小专题培优1 与中点有关的辅助线作法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮A+培优册（广西专用）

一、小专题培优 小专题培优1与中点有关的辅助线作法 (必考，2025.16,2024.24,2023.18) /I1I/1/I/典例精讲I// 类型1构造中位线(2023.18) 国方法解读 例1如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D,E分别为 情形1：有两个中点时. AB,BC的中点，EF⊥AC于点F,G为EF的中点，连接DG (D,E分别是AB,AC中点) (1)连接两中点构造中位线。 则DG的长为 B (2)连接两条线段的端，点，构 造含中位线的三角形 E 例2(2023广西18题2分)如图，在边长为2的正方形 ABCD中，E,F分别是BC,CD上的动点，M,N分别是EF, 结论：DE∥BC,且DE= AF的中点，则MN的最大值为 2 BC, △ADE∽△ABC. 情形2：只有一个中点时. (D为AB的中，点) (1)在三角形内作平行线 B 过，点D作 例3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=2,BC=5,点E, D DE∥BC D∠ZAE F分别是对角线AC,BD的中点，则EF的长为() B B A.1 B.1.5 C.2.5 D.3.5 结论：DE= 。BC,△ADE∽ △ABC. (2)在三角形外作平行线. B 例4多解法如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D为AC边 的中点，点E在BC边上，连接DE.若AB=4,∠DEC= 作法：过点A作AC∥DE,交 60°，则DE的长为 BE的延长线于点C,或延长 BE到C,使BE=CE 解法一：过点D作DH∥AB,得DH= 2,解R△DEH求解 结论：①DE∥AC;②DE= 解法二：过点A作AHDE交CB的延 1 AC;③△DBE△ABC: 长线于点H,解RL△ABH求解 类型2构造中线(2025.16,2024.24) 园方法解读 例5如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点M为BC边的 情形1：当遇直角三角形斜边 中点，MN⊥AC于点N,则MN的长度为 上的中点时，考虑作斜边上的 中线.(D为斜边AB的中点) 人 变式如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=50°，点D是 BC的中点，延长BA至点E,使得AE=BD,连接DE,则 结论：CD=AD=BD= ∠BED的度数为 情形2：当遇等腰三角形底边 上的中点时，考虑作底边上的 中线，利用“三线合一”解题 (AB=AC,D是BC的中点) 例6如图，在△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC=90°，O为 连接AD BC的中点，BD,CE相交于点A,∠BAC=120°.求证：DE=OE. B 结论：AD⊥BC,AD平分∠BAC 变式如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD,E,F分 别为AC,BD的中点，AC=8,连接EF,则EF的长 为 2 类型3构造倍长中线（或类中线) 园方法解读 例7如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点， 情形1：当遇三角形中存在中 E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F,连接EF,若 线时，考虑倍长中线构造全等 BE=2,CF=√3，则EF的长为 三角形.(AD是BC边上的中 线) 倍长中线 构造全等B力C B D C E 例8多解法如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F, 辅助线作法1：延长AD至，点 连接BF并延长交AC于点E,使AE=EF,求证：BF=AC. E,使得DE=AD,连接BE; 解法一：考虑延长AD至点H,使DH=AD 辅助线作法2：过点B作BE∥ 连接BH,倍长中线、构造全等 AC交AD的延长线于点E. 解法二：考虑延长FD至点G,使DG=DF B 连接CG,倍长类中线、构造全等 结论：△BDE≌△CDA. 情形2：当遇三角形中存在一 条线段过一边的中点时，考虑 延长这条线段，作等线段或作 平行线与这条线段的延长线 交于一点构造全等三角形 (D是边BC的中点，E是边 AB上一点) A 倍长类中线 构造全等 B D C B D 辅助线作法1：延长ED到点 变式如图，已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的 F,使DF=ED,连接CF; 中线.求证：∠C=∠BAE. 辅助线作法2：过，点C作CF∥ AB交ED的延长线于点F. 结论：△BDE≌△CDF. 3 ///III巩固练习II//// 1.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是CD,AD的中点，EF⊥AB.若BC=13,AB=5,则EF的 长度为 () A.6 B.5 C.4 D.3 A 第1题图 第2题图 第3题图 变式题图 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90,D,E分别是AC,AB的中点，延长BC至点F,使CF=3BF, 连接DE,DF,若AB=12,则DF的长为 3.如图，在△ABC中，D为AC的中点，过点D作DE⊥AC交AB于点F,交CB的延长线于点 E.若F为DE的中点，BF=5,则AF的长为 变式(2025龙东地区)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D,E分别在边AB和BC上，且 AD=4,CE=3,连接DE,点M,N分别是AC,DE的中点，连接MN,则MN的长度为() 号 13 .2 C.2 0.5 4.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC交AB于点D,连接并延长A0交⊙O于点 E,连接DE,若AB=12,CD=3,则DE的长为 0 F C 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 5.多解法如图，在口ABCD中，点E是CD的中点，连接AE,过点E作EF⊥AE,交BC于点 F,连接AF.若∠AFB=28°，则∠DAE的度数为 6.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是边CD,BC上的动点，连接AE,EF,G,H分别为 AE,EF的中点，连接GH.若∠B=60°，AB=6,BC=8,则GH的最小值为 ,最大值 为 7.易错如图，在四边形ABCD中，E,F分别为AC,BD的中点，AD=2,BC=4,则EF的取值范 围是 4二轮A培优册 一、小专题培优 小专题培优1与中点有关的辅助线作法 又：∠ADC=∠HDB,AD=HD, 例1四 .△ADC≌△HDB(SAS), 4 【解析】如解图，连接DE.·在边长为2的等边 .∴.AC=HB,∠CAD=∠H 三角形ABC中，D,E分别为AB,BC的中点，.DE是 ·AE=EF, △ABC的中位线，.DE=1,且DE∥AC,.BD=BE=EC= ∴.∠EAF=∠AFE .EF⊥AC,∠C=60°，.∠FEC=30°，.∠DEF= .·∠AFE=∠BFH. .∠H=∠BFH, ∠EFC=90,EP=CE·ms30= 2:G为EF的中 .BF=BH...BF=AC. 解法二：证明：如解图，延长FD至点G,使DG=DF,连 点EG=3 ,DG=VDE+B=四 接CG, AD是△ABC的中线，.BD=CD. 在△BDF和△CDG中， BD=CD. ∠BDF=∠CDG DF=DG. ∴.△BDF≌△CDG(SAS),∴.BF=CG,∠BFD=∠G 例1题解图 例2题解图 AE=EF,.∠EAF=∠EFA=∠BFD. 例2√2【解析】如解图，连接AE.M,N分别是EF,AF .∠G=∠CAG,.AC=CG,.BF=AC. 的中点MW是△AEF的中位线MN=B四边 【变式】证明：如解图，延长AE到点F,使EF=AE,连 接DF. 形ABCD是正方形，∠B=90°，.AE=√AB+BE= :AE是△ABD的中线， √4+BE,.当BE最大时，AE最大，此时MN最大 ∴.BE=ED :点E是BC上的动点，.当点E和点C重合时，BB最 在△ABE和△FDE中， 1 (BE=DE, 大，即BE=BC,此时AE=22,MN=2AE=2, ∠AEB=∠FED. .·.MN的最大值为2 AE=FE, 例3B ∴.△ABE≌△FDE(SAS), 例445例5号 .AB=DF,∠BAE=∠DFE. 3 【变式】20 .·∠ADB是△ADC的外角. 例6证明：如解图，连接0D .∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD ·∠BDC=∠BEC=90°，O为BC .·∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD 的中点 ∴.∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD, ∴.OD=0E=0B=OC .∴.∠ADF=∠ADC. .∠CBA=∠BDO,∠BCA=∠CEO .AB=DC,..DF=DC. .·∠BAC=120°，∴.∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°， AD=AD. :·∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA,∠COD=∠CBA+ 在△ADF和△ADC中 ∠ADF=∠ADC, ∠BDO=2∠CBA. FD=CD. ∴.∠B0E+∠C0D=120°，∴.∠D0E=60°， .△ADF≌△ADC(SAS),∴.∠C=∠AFD=∠BAE. .△DOE是等边三角形，.DE=OE. 1.A2.63.15【变式】A4.3135.149 【变式】4 6. 例77 3下【解折1如解图连接4识~G日分别为。 例8解法一：证明：如解图，延长AD至点H,使DH=AD,连 接BH, EF的中点GH=子4R.当1C时.A最短，即此 AD是△ABC的中线，..BD=CD 时GH最小，如解图1.：∠B=60°，AB=6,BF=2AB= 25 3=V丽-那=35Gm=35即m的最小值 例4解：解法一：如解图1，过点D作DE∥AB交BC于点 E,.∠ABD=∠BDE ·BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC, ,当点F与点C重合时，AF最长，即此时GH最 '.∠BDE=∠DBC,.BE=DE. 大，如解图2.过点A作AP⊥BC,.AP=3√3，BP=3, 设BE=DE=a,则CE=8-a. .CP=BC-BP=5,.AC=√AP+Cp=2√3，.GH= DE∥AB, 需侣子解腾 CB AB' 2下-√/下，即GH的最大值为B 2 BE=DE=8 —2之 3六ADBE A G D C(F B 解图1 解图2 解图1 7.1≤EF<3【解析】如解图，设AB 解法二：如解图2，过点A作AF∥BD交CB的延长线于 的中点为G,分别连接EG,FG.: 点F,∠FAB=∠ABD,∠F=∠DBC. F是BD的中点，.FG∥AD,且 BD平分∠ABC,∠ABD=∠DBC, PG=子0=1：E是AC的中 .∠FAB=∠F,.BF=AB=4. 岩常2 点，.EGBC,且EG= 2BC=2在△EFG中，根据三角 D 形的三边关系，得EG-GF<EF<EG+GF,当E,F,G三点共 线时，EF=EG-GF=1,即1≤EF<3. 小专题培优2与角平分线有关的辅助线作法 B 解图2 例1子m 1.52.35 3.证明：如解图，过点E作EM LBC于点M. 例2证明：如解图，延长AD交 ∠A=∠D=90°， A BC于点F, .DA⊥AB,DA⊥CD :BE是角平分线，AD⊥BE, ·BE平分∠ABC,.AE=ME. ,△ABF是等腰三角形，且 .E是AD的中点， ∠2=∠AFB. ∴.AE=DE=ME. 又：∠AFB=∠1+∠C,.∠2=∠1+∠C .·DA⊥CD,EM⊥BC 例33【解析】解法一：如解图1，在BA上截取BF=BC, .CE平分∠DCB. 连接FE.:BD平分LABC,∠CBE=∠FBE.BC= 4.证明：解法一：作垂线.如解图1，过点D分别作AB,AC的 BF,BE=BE,.△CBE≌△FBE,CE=FE.AB=2BC, 垂线，垂足分别为M,N, .AB=2BF,.F是AB的中点.E是BD的中点，.FE ∴.∠DMA=∠DNF=90° 是△D的中位线PE=号0=3.G6=3 AD平分∠BAC,.DM=DN. :∠EDF+∠BAC=180°， 1G M .∴.∠AED+∠AFD=180° E .∠DFN+∠AFD=180°， --gN B ∴∠AED=∠DFN, D 解图1 .∴.△DEM≌△DFN(AAS), .DE=DF. 解图1 解图2 解法二：如解图2，延长BC至点G,使CG=BC,连接DG. AB=2BC,.AB=BG.BD平分∠ABC,∠GBD= ∠ABD..BD=BD,∴.△BDG≌△BDA,.DG=DA=6. E是BD的中点，.CE是△BDG的中位线，.CE= B D Dc=3. 1 解图2 解图3 26