小专题培优3 一线三等角模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮A+培优册（广西专用）

小专题培优3一线三等角模型 (3年1考，2023.24) 模型特点 一线：三个等角的顶点落在同一条直线上；三等角：∠1=∠2=∠3 两三角形在 直线同侧 常见模型 两三角形在 B 直线异侧 (1)△ACP∽△BPD; 结论 (2)若AC=BP或AP=BD或CP=PD,则△ACP≌△BPD 通过“三角形的内角和等于180”和“同角（等角）的余角（补角）相等”证明角相等.当 解题策略 图中有边对应相等，则证全等：否则，证相似 例如图，已知线段AB,点P在线段AB上，在AB同侧找两点C,D,分别作CA⊥AB,DB⊥ AB,连接CP,DP,且CP⊥DP (1)证明：△ACP∽△BPD: (2)添加一组条件，使得△ACP≌△BPD,写出证明过程. 8 ///MII/I/针对训练II/I/// 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点A作AE⊥AC,且AE=AC,过点E作ED⊥AB分别交 AB,AC于点F,D,若BC=3,AE=7,则CD的长为 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm, 则BE的长为 cm 3.如图，AB=AC,∠BAC=60°，D,E为AD上两点，∠ADB=∠AEC=120°，BD,CE与DE 间的数量关系为 4.【问题背景】(1)如图，点B,C,D在同一条直线上，∠B=∠ACE=∠D,求证：△ABC∽ △CDE; 【问题探究】(2)在(1)的条件下，若C为BD的中点，求证：AC2=AB·AE. 5.如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEC=90°，A,D,E三点在一条直 线上，求证：∠BDC=90°. 9 6.如图，P,D分别是∠ABC边BA,BC上的点，且BD=4,∠ABC=60°.连接PD,以PD为边， 在PD的右侧作等边三角形DPE,连接BE,求△BDE的面积. D 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6,点D在线段BC上运动（点D不与点B,C 重合)，连接AD,作∠ADE=45°，DE交线段AC于点E (1)求证：△ABD∽△DCE; (2)若△ADE是等腰三角形，求DC的长. D 10解法二：截长法.如解图2，在AB上截取AG=AF,连 接DG. .·AD平分∠BAC,.∠GAD=∠FAD 又AD=AD,.△ADG≌△ADF(SAS), .∠AGD=∠AFD,DG=DF .:∠GED+∠EDF+∠DFA+∠FAE=360°， ∠EDF+∠BAC=180°，∴.∠GED+∠DFA=180° .∠EGD+∠AGD=180°，∴.∠EGD=∠GED .DE=DG...DE=DF. 解法三：补短法.如解图3，延长AC至点H,使AH=AE,连 接DH. .AD平分∠BAC,.∠EAD=∠HAD. 又.AD=AD,.△ADE≌△ADH(SAS), .∠AED=∠AHD,DE=DH. :∠AED+∠BAC+∠AFD+∠EDF=360°， ∠EDF+∠BAC=180°，∴.∠AED+∠AFD=180. .·∠AFD+∠DFH=180°，·.∠AED=∠DFH=∠AHD. .DF=DH,∴.DE=DF. 小专题培优3一线三等角模型 例（1)证明：.CA⊥AB,DB⊥AB ∴∠A=∠B=90°，∠C+∠CPA=90° .CP⊥DP,.∠CPA+∠DPB=90°， .∴.∠C=∠DPB,.△ACP∽△BPD: (2)解：AP=BD(答案不唯一) 证明：由(1)得∠A=∠B=90°，∠C=∠DPB. 又.·AP=BD,∴.△ACP≌△BPD(AAS) 1.42.0.83.DE=CE-BD 4.证明：(1).·∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE,∠ACE= ∠B,∴.∠BAC=∠DCE. .∠B=∠D,∴.△ABC△CDE. (2由()得，△4A6camE,品能兰 C为BD的中点BC=DC,BCCE AB AC 又.∠B=∠ACE,.△ABC∽△ACE, AB_AC AC-EAC=AB·AE 5.证明：如解图，过点B作BF⊥AE交EA的延长线于点F F 则∠F=∠AEC=90°，∴∠ABF+∠BAF=90° .·∠BAC=90°，∴.∠BAF+∠CAE=90°， .∠ABF=∠CAE. .AB=AC,∴.△ABF≌△CAE(AAS), .∴.AF=CE,BF=AE DE=CE,.'.AF=DE,..DF=AE, ∴.BF=DF,.∠BDF=45° .∠DEC=90°，DE=CE,.∠CDE=45°，∴.∠BDC=90. 6.解：如解图，过点E作EF⊥BC,垂 足为F,过点D作DG⊥BA,垂足 为G. 在Rt△BGD中，BD=4,∠ABC= 60°. ÷∠BDG=30°BG=2BD=2, .GD=√BD-BG=25. :△PDE是等边三角形，.∠PDE=6O°，PD=DE, .∴.∠PDB+∠EDF=180°-∠PDE=120° .·∠ABC=60°，.∠PDB+∠BPD=180°-∠ABC=120°， ∴.∠BPD=∠EDF. :∠PGD=∠DFE=90°，∴.△GPD≌△FDE(AAS), .GD=EF=25, saae=28D·EF= 2×4×25=45. 7.(1)证明：.：∠BAC=90°，AB=AC. .∴.∠B=∠C=45°=∠ADE. .·∠BAD+∠B=∠ADC,∠ADC=∠ADE+∠CDE, .∠BAD=∠CDE,.△ABD∽△DCE. (2)解：∠BAC=90°，AB=AC=6, .BC=√AB+AC=62,∠B=∠C=45°. 如解图1，△ADE是等腰三角形，且AD=DE. .∠ADE=45°， .∴.∠BAD+∠ADB=135°，∠CDE+∠ADB=135°， .∠BAD+∠ADB=∠CDE+∠ADB, ∴.∠BAD=∠CDE, 在△ABD和△DCE中， ILB=∠C, ∠BAD=∠CDE, AD=DE. .△ABD≌△DCE(AAS), .AB=DC=6. D D 解图1 解图2 如解图2，△ADE是等腰三角形，且AE=DE, 则∠EAD=∠ADE=45°，∴.∠BAD=∠CAD=45°. :AB=AC,AD平分∠BAC. C=DB=C=35. .点D不与点B重合，∴.∠DAE<90°， .180°-45°-∠AED<90°，.∠AED>45°， ∴.∠AED≠∠ADE, ∴.不存在△ADE是等腰三角形，且AD=AE的情况， 综上所述.DC的长为6或3√互！ 27