小专题培优2 与角平分线有关的辅助线作法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮A+培优册（广西专用）

小专题培优2与角平分线有关的辅助线作法 (3年2考，2024.26,2023.23) ///III/典例精讲II// 类型1角平分线+垂线段→全等三角形(2024.26,2023.23) 园方法解读 例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分情形1：垂两边 线，交AC于点D.若CD=m,AB=n,则△ABD的面积如图，P是∠AOB的平分线上 是 一点，PM⊥OA于点M. 作法：过，点P作PN⊥OB于点 例2如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE,垂足为D. N. 求证：∠2=∠1+∠C. 结论：△MOP≌△NOP. 情形2：垂中间 E 如图，OC是∠AOB的平分线， ED⊥OC于点D. A B 一C 0 —B 作法：延长ED交OB于点F. 结论：△EOF是等腰三角形， Rt△EOD≌Rt△FOD. 5 类型2角平分线+等线段→全等三角形 园方法解读 例3多解法如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,方法1：截长法 E是BD的中点，若AB=2BC,AD=6,则CE的长为 (AD平分∠BAC) 解法一：裁长法，在BA上裁取BF=BC,连 在AB上 D 接FE,构造全等三角形求解。 截取 AE=AC, 解法二：补短法，延长BC至点G,使CG= 连接DE BC,连接DG,构造全等三角形求解 B DC B DC 结论：△AED≌△ACD. 方法2：补短法 (AD平分∠BAC) 延长AC 至点F,使 AF=AB, BDC连接DFB 结论：△AFD≌△ABD. 类型3角平分线+平行线→等腰三角形 园方法解读 方法1：作一边的平行线 例4多解法如图，在△ABC中，AB=4,BC=8,点D在AC边 如图，点D是∠ABC的平分线 上.且m平分2小0的值 BE上一点 解法一：作一边的平行线，过点D作AB 的平行线，再求解 解法二：作角平分线的平行线，过点A B B 作AF∥BD交CB的延长线于点F,再 作法：过，点D作DF∥BC,交 求解 AB于，点F. 结论：△FBD是等腰三角形， FB=FD. 方法2：作角平分线的平行线 如图，BE是∠ABC的平分线， F是AB上一点 GB C 作法：过，点F作FGBE交CB 的延长线于点G 结论：△FBG是等腰三角形， FB=GB. 6 ///IW巩固练习BA11111/I 1.如图，在△ABC中，∠A=2∠B,CD平分∠ACB,AD=2,AC=3,则BC的长为 D N B M 第1题图 第2题图 2.如图，M是△ABC的边BC的中点，AW平分∠BAC,BN⊥AN于点N,且AB=8,BC=13, MN=3,则△ABC的周长等于 3.如图，E是AD的中点，BE平分∠ABC.若∠A=∠D=90°，求证：CE平分∠DCB. B 4.多解法如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,点E,F分别在AB,AC上，连接DE,DF.若 ∠BAC+∠EDF=180°，求证：DE=DF: 解法一：作垂线，过点D作DM⊥AB于点M,DNL⊥AC于点N,构造全等三角 形求解。 解法二：裁长法，在AB上裁取AG=AF,连接DG,构造全等三角形求解 解法三：补短法，延长AC至点H.使AH=AE,连接DH,构造全等三角形 求解 D 73.=v原=366M-35即6m的最小值 为3 2 ,当点F与点C重合时，AF最长，即此时GH最 大，如解图2.过点A作AP⊥BC,.AP=35,BP=3, CP=BC-BP=5,.AC=VAP+Cp=2√3，.GH= 2下=√B,即GH的最大值为下 2 H C(F 解图1 解图2 7.1≤EF<3【解析】如解图，设AB 的中点为G,分别连接EG,FG.: F是BD的中点，.FG∥AD,且 FG=号A0=1E是AC的中 点，EG/BC,且EG=2BC=2.在△EFG中，根据三角 形的三边关系，得EG-GF<EF<EG+GF,当E,F,G三点共 线时，EF=EG-GF=1,即1≤EF<3. 小专题培优2与角平分线有关的辅助线作法 例1之mn 例2证明：如解图，延长AD交 BC于点F, 1 :BE是角平分线，AD⊥BE, ,△ABF是等腰三角形，且 ∠2=∠AFB. 又.∠AFB=∠1+∠C,∴.∠2=∠1+∠C. 例33【解析】解法一：如解图1，在BA上截取BF=BC, 连接FE.BD平分∠ABC,.∠CBE=∠FBE..·BC= BF,BE=BE,∴.△CBE≌△FBE,∴.CE=FE.AB=2BC, AB=2BF,.F是AB的中点.E是BD的中点，.FE 是△4D的巾位线E=号40=3CE=3 F 解图1 解图2 解法二：如解图2，延长BC至点G,使CG=BC,连接DG AB=2BC,AB=BG.BD平分∠ABC,.∠GBD= ∠ABD.BD=BD,∴.△BDG≌△BDA,∴.DG=DA=6. :E是BD的中点，CE是△BDG的中位线，.CE= 7c=3 26 例4解：解法一：如解图1，过点D作DE∥AB交BC于点 E,∠ABD=∠BDE. BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC ∴.∠BDE=∠DBC,.BE=DE 设BE=DE=a,则CE=8-a. 吸密号得。 3 CE-16 CD.CE ·BE=DE=8 2. A D B E C 解图1 解法二：如解图2，过点A作AF∥BD交CB的延长线于 点F,.∠FAB=∠ABD,∠F=∠DBC. BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠DBC, .∠FAB=∠F,.BF=AB=4. CD_CB-8-2. AF∥BD,ADFB4 A D B C 解图2 1.52.35 3.证明：如解图，过点E作EM L BC于点M. ∠A=∠D=90°， A B .DA⊥AB,DA⊥CD BE平分∠ABC,.AE=ME. E是AD的中点， ∴.AE=DE=ME. ·.DA⊥CD,EM⊥BC .CE平分∠DCB. 4.证明：解法一：作垂线.如解图1，过点D分别作AB,AC的 垂线，垂足分别为M,N, ∴.∠DMA=∠DNF=90°. ·AD平分∠BAC,.DM=DN. .·∠EDF+∠BAC=180°， M ∴.∠AED+∠AFD=180° ·∠DFN+∠AFD=180°. --N B D ∴.∠AED=∠DFN, C 解图1 ∴.△DEM≌△DFN(AAS), ∴.DE=DF E B D B 解图2 解图3 解法二：截长法.如解图2，在AB上截取AG=AF,连 接DG. .·AD平分∠BAC,.∠GAD=∠FAD 又AD=AD,.△ADG≌△ADF(SAS), .∠AGD=∠AFD,DG=DF .:∠GED+∠EDF+∠DFA+∠FAE=360°， ∠EDF+∠BAC=180°，∴.∠GED+∠DFA=180° .∠EGD+∠AGD=180°，∴.∠EGD=∠GED .DE=DG...DE=DF. 解法三：补短法.如解图3，延长AC至点H,使AH=AE,连 接DH. .AD平分∠BAC,.∠EAD=∠HAD. 又.AD=AD,.△ADE≌△ADH(SAS), .∠AED=∠AHD,DE=DH. :∠AED+∠BAC+∠AFD+∠EDF=360°， ∠EDF+∠BAC=180°，∴.∠AED+∠AFD=180. .·∠AFD+∠DFH=180°，·.∠AED=∠DFH=∠AHD. .DF=DH,∴.DE=DF. 小专题培优3一线三等角模型 例（1)证明：.CA⊥AB,DB⊥AB ∴∠A=∠B=90°，∠C+∠CPA=90° .CP⊥DP,.∠CPA+∠DPB=90°， .∴.∠C=∠DPB,.△ACP∽△BPD: (2)解：AP=BD(答案不唯一) 证明：由(1)得∠A=∠B=90°，∠C=∠DPB. 又.·AP=BD,∴.△ACP≌△BPD(AAS) 1.42.0.83.DE=CE-BD 4.证明：(1).·∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE,∠ACE= ∠B,∴.∠BAC=∠DCE. .∠B=∠D,∴.△ABC△CDE. (2由()得，△4A6camE,品能兰 C为BD的中点BC=DC,BCCE AB AC 又.∠B=∠ACE,.△ABC∽△ACE, AB_AC AC-EAC=AB·AE 5.证明：如解图，过点B作BF⊥AE交EA的延长线于点F F 则∠F=∠AEC=90°，∴∠ABF+∠BAF=90° .·∠BAC=90°，∴.∠BAF+∠CAE=90°， .∠ABF=∠CAE. .AB=AC,∴.△ABF≌△CAE(AAS), .∴.AF=CE,BF=AE DE=CE,.'.AF=DE,..DF=AE, ∴.BF=DF,.∠BDF=45° .∠DEC=90°，DE=CE,.∠CDE=45°，∴.∠BDC=90. 6.解：如解图，过点E作EF⊥BC,垂 足为F,过点D作DG⊥BA,垂足 为G. 在Rt△BGD中，BD=4,∠ABC= 60°. ÷∠BDG=30°BG=2BD=2, .GD=√BD-BG=25. :△PDE是等边三角形，.∠PDE=6O°，PD=DE, .∴.∠PDB+∠EDF=180°-∠PDE=120° .·∠ABC=60°，.∠PDB+∠BPD=180°-∠ABC=120°， ∴.∠BPD=∠EDF. :∠PGD=∠DFE=90°，∴.△GPD≌△FDE(AAS), .GD=EF=25, saae=28D·EF= 2×4×25=45. 7.(1)证明：.：∠BAC=90°，AB=AC. .∴.∠B=∠C=45°=∠ADE. .·∠BAD+∠B=∠ADC,∠ADC=∠ADE+∠CDE, .∠BAD=∠CDE,.△ABD∽△DCE. (2)解：∠BAC=90°，AB=AC=6, .BC=√AB+AC=62,∠B=∠C=45°. 如解图1，△ADE是等腰三角形，且AD=DE. .∠ADE=45°， .∴.∠BAD+∠ADB=135°，∠CDE+∠ADB=135°， .∠BAD+∠ADB=∠CDE+∠ADB, ∴.∠BAD=∠CDE, 在△ABD和△DCE中， ILB=∠C, ∠BAD=∠CDE, AD=DE. .△ABD≌△DCE(AAS), .AB=DC=6. D D 解图1 解图2 如解图2，△ADE是等腰三角形，且AE=DE, 则∠EAD=∠ADE=45°，∴.∠BAD=∠CAD=45°. :AB=AC,AD平分∠BAC. C=DB=C=35. .点D不与点B重合，∴.∠DAE<90°， .180°-45°-∠AED<90°，.∠AED>45°， ∴.∠AED≠∠ADE, ∴.不存在△ADE是等腰三角形，且AD=AE的情况， 综上所述.DC的长为6或3√互！ 27