第四章 第六节 锐角三角函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册（广西专用）

第六节 锐角三角函数及其应用（必考，常在解答题中涉及） 阶 基础巩固 考点1锐角三角函数及解直角三角形 6.(2025内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端 (2025.6,2024.17、24、26,2023.17) A,B的距离不易测量，某科技小组需要用无 1.(2025广西6题3分)在Rt△ABC中，∠C= 人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至 90°，AB=7,AC=3,则sinB= ( 距湖面90m的点C处.从C点测得A点的俯 B. C.3 角为60°，测得B点的俯角为30°(A,B,C三 0 点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A,B的距 2.如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的 离为 m.(结果保留根号) 格点上，则cos∠BAC的值为 ( 3 A.1 B. 5 C. 5 D.3 4 B 7.[跨学科·物理]物理学告诉我们，当光从空 气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的 正弦值和折射角的正弦值之比叫作这种介质 B 0 的折射率.如图，入射光线AO在点O处斜射 第2题图 第3题图 3 3.如图，在△ABC中，∠B=45,anC=5,AD1 人某一高度为3m,折射率为青的长方体介 质（其中a为入射角，B为折射角，MW过点O BC于点D,若AD=6,则BC的长为 且垂直于介质的上表面)，若=53°，则折射 考点2锐角三角函数的实际应用(2023.17) 光线在该介质中传播的距离（即OB的长度） 4.(2025南宁模拟)甲、乙、丙三家的位置如图所 约是 cm.（参考数据：sin53°≈0.80， 示，则下列说法正确的是 ( cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) A.丙家在甲家北偏西30方向 MAN B.甲家在丙家南偏东30°方向 M C.甲家在乙家南偏西50°方向 4530E B D.丙家在乙家北偏东80方向 北4 D 甲家A →东 第7题图 第8题图 B 8.(2025广西模拟)数学实践小组要测量某路段 北 乙家30° 丙家 上一处无标识的车辆限高杆MW的高度AB, B一东 如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰 第4题图 第5题图 角∠AEG=30°，然后在距离C处2米的D处 5.（(2025绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡 测得点A的仰角∠AFG=45°，已知测倾器的 AB的斜面坡度i=1:√2（斜面坡度是指坡面 高度为1.6米，C,D,B在同一水平直线上，则 的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高 车辆限高杆的高度为 米.(3≈ BC=15m,则迎水坡面AB的长度是 1.73,结果保留两位小数) 69 二阶能力提升 9.(2025东营)如图为一节楼梯的示意图，BC⊥13.(2025成都)在综合与实践活动中，某学习小 AC,∠BAC=,AC=5米.现要在楼梯上铺一 组用无人机测量校园西门A与东门B之间 块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要 的距离.如图，无人机从西门A处垂直上升 米 至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然 后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测 B 得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与 东门B之间的距离.（结果精确到0.1米；参 C 第9题图 第10题图 考数据：sin63.4°≈0.89，c0s63.4°≈0.45， 10.(2025南宁模拟)如图，在△ABC中，AB= tan63.4°≈2.00，√3≈1.73) 2D为BC上一点，若满足CD= 63.4° BC,tanB=- CD 30° 5 BD,过D作DE⊥AD交AC延长线于点E, 8 Q CR AC 11.[数学文化](2025崇左模拟)七巧板起源于 中国，又称七巧图、智慧板.七巧板是一种古 老的中国传统智力玩具，它将正方形分割成 七块板（图1），而这七块板可以拼成许多图 形.实验小组将七块板拼成火箭的形状（图 2),若图1的大正方形的边长为8cm,则火 箭的高度为 3 6 八6 图1 图2 12.(2025扬州)如图1，棱长为9cm的密封透明 正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高 度BM=7cm.将此正方体放在坡角为a的斜 坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视 图如图2所示，则tang= (M A B 图1 图2 70 14.[跨学科·物理](2025南宁青秀区二模)在 码头A在灯塔B北偏西14°方向 某次物理实验中，楠楠将一个试验小物件静 14:30时，渔船航行至灯塔B北 止地放在斜面AB上，其受力情况分析如图 位置信息 偏东53°方向的C处 所示，重力G的方向竖直向下，其方向线交 15：00时，渔船航行至灯塔B东 AB于点E,交水平面AM于点D,支持力F 北方向的D处 的方向垂直于AB,摩擦力P的方向线与AB 受暖湿气流影响，今天17：30到 平行，已知斜面的坡角a=25°， 天气预警 夜间，码头A附近海域将出现浓 (1)求摩擦力P的方向与重力G的方向的夹 雾天气.请注意防范 角B的度数； 北 (2)若在此次实验中，AE=30cm,CE=2.4cm, 码头 DC 东 求小物件的铅垂高度CD(结果取整数). 烟台山灯塔 (参考数据：sin25°≈0.42，c0s25°≈0.91， B tan25°≈0.47) 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短 一B 距离； a o (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔 G 船能否在浓雾到来前到达码头A.(参考数 据：sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈ 0.75,sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tanl4°≈ 0.25) 15.（2025烟台)【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在 烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了 解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组 开展了实践探究活动. 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里 的速度向码头A航行，小组同学收集到以下 信息： 71 三阶 实践操作 16.(2025青海)数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭 示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像 给豇豆装了智能遮阳篷， 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面 所形成的夹角均为65° 环节二：数学抽象 如图：已知线段AB与CD交于点O,AB,CD与直线I分别交于点 E,F,AB=CD=1.8m,BE=DF=0.3m,∠AEF=∠CFE=65°，EF= 0.6m,求0E的长度.（结果精确到0.1，参考数据：sin65°≈ 0.91,cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 【模型求解】 【问题总结】 交叉点O距顶端A的长度即OA为 m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生 长规律. 72又.·∠BAD=∠CAE. ∴.∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE,即∠BAC=∠DAE, .△ABC∽△AED,.∠E=∠B. (2)解：S△AmS△ABc=9:16, .DE93 4 六BC√16=4.BC=3DE=8 19.（1)证明：.·AD是∠BAC的平分线，.∠BAD=∠EAD. D=E,B,08△4n△0F (2)解：：△ABD△ADE,.∠ADB=∠AED. .·∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE =180°，.∠CDE=∠DAE. 又.·∠DCE=∠ACD,.△DCE∽△ACD, %器誓多A0=44=4c0 7 4 20.D【解析】由折叠可得DE⊥AC,PQ⊥AC,MN⊥AC,AM= MD=DP=PC,∴.MN∥DE∥PQ∥BC,故A正确，不符合 题意；易得△ADE一△ACB~△AMN,DE=AD=」 BC AC 2 MN AM 1 DE=AD=2 BC=2DE.DE=2MN,BC=2DE= N.故B正确，不符合题意：MN/PQ/BC,名 BQ 1 AM AN 1 PM ON 1 AB4·CB4CB子B0=W=AB, QN=子4BAN=B0=70,故C正确，不符合题意： △ADE△ACB~△AMN∽△APO,DE-AD2' MN AM 1 5是号是品子器器故D错 误，符合题意.故选D. 第六节锐角三角函数及其应用 1.B2.B3.164.D5.155m6.120w57.3.75 20 4 8.4339.5ana+510.2引11.(65+8)em12.g 13.校园西门A与东门B之间的距离约为207.6米. 14.(1)摩擦力P的方向与重力G的方向的夹角B的度数 为115°. (2)小物件的铅垂高度CD约为15cm. 15.解：(1)如解图，过点B作BE⊥AC于点E,设BE=x, 依题意，得∠EBC=53,∠EB0=45,CD=10x5, ∴.∠C=90°-∠EBC=37°，ED=x, ∴.EC=ED+DC=x+5. 在R△BCE中，EC=BE= x4 tanC tan37 0.753*, 4 3x=x+5,解得x=15, ∴.渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里 (2)在Rt△ABE中，∠ABE=14°，BE=15, .AE=BE·tan14°≈15×0.25=3.75. ∴.AD=AE+DE≈3.75+15=18.75， 18.75÷10=1.875(时)， 从15：00经过1.875小时是16：52：30，在17：30之 前到达， .不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A. C E DC北 东 E F -1 B B/H D 第15题解图 第16题解图 16.【模型求解】如解图，过O点作OH⊥EF,垂足为H. .·∠AEF=∠CFE=65°，∴.OE=OF. F=06m,B阴=R=03(m. 在Rt△0EH中，∠0EF=65°，cos∠OEF=-EA Γ0E EH0.30.3 ∴.OE cos ZOEF-cos650.7(m). 【问题总结】0.8 第四章易错题专练 1.C【变式】C2.C【变式1】105°或70°或55 【变式2】解：如解图，设CD=x,则AD=x, AB=2x, ①当AB+AD=15,BC+CD=9时，则2x+ D x=15. ∴.x=5,∴.AB=AC=10,BC=9-5=4, .这个等腰三角形的腰长为10，底边长B 为4. ②当AB+AD=9,BC+CD=15时.则2x+x=9. x=3,.AB=AC=6,BC=15-3=12, 6+6=12,.此时不成立. 综上，这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4 【变式3】解：在△ABC中，设AB=AC,BD LAC于点D. 若△ABC是锐角三角形，如解图1，∠A=90°-40°=50°， ∴.∠ABC=∠C=(180°-50°)÷2=65°： 若△ABC是钝角三角形，如解图2，∠BAC=40°+90°= 130°， ..∠C=∠ABC=(180°-130°)÷2=25° 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数是65°或25°. A C B D 解图1 解图2 33或4 【变式1】解：设经过ts,则AP=2tcm,BQ=4tcm,BP=(10- 2t)cm. △PBQ与△ABC相似，分两种情况： ①当△PBQ∽△ABC时， 器品即90心六解得25 AB BC' ②当△PBQ∽△CBA时， 7