ACM=∠M. .·∠ACB=∠M,.∠ACB=∠ACM,即CA平分∠BCD. ②·△ACM是等边三角形，.CA=CM. BC=DM...CM=CD+DM=CD+CB. ∴.CA=CB+CD.